楊 飛 王 洋

（中鐵工程設(shè)計(jì)咨詢集團(tuán)有限公司， 北京 100055）

隨著旅客出行需求和運(yùn)輸服務(wù)水平的不斷提高，我國旅客運(yùn)輸市場競爭越發(fā)激烈。合理準(zhǔn)確的鐵路客運(yùn)量預(yù)測可為制定鐵路客運(yùn)宏觀發(fā)展戰(zhàn)略和編制客運(yùn)計(jì)劃提供依據(jù)，也可為鐵路管理者合理分配資源、提高運(yùn)輸市場競爭力提供重要依據(jù)。

近年來，為提高鐵路客運(yùn)量的預(yù)測精度，較多學(xué)者通過組合預(yù)測的方法對(duì)鐵路客運(yùn)量預(yù)測結(jié)果進(jìn)行改進(jìn)。眾多組合預(yù)測過程中，權(quán)重取值方法成為較多學(xué)者研究的重點(diǎn)。游文倩［1］通過最優(yōu)權(quán)重法對(duì)組合預(yù)測模型的權(quán)重進(jìn)行賦值，并將其應(yīng)用于GDO組合預(yù)測領(lǐng)域中；劉春紅［2］從最優(yōu)權(quán)重和殘差優(yōu)化角度對(duì)單一預(yù)測模型權(quán)重進(jìn)行賦值，進(jìn)一步預(yù)測了豬舍氨氣濃度；王秀梅［3］基于誤差平方和最優(yōu)的思想將偏最小二乘法、ARIMA模型和指數(shù)平滑法預(yù)測結(jié)果進(jìn)行組合，對(duì)農(nóng)產(chǎn)品冷鏈物流需求進(jìn)行預(yù)測；褚鵬宇［4］采用廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)預(yù)測模型的權(quán)重進(jìn)行賦值，建立了變權(quán)重組合的灰色預(yù)測模型；蘇麗敏［5］以誤差平方和最小為目標(biāo)函數(shù)，結(jié)合最大熵原理構(gòu)建了變權(quán)組合預(yù)測模型；李佩［6］以平均誤差最優(yōu)為目標(biāo)來給組合預(yù)測權(quán)重賦值；周宏［7］用最小二乘原理對(duì)ARIMA和SARIMA模型的權(quán)重進(jìn)行分配，并將其用于高速公路短時(shí)交通流預(yù)測。

目前，在鐵路客運(yùn)量組合預(yù)測研究領(lǐng)域中，權(quán)重賦值方法存在計(jì)算量大、組合預(yù)測精度不佳等缺點(diǎn)。而群體智能算法因其精度高、應(yīng)用廣泛等優(yōu)點(diǎn)，已成為解決優(yōu)化問題的熱門算法，但群體智能算法也存在陷入局部最優(yōu)等問題。因此，本文基于自然選擇的粒子群算法，對(duì)其權(quán)重和學(xué)習(xí)因子進(jìn)行改進(jìn)，應(yīng)用改進(jìn)基于自然選擇的粒子群算法求解ARIMA模型和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測的鐵路客運(yùn)量的權(quán)重，對(duì)鐵路客運(yùn)量進(jìn)行組合預(yù)測。

1 鐵路客運(yùn)量組合預(yù)測模型

假設(shè)運(yùn)用m種模型對(duì)某一研究區(qū)域的鐵路客運(yùn)量進(jìn)行預(yù)測，則組合預(yù)測模型的計(jì)算公式為：

式中：Q——鐵路客運(yùn)量組合預(yù)測值；

wi——第i個(gè)預(yù)測模型的權(quán)重，且

qi——第i個(gè)模型的預(yù)測值；

m——預(yù)測模型的數(shù)量。

預(yù)測方法的選擇是影響鐵路客運(yùn)量預(yù)測精度的關(guān)鍵，本文選擇ARIMA模型和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為時(shí)間序列預(yù)測和非線性預(yù)測模型的代表進(jìn)行組合預(yù)測研究。

（1）ARIMA模型

ARIMA（p，d，q）模型的一般形式為：

at——零均值且方差同為σa2的白噪聲；

p——自回歸階數(shù)；

q——移動(dòng)平均階數(shù)；

d——差分階數(shù)。

（2）BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1所示，其基本思想是梯度下降法，學(xué)習(xí)過程包括正向傳播和反向傳播。正向傳播過程中，將鐵路客運(yùn)量及其影響因素等信息經(jīng)輸入層傳至隱含層，最后傳至輸出層。判斷輸出的值與實(shí)際值的誤差精確度，若輸出值誤差不理想，將誤差按照輸出層 - 隱含層 - 輸入層進(jìn)行反向傳播，通過反復(fù)訓(xùn)練和比較使誤差最小。

