＊殷宇龍

（哈爾濱工程大學(xué) 黑龍江 150001）

目前已有電子探針、光譜分析儀等各類(lèi)高精儀器能對(duì)古代文物的成分進(jìn)行定量分析。本文主要探究通過(guò)關(guān)聯(lián)預(yù)測(cè)等數(shù)學(xué)方法分析古代玻璃組分的有效性。

1.模型假設(shè)

（1）假設(shè)所給的有效數(shù)據(jù)均準(zhǔn)確，不存在錯(cuò)誤。

（2）假設(shè)未檢測(cè)出的成分在該樣本中不存在。

（3）假設(shè)樣本數(shù)量極少的兩項(xiàng)與其他成分不存在相關(guān)性。

2.符號(hào)說(shuō)明

符號(hào)說(shuō)明：

3.模型的建立與求解

(1)問(wèn)題一：模型的建立與求解

①數(shù)據(jù)的預(yù)處理。由于檢測(cè)手段等多方面的原因?qū)е虏糠謹(jǐn)?shù)據(jù)中成分比例之和可能并不為100%，假設(shè)成分比例累加和介于85%～105%之間的數(shù)據(jù)為有效數(shù)據(jù)。以蜻蜓眼玻璃珠[3]為例，利用Excel將不滿(mǎn)足范圍要求的數(shù)據(jù)剔除，后續(xù)建模過(guò)程中不再重申。

②模型的建立與求解。玻璃類(lèi)型、紋飾和顏色屬于離散化的變量，為量化三者對(duì)表面風(fēng)化的關(guān)系，建立最優(yōu)標(biāo)度法模型，通過(guò)SPSS對(duì)得到相關(guān)性和容差值如表1。

表1 玻璃類(lèi)型、紋飾和顏色與表面風(fēng)化的相關(guān)性和容差表

從表1中可以得到玻璃文物的紋飾和類(lèi)型對(duì)表面風(fēng)化具有較高的相關(guān)性，同時(shí)由于容差較大因此使得結(jié)果可信度好，進(jìn)一步得到三者對(duì)表面風(fēng)化的影響系數(shù)如表2。

表2 玻璃類(lèi)型、紋飾和顏色對(duì)表面風(fēng)化影響系數(shù)

為了預(yù)測(cè)其風(fēng)化前的值，依據(jù)t檢驗(yàn)進(jìn)行預(yù)測(cè)。當(dāng)t＞0.05時(shí)鉛鋇的數(shù)據(jù)方差具有齊性的特征，便可以直接由平均值差值來(lái)求得其風(fēng)化前的數(shù)值，故鉛鋇類(lèi)風(fēng)化前化學(xué)成分預(yù)測(cè)公式如下。

鉛鋇類(lèi)[2]風(fēng)化前化學(xué)成分預(yù)測(cè)表如表3所示。

表3 鉛鋇類(lèi)風(fēng)化前化學(xué)成分預(yù)測(cè)表

而高鉀的萊文方差不具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，因此采取另一方案。

在玻璃風(fēng)化過(guò)程中SiO2的凈含量不變[1]，其他物質(zhì)的含量會(huì)逐步減少，以致使得SiO2百分比含量上升。據(jù)此，本文利用風(fēng)化過(guò)程中SiO2的含量作為刻畫(huà)風(fēng)化程度的變量，通過(guò)的SiO2含量，將剩余物質(zhì)的百分比含量通過(guò)利用步進(jìn)法做回歸分析，得到六個(gè)最相關(guān)的變量。通過(guò)回歸分析，得到了回歸系數(shù)，為下階段求出回歸前的變量作鋪墊?；貧w分析表格如表4所示。

表4 化學(xué)成分之間的回歸性分析

為了預(yù)測(cè)SiO2的風(fēng)化前的含量，利用t檢驗(yàn)分析。從表5可以看出，k值得萊文方差滿(mǎn)足k＞0.01，即k的數(shù)據(jù)方差齊性良好。使用其t檢驗(yàn)的平均值差值，詳見(jiàn)表5，通過(guò)式（2）可以對(duì)風(fēng)化前的SiO2值。

表5 二氧化硅的獨(dú)立樣本檢驗(yàn)

利用上文得到的線(xiàn)性關(guān)系賦值以k的風(fēng)化變化倍數(shù)，擬帶入風(fēng)化后的各線(xiàn)性相關(guān)數(shù)據(jù)，通過(guò)式（3）求出k值，并將k值賦以各相關(guān)數(shù)據(jù)，通過(guò)式（4）便可得到各個(gè)值的風(fēng)化之前含量，如表6所示。

表6 高鉀類(lèi)[2]風(fēng)化前化學(xué)成分預(yù)測(cè)

(2)問(wèn)題二：模型的建立與求解

玻璃文物的化學(xué)成分作為高鉀類(lèi)和鉛鋇類(lèi)文物劃分的重要因素，通過(guò)SPSS將化學(xué)成分作為二階聚類(lèi)的聚類(lèi)變量進(jìn)行聚類(lèi)分析，聚類(lèi)效果見(jiàn)圖。

