趙 鵬，紀(jì) 剛，周其斗

(海軍工程大學(xué) 艦船與海洋學(xué)院，武漢 430033)

對(duì)周期結(jié)構(gòu)的振動(dòng)分析表明其在頻域上交替存在通頻帶和止頻帶[1]。在通頻帶，振動(dòng)會(huì)無衰減的傳播，在止頻帶振動(dòng)會(huì)呈現(xiàn)衰減趨勢(shì)。當(dāng)對(duì)周期結(jié)構(gòu)進(jìn)行某個(gè)參數(shù)的擾動(dòng)后，比如子結(jié)構(gòu)間距或是材料屬性的不一致，結(jié)構(gòu)將變?yōu)榉侵芷谙到y(tǒng)。由于非周期系統(tǒng)子單元處的阻抗不再處處相同，系統(tǒng)會(huì)表現(xiàn)出完全不一樣的振動(dòng)傳遞特性，在頻域上全部表現(xiàn)為止頻帶特征，振動(dòng)將主要被限制在振源附近，即表現(xiàn)出振動(dòng)局域化效應(yīng)[2]。

根據(jù)結(jié)構(gòu)擾動(dòng)方差和單元耦合參數(shù)的相對(duì)大小，非周期結(jié)構(gòu)可分為強(qiáng)擾動(dòng)和弱擾動(dòng)，強(qiáng)擾動(dòng)則對(duì)應(yīng)著弱耦合，表現(xiàn)出強(qiáng)局域化現(xiàn)象，其使振動(dòng)在空間衰減的更快。

對(duì)非周期結(jié)構(gòu)局域化效應(yīng)的研究多集中在20世紀(jì)中期，一維結(jié)構(gòu)方面，Bouzit等[3]通過研究單元耦合關(guān)系對(duì)多跨梁結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的影響，結(jié)果表明振動(dòng)局域化與單元間耦合強(qiáng)度密切相關(guān)，弱耦合更易導(dǎo)致局域化效應(yīng)。同時(shí)支撐間距的隨機(jī)性會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)振幅空間上的衰減，通過將平均變化速率表征為局部化程度，得到了局域化系數(shù)在弱跨間耦合和強(qiáng)跨間耦合中的解析近似。在二維系統(tǒng)振動(dòng)局域化研究方面，Elishakoff等[4]通過研究加強(qiáng)筋不等間距布置對(duì)彈性板屈曲模態(tài)和振型的影響，結(jié)果發(fā)現(xiàn)加強(qiáng)筋相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)位置的微小偏差都可以使屈曲模態(tài)從整體范圍變?yōu)榫植繀^(qū)域。Photiadis等[5]研究了無序引起殼體空間衰減變化的機(jī)理，通過針對(duì)圓柱殼不同的周向階數(shù)進(jìn)行分解實(shí)現(xiàn)降維，理論推導(dǎo)了弱擾動(dòng)程度下振動(dòng)衰減的近似表達(dá)式，通過分析近周期圓柱殼結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)高階模態(tài)有更明顯的振動(dòng)局域化效應(yīng)。

國內(nèi)對(duì)振動(dòng)局域化的研究多為弱局域化效應(yīng)，即分析小擾動(dòng)程度下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特征。然而實(shí)際工程中存在具有強(qiáng)擾動(dòng)程度的非周期結(jié)構(gòu)，強(qiáng)弱無序程度下的振動(dòng)衰減系數(shù)是有很大差別的，若不加以區(qū)分，仍用弱局域化理論分析強(qiáng)無序結(jié)構(gòu)，往往會(huì)得出錯(cuò)誤結(jié)論。本文首先對(duì)一維彈簧振子鏈系統(tǒng)展開研究，從波傳遞理論角度和模態(tài)分析方法出發(fā)，結(jié)合統(tǒng)計(jì)擾動(dòng)理論，給出對(duì)地剛度無序工況下強(qiáng)局域化的振動(dòng)衰減系數(shù)解析式。采用基于通頻帶近似的等效方法，獲取結(jié)構(gòu)的耦合參數(shù)，近似給出環(huán)肋圓柱殼的強(qiáng)局域化系數(shù)。最后通過有限元數(shù)值分析驗(yàn)證相關(guān)結(jié)論。

