劉景森，楊 杰，李 煜

1) 河南大學智能網(wǎng)絡系統(tǒng)研究所，開封 475004 2) 河南大學軟件學院，開封 475004 3) 河南大學管理科學與工程研究所，開封 475004

優(yōu)化問題普遍存在于生產(chǎn)生活的諸多領域，近年來，全局優(yōu)化問題越來越復雜，規(guī)模越來越龐大，具有高維、非線性、目標函數(shù)不可導等特點，傳統(tǒng)的優(yōu)化方法已經(jīng)很難有效地進行求解，而基于群體搜索的元啟發(fā)式智能優(yōu)化算法卻獲得了較好效果，引起學者們的廣泛青睞和研究.如：受鳥群捕食過程啟發(fā)提出的粒子群算法[1–2]，受正余弦函數(shù)數(shù)學模型啟發(fā)而提出的正弦余弦算法[3–4]，受座頭鯨捕食行為啟發(fā)提出的鯨魚優(yōu)化算法[5]，受量子力學原理和基于量子的原子模型啟發(fā)提出的原子軌道搜索算法[6]等.這些智能優(yōu)化算法的不斷提出、改善和優(yōu)勝劣汰，為求解大規(guī)模復雜全局優(yōu)化問題提供了新思路.

函數(shù)極值優(yōu)化問題是測試算法尋優(yōu)性能的主要方法，而工程設計約束優(yōu)化問題則是智能優(yōu)化算法的重要應用領域.工程設計問題廣泛存在又難以求解，其目標函數(shù)與約束條件的非線性以及決策變量搜索空間不可行域的出現(xiàn)，使得傳統(tǒng)優(yōu)化方法束手無策，而群智能優(yōu)化算法的研究與應用則為解決這類問題提供了實用且有效的方法.如：Kar等[7]提出了一種基于引力搜索算法和粒子群算法的有效混合方法；劉三陽和靳安釗[8]提出了一種求解約束優(yōu)化問題的協(xié)同進化教與學優(yōu)化算法；Banaie-Dezfoul等[9]提出了一種狩獵策略的灰狼優(yōu)化算法；肖子雅和劉升[10]提出了一種精英反向?qū)W習的黃金正弦鯨魚算法；Nadimi-Shahraki等[11]提出一種基于維度學習狩獵搜索策略的改進灰狼優(yōu)化算法；汪逸暉和高亮[12]提出一種引入動態(tài)感知概率、萊維飛行策略以及變異更新機制的改進烏鴉搜索算法.這些算法均被應用于求解工程約束優(yōu)化問題，并取得了良好效果，但求解的多為幾個經(jīng)典老問題，種類較少且比較簡單，解決工程設計優(yōu)化問題仍需探索求解能力更強、尋優(yōu)精度更高、穩(wěn)定性和普適性更好的算法.

JAYA算法是2016年由Rao[13]提出的一種新型啟發(fā)式智能優(yōu)化算法，該算法控制參數(shù)少、易于實現(xiàn)，且具有趨優(yōu)避差的導向性特征，很適于求解全局優(yōu)化和工程設計優(yōu)化問題，成為最近幾年優(yōu)化計算領域重要的研究和改進算法之一，已被成功應用于旅行商，文本聚類，特征選擇，柔性車間調(diào)度，水電站水庫優(yōu)化調(diào)度等問題的求解之中.

雖然JAYA算法趨優(yōu)避差的機制特點契合于復雜函數(shù)和工程設計中全局優(yōu)化的思想和需求，但JAYA算法與其他基礎性智能優(yōu)化算法一樣，其本身也存在著容易陷入局部極值、尋優(yōu)精度有時不高和收斂速度較慢等問題.為此，許多學者針對JAYA算法的不足之處做了相應改進.Yu等[14]引入自適應慣性權重、基于經(jīng)驗的學習策略和混沌精英學習方法，提高了JAYA算法的尋優(yōu)精度和穩(wěn)定性.Kang等[15]將JAYA算法與支持向量機相結合，并成功應用于橋梁結構健康監(jiān)測中的溫度效應預測問題.Ingle等[16]引入萊維飛行和貪婪選擇策略，豐富了JAYA算法種群的多樣性，增強了算法的勘探能力，并成功應用于信道均衡問題.Iacca等[17]引入萊維飛行用于JAYA算法位置更新產(chǎn)生隨機數(shù)，有效提高了算法跳出局部極值的能力.Zhao等[18]引入自適應學習策略，提高了JAYA算法的全局搜索能力，并成功應用于多目標混合零空閑置換流水車間調(diào)度問題.Kang等[19]構建了基于高斯過程代理模型的JAYA算法，并成功應用于混凝土壩動力參數(shù)反演分析，拓寬了JAYA算法的應用領域.Zhang等[20]引入局部開發(fā)和全局探索策略，有效增強了JAYA算法逃離局部最優(yōu)的能力.Nayak等[21]引入變異策略，增強了JAYA算法全局收斂能力.Zhang 等[22–23]引入包含三種不同學習策略的綜合學習機制來更新個體位置，提高了JAYA算法的全局搜索能力.

