鄭華林， 金洹冰， 王小虎， 李炎軍

(1. 西南石油大學 機電工程學院，成都 610500； 2. 中國航發(fā)四川燃氣渦輪研究院，成都 610500)

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是旋轉(zhuǎn)機械的核心，在各個領域都有著廣泛的應用，例如在現(xiàn)代航空發(fā)動機中，為了提高推重比，減少整機質(zhì)量，往往會使用雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)。在雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，高壓轉(zhuǎn)子與低壓轉(zhuǎn)子通過中介軸承連接。由于中介軸承的存在，整個雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動耦合非常強烈。中介軸承內(nèi)外圈同時旋轉(zhuǎn)，潤滑條件較差，極易發(fā)生故障[1-3]。因此，對雙轉(zhuǎn)子-中介軸承系統(tǒng)的動力學特性進行研究具有重要意義。

使用軸流式壓氣機的航空發(fā)動機，由于制造或裝配的誤差，葉輪和機匣之間會存在一定的徑向偏離，會使壓氣機葉尖間隙沿周向分布不均勻，在轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)時，會導致葉片上的氣動力不等，葉片的氣動力除了會合成一個扭矩外，還會合成一個作用于軸心的橫向力[4-6]。1958年，德國的Thomas[7]在對氣體透平的不穩(wěn)定性研究中第一次提出：存在偏心的渦輪在旋轉(zhuǎn)時會產(chǎn)生一個垂直于偏心方向的力，將其稱為間隙激勵力。1965年，美國的Alford[8]進一步揭示了間隙激勵力產(chǎn)生的機理，后面習慣將其稱為Alford力。后來的學者對Alford力進行了許多研究。Kim等[9]將細長軸采用Euler-Bernoulli梁理論建模后與風機模型耦合，研究表明Alford力會導致結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定。白長青等[10]研究了Alford力和滾動軸承對軸流壓縮機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學特性和穩(wěn)定性的影響，研究表明超過臨界轉(zhuǎn)速，Alford力對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性影響會更大。成玫等[11]研究了滾動軸承和轉(zhuǎn)子Alford力的影響后，發(fā)現(xiàn)滾動軸承間隙對系統(tǒng)穩(wěn)定性影響較大。王小虎等[12]研究了磁懸浮軸承和Alford力的影響，建立了系統(tǒng)的有限元模型，結(jié)果表明，在非線性Alford力和磁軸承電磁力共同作用下，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)表現(xiàn)出了較復雜的動力學特征。上述研究結(jié)果表明，Alford力對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性有很大的影響。在航空發(fā)動機雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，由于存在中介軸承力，再加上轉(zhuǎn)子運動時產(chǎn)生的Alford力，使得整個系統(tǒng)運動極為復雜。目前關于Alford力對雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學特性影響的研究較少，因此，為了解航空發(fā)動機雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在實際運行過程中的情況，研究中介軸承力和Alford力共同作用下雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學特性非常有必要。

以航空發(fā)動機典型雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為研究對象，考慮中介軸承非線性接觸力，考慮壓氣機盤上的Alford力，采用Euler-Bernoulli梁理論建立了雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學模型，利用有限單元法和Newmark-β法求解出系統(tǒng)的響應，結(jié)合頻譜圖、軸心軌跡圖、龐加萊截面圖對系統(tǒng)進行分析。

1 系統(tǒng)建模

1.1 雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)建模

所研究的雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡圖[13]如圖1所示，將系統(tǒng)離散為若干軸段、剛性圓盤以及支承單元。軸段采用Euler-Bernoulli梁理論進行建模；圓盤考慮為剛性體；每個節(jié)點有4個自由度，包括2個平動和2個轉(zhuǎn)動，該模型8個節(jié)點共有32個自由度；支承軸承等效為彈簧阻尼結(jié)構(gòu)。

圖1 雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)簡化模型Fig.1 Simplified model of dual-rotor system

圓盤的廣義坐標就是其軸心節(jié)點的位移向量，包括沿x軸的平動和轉(zhuǎn)動，以及沿y軸的平動和轉(zhuǎn)動，其節(jié)點的質(zhì)量矩陣Md和陀螺矩陣Gd可表示為

