明祖濤，李穎喆,2，李 瑋，賴祖龍

(1.中國地質(zhì)大學(xué)(武漢) 地理與信息工程學(xué)院，武漢 430074；2.武漢市勘察設(shè)計(jì)有限公司，武漢 430022)

在鐵路工程中，當(dāng)施工放樣誤差造成工程結(jié)構(gòu)物偏移或后期運(yùn)營過程中線路逐漸發(fā)生變形錯(cuò)位時(shí)，特別是鐵路曲線路段，為避免損失，需調(diào)整線路的技術(shù)參數(shù)以恢復(fù)平順性。此類鐵路曲線整正問題中，為減少工作量，一般以撥距總量最小作為優(yōu)化的方向。目前鐵路曲線整正方法主要有繩正法、偏角法和坐標(biāo)法3種。繩正法和偏角法都是根據(jù)漸伸線理論，容易產(chǎn)生較大誤差，坐標(biāo)法計(jì)算原理嚴(yán)密清晰、精度高，越來越被廣泛地應(yīng)用到實(shí)際生產(chǎn)中[1-14]。

國內(nèi)外專家學(xué)者們利用多種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)提高了傳統(tǒng)撥距計(jì)算的精度和效率。例如，文獻(xiàn)[1]提出按最小二乘原理的整體平差方法，結(jié)合測點(diǎn)坐標(biāo)的曲率圖對主要樁點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)健估計(jì)，通過兩次平差獲得優(yōu)化結(jié)果。文獻(xiàn)[2]使用霍夫變換剔除線性識(shí)別中的偏差點(diǎn)，使曲率圖更加準(zhǔn)確，進(jìn)而提高最小二乘法計(jì)算精度。文獻(xiàn)[3]考慮運(yùn)行穩(wěn)定性與舒適度，以通過定點(diǎn)作為約束條件，用網(wǎng)格法計(jì)算可行性解的組合范圍。文獻(xiàn)[4-6]通過擬合三次樣條曲線來逼近鐵路曲線，結(jié)合曲率變化特征進(jìn)行概略分段，用概略樁點(diǎn)作為初始方案進(jìn)行迭代計(jì)算求撥距量最優(yōu)值。文獻(xiàn)[7]提出坐標(biāo)法計(jì)算徑向撥距新方法，并采用網(wǎng)格法驗(yàn)證該方法的精確性。文獻(xiàn)[8-10]用多種最優(yōu)化方法進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，分析約束優(yōu)化和無約束優(yōu)化的可行性，與網(wǎng)格法進(jìn)行比較。擬合與最優(yōu)化方法在鐵路曲線整正問題上能夠滿足工程精度要求，但需要先通過識(shí)別曲率變化特征來確定主要樁點(diǎn)，而曲率圖具有一定誤差，且該過程難以加入約束條件與計(jì)算精確里程。文獻(xiàn)[11-14]利用粒子群算法或遺傳算法生成初始方案群，簡化線型識(shí)別過程，能夠顧及經(jīng)濟(jì)、環(huán)境指標(biāo)與相關(guān)規(guī)范等限制條件。

在分析常用的鐵路整正方法的基礎(chǔ)上，提出一種利用自適應(yīng)遺傳算法的優(yōu)化整正方法，其優(yōu)勢在于適應(yīng)度函數(shù)的變量在個(gè)體的并行計(jì)算中作為已知值，能夠疊加黃金分割法搜索主要樁點(diǎn)，并計(jì)算其在對應(yīng)撥后曲線的精確里程。通過大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證，該方法能夠獲得曲線要素全局最優(yōu)解，具有較高的精確性和適用性。

1 坐標(biāo)法撥距計(jì)算

1.1 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

以直緩點(diǎn)為原點(diǎn)，直緩點(diǎn)到交點(diǎn)方向?yàn)閤軸正方向、曲線偏移方向?yàn)閥軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，各曲線要素如圖1所示。

圖1 曲線要素示意圖

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

式中：T0為原設(shè)計(jì)切線長；T為撥后曲線的切線長；α為轉(zhuǎn)向角，由前后夾直線確定，在優(yōu)化中不發(fā)生改變；l0為緩和曲線全長；R為圓曲線半徑；m為切線增量；P為圓曲線內(nèi)移值；ZH為線路直緩點(diǎn)；JD為線路轉(zhuǎn)彎處兩條直線延長線交點(diǎn)。

1.2 撥距計(jì)算

曲線撥正后，除ZH點(diǎn)改變外，曲線線型變化也使測點(diǎn)的對應(yīng)位置改變，各測點(diǎn)里程應(yīng)重新計(jì)算。

d=|Yi|.

