劉志彬， 譚 平， 王菁菁， 陳洋洋

(1. 廣州大學(xué) 土木工程學(xué)院，廣州 510405； 2. 廣州大學(xué) 廣東省地震工程與應(yīng)用技術(shù)重點實驗室，廣州 510405； 3. 廣州大學(xué) 工程抗震減震與結(jié)構(gòu)安全教育部重點實驗室，廣州 510405; 4. 廣州大學(xué) 工程抗震研究中心，廣州 510405)

結(jié)構(gòu)振動控制技術(shù)可以有效抑制結(jié)構(gòu)在風(fēng)、地震等多種外部激勵作用下產(chǎn)生的動力響應(yīng)，按其控制方式的不同可分為被動控制、主動控制、半主動控制及混合控制[1]。結(jié)構(gòu)控制技術(shù)能夠有效減小地震響應(yīng)，其中傳統(tǒng)調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(tuned mass damper, TMD)僅在固定頻率下發(fā)揮減震作用，非線性能量阱(nonlinear energy sink, NES)對能量變化的敏感性限制其控制能力的提升。學(xué)者為提高裝置控制性能對TMD或NES進行深入研究：劉中坡等[2]通過對附加軌道型非線性能量阱的5層鋼框架進行振動臺試驗，考察了該裝置對建筑結(jié)構(gòu)振動控制的效果；Wang等[3-5]在兩種基礎(chǔ)上提出幾類將線性和非線性控制技術(shù)結(jié)合的聯(lián)合控制技術(shù)，研究發(fā)現(xiàn)聯(lián)合控制技術(shù)具有極強的頻率魯棒性和能量魯棒性；劉良坤等[6]提出了一種非線性能量阱與調(diào)諧質(zhì)量阻尼器混合控制結(jié)構(gòu)振動的方案混合系統(tǒng)具有良好的魯棒性，不僅拓寬了頻帶，而且降低了對初始能量的敏感性。

近年來一些基于慣容特性的新型耗能裝置也相繼提出，在建筑結(jié)構(gòu)控制領(lǐng)域逐漸受到關(guān)注，其增效機制主要利用滾珠螺桿、齒條和齒輪等可以產(chǎn)生幾十到數(shù)千倍于物理質(zhì)量的表觀質(zhì)量[7]。英國學(xué)者 Smith[8]團隊通過力學(xué)與電學(xué)間的力-電流類比，提出以“Inerter”(對應(yīng)于電學(xué)中的電容)來命名兩端點慣性元件，從理論角度概括了慣容元件(兩端點慣性元件)的原理。與傳統(tǒng)質(zhì)量元件(單端點慣性元件)不同，慣容的出力與其兩端點間的相對加速度相關(guān)(如圖1所示)，其出力與兩端相對加速度的比值稱為慣容系數(shù)。

注： f為慣容力;b為慣容系數(shù)(量綱等同質(zhì)量，也稱慣容)；a1，a2分別為慣容兩個端點的加速度。圖1 兩端點慣性元件—慣容Fig.1 Two-terminal inerter element—inerter

慣容與消能裝置共同工作時能有效提高后者的能量耗散效率，這種耗能增益特性一方面源于慣容實現(xiàn)機制對等效黏滯系數(shù)的放大；另一方面是慣容-彈簧串聯(lián)體系可以放大其內(nèi)部自由度的變形[9]。20世紀(jì)70年代開始土木工程領(lǐng)域已經(jīng)出現(xiàn)兩端點的慣性機制的應(yīng)用，Ikago等[10-12]將慣容機制引入旋轉(zhuǎn)黏滯阻尼器，提出了一種新的控制裝置—調(diào)諧黏滯質(zhì)量阻尼器(tuned viscous mass damper, TVMD)。Marian等[13-15]在TMD體系加入慣容中，提出得調(diào)諧質(zhì)量阻尼慣容器(tuned mass damper inerter, TMDI)的系統(tǒng)相對TMD在減小位移響應(yīng)方面有明顯優(yōu)勢。Ruiz等[16]通過響應(yīng)分析對地震風(fēng)險進行量化，并據(jù)此提出了一種TMDI的設(shè)計優(yōu)化方法。張瑞甫[17]提出將慣容元件和阻尼元件串聯(lián)(series viscous mass damper, SVMD)用于隔震結(jié)構(gòu)，這與TVMD中黏滯元件與質(zhì)量元件并聯(lián)的連接方式不同。李壯壯等[18]提出了4種新型基于ISD結(jié)構(gòu)的被動振動控制減振形式，以減少工程結(jié)構(gòu)受到外部激勵時的振動。趙志鵬等[19]提出一種非速度依賴型阻尼慣容系統(tǒng)，相較于傳統(tǒng)的黏滯阻尼慣容系統(tǒng)提高耗能效率。上述研究均表明慣容與消能裝置共同工作可以提高控制裝置的減振性能，具有良好的工程應(yīng)用前景。