(1)

(2)

式中：m為圓盤的質(zhì)量；Jd為圓盤過軸心的直徑轉(zhuǎn)動慣量；Jp為圓盤過軸心的極轉(zhuǎn)動慣量；在陀螺矩陣中，ω為轉(zhuǎn)速，對于本文所研究的雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，在計算時需要分別代入高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速ωH和低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速ωL。

對于彈性軸段單元，其廣義坐標是兩端節(jié)點的位移向量,其節(jié)點的移動慣性矩陣MT、轉(zhuǎn)動慣性矩陣MR、陀螺矩陣Gb、剛度矩陣Kb[14]均可分別表示為

(3)

(4)

(5)

(6)

節(jié)點的質(zhì)量矩陣為移動慣性矩陣與轉(zhuǎn)動慣性矩陣之和，即

Mb=MT+MR

(7)

式中：ρ為軸段密度；A為軸段橫截面積；l為軸段長度；R和r分別為軸段內(nèi)外半徑；E為彈性模量；I為截面慣性矩；在陀螺矩陣中，ω為轉(zhuǎn)速，對于本文所研究的雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，在計算時需要分別代入高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速ωH和低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速ωL。

將低壓軸段的單元矩陣與低壓軸上圓盤的單元矩陣按照自由度相對應的原則進行組裝，即可得到低壓軸的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和陀螺矩陣。同理可以得到高壓軸的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和陀螺矩陣。

在圖1所示靜坐標系XYZ下，低壓軸的運動方程可以表示為

(8)

式中：ML為低壓軸質(zhì)量矩陣；CL為低壓軸阻尼矩陣，以瑞利阻尼的形式引入；GL為低壓軸陀螺矩陣；KL為低壓軸剛度矩陣；u1L和u2L分別為低壓軸x自由度和y自由度的位移向量；F1L和F2L為低壓軸廣義力向量。

同理，高壓軸的運動方程可以表示為

(9)

式中：MH為高壓軸質(zhì)量矩陣；CH為高壓軸阻尼矩陣，以瑞利阻尼的形式引入；GH為高壓軸陀螺矩陣；KH為高壓軸剛度矩陣；u1H和u2H分別為高壓軸x自由度和y自由度的位移向量；F1H和F2H為高壓軸廣義力向量。

聯(lián)立式(8)和式(9)，可以得到運動方程的矩陣形式。將與機匣相連的3個支承軸承剛度和阻尼加入到系統(tǒng)中。按照等剛度彈性支承[15]將剛度系數(shù)加入系統(tǒng)剛度矩陣相應自由度，對于支承軸承的阻尼系數(shù)也可以按照剛度系數(shù)疊加的方法疊加到系統(tǒng)阻尼矩陣中。

由此可以得到系統(tǒng)的運動學方程為

(10)

式中：M為整個系統(tǒng)的慣性矩陣(含輪盤轉(zhuǎn)動慣量)；C為系統(tǒng)阻尼矩陣；G為陀螺矩陣(含輪盤)；K為系統(tǒng)剛度矩陣；u為廣義坐標向量；F為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的廣義力向量。

1.2 中介軸承力建模

在如圖2所示簡化中介軸承動力學模型中[16]：ωo，ωi分別為中介軸承外圈轉(zhuǎn)速和內(nèi)圈轉(zhuǎn)速；θj為第j個滾子在任意時刻的瞬時角位置。

圖2 中介軸承簡化模型Fig.2 Simplified model of inter-shaft bearing

假設滾子在內(nèi)外圈之間作純滾動，保持架的轉(zhuǎn)速可以表示為

(11)

任意時刻，第j個滾子的瞬時角位置可以表示為

(12)

式中:θ0為第1個滾子相對于x軸的初始夾角；Nb為滾子個數(shù)。

假設系統(tǒng)發(fā)生小變形，第j個滾子與中介軸承內(nèi)外圈接觸時總的變形量為

δj=(xi-xo)cosθj+(yi-yo)sinθj-δ0

(13)