這些改進使JAYA算法在各自應用領域的優(yōu)化性能得以提升，但JAYA算法求解全局優(yōu)化和工程設計優(yōu)化問題的能力仍有進一步改進的空間.本文提出一種面向復雜函數(shù)和工程設計優(yōu)化問題的混合進化JAYA算法（Hybrid evolutionary JAYA algorithm, H-JAYA）.首先在計算當前最優(yōu)和最差個體位置時引入反向?qū)W習機制，增強最優(yōu)和最差個體跳離局部極值區(qū)域的可能性.然后在個體位置更新中引入并融合正弦余弦算子和差分擾動機制，不僅增加了種群的多樣性，而且有效平衡和較好滿足了算法在不同迭代時期對探索和挖掘能力的不同需求.最后采用奇偶不同的混合進化策略，有效利用不同演化機制的優(yōu)勢結果，進一步提高了算法的收斂性和精度.隨后給出了算法流程偽代碼，用理論分析證明了H-JAYA沒有增加算法的時間復雜度.通過對基于多個不同尋優(yōu)特征基準函數(shù)的CEC2017測試函數(shù)集套件進行多維度、多算法極值優(yōu)化求解對比測試，結果表明，H-JAYA的收斂性能、尋優(yōu)精度和求解穩(wěn)定性均有明顯提升，求解CEC2017復雜函數(shù)的效果相當優(yōu)越，全局優(yōu)化能力出色，非參數(shù)統(tǒng)計檢驗結果也顯示了H-JAYA與其他對比算法的差異具有顯著性.而對拉伸彈簧、波紋艙壁、管柱設計、鋼筋混凝土梁、焊接梁和汽車側面碰撞6個具有挑戰(zhàn)性的工程設計約束優(yōu)化問題的求解，也顯示了HJAYA算法在處理不同類型工程優(yōu)化設計問題時有著明顯的優(yōu)越性和適應性.

1 改進算法 H-JAYA

1.1 基本 JAYA 算法

Step1 設置算法初始參數(shù)：種群個體數(shù)量N、最大進化代數(shù)Max_iter、個體維度D，并在尋優(yōu)范圍內(nèi)隨機生成每個個體的初始位置xi(i=1,2,…,N).

Step2 根據(jù)目標函數(shù)計算種群個體的適應度值f(xi).

Step3 根據(jù)種群中個體的適應度值f(xi)，找出最好和最差適應度值fmin和fmax，并記錄其位置xbest和xworst.

Step4 由式(1)對個體每一維的位置進行更新.

Step5 由目標函數(shù)f(x)求出新個體的適應度值，并對新舊解進行對比，若新解較優(yōu)，則替換上代的個體位置，否則保留原來的個體位置.

Step6 判斷當前迭代次數(shù)t是否達到最大迭代次數(shù)，若t≤Max_iter，返回 Step2；

Step7 確定最終的最優(yōu)值并輸出.

1.2 引入反向?qū)W習機制

JAYA算法中種群的當前最優(yōu)和最差位置具有重要作用，用來引導種群個體向全局最優(yōu)解進化，但若種群的當前最優(yōu)和最差位置陷入局部極值區(qū)域，就容易導致群體出現(xiàn)搜索停滯的現(xiàn)象，無法獲得更優(yōu)的全局最優(yōu)解.基于以上原因，將反向?qū)W習機制引入到JAYA算法的當前最優(yōu)和最差位置中.

本文使用的反向?qū)W習機制是將基本反向?qū)W習與隨機反向?qū)W習相融合，使JAYA算法種群中當前最優(yōu)和最差個體位置隨機進行基本反向?qū)W習或隨機反向?qū)W習，從而增強最優(yōu)和最差個體跳離局部極值區(qū)域的可能性，更好地引導JAYA算法種群尋找到全局最優(yōu)解.而只對個體位置更新計算中起關鍵作用的當前最優(yōu)和最差個體進行反向?qū)W習而不是對所有個體再逐一進行反向?qū)W習，既有利于避免JAYA算法陷于局部最優(yōu)，又不至于影響算法的收斂速度.引入反向?qū)W習機制的數(shù)學模型如下：

其中：η為[0,1]之間均勻分布的隨機數(shù)，rand為[0,1]之間均勻分布的隨機數(shù)，Xmax和Xmin分別為種群中個體位置空間的上界和下界.xbest(t)和xworst(t)分別是當前個體最優(yōu)和最差位置，xbest(t+1)和xworst(t+1)分別是更新后的下一代個體最優(yōu)和最差位置.

