胡圣武 楊旭鋒 苗林光

(河南理工大學(xué) 測繪與國土信息工程學(xué)院, 河南 焦作 454000)

0 引言

在自然界中隨處可見的變形現(xiàn)象,都會用到變形監(jiān)測。變形監(jiān)測就是通過對變形體的周期性觀測,以判斷其位置隨時(shí)間的變化[1-2]。在一定的變形限度內(nèi),變形對變形體沒有太大影響,但是超過這個(gè)限度,就會對變形體造成損害,甚至發(fā)生災(zāi)難。由于變形造成的變形破壞,造成的財(cái)產(chǎn)損失數(shù)不勝數(shù),因此,變形監(jiān)測工作的質(zhì)量直接影響著工程的質(zhì)量以及人民財(cái)產(chǎn)的安全。自回歸模型被引入變形監(jiān)測以來,很多學(xué)者對其進(jìn)行了研究。

自回歸模型作為分析時(shí)間觀測序列的一種重要模型,英國數(shù)學(xué)家于1927年首次引入了AR模型。還有一些學(xué)者提出了MA模式和ARMA模式[2]。之后,大量學(xué)者不斷對該方法進(jìn)行豐富和完善。在測繪領(lǐng)域中,國內(nèi)對自回歸模型的建模方法和應(yīng)用進(jìn)行了大量的探索。徐培亮運(yùn)用時(shí)間序列分析法為大壩做變形預(yù)報(bào)[3]。陸立將自回歸模型用于建筑物變形監(jiān)測數(shù)據(jù)分析[4]。朱海國等將曲線擬合與自回歸模型結(jié)合應(yīng)用在地鐵變形監(jiān)測中,使得預(yù)測精度更高[5]。王鐵生等建立基于卡爾曼濾波的自回歸模型,并驗(yàn)證了該模型的可行性[6]。余凱將GAAA算法應(yīng)用于自回歸模型中,進(jìn)一步提高了自回歸模型的預(yù)測精度[7]。徐偉、何金平將多尺度小波分析與自回歸模型有機(jī)地結(jié)合起來[8]。孫志鵬將時(shí)空自回歸模型應(yīng)用到大型橋梁變形監(jiān)測分析與預(yù)報(bào),驗(yàn)證了其實(shí)用意義[9]。朱少林等對變形監(jiān)測數(shù)據(jù)引入了半?yún)?shù)自回歸模型[10]。楊小虎等將GM模型與AR模型結(jié)合,預(yù)測精度明顯提高[11]。李彬彬等利用無人機(jī)和三維激光掃描技術(shù)對廠礦進(jìn)行地表監(jiān)測,并結(jié)合小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法,取得了較好的監(jiān)測結(jié)果[12]。李振河等利用合成孔徑雷達(dá)干涉測量(interferometric synthetic aperture radar,InSAR)技術(shù)對沉降觀測區(qū)進(jìn)行監(jiān)測研究,提高了監(jiān)測精度[13]。

本文結(jié)合最小二乘估計(jì)和自回歸模型對變形監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行處理,并研究自回歸模型的階數(shù)問題。本文的研究特點(diǎn)主要有：①充分考慮到變形監(jiān)測數(shù)據(jù)存在著誤差,利用最小二乘估計(jì)削弱和控制誤差;②確定自回歸模型的階數(shù)。

1 自回歸模型

自回歸模型參數(shù)的求解過程實(shí)際上就是間接平差的過程,類比間接平差的計(jì)算步驟,即可得到自回歸模型的建立步驟。本文主要對誤差方程的列立、模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)、模型的精度評定進(jìn)行詳細(xì)闡述。

1.1 誤差方程的列立

由已知觀測值和未知參數(shù)、預(yù)測值改正數(shù),根據(jù)它們之間的關(guān)系組成的方程稱為自回歸模型的誤差方程。觀測值的個(gè)數(shù)減去模型階數(shù)等于誤差方程的個(gè)數(shù),模型參數(shù)個(gè)數(shù)等于模型階數(shù)。

設(shè)有按時(shí)間序列排列的觀測數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn,則p階自回歸模型的誤差方程為

記

得

(1)

1.2 模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)

(2)

將式(1)和式(2)聯(lián)立得

(3)

解得

(4)

從而得到自回歸模型

(5)

