陳紅霞,劉文光,方孟翔,吳興意,高銘陽(yáng),馮逸亭
(南昌航空大學(xué) 航空制造工程學(xué)院,江西 南昌 330063)
振動(dòng)存在于飛行器的滑跑、起飛、飛行直至降落的整個(gè)過(guò)程。由于日益追求高性能、長(zhǎng)續(xù)航和高穩(wěn)定性,故現(xiàn)代飛行器要求應(yīng)用輕質(zhì)和低阻尼結(jié)構(gòu)[1-2]。飛行器結(jié)構(gòu)(如飛機(jī)壁板和機(jī)翼)服役時(shí),不但受振動(dòng)載荷作用,且結(jié)構(gòu)振動(dòng)自由衰減速度較慢,由此導(dǎo)致疲勞損傷,嚴(yán)重危及飛行器結(jié)構(gòu)的安全可靠性[3-4]。因此,為保障飛行器結(jié)構(gòu)的工作穩(wěn)定性和延長(zhǎng)其使用壽命,研究結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制方法具有重要意義。
滑??刂剖峭ㄟ^(guò)控制量的切換使系統(tǒng)狀態(tài)沿滑模面滑動(dòng)[5],使系統(tǒng)在受到參數(shù)攝動(dòng)和外界干擾時(shí)具有良好的魯棒性,因而被研究者廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制中。潘成龍等[6]針對(duì)柔性自旋導(dǎo)彈振動(dòng)問(wèn)題設(shè)計(jì)了模糊滑??刂破?,有效地抑制導(dǎo)彈尾部振動(dòng)。董彬等[7]采用準(zhǔn)滑??刂品椒p小了風(fēng)力機(jī)葉片在風(fēng)載荷作用下的振動(dòng)位移,在結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定情況下該方法具有良好的魯棒性。Do等[8]開(kāi)發(fā)了模糊滑??刂破鳎行У匾种屏似?chē)座椅懸架的振動(dòng),增強(qiáng)了系統(tǒng)對(duì)不確定性和干擾的魯棒性。Qiu等[9]提出了滑模預(yù)測(cè)控制方法,實(shí)現(xiàn)了壓電柔性懸臂板振動(dòng)的快速抑制。與PID控制相比,該方法具有更好的控制性能。Qi等[10]提出了滑??刂撇呗?,在存在時(shí)變測(cè)量延遲的情況下有效地抑制了亞音速壓電復(fù)合板的振動(dòng)。袁明新等[11]設(shè)計(jì)了帶濾波的滑模控制器,并采用融合云模型和反向?qū)W習(xí)的克隆算法優(yōu)化滑模參數(shù),有效地抑制鍛壓機(jī)沖擊對(duì)鍛造機(jī)器人造成的殘余振動(dòng)。Li等[12]研究了受擾離散系統(tǒng)中存在的各種未知不確定性抖振問(wèn)題,提出了基于切換的離散時(shí)間模糊滑??刂品椒ǎ岣咔夫?qū)動(dòng)機(jī)器人系統(tǒng)的控制性能。Xie等[13]設(shè)計(jì)了基于創(chuàng)新強(qiáng)化學(xué)習(xí)的模糊自適應(yīng)滑模控制器,在保持魯棒性的同時(shí)減小了抖振效應(yīng)。Song等[14]開(kāi)發(fā)了分?jǐn)?shù)階積分模糊滑??刂品桨?,利用神經(jīng)模糊網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)逼近分?jǐn)?shù)子系統(tǒng)中存在的不確定非線性函數(shù),使系統(tǒng)狀態(tài)軌跡在有限時(shí)間內(nèi)收斂。Suilun等[15]針對(duì)具有障礙物約束、模型不確定性和分布擾動(dòng)的非線性柔性懸臂梁系統(tǒng),發(fā)明了基于自適應(yīng)非對(duì)稱(chēng)障礙函數(shù)的滑??刂坡?,實(shí)現(xiàn)了分布式干擾抑制和模型不確定性補(bǔ)償。Tian等[16]開(kāi)發(fā)了積分終端滑模魯棒控制方法,抑制空間智能桁架結(jié)構(gòu)的受迫振動(dòng)。
