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        非線性互聯(lián)系統(tǒng)狀態(tài)觀測器設計方法研究

        2023-02-03 05:17:18孫延修
        自動化儀表 2023年1期
        關鍵詞:觀測器廣義增益

        孫延修,黎 虹

        (沈陽工學院基礎課部,遼寧 撫順 113122)

        0 引言

        隨著現(xiàn)代工業(yè)控制系統(tǒng)復雜程度的不斷提升,非線性互聯(lián)系統(tǒng)可以更好地描述實際生產過程。因此,非線性互聯(lián)控制系統(tǒng)在電力系統(tǒng)、生產系統(tǒng)、水力供給系統(tǒng)、多智能體系統(tǒng)等各種系統(tǒng)中得到了廣泛的應用。為此,針對互聯(lián)系統(tǒng)的研究引起了人們的廣泛關注[1-3]。其中,狀態(tài)觀測器的設計有利于系統(tǒng)的魯棒控制及故障估計與診斷的實現(xiàn),在控制理論中具有重要的作用。所以,針對控制系統(tǒng)狀態(tài)觀測器的設計是控制領域的研究熱點。目前,針對廣義系統(tǒng)及互聯(lián)系統(tǒng)觀測器的研究已經取得了一定的成果[4-8]。

        針對非線性互聯(lián)系統(tǒng)狀態(tài)觀測器的設計方法正逐漸成為重要的研究課題。文獻[6]基于互聯(lián)系統(tǒng)的相似性,針對一類相似廣義互聯(lián)系統(tǒng)進行了研究,給出了互聯(lián)系統(tǒng)區(qū)間觀測器的設計方法。所設計的區(qū)間觀測器對控制系統(tǒng)及擾動性具有相對寬松的條件。文獻[7]通過設計干擾觀測器,有效降低了滑模抖振,并且?guī)Ц蓴_觀測器的滑模控制效果優(yōu)于常規(guī)滑??刂?。文獻[8]針對一類廣義系統(tǒng)進行研究,設計了系統(tǒng)的全維以及降維形式的狀態(tài)觀測器,并簡化了兩個觀測器增益矩陣的求解過程。文獻[9]針對一類互聯(lián)系統(tǒng)的故障診斷問題進行了研究,通過所設計的互聯(lián)系統(tǒng)診斷觀測器實現(xiàn)了對各子系統(tǒng)中故障的在線有效估計。文獻[10]針對含有不確定項的廣義系統(tǒng)提出了新的故障估計觀測器的設計方法,并對控制系統(tǒng)發(fā)生故障情況下的故障部分進行了仿真,驗證了故障估計誤差對外部擾動所具有的魯棒性。

        近年來,針對非線性廣義互聯(lián)大系統(tǒng)觀測器的研究偏少。本文針對含擾動項與非線性項的一類廣義互聯(lián)系統(tǒng)進行研究,給出了非線性互聯(lián)系統(tǒng)觀測器的設計方法。該方法考慮到系統(tǒng)的外部擾動,設計了狀態(tài)觀測器;以線性矩陣不等式的形式給出了增益矩陣滿足的條件,簡化了非線性互聯(lián)系統(tǒng)觀測器增益矩陣的求解過程;通過兩個仿真算例,檢驗了觀測器設計方法的有效性。

        1 問題描述

        具有N個含擾動非線性子系統(tǒng)的廣義互聯(lián)系統(tǒng)為:

        (1)

        式中:xi(t)為狀態(tài)向量,xi(t)∈Rn;ui(t)為控制輸入,ui(t)∈Rm;yi(t)為被控輸出,yi(t)∈Rp;ωi(t)為系統(tǒng)干擾項,ωi(t)∈Rl;Ei、Ai、Bi、Ci、Di分別為具有適當維數(shù)的已知矩陣,Ci為列滿秩矩陣;rankEi

        假設1 非線性項gi[xi(t),t]滿足Lipschiz條件:

        (2)

        ①M<0。

        TiEi+NiCi=In+q

        (3)

        式(1)可轉換為:

        (4)

        2 廣義互聯(lián)系統(tǒng)觀測器的設計

        針對式(2),可設計以下觀測器:

        (5)

        式中:Li為第i個子系統(tǒng)的增益矩陣。

        根據(jù)式(4)和式(5),可以得到第i個子系統(tǒng)的誤差動態(tài)方程為:

        (TiAi-LiCi)×ei(t)+Δgi+TiDiωi(t)+

        (6)

        3 主要結果

        3.1 系統(tǒng)不含擾動項時狀態(tài)觀測器的存在條件

        定理1 若正定矩陣Pi和增益矩陣Li滿足以下不等式(7):

        (7)

