廉睿超 敬石開 李營 肖登寶 陳陽

*(北京理工大學先進結構技術研究院,北京 100081)

?(北京理工大學機械與車輛學院,北京 100081)

引言

拓撲優(yōu)化是一種新型的設計方法,它根據(jù)給定的負載情況、約束條件和性能指標,以一定的方式尋找設計域內材料的最優(yōu)分布,可生成滿足特定性能需求的最優(yōu)結構構型[1].與傳統(tǒng)產品設計相比,拓撲優(yōu)化可以突破設計者的思維定式,構建出更新穎、更具競爭力的創(chuàng)新產品.1988 年Bends?e等[2]提出以均勻化理論為基礎的拓撲優(yōu)化法,經過幾十年的發(fā)展和完善,此法已逐漸成為結構設計階段的一個重要方法,被廣泛應用到許多工程結構設計[3-8].當前主流的拓撲優(yōu)化方法有:固體各向同性材料懲罰法(solid isotropic material with penalization,SIMP)[9-10]、漸進結構優(yōu)化法(evolutionary structure optimization,ESO)[11-13]、水平集方法(level-set)[14-15]和移動變形組件法(moving morphable component,MMC)[16-17].

拓撲優(yōu)化已經被拓展到了許多領域,并取得了顯著成果,但其理論設計的最小結構與可制造的最小尺寸限制之間的差距,仍然是拓撲優(yōu)化設計結果應用到實際工程中的重大阻礙.若結構中存在橫截面積過小的部件時,即使受較小的壓力也容易產生彎曲,同時設計結果中出現(xiàn)的孔洞或邊界裂縫和細小鉸鏈,可能會導致結構制造過程中意外斷裂[18].在拓撲優(yōu)化設計階段考慮結構的最小尺寸控制可有效避免上述問題.一些學者對此開展了相關研究.

基于SIMP 的結構最小尺寸控制.SIMP 法創(chuàng)造性的將優(yōu)化問題轉變?yōu)椴牧系淖顑?yōu)分布問題,極大簡化了問題求解的復雜性,因其具有較高的計算效率和穩(wěn)定性,已成為當前發(fā)展相對成熟且應用最廣的技術.Sigmund[19]提出一種敏度過濾技術消除優(yōu)化中的網格依賴和棋盤格,并發(fā)現(xiàn)過濾半徑具有控制結構最小尺寸的能力;隨后,他們在該方法的基礎上,通過引入改進的Heaviside 過濾器和基于圖像形態(tài)學過濾器,實現(xiàn)了材料相和空相的最小尺寸控制[20-21];Petersson等[22]提出拓撲優(yōu)化梯度約束法,通過考慮密度梯度上的逐點邊界,在保證有解的同時也可隱式的控制結構最小尺寸;Polusen[23]提出基于單調性的最小尺寸方法,應用小波基函數(shù)對材料設計變量進行插值,實現(xiàn)了拓撲優(yōu)化中的結構最小尺寸控制;Guest等[24]提出Heaviside 投影法,以節(jié)點密度值作為設計變量,利用投影算子將密度場的節(jié)點值投影到單元空間,通過確定用于剛度插值的單元密度控制結構最小尺寸;Zhou等[25]提出幾何約束的最小尺寸控制方法,結合過濾閾值拓撲優(yōu)化技術,通過識別固相和空相材料實現(xiàn)了結構最小尺寸控制.上述研究基于SIMP 實現(xiàn)了結構的最小尺寸控制,但優(yōu)化結果邊界模糊不光滑,同時采用隱式的表達方式來描述拓撲構型,即結構不包含幾何信息,難以進行精確的結構邊界提取和最小尺寸控制,采用后處理工藝不僅增加了工作量和人為干預因素,而且會影響最終優(yōu)化的結構性能[26-28].

