曹 進(jìn)，蔡 勇，李錫瑞，莊 迪

(1. 中國(guó)科學(xué)院上海天文臺(tái)，上海 200030；2. 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049)

氫脈澤也稱為氫頻率標(biāo)準(zhǔn)，是一種利用氫原子固有特性提供精密時(shí)間頻率參考的微波激射器[1]。氫脈澤優(yōu)異的中長(zhǎng)期頻率穩(wěn)定度使其長(zhǎng)期在守時(shí)授時(shí)、導(dǎo)航定位、甚長(zhǎng)基線干涉測(cè)量(Very Long Baseline Interferometry, VLBI)等系統(tǒng)中發(fā)揮著重要作用[2]，其頻率準(zhǔn)確度、穩(wěn)定性等各項(xiàng)指標(biāo)深刻影響著眾多關(guān)鍵設(shè)施的平穩(wěn)運(yùn)行[3-5]。氫原子在磁場(chǎng)中超精細(xì)能級(jí)結(jié)構(gòu)分裂為F=1,mF=1;F=1,mF=0;F=1,mF=-1和F=0,mF=0共4個(gè)子能級(jí)，而氫脈澤就是基于F=1,mF=0和F=0,mF=0間的躍遷實(shí)現(xiàn)高穩(wěn)定的頻率輸出[6]。根據(jù)Rabi-Breit公式以及gJ=2.002 256可以計(jì)算氫原子基態(tài)超精細(xì)能級(jí)的躍遷頻率為[7]

(1)

其中，H0為提供量子化軸的弱外磁場(chǎng)，由氫脈澤中的C場(chǎng)組件產(chǎn)生。顯然空間不均勻的磁場(chǎng)H0會(huì)導(dǎo)致各部分原子共振頻率不同，而實(shí)際的原子躍遷譜線是各部分原子譜線的疊加，在空間磁場(chǎng)不均勻的情況下，總的譜線寬度必然增加。不僅如此，原子在強(qiáng)度不同的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)可能存在復(fù)合躍遷的頻率成分，導(dǎo)致附加的受激躍遷，使原子能級(jí)壽命縮短，線寬增加[8]。由(1)式可以推得空間不均勻磁場(chǎng)導(dǎo)致的超精細(xì)能級(jí)躍遷頻率相對(duì)變化率為[9]

(2)

其中，f0=1.420 405 7 GHz；H0理論值為1 mGs，但實(shí)際上由于退磁等因素的影響，H0一般高于理論值。取H0=5 mGs，若使δf/f0< 5 × 10-13，相應(yīng)的磁場(chǎng)非均勻度δH/H0需要小于0.51%。

目前的空間主動(dòng)型氫脈澤C場(chǎng)組件由一個(gè)單螺線管的主場(chǎng)筒和兩個(gè)輔助線圈組成[10]，中心螺線管與補(bǔ)償線圈上的電流分別為0.386 mA和0.246 mA。利用仿真軟件計(jì)算線圈中的磁場(chǎng)分布得到的非均勻度曲線如圖1。由圖1可知，該C場(chǎng)組件在儲(chǔ)存泡區(qū)域的磁場(chǎng)最大非均勻度可達(dá)4.45%，對(duì)應(yīng)的頻率相對(duì)變化率高于4.33 × 10-12。而空間氫脈澤頻率準(zhǔn)確度的指標(biāo)要求為5 × 10-13，顯然帶輔助線圈的單個(gè)螺線管產(chǎn)生的磁場(chǎng)不能滿足氫脈澤C場(chǎng)的均勻度要求。文[11]提出利用3個(gè)相同半徑的線圈增加磁場(chǎng)均勻性，文[12]證明并設(shè)計(jì)了9組線圈以內(nèi)產(chǎn)生勻強(qiáng)磁場(chǎng)的方法，但線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)與螺線管產(chǎn)生的磁場(chǎng)并不相同，多組線圈疊加后勻強(qiáng)磁場(chǎng)的結(jié)果不能直接用于多段螺線管，需要重新計(jì)算。文[13]進(jìn)行了九段線圈式C場(chǎng)組件研究，但其方法為利用仿真軟件反復(fù)調(diào)整參數(shù)，研究過程繁瑣，不具有普適性。相較于前人的工作，本文創(chuàng)新之處在于將高階展式計(jì)算方法引入多段式螺線管的均勻度計(jì)算，并給出了高均勻度的不同寬度三段式螺線管的相應(yīng)參數(shù)，之后利用有限元仿真計(jì)算了其磁場(chǎng)分布及非均勻度。四段及以上螺線管由于計(jì)算高階展式系數(shù)時(shí)出現(xiàn)奇異矩陣，無法計(jì)算出相關(guān)參數(shù)，因此，本文采用線圈近似的計(jì)算方法，并給出了磁場(chǎng)分布的有限元仿真結(jié)果，計(jì)算了非均勻度分布。