        則式(5)為互聯(lián)系統(tǒng)(1)的狀態(tài)觀測器。

        (8)

        根據(jù)Schur補引理1,有式(9),則可推出不等式(7),證畢。

        (9)

        3.2 系統(tǒng)含擾動項時狀態(tài)觀測器的存在充分條件

        定理2 若正定矩陣Pi和增益矩陣Li滿足不等式(10):

        (10)

        則式(5)為互聯(lián)系統(tǒng)(1)的狀態(tài)觀測器。

        (11)

        i,j=1,2,...,N。

        根據(jù)Schur補引理1,有式(12),則可推導出不等式(10),證畢。

        (12)

        注1 廣義互聯(lián)系統(tǒng)中的互聯(lián)項是觀測器設計的難點??紤]到系統(tǒng)的干擾項,定理2給出了增益矩陣存在的充分條件,以便通過MATLAB軟件對增益矩陣進行求解。

        3.3 正常互聯(lián)系統(tǒng)狀態(tài)觀測器的存在充分條件

        定理3 若正定矩陣Pi和增益矩陣Li滿足不等式(13):

        (13)

        i,j=1,2,…,N。

        則式(5)為互聯(lián)系統(tǒng)(1)在Ei=I情況下的狀態(tài)觀測器。

        說明:定理3的證明過程同定理2,證明過程略。

        注2 正?;ヂ?lián)系統(tǒng)是廣義互聯(lián)系統(tǒng)的特殊形式,在系統(tǒng)狀態(tài)觀測器的設計過程中令奇異矩陣Ei=I。根據(jù)定理3可以求出互聯(lián)系統(tǒng)觀測器的增益矩陣,相對于廣義形式的控制系統(tǒng)觀測器的設計更為簡便。

        4 仿真算例

        4.1 廣義互聯(lián)系統(tǒng)仿真算例

        考慮如下含2個廣義子系統(tǒng)的非線性互聯(lián)系統(tǒng):

        (14)

        說明:式(14)算例針對本文給出的狀態(tài)觀測器設計方法進行驗證。該設計方法對控制系統(tǒng)中的擾動項的具體形式沒有具體要求,所以上述數(shù)值算例并未給出擾動項的參數(shù)。

        利用MATLAB可以計算出在α=0.7時,觀測器的增益矩陣。

        ①不含擾動情況下,求解出的觀測器增益矩陣為:

        ②含擾動情況下,求解出的觀測器增益矩陣為:

        不含擾動項時觀測器誤差仿真曲線如圖1所示。圖1中,互聯(lián)系統(tǒng)(14)的初始估計誤差為(-0.5,-0.1,1)。

        圖1 不含擾動項時觀測器誤差仿真曲線

        含擾動項時觀測器誤差仿真曲線如圖2所示。圖2中,互聯(lián)系統(tǒng)(14)的初始估計誤差為(-0.3,-0.1,0.2)。

        圖2 含擾動項時觀測器誤差仿真曲線

        由圖1、圖2可知,系統(tǒng)狀態(tài)估計誤差均趨于零,可以實現(xiàn)對非線性廣義互聯(lián)系統(tǒng)(14)中狀態(tài)向量的魯棒估計。

        4.2 正常非線性互聯(lián)系統(tǒng)仿真算例

        參考文獻[12],考慮以下含2個子系統(tǒng)的非線性互聯(lián)系統(tǒng):

        (15)

        正?;ヂ?lián)系統(tǒng)觀測器誤差仿真曲線如圖3所示。圖3(a)和圖3(b)分別為互聯(lián)系統(tǒng)(15)在初始估計誤差為(-0.3,0.2,-0.1)時,各子系統(tǒng)的觀測器狀態(tài)估計誤差曲線。由圖3可知,系統(tǒng)狀態(tài)估計誤差均趨于零,觀測器狀態(tài)向量可以實現(xiàn)對互聯(lián)系統(tǒng)(15)中狀態(tài)的魯棒估計。

        圖3 正?;ヂ?lián)系統(tǒng)觀測器誤差仿真曲線

        5 結論

        本文針對同時含外部擾動項與非線性項的一類非線性互聯(lián)系統(tǒng)進行研究,給出了系統(tǒng)狀態(tài)觀測器的設計方法。增益矩陣以線性矩陣不等式的形式給出,有利于各子系統(tǒng)增益矩陣的求解;同時,李雅普諾夫函數(shù)中設計的性能指標可以減少擾動對系統(tǒng)狀態(tài)估計的影響。通過兩個仿真算例,驗證了所提出的狀態(tài)觀測器設計方法的有效性。本文觀測器的設計方法可以為后續(xù)具有不確定性、時滯性的非線性互聯(lián)系統(tǒng)觀測器的設計提供理論支撐。

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