周復(fù)旦，戈樹兵，鄭波，樊振華

(徐州市勘察測(cè)繪研究院有限公司，江蘇 徐州 221000)

1 引 言

GPS相對(duì)定位可以獲得較高精度的兩點(diǎn)間的大地高之差。當(dāng)區(qū)域控制網(wǎng)中有少量重合的幾何水準(zhǔn)點(diǎn)，就可以計(jì)算出其他GPS點(diǎn)的正常高，這種計(jì)算方法一般稱為高程擬合法[1]。由于正常高是以似大地水準(zhǔn)面為基準(zhǔn)的，大地高是以橢球面為基準(zhǔn)的[1]。所謂高程擬合實(shí)際上是用一個(gè)數(shù)學(xué)曲面來擬合區(qū)域似大地水準(zhǔn)面，擬合精度的高低取決于水準(zhǔn)點(diǎn)與GPS重合點(diǎn)的精度、密度與空間分布。

2 GPS高程擬合

2.1 GPS高程擬合原理[2]

GPS測(cè)量得到的是地面點(diǎn)相對(duì)于WGS-84橢球面的大地高(H)，而我國(guó)的實(shí)用高程采用的是相對(duì)于似大地水準(zhǔn)面的正常高(h)，大地高與正常高的差值為高程異常(ζ)[2]。它們的關(guān)系為：

ζ=H-h

(1)

高程異常是高程擬合的關(guān)鍵，求得高程異常，就可以根據(jù)該高程異常應(yīng)用式(1)求得測(cè)點(diǎn)的正常高。

2.2 GPS高程擬合方法

高程擬合法是在GPS網(wǎng)中聯(lián)測(cè)一些分布均勻、密度適宜的水準(zhǔn)點(diǎn)，根據(jù)這些水準(zhǔn)點(diǎn)上的正常高和大地高擬合求出它們的差值，差值也就是高程異常值，然后根據(jù)這些點(diǎn)上的高程異常值與坐標(biāo)的關(guān)系，用最小二乘法擬合出測(cè)區(qū)的似大地水準(zhǔn)面，最后利用擬合的似大地水準(zhǔn)面內(nèi)插出其他GPS點(diǎn)的高程異常值[4]，利用式(1)求出各未知點(diǎn)的正常高。多項(xiàng)式擬合模型[5]：

設(shè)測(cè)區(qū)內(nèi)任一點(diǎn)A(x，y)的高程異常ζ與平面坐標(biāo)有如下的關(guān)系：

ζ=f(x，y)+ε

(2)

式中：f(x，y)為高程異常ζ的趨勢(shì)面，ε為殘差。設(shè)：

f(x，y)=a0+a1x+a2y+a3xy+a4x2+a5y2+a6x2y+a7y2x+a8x3+a9y3+……

(3)

若有n個(gè)點(diǎn)，則可以得到下面的矩陣形式：

ζ=AX+ε

在最小二乘的準(zhǔn)則下，求得向量X的解，回帶到式(3)中，就可以內(nèi)插出未知點(diǎn)的高程異常[9]。再根據(jù)式(1)就可以算出GPS點(diǎn)的正常高。

在式(3)中，如果取未知數(shù)前三項(xiàng)，則稱平面擬合，取前四項(xiàng)，稱為四參曲面擬合，取前六項(xiàng)，稱六參曲面擬合，以此類推[9]。曲面擬合就是采用一個(gè)數(shù)學(xué)曲面，來近似代替似大地水準(zhǔn)面[9]。

2.3 精度評(píng)定

(1)內(nèi)符合精度

內(nèi)符合精度是由擬合點(diǎn)的擬合高程異常均值與分別擬合的高程異常值之差計(jì)算出來的[7]，即擬合殘差按式(4)可計(jì)算出GPS水準(zhǔn)擬合計(jì)算的μ：

(4)

