武 星，齊 峻

（長安大學(xué)工程機(jī)械學(xué)院，陜西 西安 710064）

0 引言

拓?fù)鋬?yōu)化是一種具有創(chuàng)新性的結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法，自Bends?e和Kikuchi[1]發(fā)表相關(guān)研究成果以來，連續(xù)體結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化方法得到了廣泛的關(guān)注與推廣。隨著技術(shù)的發(fā)展，拓?fù)鋬?yōu)化算法也被嵌入商用軟件中，張明松等[2]利用ANSYS Workbench對曲柄臂進(jìn)行了優(yōu)化分析，李錚等[3]同樣利用ANSYS Workbench對支架進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。雙向漸進(jìn)法（BESO）作為經(jīng)典的拓?fù)鋬?yōu)化方法，主要針對離散的0~1設(shè)計(jì)問題，設(shè)計(jì)變量為1，表示元素的存在；設(shè)計(jì)變量為0.001，表示元素的缺失[4]。對于拓?fù)鋬?yōu)化算法與遺傳算法的結(jié)合，Liu等[5]提出了一種ESO與GA的聯(lián)合算法；Zuo等[6]提出了一種將GA與BESO相結(jié)合的方法，大大降低了計(jì)算成本。將材料添加策略算法（AESO）與GAs相結(jié)合，通過逐步增加材料，得到了有效的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果[7]。非支配排序遺傳算法（NSGA）的缺點(diǎn)是算法計(jì)算的復(fù)雜度較高，NSGA-II保持了NSGA原有的優(yōu)點(diǎn)，改進(jìn)了不足，保證了非劣最優(yōu)解的均勻分布。晶格結(jié)構(gòu)在降噪、吸熱、重量輕等方面有一定的優(yōu)勢，Xia等[8]提供了一種基于能量均勻化方法的微結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)MATLAB代碼；Huang等[9]基于BESO法，通過均勻化理論針對雙尺度優(yōu)化問題進(jìn)行了研究?，F(xiàn)有的大多數(shù)單相材料結(jié)構(gòu)往往無法達(dá)到使用目的，所以單相材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法需推廣至多材料優(yōu)化以實(shí)現(xiàn)最佳性能。Li等[10]考慮到材料在拉伸和壓縮中通常具有不同的力學(xué)性能，所以在拉伸區(qū)域布置適合拉伸的材料，在壓縮區(qū)域布置適合壓縮的材料。

本文提出了一種結(jié)合NSGA-II和BESO的方法，以最小柔順性為目標(biāo)函數(shù)。將雙尺度優(yōu)化中的單相材料推廣到兩相固體材料，利用改進(jìn)的密度插值函數(shù)推導(dǎo)出帶懲罰因子的靈敏度計(jì)算公式，提出了雙懲罰交叉變異算子，并通過算例證明了該方法的有效性及其獲得收斂解的能力。

1 優(yōu)化問題描述與材料插值方案

1.1 優(yōu)化問題描述

均勻化方法中，一般將微觀結(jié)構(gòu)的尺寸視為遠(yuǎn)小于宏觀結(jié)構(gòu)的尺寸。同時(shí)，微觀結(jié)構(gòu)在宏觀結(jié)構(gòu)中呈現(xiàn)周期性分布，在宏觀結(jié)構(gòu)中考慮微觀層面設(shè)計(jì)變量，則可以表示為：

式中，目標(biāo)C是最小化結(jié)構(gòu)的平均順應(yīng)性，F(xiàn)和U表示宏觀結(jié)構(gòu)所受的外力矢量與節(jié)點(diǎn)位移矢量，微觀結(jié)構(gòu)被離散為N個(gè)微觀單元。V*表示微觀結(jié)構(gòu)的目標(biāo)體積分?jǐn)?shù)。為第j個(gè)單元的設(shè)計(jì)變量。

1.2 材料插值方案

對于具有n個(gè)離散單元的m相材料拓?fù)鋬?yōu)化問題，可成立如下等式：

式中，yij代表第i個(gè)單元中第j種材料所占的權(quán)重。單元中有且僅有一個(gè)固體材料處于活躍狀態(tài)，其他固體材料權(quán)值數(shù)值較低或者為0。

2 靈敏度數(shù)值計(jì)算與濾波方案

2.1 靈敏度數(shù)值計(jì)算

對于所提出的優(yōu)化框架，平均順應(yīng)性對微觀設(shè)計(jì)變量的靈敏度表達(dá)式為：

本文采用兩相固體材料與空洞材料進(jìn)行多相材料的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，利用SIMP法可將單元剛度矩陣插值表示為：

由于存在兩種固相材料，所以j可取值1或2。由改進(jìn)的SIMP法中的材料插值方案對微觀結(jié)構(gòu)的彈性張量進(jìn)行表示，具體形式為：

式中，c=1e-9，避免矩陣的奇異性，p為懲罰因子，D0為材料的本構(gòu)彈性張量。

對于微觀結(jié)構(gòu)，均勻化彈性張量可以表示為：

式中，ε()為線性無關(guān)的單元應(yīng)變場，ε(um)表示微觀結(jié)構(gòu)的未知應(yīng)變場，可以通過線性彈性平衡方程求解，再聯(lián)立上式便可得到最終優(yōu)化目標(biāo)。

2.2 濾波方案

為有效地減少棋盤格現(xiàn)象，首先，采用靈敏度過濾策略對靈敏度進(jìn)行修正：

式中，H為設(shè)計(jì)域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)總數(shù)，w(rik)為權(quán)重因子，rik表示節(jié)點(diǎn)i的中心到節(jié)點(diǎn)k中心的距離。