基于MMC 的結構最小尺寸控制.在MMC 中,采用顯式幾何特征信息描述的組件作為結構的基礎構件,通過它們的移動、變形和重疊實現(xiàn)拓撲優(yōu)化.MMC 的參數(shù)化顯式表達為拓撲優(yōu)化結果與CAD的直接銜接提供了天然橋梁.Zhang等[18]基于MMC 框架采用不規(guī)則四邊形結構組件進行拓撲優(yōu)化(trapezoid-shaped structural components,TsSC),通過對組件相交區(qū)域約束實現(xiàn)了結構的最小尺寸控制;Wang等[29]采用基于骨架的有效連接技術(effective connection status,ECS),利用組件本身的設計變量實現(xiàn)了結構最小尺寸控制.基于MMC 的最小尺寸控制,在拓撲結構描述和可制造邊界信息獲取上具有一定優(yōu)勢,但其優(yōu)化結果存在裂縫或不完全連接問題,且對初始組件布局具有較強的依賴性.

為了避免SIMP 優(yōu)化結果邊界模糊不光滑和MMC 對初始組件布局的強烈依賴,Sun等[30]通過設定SIMP 優(yōu)化中的敏度閾值和組件影響區(qū)域來控制插入組件數(shù)量和位置,在SIMP 基礎上實現(xiàn)了組件的自適應分布;范慧茹[31]和Zhang等[32-33]基于SIMP 優(yōu)化結果,采用閾值處理技術得到0和1 表示的拓撲構型,利用圖像處理技術識別結構骨架特征點和內切圓等幾何特征,并擬合為MMC 的初始組件布局,實現(xiàn)了SIMP-MMC 混合結構拓撲優(yōu)化,得到了尺寸精確表達的拓撲結構.采用SIMP和MMC混合的方法可以解決結構邊界模糊不光滑和組件初始布局依賴問題,但上述方法中合適閾值的選擇需要反復試驗,尤其對包含有非常薄構型的復雜結構,易出現(xiàn)斷裂和難以制造的最小尺寸問題,且因組件變形受限和結構的不完全連接,很難實現(xiàn)具有整體結構邊界光滑的最小尺寸精確控制.因此,充分結合SIMP和MMC 二者優(yōu)勢,避免各自缺點,在不依賴初始布局的情況下獲得整體結構邊界清晰平滑的優(yōu)化結果,并實現(xiàn)對結構最小尺寸的精確控制具有重要的研究意義.

基于上述原因,本文提出一種考慮最小尺寸精確控制的SIMP和MMC 混合拓撲優(yōu)化方法.采用活躍輪廓算法自動識別SIMP 拓撲構型的輪廓數(shù)據(jù),構建組件的幾何參數(shù)矩陣,實現(xiàn)SIMP 隱式結果到MMC 顯式表達組件初始布局的自動映射;通過構建具有半圓形末端的多變形組件拓撲描述函數(shù),進一步提升優(yōu)化方法構建幾何模型的能力和整體結構邊界的光滑性,并結合組件變量約束,實現(xiàn)拓撲優(yōu)化結構的最小尺寸精確控制.

1 SIMP和MMC 數(shù)值模型

在SIMP 中,設計域被離散為一定數(shù)量的有限單元網格,并將密度作為設計變量賦予每個單元,利用數(shù)學規(guī)劃法或基于優(yōu)化準則法決定單元密度 的有無,1 表示有材料,0表示無材料,如圖1(a) 所示.采用材料插值模型Ei=Emin+(E0-Emin) 解決離散優(yōu)化問題,Ei為第i個單元插值后的彈性模量;E0和Emin分別為固體和空洞部分材料彈性模量; ρi為第i個單元的相對密度,ρi∈[0,1];p為懲罰因子,一般建議取3[34].

