王 帥，王 波，肖旭亮，許湧平

（1.國(guó)網(wǎng)冀北電力有限公司工程管理分公司，北京 豐臺(tái) 100071；2.國(guó)網(wǎng)山西省電力公司建設(shè)分公司，山西 太原 030001；3.中國(guó)能源建設(shè)集團(tuán)山西省電力勘測(cè)設(shè)計(jì)院有限公司，山西 太原 030001）

0 引言

空心電抗器作為電力系統(tǒng)的重要設(shè)備，工作過程中產(chǎn)生的電磁場(chǎng)對(duì)人身安全和設(shè)備會(huì)造成一定的影響，精確的磁場(chǎng)計(jì)算是空心電抗器電感參數(shù)計(jì)算的基礎(chǔ)。因此，對(duì)電抗器的磁場(chǎng)分析是非常必要的。從電氣模型上看，空心電抗器可以看成是有限軸長(zhǎng)的通電螺線管。通電螺線管的磁場(chǎng)為中心軸線對(duì)稱磁場(chǎng)，運(yùn)用畢奧-薩伐爾定律對(duì)其進(jìn)行解析分析會(huì)獲得橢圓積分，但其無法用初等函數(shù)表示[1-2]，長(zhǎng)期以來空心電抗器的磁場(chǎng)分布以及參數(shù)計(jì)算無解析解。因而，對(duì)于電抗器等電器設(shè)備的磁力線分布分析一直采用有限元分析方法。但是，空心電抗器因其自身結(jié)構(gòu)不同于電機(jī)或鐵芯變壓器，且其不包含良導(dǎo)磁材料，磁場(chǎng)分布不會(huì)被束縛于某一部分，而是分布于整個(gè)無限大空間，因此空心電抗器的有限元計(jì)算模型需采用較大的計(jì)算區(qū)域以保證計(jì)算精度，故所需內(nèi)存很大。由此，繼續(xù)探索空心電抗器的解析計(jì)算方法是正途。近年來，學(xué)者們通過采用巧妙的換元法解決了中心軸線對(duì)稱磁場(chǎng)的精確解析計(jì)算問題，獲得了解析解[3-5]。然而，這些文獻(xiàn)僅僅給出了通電螺線管的磁場(chǎng)密度分布的解析表達(dá)式，而進(jìn)一步求解電感需要對(duì)磁密進(jìn)行積分運(yùn)算。眾所周知，微分易算而積分難算，對(duì)復(fù)雜數(shù)學(xué)表達(dá)式進(jìn)行積分運(yùn)算，難以獲得解析結(jié)果。針對(duì)此問題，本文從矢量磁位入手，提出了數(shù)學(xué)解析計(jì)算空心電抗器電感的方法：通過換元積分方法獲得矢量磁位的解析表達(dá)式，然后利用矢量磁位的分布特點(diǎn)，運(yùn)用斯托克斯定理獲得其電參數(shù)的解析表達(dá)式。該方法可替代有限元數(shù)值計(jì)算方法，從而縮短空心電抗器電感參數(shù)的計(jì)算時(shí)間，節(jié)約計(jì)算資源。

1 空心電抗器的構(gòu)成及原理[6]

空心電抗器主要分空心串聯(lián)電抗器、空心濾波電抗器、空心并聯(lián)電抗器、空心限流電抗器、空心分裂電抗器、空心啟動(dòng)電抗器等，常用于無功補(bǔ)償、濾除諧波、限流等場(chǎng)合。其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是：無油結(jié)構(gòu)，杜絕了油浸電抗器漏油、易燃等缺點(diǎn)，保證了運(yùn)行安全。沒有鐵芯，不存在鐵磁飽和，電感值的線性度好；應(yīng)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行干式空心電抗器優(yōu)化設(shè)計(jì)，可以按照用戶的不同使用要求快速準(zhǔn)確地設(shè)計(jì)出最理想的結(jié)構(gòu)參數(shù)；采用多層繞組并聯(lián)的筒形結(jié)構(gòu)，各包封之間有成通風(fēng)氣道，散熱性好，熱點(diǎn)溫度低；繞組選用小截面圓導(dǎo)線多股平行繞制，可使渦流損耗和漏磁損耗明顯減??；繞組外部用浸漬環(huán)氧樹脂的玻璃纖維纏繞嚴(yán)密包封，并經(jīng)高溫固化，使之具有很好的整體性，其機(jī)械強(qiáng)度高，耐受短時(shí)電流的沖擊能力強(qiáng)；采用機(jī)械強(qiáng)度高的鋁質(zhì)星形接線架，渦流損耗?。豢招碾娍蛊鞯恼麄€(gè)內(nèi)外表面上都涂有抗紫外線防老化的特殊防護(hù)層，其附著力強(qiáng)，能耐受戶外惡劣的氣候條件；安裝方式可三相垂直，也可品字或一字形；戶外露天使用可大大減少基建投資；運(yùn)行安全、噪音低，不需經(jīng)常維護(hù)。

