蘭國冠，張村峰，許華南，張劍偉

(1.龍巖學(xué)院 資源工程學(xué)院，福建 龍巖 364000；2.沈陽航空航天大學(xué) 航空航天工程學(xué)院，沈陽 110000)

隨著工程領(lǐng)域(如石油和天然氣勘探與開發(fā)、地球物理勘探、地震工程、定量無損檢測與探傷(NDT)等)的快速發(fā)展，對復(fù)雜缺陷與彈性波的散射問題的研究一直是彈性動力學(xué)領(lǐng)域內(nèi)的重要課題。現(xiàn)有的大部分研究成果主要研究均勻且各向同性的介質(zhì)模型[1-11]，而地球的實際介質(zhì)性質(zhì)通常是各向異性的。各向異性介質(zhì)中復(fù)雜缺陷引起的位移場比較復(fù)雜，較難求解，目前這類問題的研究亦有部分成果[12-22]，但多為半空間問題，問題模型也相對簡單。目前已知的主要研究方法包括波函數(shù)展開法、復(fù)變函數(shù)法、格林函數(shù)法以及邊界元法等。

各向異性雙相介質(zhì)界面附近復(fù)合缺陷的存在會引起局部應(yīng)力集中，其產(chǎn)生的散射波場往往與缺陷的各種特征參數(shù)有關(guān)。目前，關(guān)于這一課題的理論研究成果還很薄弱，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足工程實踐的理論指導(dǎo)要求，因此，在作者已發(fā)表文獻(xiàn)[23]的基礎(chǔ)上，采用復(fù)變函數(shù)理論并結(jié)合界面“契合”的思想，引入格林函數(shù)，給出了正交各向異性雙相介質(zhì)界面附近圓孔對SH波散射問題的解析解，并討論了不同參數(shù)影響下的變化規(guī)律。

1 問題描述

圖1給出了正交各向異性雙相介質(zhì)內(nèi)圓孔對SH波散射問題的解析研究模型，區(qū)域Ⅰ為含圓柱形孔洞的正交各向異性半無限空間，區(qū)域Ⅱ為均勻各向同性的線彈性半空間。SH波以與水平方向呈αi的角度入射，區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅱ的質(zhì)量密度和剪切模量分別為(ρ1,μ1)和(ρ2,μ2)，設(shè)孔洞半徑為R。分別建立XOY和X′O′Y′兩個直角坐標(biāo)系，關(guān)系如下：

x′=x,y′=y-h

(1)

圖1 正交各向異性雙相介質(zhì)內(nèi)圓孔對SH波散射問題的解析研究模型Fig.1 Analytical model of SH wave scattering by a circular cavity in orthotropic biomaterials

2 Green函數(shù)

2.1 控制方程

(2)

引入以下形式的變換

(3)

(4)

相應(yīng)的應(yīng)力表達(dá)式為

(5)

其中，

a1=(c55+c44)(1-iγ)+(c55-c44-2ic45)(1+iγ),

c1=(c55+c44)(1+iγ)+(c55-c44+2ic45)(1-iγ),

a2=i(c55+c44)(1-iγ)+(i(c55-c44)+2ic45)(1+iγ),

c2=(i(c44-c55)+2c45)(1-iγ)-i(c55+c44)(1+iγ),

(6)

應(yīng)力表達(dá)式為

(7)

2.2 Green函數(shù)G1

如圖2所示，在區(qū)域Ⅰ的水平界面上任意一點(diǎn)施加時間簡諧反平面線源波場，作為本文提出的第一個Green函數(shù)G1。

圖2 含圓孔的各向異性介質(zhì)表面作用出平面線源載荷Fig.2 Anisotropic medium model of circular cavity impacted by an out-plane source load on surface

該問題模型的邊界條件為

(8)

(9)

圓孔的激發(fā)的散射波G(s)不僅必須滿足控制方程(4)，而且還必須滿足：①水平自由界面處的應(yīng)力自由；②無窮遠(yuǎn)處的Sommerfeld輻射條件。對應(yīng)的表達(dá)式為

(10)

則總波場可表達(dá)成

(11)

(12)

其中：

對于求解波場表達(dá)式中的待求系數(shù)An，采用最小二乘法

(m=0,±1,±2…n)

(13)

2.3 Green函數(shù)G2

(14)

3 SH波的入射

SH波以αi角度入射后在水平界面Y′=0處發(fā)生反射和透射，引入復(fù)變量z=x+iy，可將入射波W(i)和反射波W(r)分別表示為如下形式

(15)

(16)