圖1 SIMP和MMC 拓撲優(yōu)化示意圖Fig.1 Schematic of SIMP and MMC

在MMC 中,結構采用拓撲描述函數(shù)(TDF,φ(x))表達

式中,x為設計域內的點,Ω ?R為實體材料組件所占據(jù)的區(qū)域,R為整個設計區(qū)域.當設計區(qū)域內包含N個組件時,實體材料結構區(qū)域 Ω 內組件的拓撲描述函數(shù)可表示為φ(x)=max(φ1(x),···,φi(x),···,φN(x)),i=1,2,···,N表示組件的編號,第i個組件的拓撲描述函數(shù)可被表示為

2 SIMP和MMC 的混合拓撲優(yōu)化方法

相比隱式表達的SIMP,MMC 可以通過組件的顯式參數(shù)控制結構的最小尺寸,但二者結果均會出現(xiàn)不完全連接和細小鉸鏈現(xiàn)象,如圖1 所示,難以通過簡單變量設置實現(xiàn)結構中最小尺寸的精確控制.為了解決該問題,在這一部分,將通過懸臂梁模型介紹提出的SIMP和MMC 混合拓撲優(yōu)化方法實現(xiàn)過程.圖2為懸臂梁示意圖和SIMP 優(yōu)化輸出結果.混合拓撲優(yōu)化的實現(xiàn)主要包括2 個部分:(1) 如何從SIMP 優(yōu)化輸出結果中獲得組件的幾何信息;(2) 如何實現(xiàn)SIMP 結構幾何信息到MMC 組件布局的映射.

圖2 懸臂梁示意圖及SIMP 拓撲優(yōu)化結果Fig.2 Schematic of the cantilever beam and the topology optimization result of SIMP

2.1 SIMP 優(yōu)化結構的組件幾何信息獲取

以單元密度表示的SIMP 優(yōu)化結果通常不含幾何信息,難以對其進行精確尺寸控制和制造,采用圖像識別技術[26]、圖形插值技術[35]、密度等值線技術[36]可以獲得結構的參數(shù)化模型,但這些方法通常需要較多人為干預,如密度等值線技術,在獲取合適的密度閾值之前需多次反復修改模型和試驗,且對復雜結構易出現(xiàn)斷裂和非常薄的桿件問題,影響最終拓撲構型的最優(yōu)性能[37].為此,在該節(jié)中,采用活躍輪廓算法(active contour without edges,ACWE)[38]對SIMP 優(yōu)化輸出結果的幾何信息進行自動識別與提取.

ACWE 的基本思想是依據(jù)給定圖形的約束,利用活躍輪廓模型通過曲線的變化識別目標對象.設在識別域 Ω 內任一變化曲線為 ξ,ω為 Ω 內邊界開放的一個子集,則活躍輪廓模型可以被表示為[38]

采用水平集描述曲線變化進行求解,則活躍輪廓模型可以被重構為

通過式(8) 求解φn+1并判斷其是否滿足收斂,若滿足收斂,則可得到目標圖像的邊界輪廓數(shù)據(jù).

圖3 展示了采用上述算法對SIMP 優(yōu)化結果邊界幾何信息獲取過程.為了從得到的結構邊界數(shù)據(jù)中提取對應組件的邊線,根據(jù)得到的每個具有相同起點和終點的閉合環(huán),按照順時針方向從上到下由內及外進行編號.從任意環(huán)Ci的起點(xsi,ysi) 開始,計算它與緊鄰的5 個點之間形成線段的斜率k,比較點間線段的斜率差與給定閾值 δ之間的關系,若小于設定閾值 δ則判定它們在一條直線上,并從第4 個點開始依次計算隨后的5 個點,直到斜率差的變化大于設定的閾值 δ,則認為在同一環(huán)中位于該條直線上的點已經結束,將第一點(xsi,ysi)和最后一點(xei,yei)作為直線的兩個端點,確定一條直線.依次對后續(xù)的點進行斜率與閾值之間的比較,確定結構中所有的直線,并將其以順時針方向按環(huán)的存儲方式進行編號.基于得到的直線,從內部環(huán)的直線開始循環(huán),計算當前環(huán)中一條直線lli與其他環(huán)中每條直線loj的斜率差Δk的絕對值和中點間距dij,將具有最小斜率差的絕對值和滿足中點距離約束值dt的兩條直線被視為一個組件的邊界,確定結構中組件的平行邊,如圖4 所示.

