劉文靜，張海洋，高 波，鄭嘉熹，韓東旭，羅二倉，PITRE Laurent

1) 中國科學(xué)院理化技術(shù)研究所中法低溫計量科學(xué)與技術(shù)國際聯(lián)合實驗室，北京 100190 2) 中國科學(xué)院理化技術(shù)研究所中國科學(xué)院低溫工程學(xué)重點實驗室，北京 100190 3) 中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049 4) 北京石油化工學(xué)院，北京 102617 5) 法國國家計量院-法國國立科學(xué)技術(shù)與管理學(xué)院，拉普萊納-圣德尼 F93210

2019年5月20日世界計量日，國際單位制發(fā)生了重大變革，自此，七個基本單位全部由基本物理常數(shù)定義.其中，熱力學(xué)溫度單位開爾文（K）將根據(jù)玻爾茲曼常數(shù)重新定義[1].在基準測溫領(lǐng)域，國際溫度咨詢委員會推薦了幾種基準氣體測溫方法[2]：介電常數(shù)氣體測溫法[3]、聲學(xué)氣體測溫法[4]和折射率氣體測溫法[5?6].其中，聲學(xué)法和折射率法通常采用準球形諧振腔結(jié)合微波諧振頻率測量技術(shù)進行熱力學(xué)溫度測量.諧振腔的材料通常為金屬材料—電解瀝青銅（Cu-ETP）[7]，其一個特性是具有高導(dǎo)電性，微波諧振法使用的電磁波屬于交變電流，當電磁波在金屬諧振腔體內(nèi)傳播時，電磁場會集中在材料的表面形成感應(yīng)電流，從而產(chǎn)生趨膚效應(yīng)[8]，Cu-ETP材料的高導(dǎo)電性使得諧振腔具有趨膚效應(yīng)低的優(yōu)點；該材料的另一特性是高導(dǎo)熱性，會使得諧振腔兼?zhèn)涞蜏責犴憫?yīng)快的優(yōu)點[9].

Cu-ETP是一種重要的材料，在航空航天和溫度計量等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，其準確的材料特性是必不可少的，如熱膨脹系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)等.材料線性熱膨脹系數(shù)的測量在溫度計量行業(yè)至關(guān)重要，其溫度依賴特性在機械結(jié)構(gòu)設(shè)計及應(yīng)用等領(lǐng)域是不可或缺的，特別是在低溫工程領(lǐng)域，實驗裝置由具有不同熱性能和機械性能的部件組成.等溫壓縮系數(shù)在折射率氣體測溫中起著極其重要的作用[10?11]，精確的材料熱膨脹系數(shù)是獲得高準確度等溫壓縮系數(shù)的前提之一.

由于Cu-ETP的熱膨脹系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)原位測量數(shù)據(jù)缺失，在基準測溫領(lǐng)域國際同行通常以高導(dǎo)無氧銅（OFHC）物性作為Cu-ETP物性近似處理，這可能會引入固有測量誤差.因此，需要獲得一組高準確的Cu-ETP線性熱膨脹系數(shù)，它也可用于檢驗微波諧振頻率測量的準確性和測溫的可靠性.

熱膨脹系數(shù)表示材料在熱載荷下的尺寸穩(wěn)定性[12]，其測定要求為對正在經(jīng)歷適當熱循環(huán)的材料樣品測量兩個物理量，分別為尺寸和溫度.當樣品放置在真空下測量時是一種絕對技術(shù)，此時的測量精度最高[13].因此，本文的實驗均是在真空條件下開展的線性熱膨脹系數(shù)測量.根據(jù)樣品的材料、尺寸、形狀、溫度范圍和要求的精度，可采用多種方法進行溫度小于300 K[14]時材料的熱膨脹系數(shù)測量，例如，通過干涉式膨脹計[15]、電容式膨脹計[16]、光學(xué)膨脹計[17]、壓縮膨脹計[18]或微波諧振法[19?20]，其中，微波諧振法是一種原位、精度高的測量方法，已獲得較為廣泛的應(yīng)用[21?24].