1.3 模型的精度評定

不論采用哪一種平差模型,是否進(jìn)行參數(shù)選擇,對每單位權(quán)方差的估計(jì)值均為殘差的平方和除其自由度。其中自回歸模型觀測值的權(quán)P=I[14-15]。即

(6)

自回歸模型觀測值的協(xié)因數(shù)矩陣Q=I,從而得到模型的中誤差

(7)

2 實(shí)例分析

本文數(shù)據(jù)選用某建筑物36期沉降觀測數(shù)據(jù),如表1所示。前30期數(shù)據(jù)用于建立自回歸模型,后6期數(shù)據(jù)用于驗(yàn)證所建自回歸模型的正確性,將模型預(yù)測值與實(shí)際觀測值進(jìn)行比較,求出其差值是否符合限差要求。前30期沉降觀測數(shù)據(jù)圖如圖1所示。

表1 沉降觀測數(shù)據(jù) 單位：mm

圖1 前30期實(shí)測數(shù)據(jù)圖

2.1 自回歸模型程序解算

對于不同的變形監(jiān)測數(shù)據(jù),選取較為合適的模型階數(shù)建立自回歸模型至關(guān)重要,因此本文先對不同階數(shù)的自回歸模型進(jìn)行比較,選取最為合適的模型階數(shù)進(jìn)行模型預(yù)測。將觀測數(shù)據(jù)期數(shù)、模型階數(shù)、預(yù)測數(shù)據(jù)期數(shù)等參數(shù)輸入自回歸模型預(yù)測程序,運(yùn)行程序,可直接得到所需的各種數(shù)據(jù)。依次取模型階數(shù)為2到9,選取模型中誤差最小的模型進(jìn)行模型預(yù)測。

由程序輸出結(jié)果可知,模型階數(shù)取7時(shí),模型中誤差最小,如圖2所示。因此將階數(shù)為7的模型用于變形預(yù)測。用于變形預(yù)測的自回歸模型為

(8)

圖2 七階自回歸模型輸出結(jié)果

2.2 模型預(yù)測及精度評定

由程序輸出結(jié)果可知,所選階數(shù)為7的自回歸模型的中誤差σ=0.78 mm。利用所得自回歸模型對后6期數(shù)據(jù)進(jìn)行變形預(yù)報(bào),預(yù)測值與實(shí)測值進(jìn)行比較,具體如表2所示。

表2 后6期數(shù)據(jù)預(yù)測值與實(shí)測值比較

借助矩陣實(shí)驗(yàn)室(matrix laboratory，MATLAB)編寫的預(yù)測程序解決了自回歸模型復(fù)雜的計(jì)算步驟,GUI界面設(shè)計(jì)制作了一個(gè)可以反復(fù)使用且操作簡便的工具,通過繪圖功能實(shí)現(xiàn)了數(shù)據(jù)的可視化,從而可以直接地比較自回歸模型的預(yù)測數(shù)據(jù)和實(shí)測數(shù)據(jù),具體如圖3所示。

圖3 后6期預(yù)測值和實(shí)測值對比圖

由以上自回歸模型預(yù)測程序輸出結(jié)果可知,運(yùn)用該實(shí)例建立的自回歸模型變形預(yù)測值與實(shí)際測量值之間的絕對誤差如表2所示,變形預(yù)測值與實(shí)際測量值之間的差值最大為1.07 mm,其余絕對誤差均小于0.5 mm,說明自回歸模型十分適合進(jìn)行變形預(yù)報(bào),進(jìn)一步肯定了自回歸模型應(yīng)用在變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理中的可行性。

3 結(jié)束語

本文利用自回歸模型與最小二乘估計(jì)相結(jié)合,對變形監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行處理,所得到的結(jié)果是科學(xué)的,但本文也存在不足的地方,例如：本文在確定模型階數(shù)時(shí),沒有提前確定模型階數(shù),而是選取不同階數(shù)進(jìn)行比較,選取模型中誤差最小的模型用于變形預(yù)測,這樣的方法可能會導(dǎo)致操作步驟過于復(fù)雜;本文借助MATLAB編寫的自回歸模型預(yù)測程序,雖然能夠正常地運(yùn)行出結(jié)果,但是有些代碼過于煩瑣,不夠簡潔,希望以后可以進(jìn)一步改進(jìn)。

如何確定自回歸模型的階數(shù)以及如何消除觀測數(shù)據(jù)的觀測誤差這仍然是需要研究的問題,本文只是簡單進(jìn)行了探討。