1.3 引入正弦余弦算子和差分擾動機制

基本JAYA算法，采用了一個統(tǒng)一的位置更新公式，機制清晰簡單、易于實現(xiàn)，且具有趨優(yōu)避差的導向性特征，對一些問題有著較好的尋優(yōu)效果.但對于一些復雜多極值優(yōu)化問題，由于缺少不同迭代時期需要不同全局探索和局部挖掘能力與平衡的機制，導致算法前期的全局搜索有時不夠充分，容易陷入局部極值，而后期則存在最優(yōu)解附近局部精細挖掘能力不強的問題，造成算法有時尋優(yōu)精度不高和收斂速度較慢的情況.為此，在JAYA算法的個體位置更新中引入并融合正弦余弦算子和差分擾動機制，正弦余弦算子通過迭代自適應因子和正弦余弦函數(shù)的變化改變JAYA算法中種群的個體狀態(tài)，增加種群的多樣性，并有效平衡和較好滿足了算法在不同迭代時期對探索和挖掘能力的不同需求.差分擾動機制源于差分進化算法的變異思想，通過引入差分擾動，可以增強算法的局部搜索能力，提高收斂速度，而采用的雙隨機差分策略也較好保持了種群的活躍性，降低算法陷入局部極值的風險.將上述兩種機制產(chǎn)生的位置更新公式通過轉(zhuǎn)換概率m4，分別對應于算法的全局搜索和局部搜索階段，有效提高了算法的尋優(yōu)精度和收斂性能，數(shù)學模型如下：

其中：m4為[0,1]之間均勻分布的隨機數(shù)，是當前全局最優(yōu)位置的第j維值，為當前全局最差位置的第j維值，xij(t)是當前代中第i個個體在第j維的位置值，xij(t+1)是更新后下一代中第i個個體在第j維的位置值，xa、xb是種群中兩個隨機個體，滿足a∈[1,N]和b∈[1,N]，且a≠b≠i，縮放因子F為[0,1]之間的D維隨機向量.在正弦余弦算子機制中，控制搜索距離的參數(shù)m2為[0,π]之間均勻分布的隨機數(shù)，控制距離對解影響的參數(shù)m3為[0,1]之間均勻分布的隨機數(shù)，而對于控制搜索步長的迭代自適應因子m1，采用了帶有隨機性的非線性遞減策略，其計算公式為：

分析式(12)可知，m1起著平衡全局搜索和局部搜索能力的重要作用.在算法迭代前期，m1的值較大，全局搜索步幅較大，使算法具有較強的全局探索能力，而在算法迭代后期，m1的值較小，增加了算法在最優(yōu)解附近區(qū)域深度挖掘的能力，提高了算法的收斂精度.而m1在保持從1到0整體非線性遞減趨勢的同時，也呈現(xiàn)出一定的隨機性，這種隨機性降低了算法如在中前期未能搜索到全局最優(yōu)值附近，而在后期因控制因子的單調(diào)遞減直接陷入局部極值無法跳出的風險.

1.4 奇偶不同的混合進化策略

為了更好發(fā)揮和融合改進前后兩種不同JAYA機制的進化特點，采用奇偶不同的混合進化策略，具體描述為：當?shù)螖?shù)為奇數(shù)時，使用融合正弦余弦算子和差分擾動的個體位置更新公式進行搜索；當?shù)螖?shù)為偶數(shù)時，使用基本JAYA算法的個體位置更新公式進行搜索.同時，在這兩種機制中都引入上面所述的反向?qū)W習機制，而且當更新后所產(chǎn)生個體的適應度值優(yōu)于上一代個體的適應度值時，新的個體位置將被接受，否則按一定概率接受更新后的個體位置.接受概率p的計算公式為：

其中，縮放因子λ為[0,0.1]之間均勻分布的隨機數(shù)，接受概率p利用e的負指數(shù)函數(shù)特性隨迭代次數(shù)增加而非線性遞減，在算法的迭代前期，接受概率p較大，可以接受較多的差解，有利于進化的多樣性，隨著迭代次數(shù)的增加，接受概率p不斷減小，接受較差解越來越少，最后在接受概率p趨于0時，就不再接受任何較差解了，這在迭代后期有利于算法在最優(yōu)值附近利用兩種不同機制反復進行深度挖掘，提高了算法的收斂性和精度.

2 H-JAYA 算法流程與時間復雜度分析

2.1 H-JAYA 算法流程

根據(jù)新的適應度值比較并輸出最優(yōu)解位置

2.2 時間復雜度證明

時間復雜度是體現(xiàn)算法性能的關鍵因素，它反映了算法的運算效率.文獻[24]和文獻[25]分別對蝴蝶優(yōu)化算法和螢火蟲算法的時間復雜度進行了分析，本文采用同樣的思想對H-JAYA算法的時間復雜度進行分析.

對于群智能優(yōu)化算法而言，當算法的進化代數(shù)和種群大小取值在一個合理范圍內(nèi)時，再增加進化代數(shù)和種群大小的值，對提高算法的尋優(yōu)能力和求解精度已基本沒有作用，因此將迭代次數(shù)和種群規(guī)模設置為一個固定值是群智能優(yōu)化算法求解問題時普遍采用的方法，而決定算法時間復雜度的基本要素就是代表問題規(guī)模的個體空間維度.

在基本JAYA算法中，若種群規(guī)模為N，個體位置的維度為n，設：設置初始參數(shù)的時間為t0，初始化JAYA算法個體位置中每一維的時間為t1，求給定目標函數(shù)適應度值的時間為f(n).則初始化種群階段的時間復雜度為：

進入迭代后，總迭代次數(shù)為Max_iter.