本文基于多模式微波諧振法，采用降溫法和控溫法兩種實驗方法原位測量了4.3 K到299 K溫區(qū)Cu-ETP線性熱膨脹系數(shù).本文首先介紹了熱膨脹系數(shù)的實驗測量方法，后續(xù)介紹了其實驗測量系統(tǒng)，最后介紹了兩種方法的測量結(jié)果，這兩種方法均采集了多組實驗多個微波模式的微波諧振頻率數(shù)據(jù)，研究了各輪實驗的重復(fù)性、微波模式一致性以及熱膨脹系數(shù)的測量不確定度，結(jié)果顯示Cu-ETP線性熱膨脹系數(shù)測量結(jié)果具有良好的微波模式一致性.通過原位實驗測量，得到了一組準確度高的線性熱膨脹系數(shù)數(shù)據(jù)，并基于此發(fā)展了線性熱膨脹系數(shù)關(guān)聯(lián)方程，這在等溫壓縮系數(shù)測量和數(shù)據(jù)的預(yù)處理中是必不可少的，也為熱力學(xué)溫度的測量提供了高準確度的基礎(chǔ)物性數(shù)據(jù).

1 實驗方法

1.1 微波諧振頻率測量方法

微波諧振頻率的測量過程如圖1所示.采用雙端口網(wǎng)絡(luò)分析儀（Agilent N5241A）作為微波信號源，微波信號經(jīng)1端口通過微波電纜、上天線傳輸至低溫端諧振腔中，在諧振腔中微波信號進行諧振，諧振后的共振信號由下天線接收并通過另一根微波電纜傳回到網(wǎng)絡(luò)分析儀的2端口，實驗所用源頻率f和散射參數(shù)S21通過Labview軟件采集記錄.為提高源頻率的準確度，采用GPS/GNSS時間或頻率標準系統(tǒng)（FS740）為網(wǎng)絡(luò)分析儀提供10 MHz頻率參考信號.

圖1 微波諧振頻率測量示意圖Fig.1 The schematic of the microwave resonance frequency measurement

微波諧振頻率和半寬度通過擬合源頻率f和復(fù)數(shù)散射參數(shù)S21確定，擬合式如公式(1)所示[25]，擬合方法為Levenberg–Marquardt方法.

其中，n=1、2、3分別代表x、y、z方向，An、B、C、D為待擬合的復(fù)常數(shù)，fn是每個共振峰的中心頻率，gn是半寬度，變量f*是所設(shè)置的任意頻率，本文中f*=f2.

實際實驗中，腔體材料的非完美導(dǎo)電性、波導(dǎo)效應(yīng)（天線孔、進出氣孔）、形狀效應(yīng)等因素會使共振頻率偏離其理想值，因而需要進行非理想修正[21?25].由于加工技術(shù)及加工精度所限，不能制造出完美球形，加工出的球形諧振腔會出現(xiàn)微波締合現(xiàn)象，難以獲得高品質(zhì)值共振頻率，導(dǎo)致諧振頻率測量精度大幅下降.針對這個特點，選擇采用可以分離微波締合模式的準球形諧振腔.真空狀態(tài)下，準球形諧振腔的半徑R可通過測量微波諧振頻率由公式(2)計算確定[9]：

其中，c0是真空光速，ξcorr是形狀修正后的特征根[24]，是半寬度修正后的平均微波諧振頻率.

1.2 準球形諧振腔

準球形諧振腔是完美球腔的一個微擾結(jié)構(gòu)，其在三維空間x、y、z方向上的半徑具有適當?shù)牟町?，以實現(xiàn)微波頻譜締和的有效分離，可將微波諧振頻率測量準確度提升3個數(shù)量級[25]，廣泛應(yīng)用于基準測溫領(lǐng)域[2?6].

