邵艷坡 郭長恩

(1. 山東省地質(zhì)礦產(chǎn)勘查開發(fā)局八○一水文地質(zhì)工程地質(zhì)大隊(duì), 山東 濟(jì)南 250014;2. 山東省水工環(huán)地質(zhì)工程有限公司, 山東 濟(jì)南 250014)

0 引言

在城市建設(shè)進(jìn)程中基坑工程是不可缺少的一環(huán),同時(shí),基坑工程正朝著深度深、面積大的方向發(fā)展,基坑安全問題也越來越多地受到人們的關(guān)注。建立有效的變形預(yù)報(bào)模型是分析變形監(jiān)測資料、理解變形機(jī)理和檢驗(yàn)工程設(shè)計(jì)理論的重要手段[1],同時(shí),變形預(yù)測成果為災(zāi)害預(yù)警和工程安全性評估提供了重要的決策依據(jù)。許多學(xué)者在這方面進(jìn)行了研究并取得了不少的成果,魏冠軍等從變形預(yù)測的不確定性出發(fā),研究了變形預(yù)測的概率預(yù)報(bào)方法,通過概率規(guī)則實(shí)現(xiàn)了預(yù)報(bào)的遞推過程[2];尹暉等將單點(diǎn)變形分析擴(kuò)展到空間多點(diǎn)的整體變形分析,建立了基于非等間距的多點(diǎn)變形預(yù)測模型[3];范千等改進(jìn)了貝葉斯極限學(xué)習(xí)機(jī)(BELM)方法,提出了動(dòng)態(tài)貝葉斯極限學(xué)習(xí)機(jī)(DBELM)方法,實(shí)現(xiàn)了高效率動(dòng)態(tài)預(yù)測[4];潘國榮在時(shí)間序列建模方法研究中,在原有傳統(tǒng)最小二乘法的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出序貫最小二乘解法,從而解決了反復(fù)處理歷史數(shù)據(jù)帶來的巨大計(jì)算問題[5]。另外,回歸分析模型、灰色系統(tǒng)模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、小波分析模型及其多模型組合預(yù)測方法作為代表性預(yù)測模型被研究與實(shí)踐較多,取得了一系列的應(yīng)用成果[6-13]。

上述研究中大多是基于不同時(shí)期觀測點(diǎn)變形數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)處理方法,而影響變形的力學(xué)因素少有納入計(jì)算模型之中。為此,本文采用考慮錨索軸力的回歸分析方法,對基坑某變形特征點(diǎn)的物理特征進(jìn)行變形分析。同時(shí),從樣本數(shù)據(jù)著手,以3倍中誤差作為判定觀測粗差的準(zhǔn)則并予以剔除[14],使擬合具有更高的準(zhǔn)確性。

1 回歸分析模型

回歸分析模型是對統(tǒng)計(jì)關(guān)系進(jìn)行定量描述的一種數(shù)學(xué)模型,根據(jù)所選自變量的數(shù)量可分為一元回歸分析模型和多元回歸分析模型。若自變量與因變量之間存在線性關(guān)系,則為線性回歸;若為非線性關(guān)系,則可根據(jù)曲線圖形匹配或多項(xiàng)式擬合等方法將其轉(zhuǎn)化為線性回歸問題[15]。

多元線性回歸模型為一元線性回歸模型的拓展,故僅闡述多元線性回歸模型,其數(shù)學(xué)表達(dá)形式為

(1)

式中,x1i,x2i,…,xmi為不含測量誤差的非隨機(jī)變量;β0,β1,…,βm為回歸參數(shù);yi為第i次樣本觀測值,根據(jù)林德伯格中心極限定理,νi為符合正態(tài)分布的隨機(jī)誤差,且其數(shù)學(xué)期望E(νi)=0,方差為σ2,協(xié)方差σνi·νi-k=0(k≠0)。

由于νi的存在,必然造成yi為隨機(jī)變量,容易得

(2)

式(1)矩陣形式為

(3)

式中,En為n階單位矩陣。

2 參數(shù)估計(jì)

(4)

使殘差平方和最小有

(5)

由微分學(xué)知識可知,多元函數(shù)存在極值的必要條件為

(6)

整理化為正規(guī)方程組并寫成矩陣形式,即在VTV=min條件下得到法方程為

(7)

進(jìn)而得出模型參數(shù)的最小二乘解為

(8)

3 模型檢驗(yàn)

3.1 模型顯著性檢驗(yàn)

(9)

將此原假設(shè)作為模型(1)的約束條件,構(gòu)造如下統(tǒng)計(jì)量

(10)

在顯著性水平α下,若F≥Fα(n-m-1),則拒絕原假設(shè),即模型線性回歸關(guān)系顯著,反之則認(rèn)為模型線性回歸關(guān)系不顯著。

為進(jìn)一步檢驗(yàn)每個(gè)自變量對因變量的顯著性,有如下原假設(shè)：

(11)

構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量

(12)

式中,cjj為(XTX)-1第j個(gè)對角元素。

3.2 模型精度檢驗(yàn)

為檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛿M合及預(yù)測的可靠性,采用均方根誤差、平均絕對誤差兩項(xiàng)精度評價(jià)指標(biāo)進(jìn)行檢驗(yàn);另外,以后驗(yàn)化比值作為后驗(yàn)差的檢驗(yàn)指標(biāo)來確定模型擬合及預(yù)測的整體精度等級。

(1)均方根誤差

(13)

(2)平均絕對誤差

(14)

(3)后驗(yàn)化比值

(15)

引入預(yù)測模型精度檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)[16-17],可將模型精度等級劃分為4種,見表1。

表1 模型精度等級劃分

4 工程實(shí)例分析

本文的實(shí)例數(shù)據(jù)來自某基坑工程的安全監(jiān)測資料,該基坑工程開挖深度15 m,基坑周長314 m,基坑安全等級為一級,采用“灌注樁+錨索”支護(hù)形式,坡頂水平位移監(jiān)測與錨索軸力監(jiān)測同期進(jìn)行。本文選取位于基坑?xùn)|側(cè)中部的坡頂水平位移監(jiān)測點(diǎn)W7及其同一剖面位置上的錨索軸力監(jiān)測點(diǎn)M2作為研究對象,顧及時(shí)間因素及錨索軸力分析坡頂水平位移點(diǎn)變形規(guī)律并建模,從而進(jìn)一步對坡頂變形做出預(yù)測。

4.1 數(shù)據(jù)預(yù)處理

本文選取2021年10月18日—2022年2月16日期間共29期監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,其中前25期數(shù)據(jù)用于建模,后4期數(shù)據(jù)作為模型預(yù)測結(jié)果的對比分析。原始采樣數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 變形點(diǎn)實(shí)測數(shù)據(jù)

在基坑變形監(jiān)測中,出于基坑安全考慮,我們往往更注重垂直于基坑壁方向上的變形量。因此,表2中的坐標(biāo)分量取該點(diǎn)在監(jiān)測坐標(biāo)系中垂直于基坑壁方向上的坐標(biāo)分量。

從表2可以看出,各物理量的單位不同,甚至數(shù)據(jù)格式也不相同。這對于研究其相互間關(guān)系并進(jìn)一步建模是不方便的,因此,需要對采集的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行變換。本文根據(jù)工程特點(diǎn)及研究需要,對原始數(shù)據(jù)做如式(16)所示的平移變換。

(16)

將原始數(shù)據(jù)平移至以初始值為原點(diǎn)的數(shù)據(jù)空間。該變換不改變數(shù)據(jù)間的位置關(guān)系,且在基坑監(jiān)測工程中有實(shí)際意義,即變換后的數(shù)據(jù)就是累計(jì)變化量,這是基坑安全監(jiān)測中最為重要的安全指標(biāo)之一。相較于常用的數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化處理,該變換更具有工程實(shí)際意義且計(jì)算更為簡便。

平移變換后的數(shù)據(jù)如表3所示。

表3 平移變換后數(shù)據(jù)

在利用式(1)建立回歸模型時(shí),因變量yi為含有偶然誤差的隨機(jī)變量,但當(dāng)yi含有粗差時(shí),所建立的模型將不能達(dá)到較好的擬合精度甚至失去意義。因此,本文在進(jìn)行建模前先采用“3σ準(zhǔn)則”剔除粗差。

由每個(gè)觀測周期坡頂水平位移監(jiān)測點(diǎn)的變化量構(gòu)成數(shù)據(jù)序列{y1,y2,…,yn},則描述該序列數(shù)據(jù)的變化特征值為

(17)

變化特征值偏差的絕對值與均方差的比值為

(20)

當(dāng)qi>3時(shí),則認(rèn)為yi含有粗差,予以剔除。

經(jīng)上訴方法處理后,2021-11-15期數(shù)據(jù)變化特征值偏差比值q=4.1>3,即該期數(shù)據(jù)超出3倍中誤差,予以剔除,該期數(shù)據(jù)不參與建模過程。

4.2 模型參數(shù)計(jì)算

建立式(1)所述二元線性回歸模型,其中時(shí)間因素與錨索軸力分別作為2項(xiàng)影響因子。由式(4)～式(8),得出回歸參數(shù)為

(21)

回歸方程為

(22)

4.3 模型檢驗(yàn)

4.3.1顯著性檢驗(yàn)

進(jìn)行回歸模型線性關(guān)系顯著性檢驗(yàn)與回歸參數(shù)顯著性檢驗(yàn)。由上述兩項(xiàng)檢驗(yàn)原假設(shè)式(9)、式(11)可知,若回歸參數(shù)檢驗(yàn)通過,則模型線性關(guān)系檢驗(yàn)必然通過,所以本文僅進(jìn)行回歸參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)。

由式(12)可得統(tǒng)計(jì)量

(23)

取顯著性水平α=0.05,可查得t0.025(21)=2.079 6。顯然|t2|>|t1|>t0.025(21),即回歸參數(shù)β1、β2均通過顯著性檢驗(yàn)。