圖1 二階聚類(lèi)輸入15組玻璃制品，聚類(lèi)為兩組，聚類(lèi)的質(zhì)量為良好

二階聚類(lèi)效果良好，將二階聚類(lèi)的結(jié)果與高鉀類(lèi)與鉛鋇類(lèi)分類(lèi)的結(jié)果進(jìn)行頻率擬合分析，結(jié)果見(jiàn)下表7。

表7 高鉀類(lèi)與鉛鋇類(lèi)聚類(lèi)出現(xiàn)頻率

頻率表可以看出，聚類(lèi)結(jié)果和原分類(lèi)結(jié)果擬合較好，因此可通過(guò)二階聚類(lèi)并依照聚類(lèi)預(yù)測(cè)變量分析表可以得出，結(jié)果見(jiàn)圖2。

圖2 將玻璃文物進(jìn)行二階聚類(lèi)為2組，圖為預(yù)測(cè)變量的重要性柱狀圖

經(jīng)上述模型可得，SiO2、PbO、P2O5、SrO和BaO對(duì)聚類(lèi)產(chǎn)生重要的影響，可作為高鉀玻璃和鉛鋇玻璃的分類(lèi)規(guī)律。

(3)問(wèn)題三：模型的建立與求解

由表8的數(shù)據(jù)玻璃制品所含化學(xué)成分共有14種，并以此建立Fisher多分類(lèi)判據(jù)進(jìn)行降維分析，通過(guò)SPSS得出分類(lèi)的可信度與相關(guān)數(shù)據(jù)。

表8 部分典型采樣點(diǎn)的采集成分占比

由Fisher分類(lèi)結(jié)果表可得，其對(duì)原始數(shù)據(jù)與高鉀和鉛鋇類(lèi)分類(lèi)的結(jié)果重合度達(dá)到100%，為防止過(guò)擬合的現(xiàn)象，進(jìn)行80%的訓(xùn)練組和20%的驗(yàn)證組進(jìn)行多次分類(lèi)，均得到100%的重合度，因此可以Fisher多分類(lèi)判據(jù)進(jìn)行分類(lèi)，得到未標(biāo)準(zhǔn)化典則判斷函數(shù)系數(shù)如表9。

表9 Fisher分類(lèi)結(jié)果表

表10 未標(biāo)準(zhǔn)化典則判斷函數(shù)系數(shù)

由未標(biāo)準(zhǔn)化典則判斷函數(shù)系數(shù)得典則判斷函數(shù)：

其中，將玻璃制品所含上述化學(xué)成分代入式（4）中，若結(jié)果小于0，分為高鉀組；反之分為鉛鋇組。

表11 未標(biāo)準(zhǔn)化典則判斷函數(shù)系數(shù)

由分類(lèi)函數(shù)系數(shù)得到Bayes判別式：

由Bayse判斷式性質(zhì)可得，化學(xué)成分代入兩式之中，即其在與大者所在的類(lèi)別。

通過(guò)上述玻璃分類(lèi)模型，即根據(jù)式子（4）（5）（6）對(duì)未知玻璃制品文物進(jìn)行分析，得到以下分類(lèi)表格。

表12 未知文物分類(lèi)表

4.模型的評(píng)價(jià)

模型一分析出其相關(guān)性和容差值。利用t檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)鉛鋇萊文方差齊性，直接利用平均值差值進(jìn)行計(jì)算。而高鉀的萊文方差不齊，便利用SiO2的不變性，巧妙地將風(fēng)化程度合理量化，通過(guò)對(duì)其余下的總成分與各個(gè)化學(xué)成分進(jìn)行線(xiàn)性回歸分析，濾除無(wú)關(guān)量之后，利用通過(guò)t檢驗(yàn)預(yù)測(cè)出風(fēng)化前的SiO2含量，反推出與之線(xiàn)性相關(guān)的主要化學(xué)成分風(fēng)化前的含量。但是存在某些線(xiàn)性程度不好的變量無(wú)法進(jìn)行分析求解的缺點(diǎn)，因此需尋求能夠?qū)⒎蔷€(xiàn)性變量進(jìn)行線(xiàn)性化的方法。

模型二通過(guò)二階聚類(lèi)的方法，聚類(lèi)效果良好，通過(guò)聚類(lèi)結(jié)果和高鉀鉛鋇類(lèi)的分類(lèi)進(jìn)行擬合，擬合效果達(dá)到93.9%。

模型三采取了博克斯描述，利用組內(nèi)協(xié)方差矩陣，得到了其費(fèi)希爾系數(shù)以及非標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)。擬合程度非常良好，可以預(yù)測(cè)出采樣點(diǎn)是否風(fēng)化。

5.結(jié)語(yǔ)

本模型通過(guò)對(duì)一些基礎(chǔ)元素進(jìn)行分析可以得到較為良好的預(yù)測(cè)效果，對(duì)古代玻璃成分的分析具有輔助幫助。