對(duì)振動(dòng)滑??刂埔延写罅垦芯?,但是對(duì)如何消除滑??刂茙?lái)的抖振現(xiàn)象研究較少。抖振不僅影響控制的精確性,而且易激起系統(tǒng)其他模態(tài)振動(dòng),破壞系統(tǒng)性能。因此,本文在采用滑模控制抑制懸臂梁振動(dòng)的基礎(chǔ)上,引入模糊規(guī)則調(diào)節(jié)切換增益,利用飽和函數(shù)替換符號(hào)函數(shù),以減小滑模控制帶來(lái)的抖振問(wèn)題。
圖1為壓電懸臂梁幾何模型。在梁的根部上下表面貼壓電陶瓷分別作為作動(dòng)器和傳感器。將壓電懸臂梁分為若干個(gè)梁?jiǎn)卧▔弘娏簡(jiǎn)卧约盎贓uler-Bernoulli理論假設(shè)的均質(zhì)梁?jiǎn)卧?。梁的總長(zhǎng)為L(zhǎng),壓電梁?jiǎn)卧L(zhǎng)為le,壓電梁?jiǎn)卧糜谀M壓電元件作為傳感器/作動(dòng)器結(jié)合的區(qū)域,而梁的其余部分由均質(zhì)梁?jiǎn)卧M。
圖1 壓電懸臂梁幾何模型
根據(jù)拉格朗日方程,可推導(dǎo)出均質(zhì)梁?jiǎn)卧倪\(yùn)動(dòng)方程[17]為
(1)
式中:fb為均質(zhì)梁?jiǎn)卧艿降耐饨缌?;qb為梁?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)的位移矩陣;Mb,Kb分別為均質(zhì)梁?jiǎn)卧馁|(zhì)量陣、剛度陣,且有:
(2)
(3)
式中:ρb為均質(zhì)梁的密度;Ab為均質(zhì)梁?jiǎn)卧谋砻婷娣e;Eb,Ib分別為均質(zhì)梁?jiǎn)卧膹椥阅A亢娃D(zhuǎn)動(dòng)慣量;x為梁長(zhǎng)度方向坐標(biāo);N為梁?jiǎn)卧魏瘮?shù)向量。
同理,可推導(dǎo)出壓電梁?jiǎn)卧倪\(yùn)動(dòng)方程
(4)
式中:fp為壓電梁?jiǎn)卧艿降耐饨缌Γ籷p為壓電梁?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)的位移矩陣;Mp,Kp分別為壓電梁?jiǎn)卧馁|(zhì)量陣、剛度陣,且有:
(5)
(6)
式中:EI為壓電梁?jiǎn)卧牡刃Э箯潉偠?;A為壓電梁?jiǎn)卧砻婷娣e;ρ為壓電梁?jiǎn)卧拿芏取?/p>
懸臂梁振動(dòng)時(shí),傳感器層不受外場(chǎng)作用,粘貼于梁表面的壓電傳感器將會(huì)產(chǎn)生電荷,壓電傳感層兩個(gè)表面電極間的電壓Vs(t)為
(7)
(8)
式中:Cp為壓電傳感器電容;Q為電荷;b為寬度。
在壓電作動(dòng)器上施加外部電壓Va,壓電片將產(chǎn)生形變抑制梁的振動(dòng),壓電梁?jiǎn)卧a(chǎn)生的彎矩Ma為
(9)
作動(dòng)器施加在壓電梁?jiǎn)卧袭a(chǎn)生的控制力為
fctrl=hVa
(10)
(11)
將壓電懸臂梁的單元?jiǎng)偠汝?、單元質(zhì)量陣組裝成總質(zhì)量陣、總剛度陣,可推出考慮比例阻尼的壓電懸臂梁的運(yùn)動(dòng)方程[18]為
(12)
式中:M,K分別為壓電懸臂梁總質(zhì)量矩陣和剛度矩陣;Fctrl為懸臂梁所受控制力。
整體節(jié)點(diǎn)位移列陣q和模態(tài)阻尼矩陣D分別為
(13)
D=αM+βK
(14)
式中:α,β為結(jié)構(gòu)阻尼常數(shù);m為單元節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)。