基于上述研究，本文設(shè)計一種附加慣容器的非對稱非線性能量阱(非對稱NES[20])——非對稱慣容NES，在脈沖型荷載作用下進行關(guān)鍵參數(shù)優(yōu)化，并對地震激勵下的響應(yīng)規(guī)律進行研究。對各控制裝置的位移響應(yīng)進行小波分析，研究非對稱慣容NES在寬頻域上的減振機理，討論非對稱慣容NES在地震作用下的減震效果。

1 非對稱慣容NES

設(shè)非線性彈簧組中彈簧剛度為k，彈簧原長為l，NES位移為x(如圖2所示)。根據(jù)幾何關(guān)系可得到非線性彈簧組在運動方向產(chǎn)生的恢復(fù)力為

圖2 非對稱慣容NES示意圖Fig.2 Schematic diagram of asymmetric inerter NES

(1)

當(dāng)NES位移小于彈簧原長時可省略高階項，得到

f=kCubicx3

(2)

式中，kC為彈簧組非線性剛度，表達(dá)式為

kC=k/l2

(3)

當(dāng)NES被拉離初始位置r時，非線性彈簧組恢復(fù)力為

fC(u)=kC(u+r)3

(4)

線性彈簧恢復(fù)力為

fL(u)=kLu+f0

(5)

式中，u為以r位置為參考的NES位移。

通過r位置的靜力平衡條件，可以得到

fC(0)=fL(0)

(6)

f0=-kCr3

(7)

此裝置設(shè)慣容系數(shù)為b，慣容力fb為

(8)

綜合以上結(jié)果得到非對稱慣容NES恢復(fù)力綜合表現(xiàn)為

(9)

非對稱慣容NES運動方程為

(10)

式中：m為滑動質(zhì)量塊質(zhì)量；c為阻尼系數(shù)；xn為主體結(jié)構(gòu)的頂層位移。圖3是四種控制裝置的恢復(fù)力-位移關(guān)系，可以看出非對稱慣容NES和非對稱NES同樣具有非線性特性且相對NES對能量的變化不太敏感。

圖3 TMD、NES、非對稱和非對稱慣容恢復(fù)力-位移關(guān)系Fig.3 Force-displacement relationships of TMD,NES,ASYM and ASYMI

2 控制參數(shù)優(yōu)化

2.1 主體結(jié)構(gòu)

本文中使用了某三層鋼框架結(jié)構(gòu)的兩種不同剛度的模型作為主體結(jié)構(gòu)，其動力特性已通過試驗識別。該主體結(jié)構(gòu)曾用于非對稱NES的減震性能試驗研究。圖4(a)表示完好結(jié)構(gòu)，每層由六片高彈性鋼板柱連接。圖4(b)表示損傷結(jié)構(gòu)，每層由四片鋼板柱連接。主體結(jié)構(gòu)完好和結(jié)構(gòu)破壞兩種情況下是為了對比控制裝置在不同主體結(jié)構(gòu)剛度時減振性能的變化。表1識別得到的六柱和四柱主體結(jié)構(gòu)各層質(zhì)量和剛度，表2各階阻尼比和自振頻率。

圖4 主體結(jié)構(gòu)模型Fig.4 Physical realization of primary structure

表1 主體結(jié)構(gòu)質(zhì)量及剛度Tab.1 Mass and stiffness of primary structure

表2 主體結(jié)構(gòu)阻尼比及自振頻率Tab.2 Damping ratio and natural frequency of primary structure