圖3 ACWE 邊界識別Fig.3 Boundaries identification by using the ACWE

圖4 邊界直線及平行線識別Fig.4 Identification of straight lines and parallel lines

當每個組件的邊被確定后,設χ1i和χ2i為任意組件中的兩條直線,(x11i,y11i),(x12i,y12i)和(x21i,y21i),(x22i,y22i) 分別為χ1i和χ2i的兩個端點,通過兩點間的中點公式可以計算出兩條直線兩端連線的中點坐標.連接兩個平行線端點連線的中點便可計算出第i個組件的中心線所在位置.然后,將中心線延長可以得到它們的交點,若出現(xiàn)多個交點,將它們的重心作為共同交點,通過連接各交點便可得到組件的中心線.最后,通過中點計算公式、兩點間的距離公式di和斜率計算公式ki,得到每個組件的中心坐標(x0i,y0i)、1/2 長度li和1/2 厚度di、傾斜角度 θi,如圖5 所示.

圖5 獲取組件幾何信息Fig.5 Obtaining the components geometry information

2.2 組件幾何信息映射為MMC 布局

在MMC 中每個組件包含長度、寬度、中心坐標、傾斜角度等幾何參數(shù),其中組件的厚度由3 個變量控制,需分別計算組件中心線兩端點和中心點到對應邊界的距離d1i,d2i和d3i.組件的幾何信息可以通過式(10)、式(11)和式(12) 計算求得

式中,直線的斜率ki=(yi+1-yi)/(xi+1-xi).

將計算得到的組件中心坐標(x0i,y0i)、1/2 長度li,1/2 厚度di以及傾斜角度的正弦值 s inθi組裝成一個參數(shù)矩陣C=[c1,c2,···,ci],ci=[x0i,y0i,li,d1i,d2i,d3i,s inθi],i=1,2,···,n,式中n為組件的總數(shù).在SIMP 優(yōu)化中獲得相應的結構剛度矩陣K和參數(shù)矩陣C=[c1,c2,···,ci]時,MMC 將直接調用,形成包含SIMP 輸出數(shù)據(jù)的MMC 組件自動布局.

圖6為懸臂梁SIMP 優(yōu)化結果映射到MMC 的組件布局.為了驗證所提算法的有效性和可行性,同時采用了具有更為復雜結構的MBB 梁進行分析,得到的組件布局結果如圖7 所示.由圖6和圖7 可知,該算法可以有效的從SIMP 隱式優(yōu)化結果自動映射為MMC 中包含精確幾何信息且邊界清晰光滑的顯式表達.但如圖6(b)和圖7(c) 所示,經映射后的結構邊界因組件的不完全連接產生了裂縫,無法簡單的利用組件厚度變量對結構的最小尺寸進行控制.如何實現(xiàn)混合拓撲優(yōu)化中最小尺寸的精確控制將在下一小節(jié)展開討論.

圖6 懸臂梁組件映射結果Fig.6 Components mapping results for a cantilever beam

圖7 MBB 梁混合拓撲優(yōu)化組件映射過程Fig.7 Components mapping process of MBB beam with hybrid topology optimization

2.3 優(yōu)化算法流程

本文提出的算法流程如圖8 所示.在早期迭代中,采用SIMP 對設計域進行優(yōu)化.在該過程中,過早的對拓撲結構進行幾何信息提取,將可能會生成較多細枝結構,影響MMC 組件的初始布局.為此,在SIMP 優(yōu)化過程中,當獲得相對穩(wěn)定的拓撲結構后,再輸出結構剛度矩陣K和結構構型.利用ACWE 算法提取結構構型的幾何信息,并構建組件參數(shù)矩陣C.然后,將輸出的矩陣K和矩陣C作為MMC 優(yōu)化迭代的初始輸入參數(shù),確定構成拓撲結構中組件數(shù)量和布局,結合設定的結構制造約束,對組件設計變量進行更新.當滿足收斂條件后,優(yōu)化終止,輸出最終的結構拓撲構型.