在個體位置更新階段，設：根據(jù)種群中個體的適應度值找出并記錄最好和最差個體位置的時間為t2，產(chǎn)生均勻分布隨機數(shù)r1、r2的時間分別為t3，由式(1)對個體位置每一維進行更新的時間為t4.則該階段的時間復雜度為：

在邊界處理和新舊解比較階段，設：每個個體每一維邊界處理的時間為t5，計算新個體適應度值的時間為 f(n)，新舊解適應度值的比較替換的時間為t6，則此階段的時間復雜度為：

綜上所述，基本JAYA算法總的時間復雜度為：

在H-JAYA改進算法中，算法的種群規(guī)模N、個體維度n、參數(shù)設置時間、初始化種群和求給定目標函數(shù)適應度值的時間均與基本JAYA算法一致，兩者初始化過程一樣，因此H-JAYA算法在初始化種群階段的時間復雜度與基本JAYA算法相同，為：

進入迭代后，總迭代次數(shù)仍為Max_iter.

根據(jù)種群中個體的適應度值找出并記錄最好和最差個體位置的時間仍為t2，設：由式(2)求sign(η)的時間為 ε1，由式(3)、式(6)分別對最優(yōu)解、最差解進行反向?qū)W習的時間均為ε2，分別對反向?qū)W習前后新舊最優(yōu)解、最差解進行比較替換的時間均為ε3，用式 (13)產(chǎn)生接受概率p的時間為ε4，則這一階段的時間復雜度為：

在迭代次數(shù)為奇數(shù)時的個體位置更新階段，設：由式 (12)產(chǎn)生m1的時間為ε5，m2、m3和轉(zhuǎn)換概率m4都是均勻分布的隨機數(shù)，產(chǎn)生它們的時間分別為t3，設m4<0.5執(zhí)行全局搜索的個體數(shù)k(0≤k≤N)，由式(9)對個體位置每一維進行更新的時間為ε6；而m4≥0.5執(zhí)行局部搜索的個體數(shù)為N–k，此時，從種群中隨機選取兩個個體的時間為ε7，計算這兩個隨機選取個體適應度值的時間分別為f(n)，比較這兩個個體適應度值的時間為t6，用式(10)或(11)對個體位置進行更新的時間為ε8，則這一階段的時間復雜度為：

在迭代次數(shù)為奇數(shù)時的邊界處理和新舊解比較階段，每個個體每一維邊界處理的時間、計算更新后個體適應度值的時間、新舊解適應度值的比較替換時間均與基本JAYA算法在邊界處理和新舊解比較階段的時間一致，故該階段的時間復雜度為：

在迭代次數(shù)為偶數(shù)時的個體位置更新階段，產(chǎn)生均勻分布隨機數(shù)r1、r2的時間分別為t3、由式(1)進行每一維個體位置更新的時間仍為t4.故該階段的時間復雜度為：

在迭代次數(shù)為偶數(shù)時的邊界處理和新舊解比較階段，每個個體每一維邊界處理的時間、計算更新后個體適應度值的時間、新舊解適應度值的比較替換時間均與迭代次數(shù)為奇數(shù)時的邊界處理和新舊解比較階段相同.故該階段的時間復雜度為：

綜上所述，H-JAYA算法總的時間復雜度為：

由此可知，改進算法H-JAYA和基本JAYA算法的時間復雜度相同，沒有降低算法的運行效率.

3 仿真實驗

為了全面檢驗改進算法H-JAYA的尋優(yōu)能力，本文的仿真實驗分為兩部分進行.3.1節(jié)將算法在CEC2017測試函數(shù)集[26]上進行多維度函數(shù)極值優(yōu)化測試，用以驗證算法的尋優(yōu)性能與收斂能力.3.2節(jié)研究了6個具有挑戰(zhàn)性的工程設計約束優(yōu)化問題，用以檢驗算法在不同類型工程優(yōu)化設計問題上的求解能力和應用潛力.兩部分實驗都將本文算法H-JAYA與基本JAYA算法(2016)[13]、Improved JAYA Optimization Algorithm(IJAYA, 2017)[14]、Comprehensive Learning Jaya Algorithm（CLJAYA,2020）[22–23]、鯨魚優(yōu)化算法（WOA, 2016）[5]和 Hybrid Firefly and Particle Swarm Optimization Algorithm（HFPSO, 2018）[27]共 6 種性能優(yōu)越的代表性算法進行了對比實驗.

為了保證實驗的公平性與客觀性，6種對比算法采用相同的軟、硬件平臺在相同條件下獨立運行50次，運行環(huán)境為Windows10、編程語言為MATLAB R2019a，種群大小均為30，最大進化代數(shù)Max_iter=1000.算法參數(shù)設置方面，4種JAYA類算法無需另設參數(shù)，而WOA算法只需設置用于定義對數(shù)螺旋的常數(shù)b=1，HFPSO算法中學習因子c1與c2均為1.49445，這些參數(shù)的取值都與各自算法的原文獻和源代碼取值相同.