電抗器是一個(gè)大的電感線圈，根據(jù)電磁感應(yīng)原理，感應(yīng)電流的磁場(chǎng)總是阻礙原來磁通的變化，如果原來磁通減少，感應(yīng)電流的磁場(chǎng)與原來的磁場(chǎng)方向一致，如果原來的磁通增加，感應(yīng)電流的磁場(chǎng)與原來的磁場(chǎng)方向相反。

2 推導(dǎo)

置放在單一介質(zhì)中的導(dǎo)電物體所生成的矢量磁位可由式（1）計(jì)算[7]。

考慮一個(gè)放置于空氣中半徑為r的導(dǎo)電圓桶產(chǎn)生的磁場(chǎng)。為簡(jiǎn)便起見，忽略其徑向厚度，則根據(jù)式（1）可得到電流微元產(chǎn)生的矢量磁位微元為

易知其生成的矢量磁位在整個(gè)空間中的方向都是與圓環(huán)同心的環(huán)形切向方向。由于其中心對(duì)稱性，可知任意一個(gè)經(jīng)過圓環(huán)圓心的平面上的磁場(chǎng)分布都是相同的，因此取其中一個(gè)平面，在其內(nèi)建立rz坐標(biāo)系，該平面內(nèi)的矢量磁位全為法向方向?？紤]導(dǎo)電圓筒的任意一個(gè)垂直于中心軸的截面上的任意一電流微元在任意一點(diǎn)P所生成的矢量磁位微元（如圖1所示）。圖1中P'點(diǎn)是P點(diǎn)在截面上的投影。電流微元到任意點(diǎn)P的距離為R，P點(diǎn)到投影P'的距離為a，P'到水平平面原點(diǎn)O的距離為b，水平平面原點(diǎn)到電流微元的半徑為r，半徑r與距離b的夾角為φ，R和a之間的夾角為θ。

圖1 幾何位置

容易得知，整個(gè)電流圓周在P點(diǎn)所生成的矢量磁位的徑向分量之和為零，故而只考慮切向分量。圖1所示的電流微元Jds在P點(diǎn)所生成的矢量磁位微元的切向分量可由式（3）計(jì)算：

其中φ角的物理意義如圖1所示。由圖1及余弦定理可知：

該式子形式復(fù)雜，同樣無法獲得解析結(jié)果，不能用初等函數(shù)來表示它的值，通常只能由積分表直接查表得到。傳統(tǒng)方法可以用近似積分法或者展成無窮級(jí)數(shù)來計(jì)算，但這種方法存在一定的誤差，且無法獲得解析表達(dá)式，故各變量的影響不明晰。

本文采用換元法，可獲得式（5）的解析表達(dá)式。本文所采用的換元法的基本思想，一言蔽之，就是將式（5）和圖1中的φ換元為θ，將對(duì)φ進(jìn)行積分的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為對(duì)θ進(jìn)行積分的數(shù)學(xué)問題，從而使積分式子得到簡(jiǎn)化，簡(jiǎn)化積分難度，獲得解析結(jié)果。再將圖1中的弧長(zhǎng)微元ds放大，如圖2所示。其中點(diǎn)E與E'分別是該弧長(zhǎng)微元的兩個(gè)端點(diǎn)，用直線連接PE'，并過E點(diǎn)做PE'的垂線，在直角三角形EDE'中，存在如（6）式所示的數(shù)學(xué)關(guān)系。