1 彈簧振子鏈系統(tǒng)強(qiáng)局域化系數(shù)計(jì)算

振動(dòng)局域化分析方法主要有攝動(dòng)法、模態(tài)分析法、傳遞矩陣法、波傳遞法和數(shù)值法等[6-7]?；谘芯繉?duì)象的特點(diǎn)，采用模態(tài)分析法和波傳遞法定量計(jì)算典型一維結(jié)構(gòu)的振動(dòng)衰減系數(shù)。

如圖1所示為含有對(duì)地剛度的彈簧振子鏈平面布置圖。將系統(tǒng)的兩端進(jìn)行固支，外界激振力以幅值F，頻率ω作用在左端第一個(gè)彈簧處，每個(gè)振子質(zhì)量相同均為m，相互之間通過剛度系數(shù)為k的彈簧耦合，同時(shí)各自又經(jīng)由剛度為ki的彈簧與大地固接。

圖1 含有對(duì)地剛度的彈簧振子鏈系統(tǒng)Fig.1 Mass-spring system with ground stiffness

設(shè)第i個(gè)質(zhì)量單元的位移向量表示為xi，則系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可以表示為

-ω2mxi+(ki+2k)xi-kxi-1-kxi+1=

(1)

1.1 模態(tài)分析法

對(duì)于周期結(jié)構(gòu)，每個(gè)子單元具有相同的物理參數(shù)，自然頻率也是相同的。假設(shè)單元間耦合度為0，此時(shí)模態(tài)頻率為子單元解耦頻率。當(dāng)耦合較小而并非消失時(shí)，模態(tài)頻率將以群組的形式呈現(xiàn)，即表現(xiàn)出“模態(tài)聚集現(xiàn)象”，并且接近未耦合時(shí)的自然頻率，這組頻率就是通頻帶[8]。而非周期結(jié)構(gòu)，各子單元自然頻率不同，在頻域上不存在通頻帶。因此對(duì)結(jié)構(gòu)的無序設(shè)計(jì)，本質(zhì)上是改變了系統(tǒng)的振動(dòng)模態(tài)，模態(tài)法通過計(jì)算傳遞到邊界處單元的單位振動(dòng)響應(yīng)，在整個(gè)傳遞距離上取平均從而分析出空間上的衰減效應(yīng)。

將物理量轉(zhuǎn)換為無因次形式后，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程可以改寫為[9-11]

(2)

(3)

(4)

自然頻率是指外力F=0時(shí)振子作自由振動(dòng)的頻率，式(5)表示彈簧振子鏈在不受外界激振力時(shí)的自由振動(dòng)方程。所以通過模態(tài)分析實(shí)現(xiàn)行列式值的計(jì)算，系統(tǒng)的自然模態(tài)即轉(zhuǎn)化為特征值求解問題

(5)

(6)

(7)

當(dāng)單元數(shù)量趨于無窮多時(shí)

(8)

對(duì)于強(qiáng)擾動(dòng)，由于無序程度很大而單元耦合強(qiáng)度很小，可以先將系統(tǒng)看成一個(gè)個(gè)對(duì)地剛度系數(shù)差別很大的獨(dú)立的解耦單元，再對(duì)各單元之間賦予彈簧屬性進(jìn)行耦合，此時(shí)將耦合強(qiáng)度看作是擾動(dòng)量，再利用擾動(dòng)理論進(jìn)行計(jì)算。

將系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)矩陣[A]分解成未擾動(dòng)項(xiàng)[A0]和擾動(dòng)項(xiàng)[a0]

(9)

(10)

極限表達(dá)可以轉(zhuǎn)換成對(duì)數(shù)函數(shù)取期望值的形式

(11)

(12)

1.2 波動(dòng)傳遞法

根據(jù)式(1)，相鄰單元的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)方程可以轉(zhuǎn)化為傳遞矩陣的形式

(13)

強(qiáng)局域化對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)弱耦合工況，即R是小量，σ是大量，從而可以將含1/R的項(xiàng)看作未擾動(dòng)量，其余項(xiàng)看作擾動(dòng)量

(14)

由文獻(xiàn)[12]可知，振動(dòng)衰減系數(shù)與狀態(tài)傳遞矩陣連續(xù)乘積的(1,1)項(xiàng)相關(guān)，計(jì)算得連乘矩陣的首項(xiàng)