圖1 帶輔助場(chǎng)的單螺線管非均勻度分布

1 三段螺線管構(gòu)建勻強(qiáng)C場(chǎng)

與線圈類似，雖然單個(gè)螺線管的磁場(chǎng)并不均勻，但可以通過在z軸疊加多個(gè)螺線管的方式產(chǎn)生磁場(chǎng)相對(duì)均勻的區(qū)域。理論上，螺線管段數(shù)越多，整體越接近于無限長(zhǎng)螺線管，產(chǎn)生的磁場(chǎng)越均勻，但考慮到空間氫脈澤有限的容積，以及目前氫脈澤上的C場(chǎng)電流控制組件僅為三組，設(shè)計(jì)時(shí)首先考慮三段式螺線管。目前的C場(chǎng)螺線管加工工藝為印制電路板(PCB)上印刷導(dǎo)線，之后焊接為筒。由于不同寬度的螺線管在線路印刷以及焊接時(shí)的誤差對(duì)磁場(chǎng)產(chǎn)生影響，采用三段相同寬度的螺線管為當(dāng)前技術(shù)條件下的較優(yōu)選擇。圖2為所設(shè)計(jì)的三段螺線管式C場(chǎng)組件的結(jié)構(gòu)示意圖。

圖2 三段螺線管式C場(chǎng)組件示意圖Fig.2 Schematic diagram of three-segment solenoid C-field

對(duì)于三段螺線管，令每段螺線管的寬度和半徑分別均為2L和a，螺線管S1和S3關(guān)于S2對(duì)稱，與S2的距離都為d1。螺線管S2上的匝數(shù)與電流之積為ni，S1和S3上的匝數(shù)與電流之積為n1ni，n1為螺線管S1和S3的安匝比。單個(gè)螺線管內(nèi)的軸向磁場(chǎng)分布為[14]

(3)

其中，λ=r2+a2-2arcosθ；ξ±=z±l；z和r為軸向和徑向坐標(biāo)；μ為真空磁導(dǎo)率。令r=0并積分即可得到軸向磁場(chǎng)在中心軸上的場(chǎng)強(qiáng)分布，

(4)

因此，三段螺線管在中心軸上產(chǎn)生的復(fù)合磁場(chǎng)強(qiáng)度為

Bc=Bz,r=0(z)+Bz,r=0(z+d1)+Bz,r=0(z-d1) ，

(5)

在z=0處泰勒展開到四階可得

(6)

僅有偶數(shù)階是因?yàn)檩S線上的磁場(chǎng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即Bc為偶函數(shù)。顯然，除了常數(shù)項(xiàng)其余高階項(xiàng)為0的Bc為勻強(qiáng)磁場(chǎng)，因此令

(7)

聯(lián)立后即可解得n1和d1，歸一化a,n,i后計(jì)算結(jié)果見表1。

由表1可知，隨著螺線管寬度2L增加，螺線管間的距離d1逐漸增大，而螺線管S1和S3的安匝比n1隨之減小。由于氫脈澤內(nèi)部的體積限制以及設(shè)計(jì)要求， C場(chǎng)筒總的高度與直徑之比應(yīng)當(dāng)在1～1.5之間，對(duì)應(yīng)于1≤L+d1≤1.5，因此只能選擇0.2≤L≤0.4的三段螺線筒。

