趙雪成, 黃翔東, 馬金英

(天津大學(xué)電氣自動(dòng)化與信息工程學(xué)院, 天津 300072)

0 引 言

載頻和到達(dá)角(direction of arrival,DOA)的聯(lián)合估計(jì)是陣列信號(hào)處理領(lǐng)域的研究熱題,在認(rèn)知無(wú)線電(cognitive radio, CR)、雷達(dá)和移動(dòng)通信中有著廣泛的應(yīng)用[1-4]。以CR為例,終端設(shè)備通過(guò)感知傳輸信號(hào)的頻譜信息,對(duì)一定頻率范圍內(nèi)未被占用的頻段加以利用,以此提高用戶容量和通信效率。此外,終端設(shè)備可利用部署在終端的多天線系統(tǒng)獲取傳輸信號(hào)的DOA信息來(lái)感知空間譜中空閑的資源,進(jìn)而提高CR性能。顯然,在上述過(guò)程中載頻和DOA聯(lián)合估計(jì)是必不可少的關(guān)鍵步驟。

然而,傳統(tǒng)的聯(lián)合估計(jì)方法一般受到Nyquist條件的限制。具體來(lái)說(shuō)，即在空域采樣方面,陣元間隔不能超過(guò)入射信號(hào)的半波長(zhǎng)。例如,傳統(tǒng)的均勻線陣(uniform linear array, ULA)就是典型的Nyquist空域采樣結(jié)構(gòu),故而當(dāng)信號(hào)波長(zhǎng)較短時(shí)，這類陣列結(jié)構(gòu)的陣元互耦、散熱等問(wèn)題不易解決[5]。在時(shí)域采樣方面,由于實(shí)際中接收機(jī)往往收到的是頻譜分布在較寬范圍(例如幾個(gè)GHz)的多個(gè)信源,若同時(shí)對(duì)這些信源進(jìn)行感知,則需以極高的速率進(jìn)行采樣,進(jìn)而短時(shí)間內(nèi)會(huì)產(chǎn)生大量數(shù)據(jù),給數(shù)據(jù)存儲(chǔ)和后續(xù)處理帶來(lái)巨大負(fù)擔(dān)。另外,如此高的采樣率也是現(xiàn)行技術(shù)下的模數(shù)轉(zhuǎn)換器(analog to digital converter,ADC)所不能承受的。

近年來(lái),已有許多學(xué)者提出了基于時(shí)域欠采樣的載頻和DOA聯(lián)合估計(jì)方法,在能夠重構(gòu)信號(hào)的前提下,將采樣速率降到各信源帶寬的最大值的水平。例如,文獻(xiàn)[6]設(shè)計(jì)了一種基于ULA的帶有時(shí)延的時(shí)域欠采樣接收結(jié)構(gòu),并提出了基于旋轉(zhuǎn)不變子空間(estimating signal parameter via rotational invariance techniques, ESPRIT)[7]的聯(lián)合估計(jì)方法。然而,文獻(xiàn)[6]中的時(shí)延必須限制在Nyquist采樣間隔內(nèi),這增大了其工程實(shí)現(xiàn)難度。文獻(xiàn)[8]則設(shè)計(jì)了一個(gè)具有靈活時(shí)延的Sub-Nyquist采樣結(jié)構(gòu),并提出了基于正則分解/平行因子分解的聯(lián)合估計(jì)算法,不僅可以恢復(fù)出載頻和DOA,也能夠重構(gòu)信源的功率譜。然而,文獻(xiàn)[8]中模擬時(shí)延器雖有一定靈活性,但精準(zhǔn)的時(shí)延控制在實(shí)踐中仍有較大難度[9]。近年來(lái),一些學(xué)者提出了無(wú)時(shí)延的聯(lián)合估計(jì)器。例如,在文獻(xiàn)[10]中,作者將單天線結(jié)構(gòu)的調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器(modulated wideband converter, MWC)[9]擴(kuò)展到L型ULA中,實(shí)現(xiàn)了對(duì)載頻和DOA的聯(lián)合估計(jì)。在該結(jié)構(gòu)中,每個(gè)陣元與MWC中單個(gè)采樣通道相連接,并且采樣速率為各入射信源帶寬的最大值。文獻(xiàn)[11]則將MWC擴(kuò)展到單個(gè)ULA中,利用部署了多通道MWC的參考陣元先估計(jì)出載頻,再通過(guò)子空間分解和相關(guān)性配對(duì)從陣列樣本中得到相應(yīng)的DOA。此外,文獻(xiàn)[12]在基于ULA的MWC框架下,將各采樣通道樣本的頻譜數(shù)據(jù)組成三維張量,然后利用張量分解技術(shù)恢復(fù)出了信源的載頻和DOA。以上的工作均是基于ULA開(kāi)展的,并未考慮空域欠采樣情況。