式中：xi，xo，yi，yo分別為中介軸承內(nèi)圈在x方向的位移分量、外圈在x方向的位移分量、內(nèi)圈在y方向的位移分量、外圈在y方向的位移分量；δ0為軸承的徑向游隙。

根據(jù)赫茲接觸理論[17]，非線性接觸力可以表示為

(14)

因此，每個滾子在x方向和y方向上Hertz接觸力的投影之和，即為中介軸承總體的Hertz接觸力在x方向和y方向上的分量，可以表示為

(15)

1.3 Alford力建模

航空發(fā)動機轉(zhuǎn)子受重力產(chǎn)生靜態(tài)變形，運行過程中受不平衡力等動態(tài)激勵力而產(chǎn)生徑向振動，靜態(tài)變形和徑向振動會使葉輪在徑向產(chǎn)生偏心。葉輪偏心會導致周向葉尖間隙不等，葉片上圓周方向的力不僅會合成一個扭矩，還會產(chǎn)生一個作用于軸心的橫向力，這一橫向力就被稱為Alford力，如圖3中FA。

圖3 Alford力模型Fig.3 The model of Alford force

Thomas和Alford兩人均提出了Alford力的計算公式，Thomas建立的公式中dξ/dδ難以確定，Alford建立的公式效率系數(shù)β會隨著不同的葉輪結(jié)構(gòu)而發(fā)生改變，不是一個固定的值，因此Thomas和Alford兩人建立的Alford力的計算公式只適用于定性分析。柴山等[18]從流體力學出發(fā)，對原始Alford力計算表達式進行了改進，得到新的Alford力公式，表示為

(16)

得到Alford力后，轉(zhuǎn)子坐標系nO′t與XOY不重合，因此可以將FA在x方向和y進行分解，就可以得到Alford力在x方向和y方向的分量。

2 仿真結(jié)果與分析

該模型有8個節(jié)點，共32個自由度，采用Newmark-β法對該系統(tǒng)的32維動力學方程進行求解，時間步長為1×10-5s。不平衡力分別施加在高壓和低壓渦輪盤對應節(jié)點上，其中高壓不平衡量和低壓不平衡量分別為0.5 μm和1.0 μm；中介軸承力施加在中介軸承對應節(jié)點上；Alford力施加在低壓壓氣盤對應節(jié)點上；整個系統(tǒng)都受到了重力的作用，因此在每個節(jié)點的x自由度上以加速度的形式施加重力；高低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速比λ=1.2。雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)參數(shù)如表1所示。

表1 雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 Model parameters of the dual-rotor system

中介軸承模型參數(shù)

ro=15 mm,ri=10 mm,Nb=8,Kb=3×109N/m10/9。

Alford力模型參數(shù)

2.1 Alford力對系統(tǒng)的影響

利用本文模型和計算方法，通過計算系統(tǒng)的升速響應，獲得了雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在不同工況下的臨界轉(zhuǎn)速列于表2和表3中。從表2可以看出，不考慮Alford力時，內(nèi)轉(zhuǎn)子同步渦動引起的一階臨界轉(zhuǎn)速為122 rad/s，二階臨界轉(zhuǎn)速為145 rad/s，外轉(zhuǎn)子同步渦動引起的一階臨界轉(zhuǎn)速為84 rad/s，二階臨界轉(zhuǎn)速為97 rad/s；從表3可以看出，考慮Alford力時，內(nèi)轉(zhuǎn)子同步渦動引起的一階臨界轉(zhuǎn)速為132 rad/s，二階臨界轉(zhuǎn)速為192 rad/s，外轉(zhuǎn)子同步渦動引起的一階臨界轉(zhuǎn)速為91 rad/s，二階臨界轉(zhuǎn)速為131 rad/s。對比表2和表3可以發(fā)現(xiàn)，Alford力的引入會導致內(nèi)轉(zhuǎn)子同步渦動和外轉(zhuǎn)子同步渦動引起的臨界轉(zhuǎn)速均有所提高。