圖8 混合拓撲優(yōu)化流程圖Fig.8 Flowchart of the hybrid topology optimization

3 混合拓撲優(yōu)化的最小尺寸精確控制

經SIMP 優(yōu)化結果映射到MMC 組件布局后,由于組件末端采用直線表征,通過混合拓撲優(yōu)化獲得的構型通常會出現(xiàn)因組件連接不完全形成結構邊界裂縫現(xiàn)象,無法直接利用厚度變量控制結構的最小尺寸.同時,采用直線表征組件形狀,可變性受限,阻礙了其構建幾何模型的靈活性,尤其是當組件數(shù)量相對較少時.為此,在SIMP和MMC 混合拓撲優(yōu)化的基礎上,該節(jié)提出一種形狀多變的半圓末端組件拓撲描述函數(shù),并通過構建距離約束函數(shù)和厚度變量約束函數(shù),實現(xiàn)混合拓撲優(yōu)化中組件的形狀多變和結構最小尺寸精確控制.

3.1 半圓形末端的組件拓撲描述函數(shù)模型

設給定的任一組件i的1/2 厚度t分別通過3 個變量t1,t2和t3表示,理論上設計域內結構的最小厚度尺寸為tmin=min(2t11,2t12,2t13,···,2tn1,2tn2,2tn3),但采用直線描述組件的末端,常常會出現(xiàn)組件間的不完全重疊或連接現(xiàn)象,無法簡單地通過設定組件厚度下限t來滿足結構最小尺寸控制.如圖9 所示,兩個組件的厚度尺寸2ti1,2ti2,2ti3和2tj1,2tj2,2tj3都大于設定的最小尺寸,但其相交區(qū)域的尺寸tc卻小于t,不能滿足設定的結構最小尺寸約束.

圖9 組件相交示意圖Fig.9 Schematic of incomplete intersection and overlap between components

為此,本文提出具有半圓形末端的組件拓撲描述函數(shù)模型,如圖10所示.當相交組件其鄰近末端圓心間距小于設定的閾值時,將被新的圓心坐標替代,實現(xiàn)組件間的完全連接.

圖10 組件完全連接示意圖Fig.10 Schematic of perfectly connections between components

設一個組件的形狀由3 個長度變量和3 個厚度變量協(xié)同控制,如圖11 所示,l1和l2分別是組件對應的兩個1/2 長度;t1為組件任意一端的1/2 厚度,則需要滿足條件

圖11 半圓形末端組件示意圖Fig.11 Schematic of components with semicircular ends

為了便于計算,將組件長度l1和l2統(tǒng)一用l表示.

構建的含有半圓形末端的組件拓撲描述函數(shù)模型可以被描述為

采用式(14) 可實現(xiàn)組件半圓形末端形狀.圖12繪制了半圓形末端的等厚度組件形狀,從圖中可以看出,該組件具有r=0.3 的半圓末端,其中l(wèi)=0.6,t1=t2=0.3,兩個末端圓心坐標分別為(0.4,0.5)和(1.6,0.5).圖13為不同變量取值下獲得的形狀多變的半圓形末端組件.從圖13 可以看出,通過式(14)可有效提升組件構建拓撲幾何模型的能力.

圖12 等厚度半圓形末端組件Fig.12 Component of equal thickness with semicircular ends

圖13 不同變量取值的半圓形末端組件Fig.13 Components of semicircular ends with different variable values

3.2 最小尺寸精確控制的多變形組件拓撲優(yōu)化

為了實現(xiàn)通過組件厚度變量設置對結構最小尺寸精確控制,本小節(jié)提出增強組件末端連接的局部約束函數(shù).令i和j是設計域內的任意兩個組件,(xin,yin) 與(xjn,yjn) 分別為組件的兩端半圓圓心坐標,其中n=1和2,1 表示組件的一端,2 表示組件的另一端.位于不同組件中的兩個末端圓心坐標間距離可以表示為

距離約束函數(shù)可被表示為

式中,τ 是設定的一個閾值,取較小的正數(shù)0<τ ?1.

當拓撲優(yōu)化過程中滿足組件的距離約束函數(shù)時,構件的最小尺寸控制可通過設定組件厚度變量的下限輕松實現(xiàn),即

結合結構尺寸約束,以J為目標函數(shù)的最小尺寸約束的拓撲優(yōu)化模型可被描述為

式中,J(R),?k,k=1,2,···,M分別是目標函數(shù)和約束函數(shù)(如材料體積約束和最小尺寸約束等);uR是設計變量向量R所屬于的集合.