諧振腔材料為經(jīng)電解精煉后的Cu-ETP，具有很好的導(dǎo)熱性，更容易確保低溫溫度的均勻性[26].由于制造工藝的限制，每個準球形諧振腔由兩個需組裝的半球組成，為了減少微波損耗，上、下半球的內(nèi)表面采用精密鉆石刀拋光.我們采用相對過量半寬度監(jiān)測方法，實現(xiàn)了兩個半球的精準閉合[27]，保證了微波諧振頻率的高精度測量.

準球形諧振腔內(nèi)表面可由公式(3)表示：

其中，R=50.00 mm是準球腔在y軸方向的半徑，ε1=0.001和ε2=0.0005分別是z軸和x軸的形狀參數(shù)，殼體設(shè)計厚度為10.0 mm.準球形諧振腔詳細結(jié)構(gòu)和參數(shù)參見文獻[4].

1.3 線性熱膨脹系數(shù)計算方法

線性熱膨脹系數(shù)α表示的是溫度T改變1 K時固態(tài)物質(zhì)長度l的相對變化，其定義如公式(4)所示.

長度l對溫度T的導(dǎo)數(shù)通過以下方法確定：首先將長度擬合為溫度的一個合適的多項式函數(shù)，如公式(5)所示；然后，再對溫度求導(dǎo)獲得長度對溫度的導(dǎo)數(shù)，如公式(6)所示.

其中，J為多項式擬合的階數(shù)，pj為待擬合的多項式系數(shù).

除特別說明外，本文中的所有溫度值均是指1990年國際溫標（ITS-90）[28]框架下的溫度值.

1.4 不確定度分析方法

除非另有說明，本工作中的所有不確定度均為標準不確定度，置信因子為k=1，對應(yīng)于68%的置信區(qū)間.如公式(4)所示，熱膨脹系數(shù)是由長度值隨溫度的變化關(guān)系經(jīng)求導(dǎo)得出，因此，進行熱膨脹系數(shù)的不確定度分析的前提是已知長度的不確定度，本文中長度均指代諧振腔半徑值.下面首先介紹半徑值的不確定度分析方法.

1.4.1 半徑不確定度計算

準球形諧振腔的半徑值計算如公式(2)所示，主要與微波諧振頻率和修正后的特征根有關(guān)，從這兩個角度對半徑進行不確定度分析，計算方法如公式(7)所示.微波諧振頻率是由微波信號按照公式(1)進行頻率掃描和擬合得到，會存在擬合不確定度，即Levenberg–Marquardt方法的擬合精度，如公式(7)中的第一項u(ffit)所示；每個數(shù)據(jù)點的結(jié)果是通過多次掃頻取平均得到，每次掃頻的微波諧振頻率會有細微差異，影響最終半徑值的計算，因此存在頻率穩(wěn)定性這個影響因素，等效為多組微波諧振頻率頻率數(shù)據(jù)的標準差，如公式(7)中的第二項u(fstability)所示；公式(2)中的特征根是指經(jīng)過非理想因素修正后的特征根，表征了實際和理論測量的差異，非理想修正的考慮與否也會影響半徑的測量，如公式(7)中的第三項u(fnon-ideal)所示.在進行微波諧振頻率測量時，根據(jù)初始掃頻的不同，最終采集了多個微波模式的頻率數(shù)據(jù)，各微波模式的測量結(jié)果之間存在偏差，需要比較各微波模式頻率數(shù)據(jù)計算得出的半徑差，即微波模式一致性，控溫過程等效為各微波模式計算結(jié)果的標準差，降溫過程中由于溫度變化快，先進行溫度修正后作標準差，為公式(7)中的第四項u(Rmode)；為減小隨機誤差的影響，測量過程中均進行了多輪獨立測量，各輪測量結(jié)果間存在差異，與模式一致性分析方法相同，也是對所采集的多輪數(shù)據(jù)先進行溫度修正后對所得多輪新數(shù)據(jù)作標準差作為數(shù)據(jù)的重復(fù)性，如公式(7)中的第五項u(RRun repeability)所示.