3.1 函數(shù)極值優(yōu)化仿真實驗

3.1.1 尋優(yōu)精度分析

本文對CEC2017測試集中30個函數(shù)都進行了測試和分析，因篇幅限制下面只討論按序給出的混合測試函數(shù)f11(x)、f12(x)、f19(x)和f20(x)，組合測試函數(shù)f21(x)、f22(x)、f25(x)、f26(x)、f29(x)和f30(x)，其他函數(shù)的測試結果與之類似，不再一一贅述.

表1統(tǒng)計了6種算法分別在10維、50維和100維時，對于不同測試函數(shù)各自獨立運行50次，得到的最佳值、平均值和方差.

由表1的數(shù)據(jù)可以看出，除個別函數(shù)外，改進算法H-JAYA在各函數(shù)不同維度下的求解精度和穩(wěn)定性均明顯優(yōu)于其他5種對比算法，顯示出HJAYA算法對于JAYA機制改進的顯著性和有效性.

表1 (續(xù))Table 1 (Continued)

表1 6 種算法在固定迭代次數(shù)下的尋優(yōu)結果比較Table 1 Comparison of the optimization results of six representative algorithms under fixed iteration times

在10維條件下，對于函數(shù)f11(x)、f19(x)和f20(x)，H-JAYA在這3個函數(shù)上的尋優(yōu)結果最佳值均為理論最優(yōu)值，求解效果十分出色；CLJAYA、IJAYA、JAYA、HFPSO和WOA算法的最佳值、平均值和方差都差于H-JAYA算法.對于函數(shù)f11(x)、f26(x)、f29(x)和f30(x)，H-JAYA在這4個函數(shù)上的最佳值、平均值和方差雖未達到理論最優(yōu)值，但全部優(yōu)于其他5種算法，求解能力明顯突出和優(yōu)越.對于函數(shù)f21(x)，H-JAYA的最佳值與CLJAYA算法相同，優(yōu)于其他4種算法，平均值與CLJAYA、IJAYA、HFPSO和WOA算法相同，優(yōu)于基本JAYA算法，而且方差是6種算法中最小的.對于函數(shù)f22(x)，H-JAYA的最佳值與IJAYA算法相同，略遜于WOA、JAYA和CLJAYA算法，優(yōu)于HFPSO算法，平均值與IJAYA算法相同，略遜于CLJAYA算法，優(yōu)于其他3種算法，方差略遜于IJAYA算法，優(yōu)于其他4種算法.對于函數(shù)f25(x)，H-JAYA的最佳值和平均值均優(yōu)于其他5種算法，方差略遜于其他5種算法.

在50維和100維的高維條件下，6種算法的求解精度都會隨著維度的增加有所降低，但相較于其他5種算法，H-JAYA算法仍表現(xiàn)出良好的尋優(yōu)精度和穩(wěn)定性.在50維條件下，對于函數(shù)f11(x)、f12(x)、f19(x)、f21(x)、f25(x)和f30(x)， H-JAYA 在 這6個函數(shù)上的最佳值、平均值和方差都優(yōu)于其他5種算法.對于函數(shù)f22(x)，H-JAYA的最佳值和平均值都優(yōu)于其他5種算法，方差略遜于其他5種算法.對于函數(shù)f20(x)、f26(x)和f29(x)，H-JAYA 在這3個函數(shù)上的最佳值略遜于HFPSO算法，優(yōu)于其他4種算法，平均值和方差優(yōu)于5種對比算法.在100 維條件下，對于函數(shù)f11(x)、f12(x)、f19(x)、f20(x)、f21(x)、f25(x)、f29(x)和f30(x),H-JAYA在這 8個函數(shù)上的最佳值、平均值和方差均優(yōu)于其他5種算法，表現(xiàn)出優(yōu)越的高維求解能力.對于函數(shù)f22(x)，HJAYA的最佳值和平均值都優(yōu)于其他5種算法，方差略遜于其他5種算法.對于函數(shù)f26(x)，H-JAYA的最佳值和平均值略遜于HFPSO算法，但方差優(yōu)于該算法，而且H-JAYA的最佳值、平均值和方差均優(yōu)于其他4種算法.

以上求解結果和分析表明，相比于5種尋優(yōu)性能較為優(yōu)秀的代表性對比算法，H-JAYA算法整體呈現(xiàn)出更為優(yōu)越的求解性能，較好解決了JAYA算法在求解復雜函數(shù)全局優(yōu)化時易陷入局部極值、尋優(yōu)性能不穩(wěn)定，尋優(yōu)精度不高的問題.

3.1.2 收斂曲線分析

一個算法性能的優(yōu)劣，可以直觀地通過收斂曲線展現(xiàn)出來，收斂曲線顯示了算法在尋優(yōu)過程中陷入局部最優(yōu)的次數(shù)和收斂速度.下面給出對于 3.1.1節(jié)f21(x)、f22(x)、f25(x)、f26(x)、f29(x)和f30(x)共6個求解難度較大的組合函數(shù)的收斂曲線圖，其他函數(shù)的收斂曲線對比結果與之相似，不再一一贅述.圖1是6種算法在維度D=100時對于這6個函數(shù)的收斂曲線對比圖.