所謂空域欠采樣,即天線陣列允許以大于半波長(zhǎng)的間隔稀疏布置,因此可以有效擴(kuò)大陣列孔徑、提高估計(jì)分辨率和降低實(shí)際應(yīng)用中陣元間的互耦,而且大孔徑的優(yōu)勢(shì)在DOA單參數(shù)估計(jì)任務(wù)中已得到充分展現(xiàn)。例如，文獻(xiàn)[13-15]展示了稀疏陣列在參數(shù)估計(jì)精度方面帶來(lái)的提升。此外，一些學(xué)者利用稀疏陣列在結(jié)構(gòu)上的靈活性,通過(guò)對(duì)陣列進(jìn)行變形、移位,提出了具備更低互耦和更高自由度的DOA估計(jì)器[16-19]。目前,一些學(xué)者已將空域-時(shí)域欠采樣結(jié)合到載頻和DOA的聯(lián)合估計(jì)任務(wù)中。比如，文獻(xiàn)[20]利用壓縮感知(compressed sensing, CS),從空時(shí)Sub-Nyquist樣本的一系列互相關(guān)矩陣中恢復(fù)出載頻、DOA和功率譜,但該方法計(jì)算復(fù)雜且精度不高。文獻(xiàn)[21]提出了一種基于最小冗余陣列(minimum redundancy array, MRA)的聯(lián)合估計(jì)器,可以對(duì)超出陣元數(shù)量的信源進(jìn)行識(shí)別,但該結(jié)構(gòu)對(duì)ADC要求較高且精度受到網(wǎng)格劃分精度的限制。

通過(guò)以上分析可以發(fā)現(xiàn),現(xiàn)有的載頻和DOA聯(lián)合估計(jì)方法大多沒(méi)有涉及到空域欠采樣,或已有的基于空域欠采樣的聯(lián)合估計(jì)方法沒(méi)有體現(xiàn)出稀疏陣列在DOA單參數(shù)估計(jì)中的優(yōu)勢(shì)。針對(duì)此問(wèn)題,本文提出一種基于L型級(jí)聯(lián)互素陣列[22]的聯(lián)合估計(jì)方法。相比于現(xiàn)有方法,其優(yōu)勢(shì)體現(xiàn)在以下幾點(diǎn):① 不同于MRA,互素陣列具有閉式的結(jié)構(gòu)表達(dá)式;② 載頻和DOA的恢復(fù)結(jié)果具有閉式解析形式,不涉及網(wǎng)格定義,降低了算法復(fù)雜度;③ 所提結(jié)構(gòu)不包含時(shí)延通道降低了硬件實(shí)現(xiàn)難度;④ 避免了原型互素陣列中局部陣元密集情況,進(jìn)一步擴(kuò)大了陣列孔徑。仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文所提方法的有效性。

1 信號(hào)模型

考慮K個(gè)不相關(guān)、廣義平穩(wěn)的遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)入射到接收陣列的情況。其中，各信號(hào)的載頻分別為f1,f2,…,fK。定義如下信號(hào)模型:

(1)

(2)

本文中,信源個(gè)數(shù)K為已知或是由源數(shù)目估計(jì)算法估計(jì)出,例如Akaike信息準(zhǔn)則(Akaike information criterion, AIC)[23]。

圖1 多帶信號(hào)模型Fig.1 Multi-band signal model

2 空時(shí)欠采樣結(jié)構(gòu)及接收信號(hào)建模

2.1 空域欠采樣結(jié)構(gòu)

圖2為本文提出的空時(shí)域欠采樣接收結(jié)構(gòu),該結(jié)構(gòu)由位于x軸和z軸的兩個(gè)級(jí)聯(lián)互素陣列組成。如圖3所示,每個(gè)級(jí)聯(lián)互素陣列由兩個(gè)陣元間距分別為Md、Nd,陣元數(shù)分別為N、M的均勻線性子陣組成，其中，d為頻率上限信號(hào)半波長(zhǎng)。每個(gè)級(jí)聯(lián)互素陣列的陣元數(shù)為L(zhǎng)=M+N-1,其陣元位置集合為

Z={z0,z1,…,zL-1}d=

{(n-1)Md|1≤n≤N}∪

{(N-1)Md+(m-1)Nd|1≤m≤M}

(3)

式中：M和N是一對(duì)預(yù)先定義的互素整數(shù);d=c/(2fnyq),c為光速常量。

圖2 所提L型接收陣列結(jié)構(gòu)Fig.2 The proposed L-shaped receiver array structure

圖3 每個(gè)軸上的級(jí)聯(lián)互素陣列結(jié)構(gòu)Fig.3 Unfolded co-prime array structure on each axis

由于級(jí)聯(lián)互素陣列的稀疏性,在相同數(shù)量陣元的情況下,其陣列孔徑相較ULA極大提高。具體地,前者孔徑達(dá)到(2MN-M-N)d,而后者僅為(M+N-2)d。

此外,為確保所提算法正常進(jìn)行,每個(gè)級(jí)聯(lián)互素陣列的陣元數(shù)目L要大于信源數(shù)量K。

2.2 時(shí)域欠采樣結(jié)構(gòu)

如圖4所示,L型互素陣列中每個(gè)天線均直接與一個(gè)采樣率為fs=1/Ts的低速ADC相連,其中B≤fs?fnyq[8],即每個(gè)通道的采樣率大于等于各信源帶寬最大值并遠(yuǎn)小于Nyquist速率。因此,對(duì)于所提結(jié)構(gòu)整體而言,當(dāng)估計(jì)K個(gè)源時(shí),所需最小總和采樣率為(2K+1)B,與文獻(xiàn)[10]所提的L型ULA時(shí)域欠采樣方案相同。

圖4 時(shí)域欠采樣結(jié)構(gòu)Fig.4 Temporal sub-sampling structure

2.3 接收信號(hào)模型

如圖2所示,以位于x軸的級(jí)聯(lián)互素陣列為例,設(shè)原點(diǎn)處陣元為參考陣元,則第n個(gè)天線的接收信號(hào)為

(4)

(5)

N

(6)

進(jìn)一步,將式(4)寫(xiě)成矩陣形式,可得

(7)

(8)

類似地,對(duì)z軸的級(jí)聯(lián)互素陣列進(jìn)行分析,可得相應(yīng)的接收信號(hào)模型,即

(9)

相應(yīng)地,Az=[az(f1,θ1),az(f2,θ2),…,az(fK,θK)],

(10)

(11)

N

(12)

經(jīng)過(guò)采樣后,可得如下數(shù)據(jù)樣本:

(13)

