丁慧敏 王文貫 李浩軍

1 同濟(jì)大學(xué)測繪與地理信息學(xué)院，上海市四平路1239號 200092 2 廣西建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院土木工程學(xué)院，南寧市羅文大道33號，530007

針對衛(wèi)星廣播星歷提供的鐘差數(shù)據(jù)精度較低、難以滿足精密單點(diǎn)定位(PPP)需求，國際GNSS服務(wù)(IGS)組織于2000年開始提供高精度的衛(wèi)星鐘差產(chǎn)品。但這些產(chǎn)品是基于采樣間隔的離散化序列結(jié)果，以離散形式表述和服務(wù)的衛(wèi)星鐘差，隨著采樣間隔增加，占用的存儲空間也會增加，并未充分發(fā)揮衛(wèi)星鐘差中顯著的規(guī)律性變化特性。因此，研究一種以參數(shù)方式代替序列化數(shù)值的方法，以減少產(chǎn)品存儲空間，并充分利用衛(wèi)星鐘差的顯著特性十分必要。目前，國內(nèi)外鐘差研究中常用的模型有一次多項(xiàng)式模型、二次多項(xiàng)式模型、灰色模型以及自回歸滑動平均模型(ARIMA)等[1-6]，其中一、二次多項(xiàng)式模型可高精度地表示衛(wèi)星鐘差短時(shí)間內(nèi)的變化，而衛(wèi)星鐘差中除一、二次項(xiàng)的變化趨勢外，還存在一些顯著的周期項(xiàng)變化[7-11]。

本文通過對2021年(GPS周2 138～2 190)IGS BDS-3精密鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，在二次多項(xiàng)式擬合殘差基礎(chǔ)上采用快速傅里葉變換(FFT)方法分析殘差的周期特性[12-13]，構(gòu)造高精度衛(wèi)星鐘差模型化函數(shù)，并在研究BDS-3衛(wèi)星原子鐘特性基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)高精度、長時(shí)間模型化，以分析其在PPP中的性能。

1 模型分析

星載原子鐘在運(yùn)行過程中會出現(xiàn)頻率漂移現(xiàn)象，給后續(xù)定位產(chǎn)生很大影響。衛(wèi)星時(shí)鐘最常見的誤差模型為n階多項(xiàng)式模型，其表達(dá)式為：

(1)

式中，a0為常數(shù)項(xiàng)，ak(k=1～n)為k階多項(xiàng)式系數(shù)，clk(t)為t時(shí)刻衛(wèi)星鐘差。在衛(wèi)星導(dǎo)航文件中，通常采用相位、頻率、頻漂3個(gè)因素作為二次多項(xiàng)式系數(shù)來對鐘差進(jìn)行擬合。研究表明，衛(wèi)星鐘差具有明顯的周期特性，可通過傅里葉變換進(jìn)行頻譜分析來提取衛(wèi)星鐘差的周期項(xiàng)。對于離散型傅里葉級數(shù)，其表達(dá)式為：

(2)

式中，X(k)為k時(shí)段的頻譜值，x(n)為擬合殘差序列，i為虛數(shù)單位，e為自然底數(shù)，n為殘差序列號，N為殘差序列個(gè)數(shù)。在實(shí)際計(jì)算中，采用快速傅里葉變換進(jìn)行頻譜分析，根據(jù)頻譜即可確定周期項(xiàng)。基于頻譜分析得到的周期項(xiàng)對鐘差進(jìn)行建模，構(gòu)造鐘差序列結(jié)合二次多項(xiàng)式的周期項(xiàng)模型：

(3)

式中，n為周期項(xiàng)個(gè)數(shù)，Tm為周期，Am為振幅，Φm為初始相位，a0、ak為多項(xiàng)式系數(shù)。

2 數(shù)據(jù)處理

利用2021年(GPS周2 138～2 190)IGS采樣間隔為30 s的BDS-3最終衛(wèi)星精密鐘差產(chǎn)品進(jìn)行分析。首先通過快速傅里葉方法分析衛(wèi)星鐘的周期項(xiàng)，然后在BDS-3原子鐘周期特性基礎(chǔ)上進(jìn)行模型化效果分析，以構(gòu)建高精度、長時(shí)間的衛(wèi)星鐘差模型化函數(shù)，并采用5個(gè)IGS站數(shù)據(jù)分析其PPP性能。5個(gè)IGS站分布如圖1所示。