圖1 收斂曲線.(a) f21(x); (b) f22(x); (c) f25(x); (d) f26(x); (e) f29(x); (f) f30(x)Fig.1 Convergence curves: (a) f21(x); (b) f22(x); (c) f25(x); (d) f26(x); (e) f29(x); (f) f30(x)

以上圖1清晰地展現(xiàn)了H-JAYA、JAYA、CLJAYA、IJAYA、WOA和HFPSO算法在進化過程中適應度值的變化趨勢.從這些圖中可以看出HJAYA收斂速度快于其他5種算法，且收斂曲線也總體比較光滑，陷入局部極值的次數(shù)較少，尋優(yōu)能力較強.

在圖1(a)中，CLJAYA和WOA算法收斂速度一直慢于JAYA，更明顯慢于H-JAYA；IJAYA在迭代前期收斂速度略慢于JAYA，160代以后則快于JAYA，但一直明顯慢于H-JAYA；HFPSO收斂速度在迭代前期與JAYA互有快慢，260代以后則快于JAYA，且在迭代早期快于H-JAYA，但在60代以后明顯慢于H-JAYA.在圖1(b)中，CLJAYA收斂速度在迭代前期與JAYA十分相近，在480代以后快于JAYA，但始終明顯慢于H-JAYA；IJAYA收斂速度一直快于JAYA，且在迭代前期略快于H-JAYA，但在280代以后明顯慢于H-JAYA；WOA收斂速度一直明顯快于JAYA，且在迭代前期快于H-JAYA，但在300代以后，隨著H-JAYA收斂速度加快，WOA已明顯慢于H-JAYA；HFPSO收斂速度一直快于JAYA，且在迭代前期快于H-JAYA，但在290代以后則明顯慢于H-JAYA.在圖1(c)中，CLJAYA收斂速度前期快于JAYA，但在170代以后慢于JAYA，更是一直明顯慢于H-JAYA；IJAYA收斂速度在迭代前期慢于JAYA，570代以后快于JAYA，但一直明顯慢于H-JAYA；WOA收斂速度一直明顯快于JAYA，且在迭代早期與H-JAYA相近，但在50代以后隨著H-JAYA收斂速度加快，WOA慢于H-JAYA；HFPSO收斂速度在迭代前期與JAYA相近，在200代以后明顯快于JAYA，但始終慢于H-JAYA.在圖1(d)中，CLJAYA和WOA算法收斂速度慢于JAYA，更明顯慢于H-JAYA；IJAYA和HFPSO算法收斂速度快于JAYA，但明顯慢于HJAYA.在圖1(e)中，CLJAYA收斂速度在迭代前期快于JAYA，460代以后卻相近并最終慢于JAYA，更是始終慢于H-JAYA；IJAYA收斂速度在迭代前期與JAYA快慢交替基本相近，530代以后則快于JAYA，但一直慢于H-JAYA；WOA收斂速度從迭代開始到880代一直快于JAYA，880代以后與H-JAYA相近，但始終慢于H-JAYA；HFPSO收斂速度在迭代前期慢于JAYA，100代以后則快于JAYA，但一直慢于H-JAYA.在圖1(f)中，CLJAYA收斂速度慢于JAYA，更明顯慢于H-JAYA；IJAYA、WOA和HFPSO算法收斂速度一直快于JAYA，但都慢于H-JAYA.

綜上所述，本文提出的H-JAYA算法在低、中、高三種維度下對于具有較高求解難度的CEC-2017測試函數(shù)集都有較好的尋優(yōu)性能，其求解精度、收斂速度和尋優(yōu)穩(wěn)定性均優(yōu)于JAYA、CLJAYA、IJAYA、WOA和HFPSO等5種代表性對比算法，表現(xiàn)出較為顯著的求解優(yōu)越性.

3.1.3 實驗結果的秩和檢驗統(tǒng)計分析

為了驗證改進算法H-JAYA與其他對比算法在實驗結果上的差異具有顯著性，進一步評價算法的尋優(yōu)性能，采用非參數(shù)統(tǒng)計檢驗方法–Wilcoxon秩和檢驗，進行統(tǒng)計分析.表2給出了對于CEC2017測試函數(shù)集套件，H-JAYA分別與其他對比算法在D=100時求解3.1.1節(jié)具有代表性的10個函數(shù)的統(tǒng)計檢驗結果.其中，用符號“+”、“–”和“=”分別表示H-JAYA的尋優(yōu)結果優(yōu)于、劣于和相當于其他對比算法.由文獻[28]可知，那些p<0.05的結果就可被認為是拒絕零假設具有顯著性的有力驗證.

