熊 航，張海朝，秦 軻，王思琪，李 波

(上海海事大學(xué) 物流科學(xué)與工程研究院，上海 201306)

0 引言

四旋翼無人機(jī)具備靈活的飛行能力及較強(qiáng)的魯棒性能，因此在電力巡檢、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、城市管理、物流配送等領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用[1,2]。但傳統(tǒng)四旋翼無人機(jī)的姿態(tài)運(yùn)動與位置運(yùn)動耦合，其欠驅(qū)動特性導(dǎo)致無人機(jī)無法執(zhí)行高效率及較復(fù)雜的飛行任務(wù)[3,4]。近年來，具備完全驅(qū)動、高機(jī)動性以及位姿解耦控制的傾轉(zhuǎn)旋翼無人機(jī)受到了許多學(xué)者的關(guān)注，并取得了許多研究成果[5]。文獻(xiàn)[6]針對傾轉(zhuǎn)四旋翼無人機(jī)的軌跡跟蹤控制問題，首先建立傾轉(zhuǎn)四旋翼無人機(jī)的運(yùn)動學(xué)與動力學(xué)模型，并通過設(shè)計PD姿態(tài)控制器與PID位置控制器實(shí)現(xiàn)無人機(jī)的軌跡跟蹤控制。此外，外部擾動將影響無人機(jī)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性能，大幅度擾動甚至?xí)斐蔁o人機(jī)失控、墜機(jī)等惡劣后果。因此，針對傾轉(zhuǎn)四旋翼無人機(jī)受外部干擾的情況，設(shè)計有效穩(wěn)定的跟蹤控制算法具有十分重要的意義。

文獻(xiàn)[7]針對四旋翼無人機(jī)編隊(duì)跟蹤控制問題，設(shè)計了有限時間干擾觀測器與有限時間編隊(duì)跟蹤控制器，實(shí)現(xiàn)了無人機(jī)受外部干擾及存在動態(tài)障礙物情況下能精確地跟蹤期望軌跡，并保持期望的無人機(jī)編隊(duì)構(gòu)型。有限時間收斂的系統(tǒng)其收斂時間上界取決于系統(tǒng)的初始狀態(tài)，然而實(shí)際運(yùn)行的系統(tǒng)狀態(tài)初始值往往無法直接獲得[8]。文獻(xiàn)[9]提出了固定時間穩(wěn)定引理，固定時間穩(wěn)定的系統(tǒng)其收斂時間上界與系統(tǒng)初始值無關(guān)，僅僅與控制參數(shù)的選取相關(guān)，因此固定時間控制方案相比于有限時間控制方案具備更好的收斂性能?；邶R次理論和加冪積分技術(shù)設(shè)計的有限時間控制方案較為復(fù)雜且形式固定，因此基于終端滑模的有限時間控制方法受到了許多學(xué)者的關(guān)注，但基于傳統(tǒng)終端滑模設(shè)計的有限時間控制律存在奇異性問題[10,11]。與傳統(tǒng)終端滑模控制方法相比，基于積分滑模設(shè)計的控制方案無奇異性問題，且系統(tǒng)的初始狀態(tài)位于滑模面上，提高了系統(tǒng)的魯棒性能。文獻(xiàn)[12]針對受外部干擾及存在執(zhí)行機(jī)構(gòu)故障的航天器控制問題，采用一種干擾觀測器估計綜合不確定信息，并基于積分滑模設(shè)計了一種有限時間姿態(tài)容錯控制方案，但系統(tǒng)的收斂時間上界依賴于系統(tǒng)狀態(tài)的初值。為解決這一問題，文獻(xiàn)[13,14]根據(jù)雙限齊次理論設(shè)計了積分終端滑模面，保證了滑模面的固定時間收斂性能。

文獻(xiàn)[15]針對四旋翼無人機(jī)的軌跡跟蹤控制問題，綜合滑模干擾觀測器和自適應(yīng)律，提出了一種容錯控制方案，實(shí)時對無人機(jī)執(zhí)行機(jī)構(gòu)故障、系統(tǒng)參數(shù)不確定性以及外部干擾進(jìn)行補(bǔ)償。但是，文獻(xiàn)[15]中的控制方案只能保證閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，干擾估計誤差將隨著時間趨于無窮而收斂。為提高干擾觀測器的收斂速度，Xiao等[16]考慮海洋船舶受海水波動所造成的干擾，提出了一種基于有限時間滑模干擾觀測器的控制方案，實(shí)現(xiàn)了海洋船舶的有限時間編隊(duì)跟蹤控制。飛行器在執(zhí)行傳統(tǒng)的飛行任務(wù)時，其姿態(tài)模型與位置模型往往分開建立，并分別設(shè)計相應(yīng)的控制律，位置和姿態(tài)“分而治之”的控制方法無法高效地完成六自由度協(xié)同跟蹤控制任務(wù)。在這種背景下，利用對偶四元數(shù)建立飛行器的六自由度位姿一體化飛行控制系統(tǒng)模型，非常具有理論和實(shí)際工程價值。