(15)
式中:系數(shù)A,B,C分別為輸入矩陣、輸出矩陣和傳輸矩陣;u(t)為輸入電壓;y(t)為輸出電壓。
利用平衡截?cái)喾ê?jiǎn)化壓電懸臂梁模型可得到相應(yīng)降階模型。當(dāng)方程(15)可控、可觀且漸進(jìn)穩(wěn)定時(shí),則其可控Gramian矩陣Wc和可觀Gramian矩陣Wo都是正定的,且滿足Lyapunov方程[20]:
(16)
假設(shè)存在非奇異矩陣T1,使Wc=Wo且為對(duì)角陣,則系統(tǒng)內(nèi)部平衡,方程(15)可轉(zhuǎn)換為
(17)
當(dāng)系統(tǒng)內(nèi)部平衡時(shí)有:
(18)
且λ1>λ2>…>λn,對(duì)角陣可寫(xiě)成兩組奇異值的形式:
(19)
式中:λ(1)為要保留的可控性和可觀測(cè)性強(qiáng)的子系統(tǒng);λ(2)為要?jiǎng)h除的可控性和可觀測(cè)性弱的子系統(tǒng)。
當(dāng)λ(1)取合適的階數(shù)時(shí),該“強(qiáng)”子系統(tǒng)保持了原始系統(tǒng)的固有屬性。
將降階模型和殘差模型簡(jiǎn)化為
(20)
式中(A11,B1)為最高可控性和可觀測(cè)性對(duì)。
利用滑??刂茖?duì)建模誤差的不靈敏性設(shè)計(jì)主動(dòng)控制器,存在線性時(shí)不變系統(tǒng)[21]:
(21)
式中A12X2為建模誤差。
滑??刂坡捎傻刃Э刂苪eq和切換控制usw構(gòu)成。切換函數(shù)設(shè)計(jì)為
(22)
式中Cs為滑模面參數(shù)。
ueq=-KeqX1(t)
(23)
式中Keq為等效控制增益,且:
Keq=(CsB1)-1CsA11
(24)
定義Lyapunov函數(shù):
(25)
到達(dá)條件為
(26)
usw=(CsB1)-1(-εsgns-ks)
(27)
式中:ε>0,k>0,ε為增益系數(shù);k為指數(shù)趨近參數(shù)。增益系數(shù)ε必須滿足以下條件:
ε>‖CsA12X2‖
(28)
等效滑模控制律為
u=ueq+usw
(29)
則:
sCsB1[-KeqX1+(CsB1)-1(-εsgns-
ks)]+sCsA12X2+sCsA11X1=s(-
εsgns-ks+CsA12X2)≤-ε‖s‖-
k‖s‖2+‖s‖‖CsA12X2‖
(30)
選用飽和函數(shù)sat(s)代替符號(hào)函數(shù)以降低滑模抖振。飽和函數(shù)為
(31)
式中飽和函數(shù)參數(shù)δ>0。
(32)
(33)
式中:NB為負(fù)大;NM為負(fù)??;ZO為零;PM為正??;PB為正大。
模糊系統(tǒng)的輸入輸出隸屬函數(shù)如圖2、3所示。模糊控制規(guī)則設(shè)計(jì)如表1所示。
圖2 輸入隸屬函數(shù)圖
圖3 輸出隸屬函數(shù)圖
表1 模糊控制規(guī)則表
(34)
式中G為比例系數(shù),根據(jù)經(jīng)驗(yàn)確定。
根據(jù)式(30)可得:
k‖s‖2+‖s‖‖CsA12X2‖
(35)
圖4 模糊滑??刂葡到y(tǒng)結(jié)構(gòu)圖
通過(guò)COMSOL軟件建立壓電懸臂梁的有限元?jiǎng)恿W(xué)模型,將壓電梁劃分為6個(gè)單元,對(duì)壓電懸臂梁的一端進(jìn)行完全固支,形成懸臂梁邊界條件。壓電懸臂梁的材料參數(shù)如表2所示。表3為計(jì)算與仿真固有頻率結(jié)果比較。由表可知兩者基本吻合。
表2 壓電懸臂梁的材料參數(shù)
表3 計(jì)算與仿真固有頻率結(jié)果比較