由于螺線管的軸向磁場(chǎng)和徑向磁場(chǎng)的解析表達(dá)式都為積分形式，如果精確求解需要積分至無限遠(yuǎn)處，積分結(jié)果較為復(fù)雜，而利用有限元仿真軟件可以較為便捷地計(jì)算三段式螺線管的空間磁場(chǎng)強(qiáng)度分布，進(jìn)一步驗(yàn)證不同寬度的三段螺旋管產(chǎn)生磁場(chǎng)的均勻程度，并給出非均勻度分布。三段式螺線管產(chǎn)生的磁場(chǎng)呈軸對(duì)稱分布，因此建模及剖分網(wǎng)格時(shí)采用軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)。圖3 為三段式螺線管的仿真建模，建模由螺線管、空氣域以及無限元域三部分組成，引入無限元域是為了減小計(jì)算結(jié)果對(duì)空氣域的影響，比起有限大的空氣域更接近真實(shí)的物理環(huán)境，計(jì)算出的磁場(chǎng)分布也更加符合實(shí)際。螺線管區(qū)域位于r=20 cm處，寬度為0.5 cm，長(zhǎng)度為12Lcm?？偟膱?chǎng)強(qiáng)計(jì)算區(qū)域?yàn)?0 cm × 100 cm的矩形，其中無限元域位于右側(cè)、頂面及底面高度為5 cm的層。剖分網(wǎng)格后總的計(jì)算單元數(shù)為8 411，最大單元為0.4 cm，最小單元為0.002 cm，其中無限元域的單元數(shù)為5，單元大小比為1，增長(zhǎng)公式為接近無限大的等差數(shù)列。為了方便結(jié)果的比較與分析，我們?cè)O(shè)置三組螺旋管線圈匝數(shù)均為20匝，切面的螺線管S2的單匝電流通量為1A，螺線管S1和S3的單匝電流通量為n1A，對(duì)應(yīng)不同的安匝比。

圖4為計(jì)算所得的不同寬度的三組螺線管產(chǎn)生磁場(chǎng)的空間分布以及磁力線。帶箭頭的黑色實(shí)線為磁力線，顏色深淺表示磁場(chǎng)強(qiáng)弱。由圖中藍(lán)色的深淺程度可知，三段螺線管中的磁場(chǎng)都較為均勻，在每段螺旋管匝數(shù)相同以及中心螺線管電流也相同的情況下，L越大，螺線管中的磁場(chǎng)越弱，越有利于降低躍遷頻率的相對(duì)變化率。六組螺線管中的磁力線均較為平直，證明磁場(chǎng)的徑向分量較小，可以有效減小由于磁場(chǎng)方向變換導(dǎo)致的頻移。計(jì)算不同L的三段螺線管在軸線上的場(chǎng)強(qiáng)并繪制儲(chǔ)存泡區(qū)域的非均勻度[H(z)-H(0)]/H(0)可得圖5。由圖5可知，隨著L增大，儲(chǔ)存泡區(qū)域的非均勻度最大值逐漸降低。對(duì)于L=0.45的三段線圈，最大非均勻度為0.105%，是帶輔助線圈的單螺線管非均勻度的1/42。理論上可將躍遷頻率相對(duì)變化率降低到原來的1/42，達(dá)到1.02 × 10-13。脈澤整體的頻率準(zhǔn)確度還取決于泡壁頻移、二階多普勒頻移、腔牽引頻移以及自旋交換頻移等多種因素[15]，三段螺線管式C場(chǎng)組件對(duì)脈澤的頻率準(zhǔn)確度的提高還需要進(jìn)一步實(shí)測(cè)。

表1 不同寬度三段式螺線管的安匝比及間距

圖3 三段螺線管磁場(chǎng)仿真建模

圖4 不同寬度的三段螺線管磁場(chǎng)分布Fig.4 Magnetic field distribution of three-segment solenoids with different widths

2 多組線圈構(gòu)建勻強(qiáng)C場(chǎng)

對(duì)于本文提出的多段螺線管構(gòu)建勻強(qiáng)磁場(chǎng)的參數(shù)解法，理論上可擴(kuò)展至三段以上螺線管，但在實(shí)際工作中，由于四段及以上螺線管的高階泰勒展式過于復(fù)雜，利用軟件數(shù)值求解的過程中產(chǎn)生奇異矩陣，無法生成有效的數(shù)值解。為此我們采用寬度與直徑比小于0.04的螺線管，如圖6，此時(shí)可以將螺線管模型簡(jiǎn)化為線圈模型，求出四段及以上螺線管構(gòu)建勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)的各項(xiàng)參數(shù)。

圖5 不同寬度的三段螺線管磁場(chǎng)非均勻度分布

圖6 四組線圈及五組線圈示意圖

單個(gè)n匝線圈的軸向磁場(chǎng)在r=0處的磁場(chǎng)強(qiáng)度為[12]

(8)

因此，四組線圈在z軸上產(chǎn)生的軸向磁場(chǎng)強(qiáng)度為

(9)

五組線圈在z軸上產(chǎn)生的軸向磁場(chǎng)強(qiáng)度為

(10)