在上述研究成果的基礎(chǔ)上，本文建立了對偶四元數(shù)的傾轉(zhuǎn)四旋翼無人機(jī)六自由度位姿一體化模型，研究了受外部干擾的位姿一體化控制問題，主要創(chuàng)新有：1)利用對偶四元數(shù)設(shè)計了六自由度的固定時間干擾觀測器，可以同時估計無人機(jī)所受的干擾力和干擾力矩。2)基于對偶四元數(shù)的積分終端滑模面，設(shè)計了一個固定時間非奇異控制律，實(shí)現(xiàn)了傾轉(zhuǎn)四旋翼無人機(jī)的軌跡跟蹤控制。

1 問題描述

1.1 基礎(chǔ)知識

引理1.（實(shí)際固定時間穩(wěn)定引理[17]）針對系統(tǒng)(1)，若Lyapunov函數(shù)V(x)滿足如下形式：

其中α,β,p,g,γ均為正常數(shù)，且滿足0＜p＜1，g＞1，0＜γ＜∞，0＜β1,2＜1，則系統(tǒng)(1)為實(shí)際固定時間穩(wěn)定，且收斂時間滿足：

引理2.給定任意實(shí)數(shù)x和y以及正常數(shù)c，d，k有如下不等式恒成立[18]：

1.2 傾轉(zhuǎn)四旋翼牛頓—?dú)W拉模型

傾轉(zhuǎn)四旋翼無人機(jī)的結(jié)構(gòu)如圖1所示，與傳統(tǒng)四旋翼無人機(jī)相比，其具備四個可以控制旋翼傾轉(zhuǎn)的舵機(jī)，其中FI：{OI-XIYIZI}為慣性坐標(biāo)系，F(xiàn)B：{OB-XBYBZB}為傾轉(zhuǎn)四旋翼無人機(jī)本體系，F(xiàn)T：{OT-XTYTZT}為期望坐標(biāo)系，αj為第j個旋翼相對于軸ZPj的傾轉(zhuǎn)角，傾轉(zhuǎn)角滿足α1=α3，α2=α4，詳細(xì)定義見參考文獻(xiàn)[5,6]，由牛頓—?dú)W拉公式可得傾轉(zhuǎn)四旋翼無人機(jī)的姿態(tài)動力學(xué)模型和運(yùn)動學(xué)模型如下：

圖1 傾轉(zhuǎn)四旋翼無人機(jī)的結(jié)構(gòu)圖和參考坐標(biāo)系

其中，JB=diag(J11,J22,J33,)為無人機(jī)的轉(zhuǎn)動慣量矩陣，S(ω)為反對稱矩陣，τB=[τB1,τB2,τB3]T為無人機(jī)本體系下的控制輸入力矩，q=[η,ξT]T為姿態(tài)單位四元數(shù)，其中η和ξ=[ξ1,ξ2,ξ1,]T分別為單位四元數(shù)的標(biāo)量部分和向量部分，ω為無人機(jī)本體系相對于慣性坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)角速度，傾轉(zhuǎn)四旋翼無人機(jī)的位置動力學(xué)模型為：

1.3 傾轉(zhuǎn)四旋翼無人機(jī)六自由度飛行控制模型

傾轉(zhuǎn)四旋翼無人機(jī)的對偶角動量定義如下：

無人機(jī)本體坐標(biāo)系相對于期望坐標(biāo)系的相對運(yùn)動學(xué)模型如下：

2 基于干擾觀測器的固定時間控制方案設(shè)計及穩(wěn)定性分析

2.1 固定時間干擾觀測器設(shè)計

定理1.考慮存在外部干擾的傾轉(zhuǎn)四旋翼無人機(jī)跟蹤控制系統(tǒng)(10)和(12)，為克服外部干擾對無人機(jī)的穩(wěn)定飛行造成的影響，設(shè)計干擾觀測器如下：

對式(17)求一階導(dǎo)數(shù)并將式(18)代入可得：

根據(jù)引理2，可以得到：

并將式(20)代入式(19)，可得：

2.2 固定時間跟蹤控制器設(shè)計

定義無人機(jī)實(shí)際位姿與期望位姿的跟蹤誤差如式(23)所示[21]：

定義實(shí)際對偶角速度與期望對偶角速度的誤差如式(24)所示：

其中：

對本文所提出的滑模面式(25)求導(dǎo)可得：

針對傾轉(zhuǎn)四旋翼無人機(jī)六自由度飛行控制系統(tǒng)模型(10)、(12)，設(shè)計固定時間非奇異控制律為：

由定理1可知，當(dāng)時間t≥T1后，觀測誤差將收斂至界D2內(nèi)，將式(30)代入式(29)，可得：

根據(jù)引理1可知，系統(tǒng)狀態(tài)將在固定時間T2內(nèi)收斂到滑模面附近的鄰域內(nèi)，收斂時間上界滿足：

3 數(shù)值仿真

本節(jié)將通過數(shù)值仿真驗(yàn)證所提出控制方案的有效性，為了驗(yàn)證本文所設(shè)計的固定時間控制器(FxTC)具備優(yōu)良的性能，列舉文獻(xiàn)[19]中所設(shè)計的類PD控制器(PD-like)的仿真結(jié)果與本文進(jìn)行對比。