4.3.2精度檢驗(yàn)

為驗(yàn)證本文所提模型方法的精度,采用均方根誤差、平均絕對誤差兩項(xiàng)精度指標(biāo)進(jìn)行評價(jià),并結(jié)合一元回歸模型、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、GM(1,1)灰色模型進(jìn)行對比分析。各模型均對同一組數(shù)據(jù)進(jìn)行建模并基于Matlab程序語言實(shí)現(xiàn)。其中,本文所提模型為考慮時(shí)間因素與錨索軸力影響的二元回歸模型;一元回歸模型考慮時(shí)間因素與錨索軸力因素分別建模;BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型為以時(shí)間因素與錨索軸力為輸入層元素構(gòu)建的3層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu);GM(1,1)灰色模型以數(shù)據(jù)自身一次累加及對其一介微分式求解進(jìn)行建模。各模型預(yù)測值殘差及精度指標(biāo)值如表4～表5所示。

表4 模型的精度指標(biāo) 單位：mm

表5 模型的精度指標(biāo) 單位：mm

在精度指標(biāo)計(jì)算時(shí),許多學(xué)者將擬合數(shù)據(jù)與預(yù)測數(shù)據(jù)綜合在一起進(jìn)行分析。擬合數(shù)據(jù)是在模型運(yùn)行過程中按照運(yùn)算規(guī)則被不斷優(yōu)化的最優(yōu)解,其擬合精度必然較高,而預(yù)測數(shù)據(jù)則沒有被修正,精度必然較低。因此,將擬合數(shù)據(jù)與預(yù)測數(shù)據(jù)綜合在一起分析不能準(zhǔn)確描述模型精度。所以將擬合精度與預(yù)測精度分開描述更為合理。

從表4～表5可以看出：①二元回歸模型、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型、GM(1,1)灰色模型預(yù)測值與實(shí)測值之間的殘差均未超過1 mm,預(yù)測效果相對較好;②擬合精度指標(biāo)中,BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的RMSE與MAE值最小,二元回歸模型次之,這是因?yàn)锽P神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型為非線性模型且顧及了錨索軸力因素的影響,可以最大限度地將擬合值靠近目標(biāo)值,但并不代表其預(yù)測能力最好;③預(yù)測精度指標(biāo)中,二元回歸模型的RMSE與MAE值最小,BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型與GM(1,1)灰色模型次之,說明考慮時(shí)間因素與錨索軸力的二元回歸模型在本文實(shí)例中的預(yù)測能力最好;④從預(yù)測值殘差、擬合精度指標(biāo)與預(yù)測精度指標(biāo)三個(gè)方面來看,一元時(shí)間回歸模型與一元錨索軸力回歸模型在本文實(shí)例中的表現(xiàn)均不佳,而將兩因素結(jié)合考慮的二元回歸模型與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型可以將模型精度有效地提高。

另外,根據(jù)該基坑工程設(shè)計(jì)文件要求,坡頂水平位移變化速率預(yù)警值為2 mm/d,參照《建筑基坑工程監(jiān)測技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)》,坡頂水平位移監(jiān)測精度為RMSE≤1 mm。因此,本文所提預(yù)測模型能夠滿足該基坑工程變形監(jiān)測的精度要求。

各模型后驗(yàn)化比值計(jì)算結(jié)果如表6所示,并按照表1模型精度檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)將各模型精度進(jìn)行分級。

表6 模型精度等級對比

由表6可知,二元回歸模型與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型精度等級均為一級,模型擬合及預(yù)測效果較好,二者都顧及了時(shí)間因素與錨索軸力影響,所以將錨索軸力納入基坑變形數(shù)據(jù)處理中具有顯著的工程實(shí)際意義;僅考慮錨索軸力的一元回歸模型與GM(1,1)灰色模型精度等級為二級,表明只依靠單一因素如錨索軸力、數(shù)據(jù)自身規(guī)律性等來建模預(yù)測變形量是不夠可靠的;一元時(shí)間回歸模型精度等級為三級,精度等級最低,僅能大致描述變形隨時(shí)間的變化規(guī)律,一般不能用來單獨(dú)建模。

5 結(jié)束語

本文從理論分析的角度出發(fā),論述了回歸分析模型的理論基礎(chǔ)及其參數(shù)估計(jì)的推導(dǎo)過程,并將錨索軸力納入模型中進(jìn)行分析,拓展了傳統(tǒng)的變形分析模型。在對工程實(shí)例的分析中,通過對5中模型的對比分析,驗(yàn)證了所提模型的可行性及在變形預(yù)測中的優(yōu)越性。同時(shí),考慮錨索軸力的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型與GM(1,1)灰色模型作為非線性模型也表現(xiàn)出了較高的擬合精度和預(yù)測能力。因此,將進(jìn)一步探討把多元回歸模型中的影響因素進(jìn)行曲線匹配或多項(xiàng)式擬合,使其表現(xiàn)出更符合實(shí)際的非線性關(guān)系,進(jìn)而改進(jìn)模型,以提高預(yù)測的精度。