(15)

最終得到表達(dá)式為

(16)

強(qiáng)局域化系數(shù)公式較為復(fù)雜，但也是耦合無序比值R/σ的一階近似，適用于R/σ是小量的情況。

式(12)和(16)分別通過模態(tài)法和波傳遞法推導(dǎo)了強(qiáng)無序程度下的局域化系數(shù)，兩種方法推導(dǎo)的結(jié)果相近，微小的差別是因?yàn)椴▊鬟f法只取了R/σ的一階近似，模態(tài)法推導(dǎo)結(jié)果含有一些高階項(xiàng)。具體計(jì)算中兩種數(shù)值結(jié)果相差很小，可以忽略不計(jì)。綜上，系統(tǒng)參數(shù)R/σ的相對(duì)大小是判斷非周期結(jié)構(gòu)擾動(dòng)強(qiáng)度的依據(jù)，當(dāng)R/σ<1時(shí)為強(qiáng)擾動(dòng)，反之為弱擾動(dòng)。

1.3 有限元分析與數(shù)值驗(yàn)證

為了驗(yàn)證上述結(jié)論，現(xiàn)對(duì)一非周期彈簧振子鏈進(jìn)行有限元分析。模型的相關(guān)參數(shù)和材料屬性,如表1所示。

表1 非周期彈簧振子鏈模型相關(guān)參數(shù)Tab.1 Related parameters of aperiodic spring oscillator chains

現(xiàn)設(shè)計(jì)質(zhì)量單元未擾動(dòng)時(shí)的對(duì)地剛度為105n/m，擾動(dòng)剛度的最大偏移量為4×104n/m，即對(duì)地剛度ki在區(qū)間(60 000,140 000)服從均勻分布，最大擾動(dòng)量達(dá)40%，生成一組隨機(jī)數(shù)據(jù)的無因次剛度標(biāo)準(zhǔn)差為0.232 6，耦合系數(shù)為0.1，此時(shí)σ/R>1，屬于強(qiáng)局域化弱耦合條件。選取頻率f=52、58 Hz，繪制振動(dòng)能量隨軸向位置的變化關(guān)系如圖2(a)、(b)所示。

(a) f=52 Hz，強(qiáng)擾動(dòng)

同時(shí)設(shè)計(jì)小擾動(dòng)偏移量，設(shè)對(duì)地剛度在(90 000,110 000)服從均勻分布，此時(shí)σ/R<1，屬于弱局域化效應(yīng)，圖2(c)所示為f=52 Hz下的振能圖。

從圖2可以看出，有限元實(shí)例模型的振幅衰減情況與強(qiáng)局域化系數(shù)理論結(jié)果吻合情況較好，對(duì)于強(qiáng)局域化弱耦合的實(shí)例模型，強(qiáng)局域化系數(shù)理論公式能很好地反應(yīng)系統(tǒng)的振動(dòng)衰減情況。觀察圖2(a)和(c)的縱坐標(biāo)可以發(fā)現(xiàn)，擾動(dòng)程度越大，局域化效應(yīng)越強(qiáng)，振幅在空間上衰減的更快。實(shí)際分析中若忽視強(qiáng)局域化與弱局域化的界限，仍然采用弱局域化理論公式進(jìn)行預(yù)報(bào)，將會(huì)導(dǎo)致相當(dāng)大的偏差。

針對(duì)擾動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)差為0.232 6的上例模型，如圖3所示為在頻率區(qū)間(51～59)Hz通過強(qiáng)弱局域化理論公式計(jì)算的差異圖。在中通帶附近兩類公式相差70%，越靠近邊緣頻率差異越大，在f=51 Hz處誤差高達(dá)470%。

圖3 兩種公式計(jì)算局域化系數(shù)的差值比Fig.3 The difference between strong localization coefficient and weak coefficient

2 等效過程

首先介紹一種結(jié)構(gòu)參數(shù)獲取方法，理論解析二維結(jié)構(gòu)的耦合參數(shù)較為困難，而根據(jù)數(shù)值解析的通頻帶范圍可以解決這一問題，這是從一維結(jié)構(gòu)過渡到二維的橋梁。下面針對(duì)彈簧振子系統(tǒng)驗(yàn)證這一方法的可靠性。