圖1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖

2 基于自然選擇粒子群算法的權(quán)重分配方法

2.1 基于自然選擇的粒子群算法基本原理

基本粒子群算法（PSO）中，假設(shè)第i個(gè)粒子在第t次迭代的位置和速度分別是 xi，t和 vi，t，粒子通過監(jiān)督個(gè)體和種群極值來更新位置和速度，進(jìn)一步逼近最優(yōu)解［8］，其更新公式為：

式中：w——權(quán)重，取0.4～0.9；

c1和c2——學(xué)習(xí)因子，取值范圍均為0～4；

rand——生成0～1之間的隨機(jī)數(shù)；

pbest——個(gè)體極值；

gbest——群體極值；

λ——速度系數(shù)，一般取1。

基于自然選擇的粒子群算法是基于基本粒子群算法，其基本思想是在每次迭代中，根據(jù)計(jì)算的適應(yīng)度值用群體中較好的一半粒子替換較差的一半粒子，且保留粒子記憶的歷史最優(yōu)值。

2.2 改進(jìn)基于自然選擇的粒子群算法

基本的基于自然選擇的粒子群算法一般采用固定權(quán)重和學(xué)習(xí)因子的方法來尋求最優(yōu)解，權(quán)重一般取0.4～0.9，學(xué)習(xí)因子一般取2。粒子群算法具有較好的魯棒性，一般情況下權(quán)重和學(xué)習(xí)因子取經(jīng)驗(yàn)值即能滿足精度要求。然而，當(dāng)仿真環(huán)境更復(fù)雜或?qū)?yōu)化精度有更高要求時(shí)，權(quán)重和學(xué)習(xí)因子取值對(duì)求解精度和速度有一定的影響。因此，本文基于對(duì)數(shù)函數(shù)和正弦函數(shù)非線性變化的思想來優(yōu)化基于自然選擇粒子群算法的權(quán)重和學(xué)習(xí)因子取值，從而提高算法的尋優(yōu)能力。

權(quán)重優(yōu)化原理為：初始迭代時(shí)，為保證基于自然選擇粒子群算法的全局搜索能力，賦予權(quán)重較大的值。為保證該算法能尋找到最優(yōu)解，迭代過程中逐漸減小權(quán)重取值?；趯?duì)數(shù)函數(shù)在其定義域大于等于1時(shí)非線性變化的特點(diǎn)，權(quán)重w優(yōu)化為：

式中：wmax——權(quán)重最大值；

wmin——權(quán)重最小值；

權(quán)重取值規(guī)律如圖2所示。

由圖2可知，當(dāng)?shù)螖?shù)為0時(shí)，權(quán)重取到最大經(jīng)驗(yàn)值，且下降的加速度較大，基于自然選擇的粒子群算法在迭代初期的全局搜索能力變強(qiáng)。隨著迭代次數(shù)的增加，以對(duì)數(shù)函數(shù)非線性變化的規(guī)律逐漸賦予權(quán)重越來越小的值，且權(quán)重下降的加速度越來越小，能保證迭代末期在可行域范圍內(nèi)更細(xì)致地尋找最優(yōu)解。

圖2 權(quán)重非線性變化趨勢圖

學(xué)習(xí)因子優(yōu)化原理為：隨著迭代次數(shù)的增加，c1最佳取值范圍為2.5～0.5間遞減，c2最佳取值范圍為0.5～2.5之間遞增［9］。在最優(yōu)取值范圍內(nèi)，為保證迭代初期的全局搜索能力，使初始時(shí)個(gè)體粒子自身學(xué)習(xí)能力較大，讓c1的取值隨迭代次數(shù)的增加呈正弦函數(shù)非線性減少，同時(shí)讓c2隨迭代次數(shù)的增加逐漸增大，加強(qiáng)粒子在后期的群體學(xué)習(xí)能力。基于該思想，改進(jìn)的學(xué)習(xí)因子為：

學(xué)習(xí)因子取值規(guī)律如圖3所示。

圖3 學(xué)習(xí)因子非線性變化趨勢圖

由圖3可知，學(xué)習(xí)因子c1初期取到最大值2.5，且下降的加速度較大，初期搜索能力更強(qiáng)；同時(shí)，讓c2的取值逐漸增大，且加速度逐漸變小，加強(qiáng)了迭代后期的搜索精度。