圓孔激發(fā)產(chǎn)生的散射波W(s)與2.2節(jié)中的G(s)具有一樣的表達(dá)式和性質(zhì)，參見式(10)。

4 定解積分方程

至此，區(qū)域Ⅰ中的入射波W(i)、反射波W(r)以及散射波W(s)的解析表達(dá)式均已給出，從而兩個半空間的“剖分”界面y=-h上的總位移場和總應(yīng)力場亦可得到。

(17)

考慮到界面處切向應(yīng)力為零的邊界條件，波場W(i)、W(r)和W(s)的表達(dá)式均嚴(yán)格滿足，那么“剖分”界面上的總應(yīng)力滿足如下關(guān)系式

(18)

對于區(qū)域Ⅱ，“剖分”界面上總位移場與總應(yīng)力場可表示為

(19)

(20)

如圖3所示，由于在水平界面y=-h處位移和應(yīng)力連續(xù)，若將兩半空間“契合”，則需分別在區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅱ?qū)?yīng)的界面處施加一組未知的外力系F1(r0,θ0)和F2(r0,θ0)。

圖3 “剖分”界面裝配模型Fig.3 The conjunction model of “subdivision”surface

考慮外力系產(chǎn)生的位移場和應(yīng)力場，可得到兩個區(qū)域界面處對應(yīng)的總位移場和總應(yīng)力場如下

(23)

(24)

其中：G1和G2分別由式(11)和(14)定義。

F1(r0,θ0)=F2(r0,θ0)

(25)

根據(jù)界面上位移連續(xù)條件，有：

-[W(i)+W(r)+W(s)]θ=π

(26)

-[W(i)+W(r)+W(s)]θ=0

(27)

上述兩個方程屬于半無限域上的第一類Fredholm定解積分方程，該方程具有弱奇異性，因此本文選擇利用弱奇異積分方程的直接離散方法，將式(26)和式(27)分別轉(zhuǎn)化為線性代數(shù)方程組，從而計算出附加外力系F1和F2的值，經(jīng)驗算，可使界面處位移連續(xù)的計算精度達(dá)10-16～10-17。

5 孔洞周圍的動應(yīng)力集中系數(shù)(DSCF)

(28)

6 算例分析

根據(jù)以上理論推導(dǎo)，本章提供了大量的計算實例探討ξ和η(ξ=c45/c55,η=c44/c55)、入射波數(shù)k1R、入射角α、孔洞埋深h/R以及兩個無量綱參數(shù)k2/k1和μ1/μ2等參數(shù)對圓形孔洞周邊動應(yīng)力集中系數(shù)(DSCF)的影響規(guī)律。為了驗證本文理論推導(dǎo)的精確性和可行性，將本文問題模型退化為帶圓孔的各向異性彈性半空間模型，即文獻(xiàn)[12]的分析模型，并令ξ=0.2,η=0.8，h/R=1.5，得出圓孔周邊DSCF的變化曲線圖如圖3所示，經(jīng)驗證，圖3的數(shù)據(jù)結(jié)果與文獻(xiàn)[12]高度吻合。

圖4 圓孔周邊DSCF隨k1R的變化(ξ=0.2,η=0.8)Fig.4 DSCF around the cavity with k1R(ξ=0.2,η=0.8)

圖5 圓孔周邊DSCF隨h/R的變化(ξ=0.2，η=0.8)Fig.5 DSCF around the cavity with h/R(ξ=0.2，η=0.8)

(a)

(a)

圖8 θ=0°處DSCF隨h/R的變化(ξ=0.2，η=0.8)Fig.8 Variation of DSCF at θ=0° with h/R(ξ=0.2，η=0.8)

(a) ξ=0.2,η=0.8

7 結(jié) 論

本文研究了不同參數(shù)下正交各向異性雙相介質(zhì)中圓孔對SH波入射下的動態(tài)響應(yīng)問題。通過詳細(xì)分析大量算例，得出以下結(jié)論:

(1) 入射波頻率越大，動應(yīng)力集中現(xiàn)象越明顯。當(dāng)SH波水平入射和斜入射時，入射波沿各向異性介質(zhì)的不同方向表現(xiàn)出的傳播特性存在差異，孔和界面之間產(chǎn)生的位移場更加復(fù)雜，尤其是孔洞深度較淺的情況，動應(yīng)力集中更劇烈。在工程實踐中解決界面問題時，需要重點(diǎn)考慮孔洞埋深、不同介質(zhì)的波數(shù)比和剪切模量比等。

(2) 本文揭示的力學(xué)規(guī)律對工程實踐具有一定的參考價值，有助于材料性能的研究。結(jié)合復(fù)變函數(shù)中的“保角映射”方法，可進(jìn)一步研究正交各向異性雙相介質(zhì)界面附近的多個不規(guī)則形狀孔洞、夾雜和多裂紋的動力響應(yīng)問題。