在最小尺寸約束下柔度最小優(yōu)化問題可被描述為

式中,R表示設計區(qū)域;Ri,i=1,2,···,N表示第i組件設計變量所組成的向量;J為結構最小柔度,與剛度最大化相一致;f,u,t,ε 分別為實體材料的體力密度、實際位移、紐曼邊界 Γt上的面力和二階線性應變張量;為狄利克雷邊界Γu上規(guī)定的位移;υ表示滿足的試探位移場,符號H=H(x) 表示Heaviside 函數(shù);φS(x;R) 表示整體組件的拓撲描述函數(shù)集;q為整數(shù),通常取2;E=Es/(1+v)·{Π+vs/[(1-2vs)δ?δ]}為各向同性的彈性張量,E和v分別為實體材料的彈性模量和泊松比,Π和δ分別為四階單位張量和二階單位張量,為實體材料的體積的約束上限值.

4 數(shù)值求解

在本文中,采用歐拉網格和拓撲描述函數(shù)來計算每個節(jié)點,同時將虛擬材料模型應用到了FEM 分析中,每個單元的材料楊氏模量表達式為

式中,E0為單元材料的楊氏模量,H為正則化的(Heaviside 函數(shù)

式中,σ為正則化參數(shù),a取0.001 防止奇異解的發(fā)生.第i個單元的剛度矩陣可以通過獲取每個單元的楊氏模量得到

其中,ks為單元的剛度矩陣,與組件占有材料的多少無關.

由于組件中的設計變量可以被精確描述,目標函數(shù)的敏度值計算與文獻[16,39]中求解相似,在本文中將不再對其進行詳細討論.構建的半圓形末端多變形組件中g(y′) 對應的變量敏度值可以被表示為

此外,約束函數(shù)的敏度值可以利用已經成熟的計算幾何算法和有限微分法快速計算獲得.

5 算例驗證

5.1 懸臂梁算例

基于SIMP和MMC 混合拓撲優(yōu)化,采用構建的半圓形末端組件對圖6 中的懸臂梁進行優(yōu)化,并與相同組件數(shù)量下的MMC 優(yōu)化對比,MMC 初始設置參數(shù)為ini_val=[2.5,1.5,1.2,0.1,0.12,0.1,0.5].兩種方法拓撲優(yōu)化過程如圖14和圖15 所示,目標函數(shù)和約束函數(shù)的收斂過程如圖16 所示.

圖14 基于組件映射結果的懸臂梁優(yōu)化過程Fig.14 Optimization process for the cantilever beam based on components mapping results

圖15 懸臂梁MMC 拓撲優(yōu)化過程Fig.15 Topology optimization process of the cantilever beam using MMC

圖16 懸臂梁不同方法優(yōu)化過程的收斂歷史Fig.16 The iteration history of the cantilever beam using different methods

由圖14和圖15 可知,采用混合拓撲優(yōu)化得到了組件間完全連接的拓撲構型,如圖14(a)和圖14(b)所示,最終優(yōu)化的到結構與圖3 基本相同,如圖14(d)所示,同時結構具有更精確的幾何信息.采用MMC得到的優(yōu)化結果與圖3 略有不同,結構內部出現(xiàn)了一些未完全填充材料的空洞區(qū)域,如圖15(d) 紅圈區(qū)域所示.這是由于MMC 對初始組件布局依賴性造成的,當給定的組件數(shù)量受限時,一些組件會因定位不精確而被過早的視為結構的主承力件,影響其余組件的布局,如圖15(b)和圖15(c) 所示,最終導致優(yōu)化結果不能得到相對合理的拓撲構型.

從圖16 的收斂歷史可以看出,在MMC 中,受組件初始布局的依賴性,初始拓撲構型一直未能確定,導致力的傳遞路徑在優(yōu)化過程中不斷發(fā)生變化,引起收斂過程發(fā)生明顯震蕩行為.采用混合拓撲優(yōu)化方法對懸臂梁進行優(yōu)化,得到目標函數(shù)值為40.44;MMC 在設定的最大迭代次數(shù)1000步內并未收斂,最終得到目標函數(shù)值為44.75.