2.1 基于通頻帶獲取結(jié)構(gòu)耦合參數(shù)

對(duì)含有具體參數(shù)的周期結(jié)構(gòu)進(jìn)行理論計(jì)算可以給出通頻帶范圍，同樣根據(jù)通頻帶也能反映相關(guān)結(jié)構(gòu)參數(shù)，這就是獲取耦合參數(shù)的一個(gè)基本思路。對(duì)于彈簧振子系統(tǒng)可以通過理論計(jì)算準(zhǔn)確地給出通頻帶范圍，而對(duì)于板、殼等實(shí)際工程結(jié)構(gòu)，由于解析復(fù)雜，很難通過理論計(jì)算識(shí)別出通頻帶，此時(shí)可以通過編程數(shù)值計(jì)算結(jié)構(gòu)的通頻帶范圍，從而給出用于局域化公式計(jì)算的相關(guān)參數(shù)。

對(duì)式(1)可以轉(zhuǎn)化為

(-ω2mxi+kd+2k)xi-kxi-1-kxi+1=0

(17)

即：

(18)

行進(jìn)波可以表示成exp(ikxx)形式，將其代入運(yùn)動(dòng)方程解得

(19)

其中a為振子單元間距，kx為波數(shù)，取值范圍為(-π/a,π/a)。所以根據(jù)通頻帶的上下限頻率，可以給出耦合參數(shù)k/m

(20)

如圖4所示為典型彈簧振子系統(tǒng)的能量分布圖，顏色越亮代表能量越高，從而可以清晰地確定邊緣頻率數(shù)值，根據(jù)通頻帶進(jìn)一步給出子單元間的耦合剛度。

圖4 彈簧振子系統(tǒng)能量分布圖Fig.4 The energy distribution map of spring-mass system

為了驗(yàn)證基于通頻帶獲取耦合參數(shù)的可靠性，現(xiàn)以周期彈簧振子鏈系統(tǒng)為例，根據(jù)其通帶范圍f=[51,59]，計(jì)算耦合參數(shù)

(21)

(22)

這就是根據(jù)通頻帶識(shí)別出耦合剛度后，算出特定擾動(dòng)量下非周期結(jié)構(gòu)的局域化系數(shù)。而根據(jù)實(shí)際參數(shù)算出各頻率下的數(shù)值結(jié)果,如表2所示。

表2 特定頻率下計(jì)算的局域化系數(shù)Tab.2 Localization coefficient calculated at specific frequency

對(duì)所有通頻帶的局域化系數(shù)取平均值為0.434 2，接近邊界頻率時(shí)與通過耦合參數(shù)識(shí)別計(jì)算的結(jié)果相差8.4%。這充分說明了通過能量分布圖確定通頻帶范圍，計(jì)算單元耦合參數(shù)，從而預(yù)報(bào)非周期結(jié)構(gòu)的局域化系數(shù)，這一方法是切實(shí)有效的。這也為多自由度系統(tǒng)的局域化系數(shù)定量計(jì)算做了前提論證，通過此方法獲取耦合參數(shù)具有可行性。

2.2 基于波的分解理論獲取圓柱殼耦合參數(shù)

圓柱殼的振動(dòng)場(chǎng)較為復(fù)雜，可通過傅氏級(jí)數(shù)展開理論分解為多組簡(jiǎn)單行進(jìn)波的疊加，從而使分析得到簡(jiǎn)化[13-14]。對(duì)殼體進(jìn)行激振，通過有限元分析得到的頻響數(shù)據(jù)可分為實(shí)部項(xiàng)和虛部項(xiàng)

(23)

式中:x、θ為殼體表面的軸向和周向坐標(biāo);l為殼體軸向長(zhǎng)度。建模過程中沒有設(shè)定阻尼系數(shù)(不考慮阻尼作用)，輸出各節(jié)點(diǎn)位移虛部均為0，所以只需對(duì)實(shí)部進(jìn)行級(jí)數(shù)展開

(24)

其中：

(25)

根據(jù)各周向階數(shù)分解后的振動(dòng)幅值，可以給出n階振動(dòng)下各軸向位置的能量大小

(26)