2.2 參數(shù)優(yōu)化

參數(shù)優(yōu)化使用的主體結(jié)構(gòu)為完好六柱結(jié)構(gòu)。為方便后文各裝置減振性能對比，本研究對TMD、一型NES、非對稱非線性能量阱和非對稱慣容NES分別進行了優(yōu)化。其中TMD、一型NES和非對稱NES控制裝置質(zhì)量比均取為主體結(jié)構(gòu)質(zhì)量的5%，為4.45 kg，非對稱慣容NES的滑動質(zhì)量取2.5%為2.225 kg，慣性元件質(zhì)量考慮到后續(xù)試驗實現(xiàn)的可能性取0.5 kg，非對稱慣容NES附加質(zhì)量相對其他控制裝置減小約40%。兩個優(yōu)化控制參數(shù)為線性和非線性剛度系數(shù)。優(yōu)化采用脈沖型荷載，通過對主體結(jié)構(gòu)所有樓層和附加質(zhì)量設(shè)置0.2 m/s的初始速度施加。優(yōu)化目標(biāo)為使15 s內(nèi)主體結(jié)構(gòu)頂層位移的均方根達(dá)到最小值。優(yōu)化思路如圖5所示，首先確定可能產(chǎn)生最佳減振性能的剛度系數(shù)的范圍，然后通過模擬分析計算得到響應(yīng)，根據(jù)響應(yīng)分布調(diào)整剛度系數(shù)范圍至同一數(shù)量級，最后確定最優(yōu)參數(shù)取值。這種優(yōu)化方法可以防止誤取局部極值。

圖5 剛度優(yōu)化流程圖Fig.5 Flow chart of stiffness optimization

TMD的待優(yōu)化參數(shù)為剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)，分別為500 N/m 和3.23 N·s/m。一型NES和非對稱NES的阻尼系數(shù) 取值與TMD相同。一型NES的待優(yōu)化參數(shù)為非線性剛度,優(yōu)化結(jié)果為2.9×105N/m3。非對稱NES的待優(yōu)化參數(shù)為線性和非線性剛度。本文中平衡位置距離取為0.05 m，ASYM采用文獻(xiàn)中優(yōu)化好的剛度系數(shù)，非對稱NES 線性和非線性剛度系數(shù)分別為190 N/m和2.8×104N/m3。非對稱慣容NES是在非對稱NES確定平衡位置距離的基礎(chǔ)上進行參數(shù)優(yōu)化。考慮到試驗過程中慣容阻尼器的可行性，假定慣容阻尼器的質(zhì)量b為0.5 kg，綜合考慮非對稱慣容NES在主體結(jié)構(gòu)頻率和能量變化時的表現(xiàn)，在此基礎(chǔ)上優(yōu)化的線性和非線性剛度系數(shù)分別為80 N/m和2.8×104N/m3(圖6所示白色圓點)。

圖6 非對稱慣容NES剛度優(yōu)化結(jié)果Fig.6 Optimization of asymmetric inerter NES

3 脈沖型響應(yīng)分析

3.1 能量魯棒性分析

圖7對比主體結(jié)構(gòu)為六柱時不同初始速度作用下無控系統(tǒng)、TMD系統(tǒng)、一型NES系統(tǒng)(圖中簡稱NES)、非對稱NES系統(tǒng)(圖中簡稱非對稱)以及非對稱慣容NES系統(tǒng)(圖中簡稱非對稱慣容)的頂層位移響應(yīng)。通過對比不同初始速度作用下各控制裝置的減振性能可以發(fā)現(xiàn)，在優(yōu)化荷載作用下各控制裝置減振性能良好。

圖7 六柱結(jié)構(gòu)不同初始速度下頂層位移響應(yīng)Fig.7 Top story displacements of original structure under various initial velocities

在荷載能量發(fā)生變化時，一型NES的減振效果較優(yōu)化荷載的情況有了明顯退化，與其他控制裝置相比需要花費更長時間才能將主體結(jié)構(gòu)位移減小至同一等級。TMD系統(tǒng)為線性系統(tǒng)，控制能力不因激勵能量變化而改變，因此減振效率不發(fā)生變化。非對稱NES系統(tǒng)和非對稱慣容NES系統(tǒng)的控制效果與TMD系統(tǒng)十分接近，能量變化對控制性能的影響遠(yuǎn)小于一型NES。