圖5為原系統(tǒng)和降階模型頻響曲線。由圖可知,壓電懸臂梁模型狀態(tài)從24階降到8階,兩者頻響曲線基本一致,說(shuō)明降階模型與原系統(tǒng)具有相似的輸出特性,并保留了原系統(tǒng)的主要模態(tài),該降階系統(tǒng)在頻域上對(duì)原系統(tǒng)有很好的近似效果,驗(yàn)證了降階方法的有效性。以降階模型為對(duì)象,在梁的自由端施加15 mm的初始位移激勵(lì),利用仿真驗(yàn)證模糊滑??刂破鞯挠行?。
圖5 原系統(tǒng)和降階模型頻響曲線
圖6為未控制時(shí)仿真結(jié)果。由圖可知,壓電懸臂梁在受到外界初始激勵(lì)作用下會(huì)產(chǎn)生較大振動(dòng),在自身阻尼的影響下2 s后停止。隨著振幅的減小,傳感器電壓逐漸減小。圖7為滑??刂茀?shù)k不同時(shí)曲線比較。圖8為滑??刂茀?shù)ε不同時(shí)曲線比較。由圖7、8可知,壓電懸臂梁施加滑模主動(dòng)控制后,振動(dòng)得到明顯抑制。當(dāng)ε=3時(shí),指數(shù)趨近參數(shù)k值越大,振動(dòng)抑制效果越好,但不能改善滑模抖振現(xiàn)象。k=5時(shí),ε越大,曲線趨近于0時(shí)速度越快,振動(dòng)抑制時(shí)間越短。
圖6 未控制時(shí)仿真結(jié)果
圖7 滑??刂茀?shù)k不同時(shí)曲線比較
圖8 滑??刂茀?shù)ε不同時(shí)曲線比較
隨著ε的增大,施加在作動(dòng)器上的控制電壓產(chǎn)生的抖振越明顯。指數(shù)趨近參數(shù)k主要影響趨近模態(tài),ε主要影響滑動(dòng)模態(tài),當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)遠(yuǎn)離滑模面時(shí),k值越大可使其快速到達(dá)滑模面。ε值越大,使系統(tǒng)狀態(tài)趨近于滑模面時(shí)的速度越大,且在滑模面滑動(dòng)時(shí)抖振也越大。因此,選取合適的k和ε可使系統(tǒng)狀態(tài)快速到達(dá)滑模面,并減小抖振。
引入模糊規(guī)則適時(shí)調(diào)節(jié)切換增益ε,設(shè)置ε=3,k=5,G=900。圖9為滑??刂坪湍:?刂票容^。由圖可知,單純使用滑模控制時(shí)振動(dòng)抑制時(shí)間更短,但抖振較大,引入模糊規(guī)則后,施加在作動(dòng)器上的最大控制電壓減小,且能有效地降低抖振,但調(diào)節(jié)時(shí)間增加。由于符號(hào)函數(shù)不連續(xù),因而模糊滑模控制時(shí)作動(dòng)器輸入電壓還是存在較小的抖振。
圖9 滑??刂坪湍:?刂票容^
圖10為飽和函數(shù)模糊滑模控制結(jié)果。由圖可知,用飽和函數(shù)替換符號(hào)函數(shù),抖振得到了明顯改善。當(dāng)飽和函數(shù)參數(shù)δ取值越小時(shí),振動(dòng)抑制速度越快。因此,基于飽和函數(shù)的模糊滑??刂撇粌H能抑制壓電懸臂梁的振動(dòng),還能有效地降低滑??刂频亩墩瘛?/p>
以壓電懸臂梁為對(duì)象,基于狀態(tài)空間動(dòng)力學(xué)模型設(shè)計(jì)模糊滑??刂破?,考慮建模誤差下對(duì)懸臂梁進(jìn)行振動(dòng)控制。主要結(jié)論如下:
1) 利用平衡截?cái)喾▽?duì)模型進(jìn)行降階處理,將24階系統(tǒng)模型簡(jiǎn)化為8階,提高了計(jì)算速度。
2) 基于降階模型設(shè)計(jì)滑模控制器,控制存在較大抖振,增大k、減小ε不僅能加快振動(dòng)抑制,還可削弱抖振。
3) 引入模糊規(guī)則,適時(shí)調(diào)節(jié)增益系數(shù)ε,用飽和函數(shù)替換符號(hào)函數(shù),可改善滑膜控制存在的抖振現(xiàn)象,參數(shù)δ取值越小,振動(dòng)抑制效果越好。