圖1 5個(gè)IGS站分布Fig.1 Distribution of 5 IGS stations

2.1 二次多項(xiàng)式模型

以C19(MEO)、C25(MEO)、C38(IGSO)、C59(GEO)4顆衛(wèi)星的鐘差數(shù)據(jù)為例，分析二次多項(xiàng)式擬合殘差特性。圖2為4顆衛(wèi)星2021-07-01～05共5 d的IGS最終鐘差數(shù)據(jù)文件去除趨勢項(xiàng)后的擬合殘差，采樣間隔為30 s，共14 400個(gè)歷元。由圖2可知，去除二次多項(xiàng)式趨勢后的擬合殘差具有明顯的周期變化特性，表明BDS-3鐘差除二次多項(xiàng)式趨勢外還具有一定的周期特征，這些周期特性對于高精度衛(wèi)星鐘差模型化具有重要意義。

圖2 C19、C25、C38和C59衛(wèi)星二次擬合殘差Fig.2 Quadratic fitting residuals of C19, C25, C38 and C59 satellites

計(jì)算所有衛(wèi)星1 a殘差的單日均方根，統(tǒng)計(jì)年平均值，結(jié)果如表1所示。圖3為C19、C25、C38、C59衛(wèi)星2021年單日二次多項(xiàng)式擬合殘差RMS結(jié)果，圖中橫坐標(biāo)為相應(yīng)月份。結(jié)合表1和圖3可以看出，MEO衛(wèi)星的擬合殘差較小，C19和C25衛(wèi)星的二次多項(xiàng)式擬合殘差分別為0.14 ns和0.11 ns左右，而C38(IGSO)衛(wèi)星的擬合殘差約為0.24 ns，GEO衛(wèi)星的擬合殘差較大，C59衛(wèi)星的擬合殘差為0.34 ns左右。

表1 BDS-3衛(wèi)星二次擬合殘差RMS年均值

圖3 C19、C25、C38和C59衛(wèi)星二次多項(xiàng)式單日擬合殘差RMSFig.3 Single-day residual RMS of quadratic polynomials fitting of C19, C25, C38 and C59 satellites

2.2 周期項(xiàng)分析

由§2.1可知，BDS-3衛(wèi)星原子鐘不僅含有二次多項(xiàng)式趨勢，還存在一定周期性。對二次多項(xiàng)式的擬合殘差進(jìn)行頻譜分析，運(yùn)用快速傅里葉變換將殘差序列轉(zhuǎn)換到頻率域，并對數(shù)據(jù)幅值波形進(jìn)行分析，找出衛(wèi)星鐘差存在的周期規(guī)律，以進(jìn)行周期項(xiàng)分析。為分析殘差序列的周期特征，對2021年IGS最終精密鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行頻譜分析，圖4為C19、C25、C38、C59四顆衛(wèi)星每日前8個(gè)周期的結(jié)果，從圖中可以看出，衛(wèi)星在不同天內(nèi)表現(xiàn)出的周期性有所差別，可能是由于接收到BDS-3信號的測站分布不均勻，導(dǎo)致鐘差數(shù)據(jù)存在部分歷元缺失所致。因此，在構(gòu)造附加周期項(xiàng)函數(shù)模型時(shí)，需考慮不同衛(wèi)星在不同時(shí)間具有不同主周期的特性。表2為BDS-3所有衛(wèi)星1 a內(nèi)最常見的8個(gè)顯著周期，從表中可以看出，不同軌道和星載原子鐘類型衛(wèi)星在周期上無較大差別，常見的周期有12 h(每天2個(gè)周期)、8 h(每天3個(gè)周期)、6 h(每天4個(gè)周期)、4.8 h及4 h等，這些周期均比較穩(wěn)定，接近衛(wèi)星軌道的運(yùn)行周期。但也存在如2.7 h、2.4 h等小周期，無法與軌道周期耦合，說明還有部分其他因素可能會影響衛(wèi)星時(shí)鐘或信號，可能與太陽光照的熱變化、衛(wèi)星內(nèi)部硬件、不同軌道平面及復(fù)雜空間環(huán)境有關(guān)[14-16]。

圖4 C19、C25、C38和C59衛(wèi)星1 a單日周期Fig.4 Single-day periods of satellite clock for C19, C25, C38 and C59 satellites in one year

2.3 附加周期項(xiàng)改正的多項(xiàng)式模型

根據(jù)衛(wèi)星鐘的主要周期項(xiàng)，對每日衛(wèi)星鐘差產(chǎn)品進(jìn)行模型化分析，計(jì)算基于二次多項(xiàng)式附加表2中前4個(gè)周期、前6個(gè)周期及8個(gè)周期后函數(shù)的擬合殘差及其1 a每日殘差RMS，結(jié)果見圖5。從圖中可以看出，對于衛(wèi)星鐘差去除二次項(xiàng)趨勢后殘差的周期特性，加入周期項(xiàng)改正模型可提高對鐘差數(shù)據(jù)的擬合精度，且隨著加入周期項(xiàng)數(shù)的增加，擬合精度也在提高。但根據(jù)對擬合殘差周期特性的分析可知，除前幾個(gè)較為穩(wěn)定的主周期外，還存在不穩(wěn)定的小周期，因此加入的周期項(xiàng)數(shù)過多，可能會帶來誤差影響，對擬合精度的提高無明顯作用。由圖5可知，附加8個(gè)周期的模型擬合精度最高，相比多項(xiàng)式擬合精度提高約70%，適合參數(shù)化BDS-3衛(wèi)星鐘差。