3.2 頻率魯棒性分析

圖8比較不同頻率結(jié)構(gòu)0.2 m/s 初始速度下頂層位移響應(yīng)。通過觀察時程曲線可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)主體結(jié)構(gòu)頻率發(fā)生變化時， TMD調(diào)諧作用減弱，減振能力退化嚴(yán)重。NES、非對稱系統(tǒng)和非對稱慣容系統(tǒng)三種具有非線性恢復(fù)力特性的控制裝置仍能保持較強的控制能力，展現(xiàn)了極強的頻率魯棒性。

圖8 不同頻率結(jié)構(gòu)0.2 m/s初始速度下頂層位移響應(yīng)Fig.8 Top story displacements of under initial velocity of 0.2 m/s of structures with different frequencies

4 地震響應(yīng)分析

4.1 地震記錄

為考察新提出的新型非對稱慣容NES在地震作用下的控制性能，本文對12條Kobe(1995年，7.2級)地震加速度作用下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)進行了分析。表3列出了12條地震記錄的信息，按照地面峰值加速度(peak ground acceleration,PGA)從小到大進行編號，PGA范圍為0.33～3.41 m/s2。

表3 地震記錄Tab.3 Seismic records

表4 12條地震作用下頂層加速度峰值及均方根均值Tab.4 Average value of peak and root mean square of top acceleration under 12 earthquake actions

表5 12條地震作用下頂層位移峰值及均方根均值Tab.5 Average value of peak and root mean square of top displacement under 12 earthquake actions

4.2 頂層加速度響應(yīng)分析

圖9列出主體結(jié)構(gòu)為六柱時各控制系統(tǒng)在12條實測地震作用下與無控系統(tǒng)的頂層加速度峰值比值(見圖9(a))和均方根比值(見圖9(b))(具體數(shù)據(jù)見表A.1)。圖9(a)可以發(fā)現(xiàn)在地震作用下，NES的加速度比值較大甚至超過無控結(jié)構(gòu)加速度峰值，其他三種控制裝置峰值均有一定程度減小。由于消能結(jié)構(gòu)固有的延遲效應(yīng)，峰值只比較時程中最大值，均方根對消能結(jié)構(gòu)是更合理的評價指標(biāo)。圖9(b)對比了頂層加速度均方根，此時非對稱慣容NES能將加速度均方根降低至50%以下，與TMD控制效果想當(dāng)。圖10展現(xiàn)了四柱結(jié)構(gòu)時各控制裝置在12條實測地震作用下與無控系統(tǒng)的頂層加速度峰值比值(見圖10(a))和均方根比值(見圖10(b))(具體數(shù)據(jù)見表A.2)。此時由于主體結(jié)構(gòu)剛度發(fā)生變化，各控制裝置控制能力都有一定的退化，NES由于對能量較敏感，對加速度峰值依舊沒有較好的控制能力，ASYM與TMD也不能穩(wěn)定的減小加速度峰值。非對稱慣容NES相對其他三種控制裝置能夠有效減小加速度峰值，展現(xiàn)了較強的減震性能。

表A.1 地震作用下六柱結(jié)構(gòu)頂層加速度峰值及加速度均方根Tab.A.1 Peak and root mean square of top acceleration of six columns under 12 earthquake actions

表A.2 地震作用下四柱結(jié)構(gòu)頂層加速度峰值及加速度均方根Tab.A.2 Peak and root mean square of top acceleration of four columns under 12 earthquake actions

圖9 六柱結(jié)構(gòu)12條地震作用下頂層加速度峰值比值和均方根比值Fig.9 Peak ratio and root mean square ratio of top acceleration under 12 earthquake actions of original structure

圖10 四柱結(jié)構(gòu)12條地震作用下頂層加速度峰值比值和均方根比值Fig.10 Peak ratio and root mean square ratio of top acceleration under 12 earthquake actions of damaged structure