圖2 換元法

先對(duì)θ進(jìn)行積分，經(jīng)過復(fù)雜的積分運(yùn)算，可得

在式（12）中，再對(duì)l積分，經(jīng)過復(fù)雜的積分運(yùn)算，最終可得式（13）。

由于矢量磁位為切向方向，且任意同心環(huán)上各點(diǎn)的矢量磁位模值相等，運(yùn)用斯托克斯定理可將磁通的雙重積分計(jì)算轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的乘積計(jì)算，大幅簡(jiǎn)化了計(jì)算難度。根據(jù)式（13），運(yùn)用斯托克斯定律，電抗器中某一匝線圈所交鏈的磁通如式（14）所示。

其中，li為該匝線圈所在軸向位置的坐標(biāo)。易知，電抗器的電感值可由式（15）計(jì)算

其中，N為空心電抗器的繞組匝數(shù)。

3 驗(yàn)證

運(yùn)用Ansoft Maxwell電磁場(chǎng)有限元仿真軟件與本文推導(dǎo)的解析法進(jìn)行比較驗(yàn)證。首先進(jìn)行空心電抗器物理結(jié)構(gòu)建模，由于空心電抗器屬于軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)，因此采用rz二維坐標(biāo)軸進(jìn)行建模仿真，對(duì)模型每一部分進(jìn)行材料特性設(shè)置，對(duì)電抗器結(jié)構(gòu)模型施加無窮遠(yuǎn)邊界條件和交流激勵(lì)源，在前處理環(huán)節(jié)對(duì)空心電抗器線圈匝數(shù)繞法和電感參數(shù)進(jìn)行設(shè)置；再對(duì)模型進(jìn)行細(xì)剖分，通過Ansoft Maxwell圖像后處理程序進(jìn)行結(jié)果分析。

分別建立的3個(gè)空心電抗器模型如表1所示。3個(gè)模型分別具有不同的半徑、軸向長(zhǎng)度以及匝數(shù)。分別采用有限元計(jì)算軟件和解析式（15）對(duì)這3個(gè)模型進(jìn)行計(jì)算，比較兩種計(jì)算方法的計(jì)算結(jié)果，從而對(duì)本文所提出的空心電抗器電感的解析計(jì)算方法進(jìn)行驗(yàn)證。表2顯示了表1中3種電抗器模型的電感參數(shù)計(jì)算結(jié)果。從表2中可見，對(duì)于3個(gè)不同參數(shù)的空心電抗器模型，兩種計(jì)算方法所獲得的結(jié)果都非常接近。因此，本文所提出的空心電抗器的電感計(jì)算方法是正確的，可以替代有限元計(jì)算方法，從而縮短計(jì)算時(shí)間、節(jié)約計(jì)算資源，并且使得各變量的對(duì)電感數(shù)值的影響明晰。

表1 電抗器模型的參數(shù)

表2 電抗器模型的電感參數(shù)計(jì)算結(jié)果對(duì)比

4 結(jié)束語

為解決無法解析計(jì)算空心電抗器電感的問題，本文從矢量磁位角度入手，運(yùn)用換元積分法推導(dǎo)了干式空心電抗器在空氣中生成的矢量磁位的解析表達(dá)式，利用斯托克斯定理將磁通的雙重積分計(jì)算轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的乘積計(jì)算，獲得了空心電抗器的磁通量的解析表達(dá)式，進(jìn)而獲得了電感參數(shù)的計(jì)算公式。建立了3個(gè)不同尺寸參數(shù)的電抗器模型，運(yùn)用所提解析計(jì)算方法計(jì)算了電感，并與有限元仿真結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。結(jié)果表明本文所提解析計(jì)算方法是正確的，可以取代有限元方法，從而大幅度降低了計(jì)算時(shí)間，節(jié)省硬件資源，并且使得各變量對(duì)電感數(shù)值的影響明晰。