從表2的統(tǒng)計檢驗結果來看，改進算法H-JAYA與JAYA、IJAYA、CLJAYA、WOA和HFPSO算法相比，在全部10個函數(shù)上的檢驗p值都小于0.05且符號為“+”，拒絕零假設.由此可見，H-JAYA與其他5種對比算法的計算結果之間具有顯著差異，且H-JAYA顯著更優(yōu).

表2 各算法求解 CEC2017 測試集套件 Wilcoxon 秩和檢驗的 p 值Table 2 p-value for Wilcoxon’s rank-sum test on each algorithm used to solve the CEC2017 test suite

3.2 H-JAYA 求解工程設計約束優(yōu)化問題

為了檢驗改進算法H-JAYA求解工程約束優(yōu)化問題的能力，將H-JAYA算法和上述5種代表性對比算法應用于拉伸彈簧、波紋艙壁、管柱設計、鋼筋混凝土梁、焊接梁和汽車側面碰撞6個工程優(yōu)化設計問題.這6個工程問題具有各自不同的約束條件和求解難度，能夠很好地測試出各算法求解工程設計優(yōu)化問題的能力和適用性.在求解這些工程優(yōu)化問題時，將每種算法獨立運行50次，得到設計結果的最佳值、平均值和方差作為評價各算法求解能力的指標.

3.2.1 求解拉伸彈簧設計問題

拉伸彈簧設計是一個最小化約束問題，其目的是設計一種重量最輕且滿足撓度、剪切應力、波動頻率、外徑4個約束條件的拉伸彈簧.該問題包含3個設計變量，分別是線徑x1(0.05≤x1≤2.00)、平均線圈直徑x2(0.25≤x2≤1.30)、活性線圈數(shù)量x3(2.00≤x3≤15.0).該設計問題的數(shù)學模型如下：

表3是改進算法H-JAYA和其他5種對比算法各自獨立運行50次求解拉伸彈簧設計問題得到的最佳值、平均值和方差.從表中數(shù)據(jù)可以看出，H-JAYA算法的最佳值、平均值和方差都優(yōu)于其他5種算法，表現(xiàn)出較優(yōu)的求解能力和穩(wěn)定性.

表3 6種算法求解拉伸彈簧設計問題的尋優(yōu)結果比較Table 3 Comparison of the optimization results of six representative algorithms used to solve the tension/compression spring design problem

3.2.2 求解波紋艙壁設計問題

波紋艙壁設計問題的目標是最小化波紋艙壁的重量，該問題包含6個約束條件和4個設計變量，設計變量分別是波紋艙壁的寬度x1(0≤x1≤100)、波紋艙壁的高度x2(0≤x2≤100)、波紋艙壁的長度x3(0≤x3≤100)、波紋艙壁的厚度x4(0≤x4≤5)，其數(shù)學模型如下：

表4是6種算法50次求解波紋艙壁設計問題得到的最佳值、平均值和方差.由表中數(shù)據(jù)可知，H-JAYA算法的最佳值與IJAYA、CLJAYA算法相同，且優(yōu)于其余3種算法，而平均值和方差則優(yōu)于所有5種對比算法，表現(xiàn)出更好的尋優(yōu)精度和穩(wěn)定性.

表4 6種算法求解波紋艙壁設計問題的尋優(yōu)結果比較Table 4 Comparison of the optimization results of six representative algorithms used to solve the corrugated bulkhead design problem

3.2.3 求解管柱設計問題

管柱設計問題的目標是以最低成本設計一個均勻的管狀截面柱來承載壓縮載荷，該設計問題包含6個約束條件和2個設計變量，設計變量分別為管柱的平均直徑x1(2≤x1≤14)，管壁的厚度x2(0.2≤x2≤0.8)，其數(shù)學模型如下：

其中：管柱彈性模量E=0.85×106，屈服強度 σy=500.

表5是6種算法求解管柱設計問題時得到的最佳值、平均值和方差.由表中數(shù)據(jù)可以清楚地看出，H-JAYA算法的最佳值與CLJAYA相同，且優(yōu)于其余4種算法，而平均值和方差則優(yōu)于其他全部5種算法，展現(xiàn)出更為優(yōu)越的尋優(yōu)能力和求解穩(wěn)定性.

表5 6種算法求解管柱設計問題的尋優(yōu)結果比較Table 5 Comparison of the optimization results of six representative algorithms used to solve the tubular column design problem

3.2.4 求解鋼筋混凝土梁設計問題

鋼筋混凝土梁是用鋼筋混凝土材料制成的梁，其形式多種多樣，是房屋建筑、橋梁建筑等工程結構中最基本的承重構件，應用范圍極廣.該問題的目標是以最低成本設計一個有最大承載力的鋼筋混凝土梁，問題中包含2個約束條件和3個變量，這些變量分別是鋼筋的面積梁的長度其數(shù)學模型如下：

表6統(tǒng)計了6種算法運行50次求解鋼筋混凝土梁設計問題得到的最佳值、平均值和方差.由表中數(shù)據(jù)可知，H-JAYA算法求得的最佳值、平均值和方差都是6種算法中最好的，求解性能更加出色.