4.3 頂層位移響應(yīng)分析

圖11列出主體結(jié)構(gòu)為完好六柱結(jié)構(gòu)時各控制裝置在12條實測地震作用下與無控系統(tǒng)的頂層位移均方根比值(具體數(shù)據(jù)見表A.3)?？梢园l(fā)現(xiàn)在地震作用下，由于地震能量的隨機性，NES的控制性能較弱，其他三種控制裝置減振能力相當(dāng)，頂層位移均方根比值均能保持在50%以下。圖12列出主體結(jié)構(gòu)四柱結(jié)構(gòu)時各控制裝置在12條實測地震作用下與無控系統(tǒng)的頂層位移均方根比值(具體數(shù)據(jù)見表A.4)。此時由于主體結(jié)構(gòu)剛度發(fā)生變化，各控制裝置控制能力都有一定的退化，尤其NES與TMD退化嚴(yán)重。此時非對稱慣容NES具有極強的頻率魯棒性和能量魯棒性，在具有隨機能量的地震動的作用下能夠保持較強的減振性能。

表A.3 地震作用下六柱結(jié)構(gòu)頂層位移峰值及加速度均方根Tab.A.3 Peak and root mean square of top displacement of six columns under 12 earthquake actions

表A.4 地震作用下四柱結(jié)構(gòu)頂層位移峰值及加速度均方根Tab.A.4 Peak and root mean square of top displacement of four columns under 12 earthquake actions

圖13、圖14列出了主結(jié)構(gòu)為六柱和四柱時的11號地震動作用下的結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)時程。圖13顯示了六柱完好結(jié)構(gòu)在地震作用下的位移響應(yīng)時程，可以發(fā)現(xiàn)四種控制裝置都能快速耗散能量，在極短時間內(nèi)減小頂層位移。圖14列出了四柱損傷結(jié)構(gòu)各控制系統(tǒng)在地震作用下的減震能力，由于TMD與主體結(jié)構(gòu)不再調(diào)諧，減震能力弱化嚴(yán)重。NES和非對稱NES控制能力也有一定的退化，但非對稱慣容NES能夠在主體結(jié)構(gòu)剛度變化時保持較強的控制能力，具有極強的頻率魯棒性和能量魯棒性。所反映的情況與圖11、圖12的結(jié)論是一致的。

圖11 六柱結(jié)構(gòu)12條地震作用下頂層位移均方根比值Fig.11 Root mean square ratio of top displacement under 12 earthquake actions of original structure

圖12 四柱結(jié)構(gòu)12條地震作用下各控制裝置頂層位移均方根比值Fig.12 Root mean square ratio of top displacement under 11 earthquake actions of damaged structure

圖13 六柱結(jié)構(gòu)11號地震作用下頂層位移響應(yīng)時程Fig.13 Top floor displacement response of original structure under No.11 earthquake

圖14 四柱結(jié)構(gòu)11號地震作用下頂層位移響應(yīng)時程Fig.14 Top floor displacement response of damaged structure under No.11 earthquake

5 小波分析

為觀察主結(jié)構(gòu)與子結(jié)構(gòu)之間的能量傳遞，對主結(jié)構(gòu)與附加子結(jié)構(gòu)的響應(yīng)進行小波分析。采用此方法對12條Kobe(1995年，7.2級)實測地震加速度激勵下的位移響應(yīng)進行分析，圖15和圖16顯示了在代表性11號地震動作用下不同主體結(jié)構(gòu)響應(yīng)的小波功率譜，并標(biāo)出主體結(jié)構(gòu)的基頻以觀察能量響應(yīng)的頻率分布。

主結(jié)構(gòu)無控情況下的基頻(1.86 Hz)圖15 六柱結(jié)構(gòu)11號地震動記錄作用下的位移響應(yīng)小波功率譜Fig.15 Numerical wavelet transform spectrum for displacement response of original structure under No.11 seismic record

主結(jié)構(gòu)無控情況下的基頻(1.52 Hz)圖16 四柱結(jié)構(gòu)11號地震動記錄作用下的位移響應(yīng)小波功率譜Fig.16 Numerical wavelet transform spectrum for displacement response of damaged structure under No.11 seismic record