表2 BDS-3衛(wèi)星8個(gè)顯著周期信息

圖5 BDS-3衛(wèi)星二次多項(xiàng)式附加4個(gè)周期、6個(gè)周期及8個(gè)周期的年均擬合殘差RMSFig.5 Annual average residual RMS of quadratic polynomial fitting of BDS-3 satellites with 4 periods, 6 periods and 8 periods

2.4 PPP精度評價(jià)

對建模后的鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行PPP計(jì)算，并與原始IGS精密鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，分析其定位精度。利用基于不同模型化函數(shù)生成的24 h參數(shù)化衛(wèi)星鐘差產(chǎn)品，對PPP性能進(jìn)行測試，統(tǒng)計(jì)5個(gè)IGS站2021-07-31參數(shù)化衛(wèi)星鐘差和IGS鐘差的靜態(tài)和動態(tài)PPP結(jié)果，數(shù)據(jù)采樣間隔為30 s，截止高度角為10°，使用B1和B3觀測的無電離層組合，并對地潮、天線相位中心偏移和地轉(zhuǎn)等影響進(jìn)行修正，分析定位誤差及收斂時(shí)間，其中收斂時(shí)間定義為在N、E、U三方向連續(xù)的估計(jì)坐標(biāo)誤差小于10 cm時(shí)所經(jīng)過的時(shí)間。根據(jù)估計(jì)歷元坐標(biāo)誤差計(jì)算PPP結(jié)果的RMS誤差，圖6為靜態(tài)PPP在三方向的平均收斂時(shí)間，24 h靜態(tài)和動態(tài)PPP誤差的平均RMS如圖7所示。由圖6和圖7可知，模型化產(chǎn)品的靜態(tài)定位結(jié)果可達(dá)cm級，但其收斂時(shí)間比IGS序列化產(chǎn)品長。二次多項(xiàng)式模型化由于忽略衛(wèi)星鐘差存在的周期性特征，在定位精度和收斂時(shí)間上均最差，附加8個(gè)周期項(xiàng)的模型化處理結(jié)果優(yōu)于其他模型，但比IGS序列化產(chǎn)品略差，尤其是在U方向收斂時(shí)間方面。上述結(jié)果表明，BDS-3衛(wèi)星鐘差的模型化服務(wù)方法仍需改進(jìn)。

圖6 靜態(tài)PPP處理的平均收斂時(shí)間Fig.6 Average convergence time of static PPP processing

圖7 靜態(tài)和動態(tài)定位精度Fig.7 Static and kinematic positioning accuracy

3 結(jié) 語

衛(wèi)星鐘差是影響衛(wèi)星定位精度的重要因素之一，研究其特性并進(jìn)行高精度估計(jì)和服務(wù)是GNSS系統(tǒng)的重要工作。目前，精確的衛(wèi)星鐘差由IGS組織提供，并以離散序列形式存儲，這會占據(jù)大量內(nèi)存空間，而采用高精度模型化函數(shù)系數(shù)代替時(shí)鐘序列可簡化服務(wù)模式。本文基于2021年BDS-3衛(wèi)星鐘差數(shù)據(jù)，通過對衛(wèi)星鐘差序列進(jìn)行建模，分析BDS-3衛(wèi)星鐘特點(diǎn)，得出以下結(jié)論：

1)衛(wèi)星鐘差在去除二次多項(xiàng)式趨勢后具有明顯的周期性規(guī)律，經(jīng)過傅里葉變換后可得到12 h、8 h、6 h、4.8 h等較穩(wěn)定的主要周期項(xiàng)，另外還存在不太穩(wěn)定的小周期項(xiàng)。

2)結(jié)合衛(wèi)星鐘存在的周期特性，構(gòu)造不同的高精度模型化函數(shù)。結(jié)果表明，加入周期改正的模型化精度比二次多項(xiàng)式高，附加8個(gè)周期項(xiàng)的模型精度相比二次多項(xiàng)式提高約70%。

3)將模型化后的鐘差數(shù)據(jù)應(yīng)用于PPP處理中，其定位結(jié)果均能達(dá)到cm級，其中附加8個(gè)周期項(xiàng)的模型函數(shù)優(yōu)于其他2種函數(shù)，但收斂時(shí)間均比IGS最終鐘差產(chǎn)品慢。模型化鐘差數(shù)據(jù)在PPP處理中的精度略差于IGS鐘差序列結(jié)果，但模型化鐘差數(shù)據(jù)可極大減小產(chǎn)品存儲空間。