表2 無Alford力時的臨界轉(zhuǎn)速Tab.2 Critical speed without Alford force 單位：rad/s

表3 有Alford力時的臨界轉(zhuǎn)速Tab.3 Critical speed with Alford force 單位：rad/s

圖4和圖5分別繪制了有無Alford力的振動響應。頻譜圖中，fl，fh，fvc分別為低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)頻、高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)頻和中介軸承滾子通過頻率。對比圖4(a)和圖5(a)，不考慮Alford力時，頻譜圖中出現(xiàn)低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)頻以及中介軸承滾子通過頻率，龐加萊截面圖為封閉的心形，系統(tǒng)作擬周期運動；考慮Alford力時，除出現(xiàn)上述頻率外，還出現(xiàn)了更多的中介軸承特征頻率以及一系列的連續(xù)頻率，龐加萊截面為一個封閉的圖形，系統(tǒng)作擬周期運動。對比圖4(b)和圖5(b)，不考慮Alford力時，頻譜圖中高低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)頻非常明顯，龐加萊截面為5個孤立的點，系統(tǒng)作五周期運動；考慮Alford力時，頻譜圖中不僅出現(xiàn)了高低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)頻，還出現(xiàn)了中介軸承特征頻率以及中介軸承特征頻率和轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)頻的組合頻率，龐加萊截面為封閉的圖形，系統(tǒng)作擬周期運動。對比圖4(c)和圖5(c)，不考慮Alford力時，頻譜圖中同樣也是高低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)頻很明顯，龐加萊截面為2個封閉圖形，系統(tǒng)作擬周期運動；考慮Alford力時，頻譜圖中還出現(xiàn)了中介軸承特征頻率、組合頻率以及連續(xù)頻率，龐加萊截面為一片云狀圖，系統(tǒng)作混沌運動。

圖4 無Alford力時的振動響應Fig.4 Vibration response without Alford force

圖5 有Alford力時的振動響應Fig.5 Vibration response with Alford force

綜上所述，Alford力會導致系統(tǒng)動力學行為發(fā)生改變，系統(tǒng)會從周期運動進入擬周期運動，甚至會進入混沌。Alford力極易激發(fā)中介軸承力的非線性特性，導致系統(tǒng)的運動更加復雜。從頻譜圖的對比可以看出，Alford力引入系統(tǒng)后，會以組合頻率和連續(xù)頻率的形式影響系統(tǒng)的運動。同時，對比有無Alford力的頻譜幅值可以發(fā)現(xiàn)，Alford力的引入反而會使振動的幅值減小，原因可能是作用于橫向的Alford力對橫向振動有抑制作用，從而振幅會減小。從圖4和圖5可以看出，不同轉(zhuǎn)速和中介軸承游隙下，Alford力對系統(tǒng)的作用效果也不盡相同，2.2節(jié)和2.3節(jié)將詳細分析不同轉(zhuǎn)速和游隙下的振動特性。

由上述研究可知，Alford力極易激發(fā)中介軸承力的非線性特性，為探究其原因，從計算結(jié)果中提取了中介軸承力計算時的主要參數(shù)，即滾子變形量，從中介軸承力建模過程可知，當滾子變形量大于0時滾子才與滾道有接觸從而產(chǎn)生接觸力。圖6繪制了不考慮Alford力和考慮Alford力時某一滾子的變形量曲線，對比兩條曲線可以發(fā)現(xiàn)，有Alford力時變形量曲線位于無Alford力時變形量曲線的上方，同時可以發(fā)現(xiàn)有Alford力時滾子變形量大于0的時間更長，表明滾子與滾道接觸時間更長。由此可知，Alford力會通過影響中介軸承滾子與滾道的接觸行為來影響中介軸承力。

圖6 滾子變形量Fig.6 Roller deformation

2.2 轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的影響

轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速對系統(tǒng)的動力學特性有顯著的影響，圖7～圖9是在中介軸承力和Alford力共同作用下，中介軸承游隙為1 μm，低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速分別為200 rad/s，400 rad/s和600 rad/s情況下進行數(shù)值計算的結(jié)果。