式中:l=0,1,…,Ns-1,Ns為快拍數(shù)。

3 載頻和DOA聯(lián)合方法

本節(jié)利用位于兩軸的級(jí)聯(lián)互素陣列所對(duì)應(yīng)的樣本,構(gòu)造兩個(gè)虛擬ULA意義下的偽噪聲子空間,進(jìn)而無(wú)模糊地求出兩組信源的電子角({fksin(θk)}和{fkcos(θk)})。然后,結(jié)合類波束生成方法[24],利用相關(guān)性匹配這兩組電子角,進(jìn)而完成載頻和DOA的聯(lián)合估計(jì)。所提方法的詳細(xì)推導(dǎo)如下。

3.1 偽噪聲子空間重構(gòu)

首先,對(duì)于x軸陣列的樣本,計(jì)算其相關(guān)矩陣:

(14)

(15)

式中:Un由較小的L-K個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量組成;Us表示信號(hào)子空間,由較大的K個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量組成。

為了能在后續(xù)步驟中直接、方便地利用求根多重信號(hào)分類(root multiple signal claffication, root-MUSIC)算法進(jìn)行電子角的求解,本節(jié)構(gòu)造級(jí)聯(lián)互素陣列所對(duì)應(yīng)的虛擬ULA(包含的陣元數(shù)為L(zhǎng)p=2MN-M-N+1)的偽噪聲子空間Unp:

Unp=TUn

(16)

式中:T是一個(gè)Lp×L的變換矩陣,對(duì)Un進(jìn)行行擴(kuò)展。具體來(lái)說(shuō)是在級(jí)聯(lián)互素陣列的所有孔洞位置處,將1×(L-K)的全零向量0填充到Un。T的具體表達(dá)式為

0≤i≤Lp; 0≤j≤L-1

(17)

式中:zj表示級(jí)聯(lián)互素陣列陣元位置,見(jiàn)式(3)。此外,由于級(jí)聯(lián)互素陣列是由兩個(gè)互素子陣組成的,因此對(duì)于整個(gè)陣列(非線性排列的)而言,這種互素特性可以避免稀疏陣列所帶來(lái)的相位模糊問(wèn)題。

同理,對(duì)于z軸陣列的樣本數(shù)據(jù),也構(gòu)造如上的偽噪聲空間。

3.2 載頻和DOA的配對(duì)與估計(jì)

同樣先考慮位于x軸的級(jí)聯(lián)互素陣列,由于噪聲子空間與信號(hào)子空間正交,可得

(18)

(19)

選出最接近單位圓的K個(gè)根{rk|k=1,2，…,K},則信源在x軸陣列的電子角為{fksin(θk)}。記αk=fksin(θk),則αk可由下式獲得

(20)

(21)

完成配對(duì)后,載頻和DOA的計(jì)算方法如下：

(22)

3.3 步驟總結(jié)

載頻和DOA估計(jì)過(guò)程如算法1所示。

算法1載頻和DOA估計(jì)輸入x軸、z軸陣列的采樣數(shù)據(jù):x、z;步驟 1對(duì)于x軸陣列,通過(guò)式(5)計(jì)算其樣本相關(guān)矩陣Rx。步驟 2利用式(15)求解其噪聲子空間Un。步驟 3基于Un,利用式(16)和式(17)構(gòu)造偽噪聲空間Unp。步驟 4對(duì)Unp執(zhí)行root-MUSIC,由式(18)～式(20)計(jì)算電子角{α^k}。步驟 5對(duì)于z軸陣列,重復(fù)步驟1～步驟4,得到相應(yīng)的電子角{β^k}。步驟 6利用式(21)配對(duì){α^k}和{β^k}。輸出信源載頻和DOA可由式(22)獲得。