(6)

緩和曲線坐標(biāo)公式參考文獻(xiàn)[15]，一般保留前三項(xiàng)級(jí)數(shù)。l為曲線長，由曲線上各點(diǎn)里程減直緩點(diǎn)里到，R為圓曲線半徑。

(7)

(8)

式中：xi，yi為位于曲線上且與測點(diǎn)i里程對應(yīng)的坐標(biāo)。

(9)

式中：圓心坐標(biāo)(Xa，Ya)=(m，R+P)。

圓曲線坐標(biāo)公式為：

(10)

(11)

4)當(dāng)測點(diǎn)對應(yīng)第二緩和曲線時(shí)，以緩直點(diǎn)為原點(diǎn)建立緩直點(diǎn)切線直角坐標(biāo)系，可按文獻(xiàn)[16]中討論的方法進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)化，撥距量計(jì)算與第一緩和曲線相同。

5)由于撥距量為測點(diǎn)沿徑向到撥后曲線的距離，緩和曲線曲率半徑為Rl0/l，曲線各微分弧段的半徑為R到無窮大，遠(yuǎn)大于以測點(diǎn)為圓心與曲線的切圓，則撥距量為關(guān)于里程的單峰凸函數(shù)，可使用黃金分割算法[17]求解撥距量和測點(diǎn)里程。當(dāng)R和l0作為已知值時(shí)，令撥距量與里程的函數(shù)關(guān)系為d=f(x)，算法流程如圖2所示。

圖2 黃金分割法求解撥距流程

圖2中：a，b為測點(diǎn)里程搜索范圍；x1，x2為黃金分割法的三等分點(diǎn)。

1.3 變量范圍與約束條件

緩和曲線長、圓曲線半徑上下界根據(jù)原設(shè)計(jì)值設(shè)置，并滿足《鐵路線路設(shè)計(jì)規(guī)范 TB10098-2017》《普速鐵路線路修理規(guī)則TG/GW102-2019》等規(guī)范，其中緩和曲線總長度應(yīng)為10 m的整倍數(shù)，特殊困難地段整進(jìn)至1 m，撥距最大限值30 mm。此外，約束條件還有為避免重要構(gòu)筑物改建而引入的控制點(diǎn)。

2 自適應(yīng)遺傳算法

遺傳算法是一種基于遺傳進(jìn)化原理的隨機(jī)化搜索最優(yōu)值方法，通過模擬物競天擇的自然法則，優(yōu)秀個(gè)體的染色體有更高的概率保留并通過選擇、變異、交叉的遺傳學(xué)原理使種群中的下一代不斷進(jìn)化。整個(gè)種群的適應(yīng)度逐步提高，在朝預(yù)期方向進(jìn)化過程中誕生最優(yōu)個(gè)體。在解決撥距優(yōu)化問題中使用保留最優(yōu)個(gè)體和自適應(yīng)交叉變異算子的改進(jìn)策略，可克服種群早熟，以提高全局搜索能力。

2.1 選擇算子

保留父輩中最佳個(gè)體存放在子代個(gè)體矩陣第一行，其他子代個(gè)體采用比例選擇法加入矩陣，第i個(gè)個(gè)體被選中的概率為：

(12)

2.2 自適應(yīng)的交叉、變異算子

種群保持多樣性是遺傳算法有效運(yùn)行的前提條件，需要保持足夠多的不同個(gè)體和較高的變異概率，同時(shí)為了加快收斂速度，必須使種群盡快向最優(yōu)方向靠攏，但又會(huì)降低種群的多樣性，自適應(yīng)遺傳算法大多致力于解決此矛盾。其中自適應(yīng)的交叉、變異算子作為一種簡便易行的方法，以最大適應(yīng)值與平均適應(yīng)值的差值作為判斷染色體早熟程度的標(biāo)準(zhǔn)。當(dāng)差值較大時(shí)，種群保持了較好的多樣性，增大交叉概率Pc、減小變異概率Pm，以加快收斂速度；差值較小時(shí)，Pc減小Pm增大，有利于克服早熟現(xiàn)象[18]，可按式(13)、式(14)設(shè)置[19]。

(13)

(14)

2.3 適應(yīng)值函數(shù)與優(yōu)化步驟

基于自適應(yīng)遺傳算法的坐標(biāo)法撥距優(yōu)化計(jì)算流程如下：

1)輸入外業(yè)測量坐標(biāo)，進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。根據(jù)R、l0原設(shè)計(jì)值和規(guī)范要求設(shè)置上下界，在變量閾值范圍內(nèi)等間隔生成一定的個(gè)體，進(jìn)行種群初始化；

2)個(gè)體的曲線要素R和l0作為已知值，用其對新線路分段，再利用黃金分割法求取各測點(diǎn)撥距量與對應(yīng)里程，最后累加撥距量;

3)計(jì)算個(gè)體的適應(yīng)度，保留適應(yīng)度最高的個(gè)體，其他子代個(gè)體采用比例選擇法選擇父代；

4)繁衍過程中使用自適應(yīng)交叉、變異算子；

5)當(dāng)目標(biāo)函數(shù)最小值持續(xù)20代不再變化時(shí)停止進(jìn)化，否則回到步驟(2)；

6)輸出優(yōu)化結(jié)果。

3 實(shí)驗(yàn)分析

3.1 仿真實(shí)驗(yàn)

仿真實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)通過已知的曲線要素，等里程間隔生成多組無誤差的坐標(biāo)作為撥距優(yōu)化的原始數(shù)據(jù)，曲線優(yōu)化前后對比見表1。在大量仿真實(shí)驗(yàn)中，文中方法優(yōu)化得到的緩和曲線長度l0與圓曲線半徑R和設(shè)計(jì)值相比其差值幾乎為零，計(jì)算精度優(yōu)于0.1 mm，由此可見，文中采用的方法具有較高的計(jì)算精度。