(2)外符合精度

外符合精度是由檢核點(diǎn)的高程異常與擬合高程異常之間的擬合殘差按式(5)計(jì)算出來的[7]：

(5)

3 算例

根據(jù)具體工程項(xiàng)目詳細(xì)地說明如何擬合區(qū)域似大地水準(zhǔn)面。在某礦區(qū)建立一個(gè)控制面積僅 20 km2的GPS控制網(wǎng)，共23個(gè)控制點(diǎn)，南北長(zhǎng)度約 5 km，東西長(zhǎng)度約 4 km，網(wǎng)形如圖1所示。每個(gè)GPS控制點(diǎn)都用S1級(jí)水準(zhǔn)儀聯(lián)測(cè)了四等水準(zhǔn)，每公里水準(zhǔn)測(cè)量精度是 9 mm，全網(wǎng)高程中誤差最大 8 mm，平均高程中誤差是 6 mm。根據(jù)高程異常擬合計(jì)算理論與方法，用Matlab編寫了平面擬合、四參數(shù)平面擬合、六參數(shù)平面擬合程序，高程擬合的已知點(diǎn)是從23個(gè)控制點(diǎn)中選15個(gè)點(diǎn)，剩下的所有點(diǎn)是檢核點(diǎn)，通過大量試算得到了理想的結(jié)果。已知點(diǎn)與擬合點(diǎn)的擬合高程異常，擬合殘差結(jié)果及精度評(píng)定如表1所示。

圖1 本工程控制網(wǎng)圖

表1 GPS高程測(cè)量與水準(zhǔn)測(cè)量各種擬合結(jié)果及擬合殘差

續(xù)表1

可以看出，平面擬合點(diǎn)最大殘差為 -15.9 mm，四參數(shù)擬合點(diǎn)最大殘差為 -14.8 mm，六參數(shù)擬合點(diǎn)最大殘差為 -10.7 mm，六參數(shù)擬合結(jié)果最好，可達(dá)到三等水準(zhǔn)測(cè)量的精度要求；四參數(shù)擬合結(jié)果也能達(dá)到四等水準(zhǔn)測(cè)量的精度要求；平面擬合結(jié)果達(dá)到四等水準(zhǔn)測(cè)量的精度要求。由此可見擬合結(jié)果可以用于工程實(shí)踐。

4 結(jié) 論

(1)應(yīng)當(dāng)選擇適當(dāng)數(shù)量的水準(zhǔn)聯(lián)測(cè)點(diǎn)。如果選擇太多聯(lián)測(cè)點(diǎn)，會(huì)增加工作量；選擇太少精度又得不到保證。水準(zhǔn)重合點(diǎn)的數(shù)量在一個(gè)控制網(wǎng)中的要有10個(gè)左右已知點(diǎn)，最少6個(gè)。選擇的水準(zhǔn)重合點(diǎn)應(yīng)盡量包含整個(gè)測(cè)區(qū)，且盡量分布均勻。按此法進(jìn)行的GPS高程擬合其精度達(dá)到四等水準(zhǔn)的要求，甚至三等水準(zhǔn)要求，具有可靠性，能夠滿足工程需要。

(2)在工程實(shí)踐中，在地形較為平坦且面積不大的地區(qū)可以使用“平面擬合法”進(jìn)行高程擬合，對(duì)于地形較為復(fù)雜的地區(qū)，應(yīng)該采用分區(qū)擬合法，并且增加水準(zhǔn)聯(lián)測(cè)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，使擬合模型與擬合區(qū)域高程異常的變化更加接近。一般情況下如果點(diǎn)位分布均勻并且擬合的面積越小，得到的精度越高。

(3)利用GPS測(cè)量高程的方法可以確定地面點(diǎn)的高程和坐標(biāo)，方便計(jì)算。而水準(zhǔn)測(cè)量受人為影響很大，工作量大，消耗大量的人力、物力，GPS則操作簡(jiǎn)單，使工作效率得到提高。