表6 6種算法求解鋼筋混凝土梁問題的尋優(yōu)結果比較Table 6 Comparison of the optimization results of six representative algorithms used to solve the reinforced concrete beam design problem

3.2.5 求解焊接梁設計問題

焊接梁設計的目標是在剪切應力、彎曲應力、屈曲載荷、端部撓度和側面約束下找到最低制造成本.該問題有7個約束條件和4個設計變量，設計變量分別是焊縫厚度x1(0.125≤x1≤2)、焊縫長度x2(0.1≤x2≤10)、梁寬度x3(0.1≤x3≤10)、梁厚度x4(0.1≤x4≤2)，剪切應力τ，橫梁彎曲應力σ，屈曲載荷Pc，橫梁撓度δ以及各設計變量之間的尺寸約束，具體數(shù)學模型如下：

表7統(tǒng)計了6種算法求解焊接梁設計問題得到的最佳值、平均值和方差.觀察表中數(shù)據(jù)可以看出，改進算法H-JAYA的最佳值、平均值和方差都是6種算法最好的，而且H-JAYA算法50次尋優(yōu)結果的最佳值與文獻[29]中給出的最優(yōu)值相同，達到理論最優(yōu)，求解效果相當出色.

表7 6種算法求解焊接梁設計問題的尋優(yōu)結果比較Table 7 Comparison of the optimization results of six representative algorithms used to solve the welded beam design problem

3.2.6 求解汽車側面碰撞設計問題

汽車側面碰撞設計問題的目標是研究車門部件對汽車側面碰撞安全性的影響，通過改進汽車的結構，以最大限度地提高汽車的碰撞安全性，從而降低交通事故的傷害.該問題包括11個設計變量和10個約束條件，設計變量分別是B柱的內(nèi)板厚度x1(0.5≤x1≤1.5)、B柱的加強板厚度x2(0.5≤x2≤1.5)、車頂橫梁長度x3(0.5≤x3≤1.5)、B柱的外板材料屈服強度x4(0.5≤x4≤1.5)、門檻梁長度x5(0.5≤x5≤1.5)、抗側撞梁長度x6(0.5≤x6≤1.5)、車頂邊梁長度x7(0.5≤x7≤1.5)、B柱的內(nèi)板材料屈服強度x8(x8∈{0.192,0.345})、車底部橫梁長度x9(x9∈{0.192,0.345})、碰撞位置最小角度x10(x10≥?30)、碰撞位置最大角度x11(x11≤30)，具體數(shù)學模型如下：

表8統(tǒng)計了6種算法50次求解汽車側面碰撞設計問題得到的尋優(yōu)結果最佳值、平均值和方差.從表中數(shù)據(jù)可以看出，H-JAYA算法的最佳值、平均值和方差都是6種算法最好的，表現(xiàn)出優(yōu)越的求解能力和穩(wěn)定性.

表8 6種算法求解汽車側面碰撞問題的尋優(yōu)結果比較Table 8 Comparison of the optimization results of six representative algorithms used to solve the car side impact design problem

以上求解結果分析以及相關文獻[30–32]的求解結果都表明，智能優(yōu)化算法對于求解工程設計約束優(yōu)化問題是有效的，而本文所使用的代表性對比算法在求解工程問題時都具有良好的求解性能，其中改進算法H-JAYA在面對不同類型和復雜程度的工程優(yōu)化設計問題時，更是展現(xiàn)出十分優(yōu)越的求解精度和穩(wěn)定性，對于求解工程設計約束優(yōu)化問題有著明顯可見的優(yōu)越性和適用性.

4 結論

本文提出一種面向全局優(yōu)化的混合進化JAYA算法H-JAYA，在最優(yōu)和最差個體位置中引入反向?qū)W習機制，增強了算法跳離局部極值區(qū)域的能力；引入正弦余弦算子和差分擾動機制對個體位置進行更新，不僅增加了種群的多樣性，而且較好平衡了算法的全局探索和局部挖掘能力；在算法結構上采用奇偶不同的混合進化策略，使算法的收斂性和精度得到了進一步提高.理論分析證明該算法的時間復雜度與基本JAYA算法相同，沒有降低執(zhí)行效率.將H-JAYA算法應用于CEC 2017復雜函數(shù)的全局優(yōu)化求解中，其50次運行得到的尋優(yōu)結果最佳值、平均值和方差明顯優(yōu)于其他5種性能優(yōu)越的代表性對比算法；而Wilcoxon 秩和檢驗則驗證了H-JAYA算法與各對比算法之間的優(yōu)勢差異具有顯著性.最后，將該算法成功運用于6個工程設計優(yōu)化問題，取得了很好的優(yōu)化效果.上述研究表明，H-JAYA算法可以獲得更好的全局搜索和局部搜索能力，算法的尋優(yōu)能力具有明顯的優(yōu)越性，求解全局復雜函數(shù)和工程設計約束優(yōu)化問題有著顯著的可行性和有效性.在后續(xù)的研究中，考慮將改進的JAYA算法應用到更多實際問題求解中，以進一步驗證算法性能，完善算法的改進機制，拓寬和提高算法的應用領域與能力.