隨著轉(zhuǎn)速升高，軸心軌跡由細長的心形變?yōu)殚L軸沿縱向較為混亂發(fā)散的橢圓形，接著變成混亂的花瓣狀(見圖7(a)、圖8(a)、圖9(a))；龐加萊截面圖由一個封閉的心形變?yōu)橐粋€封閉的近似圓形，最后變?yōu)橐黄茽畹纳Ⅻc，系統(tǒng)經(jīng)歷了從擬周期到擬周期再到混沌運動的變化(見圖7(b)、圖8(b)、圖9(b))。

圖7 ωL=200 rad/s時的振動響應Fig.7 Vibration response at ωL=200 rad/s

圖8 ωL=400 rad/s時的振動響應Fig.8 Vibration response at ωL=400 rad/s

圖9 ωL=600 rad/s時的振動響應Fig.9 Vibration response at ωL=600 rad/s

2.3 中介軸承游隙的影響

在實際運動過程中，中介軸承會產(chǎn)生磨損導致游隙變化，游隙的存在會使系統(tǒng)產(chǎn)生很強的非線性，研究中介軸承游隙的影響有非常重要的意義。圖10～圖12是在中介軸承力和Alford力共同作用下，低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為1 400 rad/s，中介軸承游隙δ0分別為1 μm，2 μm，5 μm時進行數(shù)值計算的結(jié)果。

圖10 δ0=1 μm時的振動響應Fig.10 Clearance is δ0=1 μm

圖11 δ0=2 μm時的振動響應Fig.11 Clearance is δ0=2 μm

圖12 δ0=5 μm時的振動響應Fig.12 Clearance is δ0=5 μm

隨著游隙的增大，軸心軌跡由環(huán)環(huán)相套的圓形變?yōu)檐壽E交錯混亂的近似三角形，接著軌跡變得雜亂無章(見圖10(a)、圖11(a)、圖12(a))；龐加萊截面由5個點變?yōu)橐粋€封閉的圓，最后變成一片散點，系統(tǒng)經(jīng)歷了從周期運動到擬周期運動再到混沌運動的變化(見圖10(b)、圖11(b)、圖12(b))；當中介軸承游隙為1 μm時(見圖10(c))，頻譜中高壓和低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速對應頻率比較明顯；當游隙增加到2 μm時(見圖11(c))，頻譜圖中除了高壓和低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速對應頻率外，還有部分連續(xù)的頻率成分，說明此時Alford力對系統(tǒng)產(chǎn)生了一定的影響；當游隙繼續(xù)增加到5 μm時(見圖12(c))，頻譜圖中出現(xiàn)了大量的連續(xù)雜亂的頻率成分，Alford力的作用效果更加明顯。

3 結(jié) 論

本文對在中介軸承力和Alford力共同作用下的雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進行動力學建模，得到系統(tǒng)的動力學方程后，采用Newmark-β法進行數(shù)值求解，對系統(tǒng)響應進行分析，得到的具體結(jié)論如下：

(1) 引入Alford力后，系統(tǒng)的一階、二階臨界轉(zhuǎn)速提高，中介軸承的特征頻率極易被激發(fā)，Alford力會使中介軸承滾子變形量更大，與滾道接觸時間更長，從而影響中介軸承力，同時由于Alford力的非線性，系統(tǒng)動力學特性會更加復雜，但系統(tǒng)的振幅反而會減小。

(2) 研究轉(zhuǎn)速對系統(tǒng)運動的影響，發(fā)現(xiàn)隨著轉(zhuǎn)速的增加，中介軸承力的作用效果逐漸減小，而Alford力的作用效果逐漸增加，系統(tǒng)的振幅也會隨轉(zhuǎn)速增加而變大。

(3) 研究游隙對系統(tǒng)運動的影響，發(fā)現(xiàn)游隙的增大會直接引起Alford力的增加，導致系統(tǒng)的不穩(wěn)定性增強，甚至會導致系統(tǒng)失穩(wěn)。

因此，雙轉(zhuǎn)子航空發(fā)動機中，中介軸承特性和氣流激勵力共同作用，會極大地改變轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學特性，在設計時應考慮此現(xiàn)象。