根據(jù)式(26)繪制行進(jìn)波分量的能量分布圖，亮色區(qū)域?yàn)槟芰扛咧祬^(qū)域，可以清晰地給出通頻帶范圍。如圖5所示為某圓柱殼模型第25階數(shù)下的能量分布圖，從圖可以看出二維結(jié)構(gòu)具有多個(gè)通頻帶，可以將每個(gè)通帶都等效成一維結(jié)構(gòu)，從而獲取結(jié)構(gòu)耦合參數(shù)。

圖5 圓柱殼能量分布圖Fig.5 The energy distribution map of cylindrical shell

3 非周期環(huán)肋圓柱殼強(qiáng)局域化系數(shù)計(jì)算

基于2.1節(jié)得到殼體結(jié)構(gòu)的耦合參數(shù)后，問題的關(guān)鍵在于推出環(huán)肋間距的擾動(dòng)方差，從而可以利用一維結(jié)構(gòu)的理論公式給出殼體結(jié)構(gòu)的近似局域解。由文獻(xiàn)[13]，對(duì)于非周期環(huán)肋圓柱殼，σ2表示環(huán)肋間距的無因次統(tǒng)計(jì)方差值

(27)

(28)

式中:n為周向階數(shù);R為圓柱殼半徑;螺旋波波數(shù)kh可由平板色散關(guān)系式近似表達(dá)

(29)

式中:ρ為圓柱殼材料密度;ω0為通帶中央角頻率;E為彈性模量;ν為泊松比;h為圓柱殼板厚度。綜合以上結(jié)論，環(huán)肋間距的統(tǒng)計(jì)方差值為

(30)

表3 環(huán)肋圓柱殼模型相關(guān)參數(shù)Tab.3 Relevant parameters of ring-ribbed cylindrical shell model

圖6 有限元模型Fig.6 The finite element model

設(shè)有一激振力作用在中間環(huán)肋處，如圖7所示為選取系列周向階數(shù)和頻率下振動(dòng)能量隨軸向位置的有限元分析與理論分析對(duì)比圖。

(a) n=15，f=410 Hz

從圖中可以看出理論計(jì)算能較好地反映能量衰減趨勢(shì)，也驗(yàn)證了等效方法的可靠性，實(shí)現(xiàn)了圓柱殼環(huán)肋間距在強(qiáng)擾動(dòng)程度下的振動(dòng)衰減預(yù)報(bào)。

4 結(jié) 論

本文首先以彈簧振子鏈為研究對(duì)象，研究了強(qiáng)擾動(dòng)程度下的振動(dòng)局域化現(xiàn)象，通過模態(tài)分析法和波傳遞法推導(dǎo)出了振動(dòng)衰減系數(shù)?；诶碚摲治龅玫搅嘶谕l帶獲取結(jié)構(gòu)耦合參數(shù)的方法，并通過實(shí)例計(jì)算得到了驗(yàn)證，為圓柱殼結(jié)構(gòu)的耦合參數(shù)獲取打下基礎(chǔ)。通過分析圓柱殼環(huán)肋間距的統(tǒng)計(jì)方差，得到了強(qiáng)擾動(dòng)下非周期環(huán)肋圓柱殼的振動(dòng)衰減系數(shù)，并通過有限元分析得到了驗(yàn)證。

(1) 基于模態(tài)分析法和波傳遞法均可推導(dǎo)出強(qiáng)擾動(dòng)程度下的振動(dòng)局域化系數(shù)，由于近似的階數(shù)不同，兩者有微小的差異，在數(shù)值上相當(dāng)近似。

(2) 強(qiáng)擾動(dòng)具有更大的衰減系數(shù)，在空間上表現(xiàn)為衰減的更快，此時(shí)若仍用弱局域化理論很可能會(huì)得出錯(cuò)誤結(jié)論。

(3) 基于通頻帶可以獲取結(jié)構(gòu)的耦合參數(shù)，解決了圓柱殼結(jié)構(gòu)系數(shù)解析復(fù)雜的難題，實(shí)現(xiàn)了衰減預(yù)報(bào)從一維到二維的過渡。通過計(jì)算非周期圓柱殼環(huán)肋間距的近似方差值，可以得到圓柱殼的振動(dòng)衰減系數(shù)。