依據(jù)式(22),以懸臂梁為對象,對本文提出最小尺寸控制方法進行驗證.組件的厚度變量下限分別設定為0.08,0.10和0.12,對應的結構最小尺寸分別為0.16,0.20和0.24.優(yōu)化結果如圖17 所示.由圖17可知,隨著組件最小厚度變量的增大,結構的最小尺寸也在不斷的增加.

圖17 不同最小尺寸約束下的懸臂梁混合拓撲優(yōu)化結果Fig.17 Hybrid topology optimization results of the cantilever beam with different minimum length scales

與采用TsSC 法在厚度變量為dmin=0.10下的拓撲優(yōu)化結果相比,如圖18和表1 所示.兩種方法通過組件厚度變量約束,均實現(xiàn)了結構的最小尺寸控制,但在TsSC 法中,存在因組件間的不完全連接產生的結構邊界裂縫現(xiàn)象,如圖18 中紅圈區(qū)域所示.混合拓撲優(yōu)化方法在實現(xiàn)結構最小尺寸控制的同時,得到了更加完整和光滑的拓撲構型邊界,驗證了所提方法的有效性.此外,本文所構建的組件拓撲描述函數(shù)同時具有形狀的可變性,具體細節(jié)將在下一個算例中進行詳細討論.

圖18 最小尺寸 dmin=0.1 的懸臂梁TsSC 拓撲優(yōu)化結果Fig.18 TsSC topology optimization result of the cantilever beam with minimum length scales dmin=0.1

表1 不同最小尺寸約束的懸臂梁目標函數(shù)Table 1 Object function of the cantilever beam with different minimum length scales

5.2 柔性機構算例

與柔度設計問題相比,柔性機構在保證剛度的同時需要滿足結構一定的柔度,該設計問題求解更復雜、難度更大,且優(yōu)化結果中常常存在結構的單鉸鏈連接現(xiàn)象,是驗證所提方法在結構連接性和含約束模型的可制造性常用設計問題.如圖19 所示,以輸出位移最大化為目標,GA=-Δout/Δin,其中Δin=Finu1in+Foutu2in,Δout=Finu1out+Foutu2out,ujout和ujin,j=1,2,表示在點j施加單位力作用下的水平方向位移.彈簧的彈性常數(shù)kout=0.1.已知設計區(qū)域被離散為 100×50的單元網格,在輸入端施加大小為1 水平向右的載荷,輸出端以彈簧模擬工件剛度,體積約束為0.3.

圖19 柔性機構示意圖Fig.19 Schematic of the compliant mechanism example

在相同組件數(shù)量下,分別采用混合拓撲優(yōu)化方法與初始輸入參數(shù)為ini_val=[2.3,3.5,1.5,0.1,0.1,0.1,0.6]的MMC 對該算例進行優(yōu)化,優(yōu)化過程如圖20和圖21 所示.由圖20可知,在該算例中,采用混合拓撲優(yōu)化方法同樣得到了光滑完整的拓撲構型,優(yōu)化結果與SIMP 的拓撲優(yōu)化結果基本相同.同時,由于構建的半圓末端的組件函數(shù)擁有組件間完全連接和形狀的多變性能力,在構建復雜拓撲構型時也更具靈活性,如圖20(c) 所示.而相同組件數(shù)量下的MMC 拓撲優(yōu)化,因其對初始組件布局的依賴性,無法在有限組件數(shù)量下找到最優(yōu)拓撲構型,優(yōu)化過程中出現(xiàn)了嚴重的材料缺失和細枝結構,如圖21所示.當增加組件數(shù)量后,MMC 的柔性機構拓撲優(yōu)化結果變得與SIMP 結果相似,但仍然存在難以制造的弱連接和細小結構尺寸,如圖22 所示.