2.3 改進(jìn)基于自然選擇的粒子群算法優(yōu)化權(quán)重

改進(jìn)基于自然選擇的粒子群算法優(yōu)化權(quán)重的過程如圖4所示。

圖4 改進(jìn)基于自然選擇的粒子群優(yōu)化權(quán)重算法圖

（1）根據(jù)所選單一預(yù)測模型預(yù)測鐵路客運(yùn)量。

（2）根據(jù)鐵路客運(yùn)量預(yù)測結(jié)果構(gòu)建適應(yīng)度函數(shù)。以組合預(yù)測精度最優(yōu)為目標(biāo)確定適應(yīng)度函數(shù)，即所有預(yù)測年份的預(yù)測相對(duì)誤差的絕對(duì)值最小。因此，適應(yīng)度函數(shù)定義為：

式中：n——預(yù)測總年度；

Χt——第t期的客運(yùn)量實(shí)際值。

（3）初始化種群粒子參數(shù)。根據(jù)粒子參數(shù)的取值范圍等約束，設(shè)置初始的參數(shù)取值。

（4）計(jì)算粒子適應(yīng)度。

（5）比較所有粒子適應(yīng)度值，尋找到當(dāng)前最優(yōu)粒子適應(yīng)度值及其位置，以此更新粒子的搜索位置和搜索速度。

（6）基于自然選擇原理對(duì)粒子進(jìn)行排序，用群體中最好的一半粒子替換最差的一半粒子。

（7）判斷是否滿足迭代終止條件。若滿足，算法結(jié)束；若不滿足，返回第4步。

（8）輸出最優(yōu)解。

3 實(shí)例研究

考慮指標(biāo)獲取的可操作性，選取具有代表性的地區(qū)生產(chǎn)總值、常住人口、人均消費(fèi)水平、旅游人數(shù)、鐵路運(yùn)營里程等指標(biāo)研究其對(duì)鐵路客運(yùn)量的影響［10］，以北京市1996 - 2016年數(shù)據(jù)為訓(xùn)練樣本，以2017 -2019年客運(yùn)量為測試樣本進(jìn)行預(yù)測［11-12］。

3.1 單一模型的鐵路客運(yùn)量預(yù)測

3.1.1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測

通過MATLAB編程實(shí)現(xiàn)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測過程，主要參數(shù)設(shè)置為：訓(xùn)練次數(shù)為1 000次，隱藏層為1層，神經(jīng)元設(shè)為1個(gè)。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測基本情況如圖5和圖6所示。

圖5 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測收斂過程圖

圖6 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測結(jié)果圖

由圖5可知，網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練3次后收斂，驗(yàn)證集網(wǎng)絡(luò)誤差為0.003 493 5，訓(xùn)練集和測試集的網(wǎng)絡(luò)誤差低于0.003 493 5，誤差精度較好；由圖6可知，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測的擬合效果較好，2017 - 2019年平均預(yù)測相對(duì)誤差為2.354%。

3.1.2 ARIMA模型預(yù)測

為兼顧預(yù)測模型的精確性和訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)的完整性，借助于SPSS軟件經(jīng)過反復(fù)試驗(yàn)確定ARIMA模型的差分階數(shù)d取0時(shí)，自回歸階數(shù)p取4，移動(dòng)平均階數(shù) q取 1。因此，ARIMA（4，0，1）預(yù)測結(jié)果如圖7所示。

圖7 ARIMA（4，0，1）預(yù)測結(jié)果圖

由圖7 可知，1996 - 2016 年 ARIMA（4，0，1）預(yù)測的擬合效果非常好，但2017 - 2019年預(yù)測誤差相對(duì)較差；ARIMA（4，0，1）平均預(yù)測相對(duì)誤差為- 5.43%，存在進(jìn)一步優(yōu)化的空間。

3.2 基于自然選擇粒子群的鐵路客運(yùn)量組合預(yù)測

3.2.1 組合預(yù)測思路及仿真環(huán)境設(shè)置

選擇BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和ARIMA（4，0，1）對(duì)鐵路客運(yùn)量進(jìn)行組合預(yù)測，組合預(yù)測公式為：

式中：w1、w2——分別為 BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和 ARIMA（4，0，1）模型預(yù)測權(quán)重；

qbp、qar——分別 BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和 ARIMA（4，0，1）模型預(yù)測值；

Qz——BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和ARIMA（4，0，1）模型組合預(yù)測值。

由權(quán)重約束條件w1+ w2= 1，式（9）可簡化為：

因此，改進(jìn)基于自然選擇的粒子群算法只需要求解w1即可。

本節(jié)算法實(shí)驗(yàn)在MATLAB環(huán)境下進(jìn)行，編寫改進(jìn)基于自然選擇的粒子群算法代碼求出測試樣本中組合預(yù)測誤差絕對(duì)值最小的權(quán)重w1。

粒子群算法主要參數(shù)初始化有：種群規(guī)模為20個(gè)；最大迭代次數(shù)為300次；速度搜索區(qū)間為- 5～5。為進(jìn)一步驗(yàn)證本文提出改進(jìn)基于自然選擇的粒子群算法的尋優(yōu)能力和收斂速度，與基本粒子群算法和基于自然選擇粒子群算法進(jìn)行對(duì)比，學(xué)習(xí)率c1、c2均取 2，權(quán)重取 0.9。