數(shù)值仿真中傾轉(zhuǎn)四旋翼無人機(jī)的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量如下：

傾轉(zhuǎn)四旋翼無人機(jī)所受干擾力和干擾力矩如下：

通過對本文所設(shè)計的FxTC控制方案與文獻(xiàn)[19]中的PD-like控制方案進(jìn)行數(shù)值仿真，主要比較了相對位姿、相對線速度、相對角速度、控制力和控制力矩的仿真結(jié)果（圖2至圖7）。分析本文所設(shè)計的FxTC控制方案的仿真結(jié)果，圖2表明傾轉(zhuǎn)四旋翼無人機(jī)的相對姿態(tài)在5s左右收斂；圖4則反映出無人機(jī)的相對角速度也在5s左右收斂；圖6為無人機(jī)的控制力和控制力矩，其均在10s內(nèi)收斂。在文獻(xiàn)[19]中的PD-like控制方案的仿真結(jié)果中，圖3可以看出無人機(jī)的相對姿態(tài)在10s左右收斂，相對位置抖動幅度較大；圖5為相對角速度與相對線速度信息，相對角速度在10s至20s間收斂；圖7中的控制力呈衰減震蕩之勢，控制力矩抖動幅度較大，在20s左右收斂。綜上所述，本文設(shè)計的FxTC控制方案相比于文獻(xiàn)[19]中的PD-like控制方案，系統(tǒng)狀態(tài)具備更快的響應(yīng)速度及更好的穩(wěn)定性能，且文獻(xiàn)[19]未設(shè)計干擾觀測器，因此本文設(shè)計的控制方案具備更好的魯棒性能。

圖2 存在干擾情況下的相對旋轉(zhuǎn)運(yùn)動和相對平移運(yùn)動(FxTC)

圖3 存在干擾情況下的相對旋轉(zhuǎn)運(yùn)動和相對平移運(yùn)動(PD-like)

圖4 存在干擾情況下的相對角速度和相對線速度(FxTC)

圖5 存在干擾情況下的相對角速度和相對線速度(PD-like)

圖6 存在干擾情況下的控制力與控制力矩(FxTC)

圖7 存在干擾情況下的控制力與控制力矩(PD-like)

圖8為無人機(jī)飛行過程中旋翼的傾轉(zhuǎn)角度變化曲線圖，傾轉(zhuǎn)角在初始時刻變化幅度較大，10s后角度變化趨于平緩。圖9為傾轉(zhuǎn)四旋翼無人機(jī)的三維飛行軌跡，可以看出無人機(jī)飛行至期望高度后以“8”字型盤旋，軌跡跟蹤效果較好。圖10為外部干擾力和干擾力矩的觀測誤差，干擾力估計誤差穩(wěn)定在5×10-3量級內(nèi)，干擾力矩估計誤差穩(wěn)定在1×10-3量級內(nèi)，表明干擾觀測器具有較好的觀測性能。仿真結(jié)果驗(yàn)證了系統(tǒng)狀態(tài)在本文所設(shè)計的固定時間控制方案下具備良好的魯棒性能及較快的收斂速度。

圖8 存在干擾情況下旋翼的傾轉(zhuǎn)角度(FxTC)

圖9 存在干擾情況下的無人機(jī)飛行軌跡(FxTC)

圖10 干擾力和干擾力矩的觀測誤差(FxTC)

4 結(jié)語

本文采用對偶四元數(shù)，建立了傾轉(zhuǎn)四旋翼無人機(jī)的六自由度位姿一體化飛行控制系統(tǒng)模型，提出了一種基于干擾觀測器和積分終端滑模的固定時間控制方案。該方案基于積分終端滑模設(shè)計了一個固定時間非奇異控制律，并通過干擾觀測器實(shí)時估計并補(bǔ)償傾轉(zhuǎn)四旋翼無人機(jī)所受的外部干擾。仿真結(jié)果表明，所設(shè)計控制方案保證閉環(huán)系統(tǒng)在固定時間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)了傾轉(zhuǎn)四旋翼無人機(jī)受外部干擾情況下的軌跡跟蹤控制，驗(yàn)證了所提出控制方法的有效性以及對于外部干擾具備較強(qiáng)的魯棒性。