其中，n1和n2為安匝比；d1和d2為線圈間隔；μ為真空磁導(dǎo)率；a為線圈半徑；n為線圈匝數(shù)。與三段螺線管相同，無論是四組線圈還是五組線圈，由于軸向磁場(chǎng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其泰勒展式僅有偶數(shù)次項(xiàng)。對(duì)于四組線圈，有d1,n2和d23個(gè)未知數(shù)，將軸向磁場(chǎng)B4c在z=0處展開到7階，

(11)

并令

(12)

聯(lián)立即可解得d1,n2和d2。歸一化a,n和i后計(jì)算得到d1=0.243 2,n2=2.260 4,d2=0.940 7。而對(duì)于五組線圈，有n1,n2,d1和d24個(gè)未知數(shù)，因此將軸向磁場(chǎng)B5c在z=0處展開到9階，

(13)

令

(14)

聯(lián)立并歸一化a,n和i后，計(jì)算得到n1=1.223,d1=0.409 2,n2=3.000 7,d2=1.080 1。

采用與第1部分相同的建模形式對(duì)四組及五組線圈進(jìn)行磁場(chǎng)的有限元分析，仿真時(shí)每組線圈的匝數(shù)為20匝，寬度與半徑分別為1 cm和20 cm，中心線圈上電流為1 A，其余線圈上電流由安匝比計(jì)算得到。圖7為仿真分析的磁場(chǎng)分布，由圖7可知，五組線圈在匝數(shù)與中心線圈電流相同的情況下，產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度高于四組線圈，不利于降低頻率相對(duì)變化率。

圖8給出了四組線圈和五組線圈在z軸儲(chǔ)存泡區(qū)域的非均勻度分布。四組線圈在z軸的非均勻度最大值為0.066%，而五組線圈在z軸的非均勻度最大值為0.01%，顯然五組線圈非均勻度優(yōu)于四組線圈。理論上增加線圈組數(shù)可以進(jìn)一步降低非均勻度，且各組線圈間的安匝比以及位置已由文[12]計(jì)算得出，但由于每組線圈需要相應(yīng)的電流控制器，五組及以上線圈的C場(chǎng)組件設(shè)計(jì)將增加系統(tǒng)的復(fù)雜度，降低空間氫脈澤運(yùn)行的可靠性。不僅如此，四組線圈對(duì)應(yīng)的頻率相對(duì)變化率為6.42 × 10-14，此時(shí)氫脈澤整體的頻率準(zhǔn)確度取決于泡壁頻移以及二階多普勒頻移等因素，繼續(xù)降低磁場(chǎng)不均勻所導(dǎo)致的頻率相對(duì)變化可忽略不計(jì)，因此，四組線圈的設(shè)計(jì)已滿足現(xiàn)有空間氫脈澤的均勻磁場(chǎng)要求。

圖7 四組線圈及五組線圈的磁場(chǎng)分布

圖8 四組線圈及五組線圈的非均勻度分布

3 結(jié) 論

為降低氫脈澤由C場(chǎng)不均勻?qū)е碌能S遷頻率相對(duì)變化率，本文提出了三段螺線管和四組線圈兩種C場(chǎng)組件設(shè)計(jì)。經(jīng)有限元仿真分析，L=0.45的三段螺線管式C場(chǎng)筒內(nèi)磁場(chǎng)在儲(chǔ)存泡區(qū)域的非均勻度最大值為0.105%，相應(yīng)的躍遷頻率相對(duì)變化率為1.02 × 10-13，而四組線圈式C場(chǎng)筒內(nèi)磁場(chǎng)在儲(chǔ)存泡區(qū)域的非均勻度最大值為0.066%，相應(yīng)的躍遷頻率相對(duì)變化率為6.42×10-14。目前C場(chǎng)組件為聚四氟乙烯薄板上刻等間距定位槽實(shí)現(xiàn)導(dǎo)線均布的螺線筒，加工工藝較為成熟，制作三段式螺線管只需在原有工藝的基礎(chǔ)上縮減聚四氟乙烯板的高度即可。對(duì)于四組線圈式C場(chǎng)組件，由于所需的每組線圈寬度過窄，現(xiàn)有工藝無法實(shí)現(xiàn)，目前正在重新設(shè)計(jì)每組線圈的纏繞以及固定方式，之后將進(jìn)行三段螺線管式C場(chǎng)組件與四組線圈式C場(chǎng)組件對(duì)氫脈澤輸出頻率、信號(hào)強(qiáng)度等指標(biāo)影響的進(jìn)一步比較研究。