圖20 柔性機構混合拓撲優(yōu)化過程Fig.20 Hybrid topology optimization process of the compliant mechanism

圖21 柔性機構MMC 拓撲優(yōu)化過程Fig.21 Topology optimization process of the compliant mechanism using MMC

圖22 增加組件數(shù)量后的柔性機構MMC 優(yōu)化結果Fig.22 Optimization result of the compliant mechanism using MMC after increasing the number of components

圖23為兩種方法獲得的目標函數(shù)和約束函數(shù)的收斂歷史.從圖23 可知,在該設計問題中,由于MMC 對組件布局的依賴,導致在較少組件數(shù)量下無法找到有效的傳力路徑,使得優(yōu)化過程產生了強烈震蕩,在給定最大迭代步內并未實現(xiàn)收斂.

圖23 柔性機構不同方法優(yōu)化過程的收斂歷史Fig.23 The iteration history of the compliant mechanism using different methods

針對該算例,采用混合拓撲優(yōu)化方法,通過對組件厚度變量約束實現(xiàn)拓撲結構的最小尺寸控制,厚度變量下限分別設定為0.075和0.14,對應的結構最小尺寸分別為0.15和0.28.圖24為最小尺寸控制下的柔性機構拓撲優(yōu)化結果和輪廓圖.由圖24 可知,隨著組件最小厚度變量的不斷增大,結構中的最小厚度尺寸也在不斷的變大,有效避免了優(yōu)化結果中的單鉸鏈弱連接現(xiàn)象.

圖24 不同最小尺寸約束下柔性機構混合拓撲優(yōu)化結果Fig.24 Hybrid topology optimization results of the compliant mechanism with different minimum length scales

圖25和圖26 分別為TsSC 法和ECS 法對柔性機構的最小尺寸拓撲優(yōu)化結果.對比圖24、圖25和圖26 可知,3 種方法優(yōu)化結果基本相同,但圖25和圖26 因組件間的重疊或不完全連接,以及初始組件布局的依賴性,導致了結構內部存在浮島、結構邊界不完整和不光滑等現(xiàn)象.圖25 中隨著對結構最小尺寸的控制,其結構邊界裂縫并沒有明顯變化.本文方法在構建的組件末端完全連接約束下,通過簡單的厚度變量調節(jié)實現(xiàn)了對整個拓撲結構最小尺寸精確控制,并形成了較為完整和光滑的可制造拓撲優(yōu)化結構邊界.該算例也進一步驗證了所提方法的可行性與有效性.

圖25 不同最小尺寸約束下的柔性機構TsSC 拓撲優(yōu)化結果Fig.25 TsSC topology optimization results of the compliant mechanism with different minimum length scales

圖26 最小尺寸 dmin=0.02 的柔性機構ECS 拓撲優(yōu)化結果Fig.26 ECS topology optimization result of the compliant mechanism with minimum length scales dmin=0.02

6 結論

在本文中,提出一種考慮最小尺寸精確控制的SIMP和MMC 混合拓撲優(yōu)化方法.該方法將SIMP 拓撲優(yōu)化結果映射為MMC 組件初始布局,并提出半圓形末端形狀多變的組件函數(shù)模型和組件完全連接的最小尺寸約束拓撲優(yōu)化模型,通過控制組件的最小厚度變量實現(xiàn)了結構最小尺寸的精確控制.采用最小柔度和柔性機構拓撲優(yōu)化設計問題驗證了該方法的可行性與有效性.與其他方法相比,該方法具有以下優(yōu)點:(1) 提升了組件構建拓撲構型的能力;(2) 克服了SIMP 拓撲結構邊界難提取的問題;(3) 克服了MMC 對初始組件布局強烈依賴問題;(4) 僅利用組件的厚度變量便可實現(xiàn)整個結構的最小尺寸的精確控制;(5) 形成了整體結構相對完整和光滑的拓撲優(yōu)化結構邊界.在本文方法的基礎上通過設置組件厚度變量的最大和最小約束,也可同時實現(xiàn)整體結構的最大和最小尺寸精確控制.當前的工作僅對2 維拓撲構型進行了研究,在后續(xù)工作中將針對復雜幾何形狀和三維結構構型提出一種更高效的混合拓撲優(yōu)化方法.