圖15(a)是無控主結(jié)構(gòu)的小波功率譜，盡管地震動頻帶較寬，但無控結(jié)構(gòu)的響應(yīng)能量仍然大部分集中在基頻1.86 Hz附近，只能通過自身阻尼耗能，符合典型線彈性無控結(jié)構(gòu)的響應(yīng)特點。圖15(b)和圖15(c)給出相應(yīng)的一型NES體系響應(yīng)情況，一型NES不再局限在主結(jié)構(gòu)基頻附近能夠在更廣頻域內(nèi)快速耗能，主體結(jié)構(gòu)的響應(yīng)也能快速減小。圖15(d)和圖15(e)描述了TMD體系的響應(yīng)情況，可以看到，子結(jié)構(gòu)和主結(jié)構(gòu)的響應(yīng)頻率基本一致，都集中在基頻附近，表明TMD能夠在短時間內(nèi)耗散主體結(jié)構(gòu)能量，符合TMD系統(tǒng)的特點。圖15(f)和圖15(g)描繪了非對稱NES體系的響應(yīng)情況，可以發(fā)現(xiàn)，該控制裝置能夠在極短時間內(nèi)降低主體結(jié)構(gòu)響應(yīng)，并響應(yīng)能量分布在更廣的頻域上。圖15(h)和圖15(i)描繪了非對稱慣容NES體系的響應(yīng)情況，可以看到，非對稱慣容NES能夠在極短時間內(nèi)耗散主體結(jié)構(gòu)能量，且能在較寬頻域內(nèi)發(fā)揮作用。

圖16給出了11號地震動作用下主結(jié)構(gòu)為四柱結(jié)構(gòu)時位移響應(yīng)的小波功率譜，此時無控主結(jié)構(gòu)的基頻為1.52 Hz。各控制裝置由于基頻的改變使主結(jié)構(gòu)的能量衰減變慢，TMD系統(tǒng)與主體結(jié)構(gòu)不再調(diào)諧，NES控制能力由于地震能量的隨機性也降低，減振性能都有所降低。但非對稱NES和非對稱慣容NES中特別是非對稱慣容NES仍能夠在短時間內(nèi)消耗主結(jié)構(gòu)能量，這表明對非對稱NES和非對稱慣容NES特別是非對稱慣容NES影響相對不大，是其表現(xiàn)出更強減震能力的原因。我們對其余11條地震加速度激勵作用下響應(yīng)時程的進行小波分析，可以總結(jié)出相似的結(jié)論。

6 結(jié) 論

基于非對稱NES設(shè)計一種附加慣容器的新型控制方法——非對稱慣容NES，它是具有NES特性的被動結(jié)構(gòu)控制裝置。非對稱慣容NES是在非對稱NES的基礎(chǔ)上開發(fā)的，它在輔助質(zhì)量和定點之間添加了慣容器，可以看作是非對稱NES的推廣，相對在非對稱NES質(zhì)量減小約40%。在三層鋼結(jié)構(gòu)模型中進行關(guān)鍵參數(shù)優(yōu)化和數(shù)值模擬分析，最后在12條實測地震動記錄作用下的進行響應(yīng)分析，進一步展現(xiàn)了非對稱慣容NES的優(yōu)勢。主要結(jié)論總結(jié)如下：

(1) 非對稱慣容NES在脈沖型荷載作用下優(yōu)化的參數(shù)在能量和頻率改變時展現(xiàn)出極強的減振性能，說明考慮結(jié)構(gòu)性質(zhì)和能量變化的非對稱慣容NES具有良好的控制性能。

(2) 在地震作用過程中，非對稱慣容NES能夠有效減小主體結(jié)構(gòu)頂層加速度峰值并能在極短時間減小主體結(jié)構(gòu)頂層位移；在主體結(jié)構(gòu)剛度變化前后仍舊保持良好的控制能力。

(3) 對代表性的11號地震動作用下結(jié)構(gòu)響應(yīng)進行小波分析，非對稱慣容NES能在更廣頻域內(nèi)與主體結(jié)構(gòu)發(fā)生共振，主體結(jié)構(gòu)剛度變化前后對非對稱慣容NES的內(nèi)共振俘獲行為影響不大，能夠保持較強的減震能力。對其余11條地震作用下結(jié)構(gòu)響應(yīng)時程的小波功率譜進行分析，可以總結(jié)出相似的結(jié)論。