3.4 復(fù)雜度分析

對(duì)于x軸陣列,計(jì)算相關(guān)矩陣Rx∈CL×L需要L2×Ns次復(fù)乘,其中L為一個(gè)軸上的陣元個(gè)數(shù),Ns為每通道快拍數(shù)。對(duì)Rx進(jìn)行特征值分解大約需要L3次復(fù)乘。執(zhí)行root-MUSIC算法,大約需要(2Lp-1)3次復(fù)乘[25],其中Lp為虛擬ULA陣元數(shù)。對(duì)于z軸陣列,重復(fù)上述計(jì)算過(guò)程。最后在配對(duì)階段,約需K2(L2+L)次復(fù)乘,其中K為信源數(shù)量。綜上,本文算法計(jì)算復(fù)雜度約為O(3NsL2+2L3+2(2Lp-1)3)+K2(L2+L)),高于文獻(xiàn)[10]中基于L型ULA的聯(lián)合估計(jì)器的計(jì)算復(fù)雜度O(NsL2+4(L-1)3+K3)。但是,相比于大多基于網(wǎng)格的空域欠采樣的估計(jì)器(精度越高,網(wǎng)格劃分越細(xì),計(jì)算量隨之大幅增加),本文算法不涉及網(wǎng)格定義,有效提高了計(jì)算效率。

4 仿真分析

4.1 參數(shù)設(shè)置和性能指標(biāo)

設(shè)定fnyq=10 GHz,d=1.5 cm。對(duì)于本文空域欠采樣結(jié)構(gòu),設(shè)M=3,N=5,則每個(gè)軸的級(jí)聯(lián)陣列陣元數(shù)目L=M+N-1=7。

考慮K=3個(gè)入射信號(hào)(根據(jù)第1節(jié)所定義的信號(hào)模型生成),其帶寬設(shè)為B1=30 MHz、B2=50 MHz、B3=50 MHz,對(duì)應(yīng)的載頻分別設(shè)為f1=6.3 GHz、f2=7.4 GHz、f2=8.5 GHz,入射角度分別設(shè)為θ1=-40°、θ2=20°、θ3=45°。每個(gè)通道的采樣率為fs=1.4B=70 MHz。估計(jì)性能采用均方根誤差(root mean square error, RMSE)進(jìn)行評(píng)價(jià),定義如下:

(23)

為評(píng)估本文提出的空時(shí)欠采樣的載頻和DOA聯(lián)合估計(jì)方法,對(duì)比方法選為文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[10](其估計(jì)結(jié)果具有解析形式)。其中,文獻(xiàn)[10]提出的CaSCADE(compressed carrier DOA estimation)算法采用的是L型ULA(陣元間距為d)。文獻(xiàn)[6]為ULA時(shí)延結(jié)構(gòu),其中每個(gè)天線含有兩個(gè)輸出通道。為保證輸出通道數(shù)目一致,CaSCADE中每個(gè)軸的陣元數(shù)設(shè)為7。文獻(xiàn)[6]天線數(shù)設(shè)為7,共有14個(gè)通道,略高于本文和CaSCADE算法。此外,本文所提算法同樣適用于原型互素陣列,因此也給出所提算法基于原型互素陣列的估計(jì)性能。

4.2 配對(duì)正確性檢驗(yàn)

表1 兩組電子角間的匹配系數(shù)

表2 不經(jīng)配對(duì)所得的載頻和DOA估計(jì)值

4.3 不同快拍數(shù)下參數(shù)估計(jì)效果對(duì)比

在第4.1節(jié)的參數(shù)基礎(chǔ)上,設(shè)置信噪比為5 dB。令快拍數(shù)Ns從100到1 000遞增,步進(jìn)值為100。載頻和DOA估計(jì)結(jié)果的RMSE曲線如圖5所示。從圖5可以看出,在快拍數(shù)從100到1 000的范圍內(nèi),本文算法在載頻以及DOA的估計(jì)精度上都要高于其他基于ULA的對(duì)比算法。同時(shí),相較于原型互素陣列,基于級(jí)聯(lián)互素陣列的本文算法具有更高的估計(jì)精度。這是因?yàn)楸疚牡募?jí)聯(lián)互素陣列在相同陣元數(shù)情況下具有更高的孔徑。具體來(lái)說(shuō),文獻(xiàn)[6]的陣列孔徑為6d;文獻(xiàn)[10]采用的是L型ULA,每個(gè)軸的陣列孔徑也為6d。相比之下,所提L型互素陣列結(jié)構(gòu)的每個(gè)軸的陣列孔徑為(2MN-M-N)d=22d,遠(yuǎn)高于文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[10]。此外也可以發(fā)現(xiàn),相較文獻(xiàn)[10],本文算法在較低快拍數(shù)條件下即可取得較為明顯的性能增益。