其次，采用考慮歷史迭代信息的收斂策略修正靈敏度值：

式中，αi,g＇與αi,g-1＇分別為第i個(gè)單元的第g次和第g-1次迭代步的靈敏度值。

3 BESO-NSGA-II算法的實(shí)現(xiàn)

在NSGA-II與BESO的聯(lián)合算法中，將每個(gè)元素視為獨(dú)立個(gè)體進(jìn)行分析。對于每個(gè)個(gè)體，設(shè)置為全1的初始字符串，全1代表設(shè)計(jì)域內(nèi)的所有單元都為固相材料，而隨著優(yōu)化的進(jìn)行，低靈敏度的個(gè)體會有機(jī)會被變異為全0數(shù)組，這也就意味著該單元為本次迭代中要被刪除的單元。

根據(jù)所推導(dǎo)出的靈敏度公式對每個(gè)個(gè)體進(jìn)行靈敏度的計(jì)算，將種群劃分為高靈敏度區(qū)域和低靈敏度區(qū)域。對于交叉操作，在隨機(jī)的兩個(gè)個(gè)體中再隨機(jī)選擇兩個(gè)位置索引點(diǎn)作為交叉位，通過交換兩個(gè)親代的位置索引點(diǎn)內(nèi)的二進(jìn)制編碼對親代進(jìn)行交叉操作。變異算子中的每個(gè)二進(jìn)制編碼在每次迭代過程中均有一定的概率進(jìn)行變異，在優(yōu)化算法迭代循環(huán)時(shí)，隨著迭代次數(shù)的增加，交叉率與變異率逐漸懲罰到某個(gè)極大值。而在每個(gè)迭代步中，對高靈敏度區(qū)域，隨著靈敏度數(shù)值由高到低變化，逐漸將變異率懲罰到某個(gè)極小值；對低靈敏度區(qū)域，同樣隨著靈敏度由高到低變化，逐漸將變異率懲罰到某個(gè)極大值；隨著靈敏度的降低，變異為0的概率也逐漸增加。

4 數(shù)值算例

本節(jié)主要通過數(shù)值例子驗(yàn)證算法的正確性。考慮了三種虛擬材料，它們的物理特性如表1所示。

表1 虛擬材料的物理屬性

本例考慮的是40 mm×40 mm的L型梁，L型梁的初始結(jié)構(gòu)及其優(yōu)化初始微結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)如圖1所示。L型梁頂部固定，右端受到豎直向下大小為1 N的力，保留實(shí)體體積分?jǐn)?shù)為40%。設(shè)置兩種固相材料的分布比例，定義材料1占比為30%。首先令材料1填滿設(shè)計(jì)域，設(shè)置懲罰因子p=3，濾波半徑rmin=2，體積進(jìn)化比ER=0.02。

圖1 L型梁及其優(yōu)化初始微結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

L型梁優(yōu)化結(jié)果及微結(jié)構(gòu)的邊界連接示意圖，如圖2所示。結(jié)構(gòu)目標(biāo)函數(shù)值為50.882 99?？梢园l(fā)現(xiàn)當(dāng)這兩種微結(jié)構(gòu)進(jìn)行邊界融合時(shí)，由于形狀的區(qū)別度較大，會導(dǎo)致區(qū)域節(jié)點(diǎn)部分無法實(shí)現(xiàn)較強(qiáng)的連通性也無法更好地實(shí)現(xiàn)力的傳遞，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果不準(zhǔn)確，為了解決這一問題，本文提出了固定微結(jié)構(gòu)邊界的方法。在每一代迭代過程中，保持微結(jié)構(gòu)邊界區(qū)域單元的密度始終為1，使得模型更加合理。最終具有連通微結(jié)構(gòu)的L型梁優(yōu)化結(jié)果的宏觀與微觀結(jié)構(gòu)示意圖，如圖3所示。

圖2 L型梁優(yōu)化結(jié)果及微結(jié)構(gòu)的邊界連接示意圖

圖3 具有連通微結(jié)構(gòu)的L型梁優(yōu)化結(jié)果

5 結(jié)果與對比

在經(jīng)典BESO算法下的L型梁優(yōu)化結(jié)果如圖4所示?？梢钥闯鰞煞N算法的宏觀結(jié)構(gòu)與微觀結(jié)構(gòu)在宏觀布局上并未有太大差異，說明了本文演示算法的正確性與有效性。兩種優(yōu)化算法的平均柔度結(jié)果對比如表2所示。可以看出BESO-NSGA-II所計(jì)算的結(jié)構(gòu)平均柔度為48.926 3，而經(jīng)典BESO方法所計(jì)算的結(jié)構(gòu)平均柔度為53.391 2，說明在BESO-NSGA-II的優(yōu)化下，結(jié)構(gòu)剛度有一定的提升。值得注意的是，本文主要針對結(jié)構(gòu)剛度進(jìn)行優(yōu)化，所以忽略運(yùn)行時(shí)間上的成本。

圖4 經(jīng)典BESO算法下的L型梁優(yōu)化結(jié)果

表2 平均柔度優(yōu)化結(jié)果對比

6 總結(jié)

首先，本文提出了一種新的拓?fù)鋬?yōu)化方法對結(jié)構(gòu)進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì)，通過將BESO方法與NSGA-II算法結(jié)合，提高了算法的全局搜索能力并保證了最終結(jié)果能夠收斂到全局最優(yōu)解而非局部最優(yōu)解。其次，通過材料插值公式設(shè)計(jì)了兩相固體材料下的優(yōu)化結(jié)構(gòu)，增強(qiáng)了結(jié)構(gòu)的使用性能。最后，將基于BESO-NSGAII算法與基于傳統(tǒng)BESO算法的雙尺度優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行對比，證明了該算法的有效性。