表1 自適應(yīng)遺傳算法優(yōu)化仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

3.2 應(yīng)用實(shí)例

選取文獻(xiàn)[10]中R為1 000 m，l0為40 m的曲線坐標(biāo)作為工程實(shí)例1。實(shí)例2的數(shù)據(jù)來源于某鐵路隧道進(jìn)口，通過測量二次襯砌的超量，內(nèi)業(yè)計(jì)算得到里程間隔為5 m的一組鐵路左線坐標(biāo)。選用文獻(xiàn)[20]中R為665 m，l0為50 m的數(shù)據(jù)作為實(shí)例3，文獻(xiàn)[21]中R為600 m，l0為50 m的數(shù)據(jù)作為實(shí)例4。

自適應(yīng)遺傳算法參數(shù)設(shè)置為：種群規(guī)模200，擴(kuò)大個(gè)體數(shù)量有利于克服過早收斂，但會(huì)增加計(jì)算時(shí)長。交叉概率為0.8，變異概率0.05，超過連續(xù)不進(jìn)化代數(shù)20時(shí)停止。自適應(yīng)遺傳算法優(yōu)化實(shí)例一得到各測點(diǎn)撥后里程和撥距量，列出部分測點(diǎn)結(jié)果如表2所示。

表2 實(shí)例一 測點(diǎn)撥距量統(tǒng)計(jì)

由表2可知，黃金分割法求得的撥后里程與直接使用式(1)計(jì)算得到的里程有明顯差別。通過1號(hào)點(diǎn)的里程計(jì)算的遺傳算法優(yōu)化后的切線長，比原設(shè)計(jì)切線小0.123 7 m，但測點(diǎn)12的里程比原里程大0.375 7 m，相差約0.252 m，同樣計(jì)算其他實(shí)例中里程最大的測點(diǎn)，相差分別為0.005 m、0.014 m、0.000 1 m，初始里程越粗略該差值越大，通過黃金分割法求取精確撥后里程能夠排除該誤差，從而提高優(yōu)化精度。

在撥距優(yōu)化的最優(yōu)化方法中，無需二階導(dǎo)信息的擬牛頓法顯示出收斂快、精度高的特點(diǎn)[9]。使用Matlab優(yōu)化工具箱中提供的擬牛頓法，用曲線要素原設(shè)計(jì)值進(jìn)行初始化，迭代求得變量l0，選擇l0附近的兩個(gè)10的整倍數(shù)值作為已知值，再次計(jì)算得到目標(biāo)函數(shù)最小值與變量R。

采用網(wǎng)格法、最優(yōu)化方法、自適應(yīng)遺傳算法3種方法對該4組實(shí)例中的曲線進(jìn)行優(yōu)化，變量設(shè)置相同的上下界，其中網(wǎng)格法設(shè)置緩和曲線步長10 m，圓曲線半徑步長0.1 m，統(tǒng)計(jì)4次結(jié)果如表3所示。

表3 撥距量總和統(tǒng)計(jì) m

表3中，3種方法優(yōu)化的變量值相差小于0.1 m，自適應(yīng)遺傳算法的撥距總量在本實(shí)驗(yàn)中皆為最小。

4 結(jié) 論

通過仿真實(shí)驗(yàn)分析，驗(yàn)證了基于自適應(yīng)遺傳算法的撥距優(yōu)化方法的適應(yīng)性和精確性，又通過具體實(shí)例對網(wǎng)格法、擬牛頓法和自適應(yīng)遺傳算法的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行了比較分析，最終得到以下結(jié)論：

1)提出的基于自適應(yīng)遺傳算法的撥距優(yōu)化方法具有較強(qiáng)的全局搜索能力，適應(yīng)性強(qiáng)，優(yōu)化結(jié)果精度優(yōu)于0.1 mm。黃金分割法求得的撥后里程與直接使用切線增量計(jì)算得到的里程有明顯差別，通過黃金分割法能夠排除初始里程不精確帶來的誤差。

2)網(wǎng)格法通過對兩變量進(jìn)行枚舉計(jì)算撥距量，其最優(yōu)解的精度由步長決定，步長小于0.1 m時(shí)計(jì)算量大幅增加，效率低，不適用于較長的線路。擬牛頓法用初始變量值計(jì)算概略緩直點(diǎn)、緩圓點(diǎn)，對曲線各段進(jìn)行粗略劃分，其各點(diǎn)里程未重新計(jì)算，通過迭代得到近似最優(yōu)解，有一定的精度損失。

3)文中方法的兩個(gè)變量在并行計(jì)算中作為已知值，可處理各種運(yùn)算，因此目標(biāo)函數(shù)能夠靈活表達(dá)，顧及各種約束條件。該方法計(jì)算得到的撥距量總和小于另兩種方法，能求取變量的全局最優(yōu)解，具有更高的精度，可為工程實(shí)踐提供良好的參考。