圖5 估計(jì)誤差隨快拍數(shù)的變化曲線Fig.5 Estimation error curves versus snapshot numbers

4.4 不同信噪比下參數(shù)估計(jì)效果對(duì)比

本次對(duì)比實(shí)驗(yàn)中,快拍數(shù)Ns=1 000,令信噪比從-15 dB到20 dB變化,步長(zhǎng)為1 dB。相應(yīng)的載頻和DOA的估計(jì)誤差曲線如圖6所示。觀察圖6可以發(fā)現(xiàn),隨著信噪比不斷下降,圖中各方法的誤差曲線均會(huì)出現(xiàn)跳變現(xiàn)象。這表明當(dāng)小于跳變點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的信噪比閾值時(shí),估計(jì)算法將會(huì)受到嚴(yán)重影響。本文將該信噪比閾值視作算法抗噪聲魯棒性的體現(xiàn),進(jìn)而可以發(fā)現(xiàn),文獻(xiàn)[6]的抗噪聲魯棒性要優(yōu)于本文所提算法。然而,文獻(xiàn)[6]的算法依賴于精準(zhǔn)的時(shí)延器,這無(wú)疑加大了其在實(shí)際部署中的難度。而本文方法不需要精準(zhǔn)的時(shí)延器件,便于實(shí)際部署。此外,本文所提方法的抗噪聲魯棒性優(yōu)于文獻(xiàn)[10],這主要因?yàn)槎哧P(guān)注的子空間類型不同:前者關(guān)注噪聲子空間,而后者關(guān)注信號(hào)子空間。當(dāng)信噪比較低時(shí),噪聲子空間的估計(jì)更準(zhǔn)確,故而本文方法相較于文獻(xiàn)[10]具有更強(qiáng)的抗噪聲魯棒性。同時(shí)從圖6可以看出,當(dāng)信噪比大于-5 dB時(shí),本文算法相較于其他對(duì)比算法取得了較為明顯的性能增益。這反應(yīng)了本文陣列結(jié)構(gòu)具有大孔徑的優(yōu)勢(shì)。此外,考慮到實(shí)際中通信頻段不斷提高的趨勢(shì),本文級(jí)聯(lián)互素陣列的稀疏布置形式更有利于減輕通信時(shí)陣元間的互耦效應(yīng)。

圖6 估計(jì)誤差隨信噪比的變化曲線Fig.6 Estimation error curves versus signal to noise ratio

5 結(jié) 論

本文提出了一種基于L型級(jí)聯(lián)互素陣列的空時(shí)欠采樣的載頻和DOA聯(lián)合估計(jì)器,有效地增大了陣列的孔徑。通過(guò)結(jié)合虛擬ULA意義下的偽噪聲空間、root-MUSIC和類波束生成源匹配法,本文以一種全解析的方式得到了信源的載頻和DOA。仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)比了本文算法與基于ULA的算法在不同條件下的估計(jì)性能,展示了所提方法在一個(gè)適度信噪比條件下即可顯著地降低載頻和DOA聯(lián)合估計(jì)的誤差,因而在對(duì)精度要求較高的場(chǎng)合,比如無(wú)源定位、移動(dòng)通信等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用前景。然而,由于本文算法涉及手動(dòng)參數(shù)配對(duì),未來(lái)將在參數(shù)的自動(dòng)配對(duì)方面努力。