3.2.2 改進(jìn)自然選擇粒子群算法優(yōu)勢分析

不同粒子群算法求解最優(yōu)權(quán)重的適應(yīng)度值隨迭代次數(shù)的變化如圖8所示。

圖8 不同粒子群算法的尋優(yōu)效果圖

由圖8可知，提出的改進(jìn)基于自然選擇的粒子群算法求解速度和精度更好［13-14］，具體包括：

（1）基于自然選擇的粒子群算法求解權(quán)重的適應(yīng)度值是0.004 206 820 384 781，迭代至273代時(shí)開始收斂；改進(jìn)基于自然選擇的粒子群算法求解權(quán)重的適應(yīng)度值是0.004 206 805 448 164，迭代至182代開始收斂。改進(jìn)基于自然選擇的粒子群算法求解的適應(yīng)度值精度能夠提高0.000 000 014 936 617，迭代次數(shù)減少了91代，具有更好的尋優(yōu)能力和收斂速度。

（2）基本粒子群算法求解權(quán)重的適應(yīng)度值是0.004 206 910 498 023，在266次迭代后收斂?；谧匀贿x擇的粒子群算法也具有更好的尋優(yōu)能力，其適應(yīng)度值精度提高了0.000 000 090 113 242；相比于基本粒子群算法，改進(jìn)基于自然選擇的粒子群算法的尋優(yōu)能力和收斂速度都有較大的提升。

3.2.3 組合預(yù)測結(jié)果分析

改進(jìn)基于自然選擇的粒子群算法求解w1的情況如圖9所示，在0～1之間求解得最優(yōu)值為0.689，由此計(jì)算得w2為0.311。

圖9 權(quán)重w1取值圖

為進(jìn)一步驗(yàn)證改進(jìn)基于自然選擇的粒子群算法求解權(quán)重的組合預(yù)測效果，將其與等分權(quán)重法賦值權(quán)重的組合預(yù)測效果進(jìn)行比較（權(quán)重均取0.5）。不同預(yù)測方法測試樣本的預(yù)測結(jié)果如表1所示。

由表1可知，改進(jìn)基于自然選擇的粒子群算法求解的權(quán)重具有更好的組合預(yù)測效果，具體體現(xiàn)在：

表1 不同預(yù)測方法的鐵路客運(yùn)量預(yù)測值表

（1）相比于單一預(yù)測模型，改進(jìn)基于自然選擇的粒子群算法求解權(quán)重的組合預(yù)測精度更高，2017 -2019年平均相對(duì)預(yù)測誤差絕對(duì)值為0.420%，而BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和ARIMA模型的平均相對(duì)預(yù)測誤差絕對(duì)值分別為2.354%和5.430%。

（2）相比于等分權(quán)重法，改進(jìn)基于自然選擇的粒子群算法求解權(quán)重的組合預(yù)測效果也更好；等分權(quán)重法賦值權(quán)重后，2017 - 2019年平均預(yù)測相對(duì)誤差絕對(duì)值為1.538%，比改進(jìn)基于自然選擇的粒子群算法求解權(quán)重的組合預(yù)測誤差高1.118%。

4 結(jié)束語

本文引入基于自然選擇的粒子群算法用以解決組合預(yù)測模型權(quán)重分配問題，通過非線性變化的特點(diǎn)對(duì)基于自然選擇的粒子群算法的權(quán)重和學(xué)習(xí)因子改進(jìn)，并將改進(jìn)基于自然選擇的粒子群算法用以求解BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和ARIMA模型組合預(yù)測的權(quán)重，得到主要結(jié)論有：

（1）改進(jìn)基于自然選擇的粒子群算法具有更好的尋優(yōu)能力，求解權(quán)重時(shí)的適應(yīng)度值具有更高的計(jì)算精度，比基于自然選擇的粒子群算法求解權(quán)重的適應(yīng)度值精度提高0.000 000 014 936 617。

（2）改進(jìn)基于自然選擇的粒子群算法具有更好的收斂速度，求解最優(yōu)權(quán)重時(shí)所需的迭代次數(shù)更少，比基于自然選擇的粒子群算法求解權(quán)重迭代次數(shù)減少了91代。

（3）求解的權(quán)重值使得BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和ARIMA模型的組合預(yù)測效果較單一預(yù)測模型BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和ARIMA模型的預(yù)測精度和等分權(quán)重法賦值權(quán)重的組合預(yù)測精度更好，預(yù)測年度平均預(yù)測相對(duì)誤差分別提高了1.934%、5.009%和1.118%。