1.4.2 熱膨脹系數(shù)不確定度計算

該系統(tǒng)中的熱膨脹系數(shù)是對半徑值隨溫度的變化關(guān)系經(jīng)求導(dǎo)得出，而在聯(lián)立半徑值隨溫度的變化關(guān)系時，受限于測量儀器的采樣周期，所采集的數(shù)據(jù)是覆蓋整個溫區(qū)的溫度散點.因此，需要將所采集的半徑和溫度數(shù)據(jù)進行多項式擬合，得到半徑和溫度的確切關(guān)系后，對其進行擬合從而得到熱膨脹系數(shù)值.半徑與溫度的擬合程度對于熱膨脹系數(shù)的計算至關(guān)重要，通過比較對半徑值增加一個半徑不確定度和原半徑值算出的熱膨脹系數(shù)值，從而確定半徑擬合不確定度，如公式(8)中的最后一項偏導(dǎo)數(shù)乘u(Rfit)所示.其他不確定度影響因素同上，計算方法與半徑擬合相同，均為比較對半徑值增加一個各分量的不確定度和原半徑值算出的熱膨脹系數(shù)的差異得到，最終不確定度分析方法如公式(8)所示，其中，前三項與半徑不確定度計算時的表達意義相同，而熱膨脹系數(shù)的計算中同樣會采用不同的微波模式頻率數(shù)據(jù)進行計算，同樣會有微波模式一致性，這里表示為u(αmode)；與半徑不確定度分析方法相同，也是對所采集的多輪數(shù)據(jù)先進行溫度修正后對所得多輪新數(shù)據(jù)作標準差作為數(shù)據(jù)的重復(fù)性，如公式(8)中的第五項u(αRun repeability)所示.

2 實驗

2.1 實驗系統(tǒng)

圖2為定壓氣體折射率基準測溫系統(tǒng)示意圖[29]，也是Cu-ETP線性熱膨脹系數(shù)測量實驗系統(tǒng)圖，該恒溫器由脈沖管制冷機（Sumitomo RP-082B2）提供冷源，可以在4.2 K提供約1 W的冷量.為了獲得更低的工作溫度，采用了多級防輻射屏和柔性熱連接件，結(jié)合氣體熱開關(guān)，可將準球形諧振腔的溫度最低降至4.3 K[30].每級法蘭上都布置有Cernox溫度計，以監(jiān)控溫度的變化.為獲得高穩(wěn)定的測量環(huán)境，控溫過程中，使用Cernox 1050型溫度計T2組合8? Keithley 2002數(shù)字多用表對二級法蘭進行控溫、采用一支經(jīng)英國國家物理實驗室（NPL）校準的標準銠鐵溫度計（Tinsley，SN 226245，下文簡稱為NPL2）配合AC交流電橋（ASL F18）對壓力腔進行聯(lián)合控溫，最終，實現(xiàn)了諧振腔溫度的μK量級高穩(wěn)定性控制[31].受溫度計標定范圍所限，降溫過程中采用序列號為X118726的CX-1050-CU-HT-1.4L型Cernox溫度計T10進行降溫過程中諧振腔溫度采集，控溫過程中采用另一支經(jīng)NPL校準的標準銠鐵溫度計（Tinsley，SN 226242，下文簡稱為NPL1）進行控溫過程中諧振腔溫度采集，各溫度計的布置如圖2所示.通過采用多重筒體和防輻射屏及在溫度計表面進行絕熱、防輻射處理，減少與外界環(huán)境的影響，確保裝置內(nèi)部測溫環(huán)境的獨立與準確，該裝置中涉及到的測量儀器具體信息及其精度如下表1所示.

圖2 線性熱膨脹系數(shù)測量實驗系統(tǒng)圖Fig.2 The schematic of the linear thermal expansion experiment system

表1 本裝置中的儀表信息Table 1 Instrument information in this cryostat

2.2 實驗步驟

本文中微波諧振頻率測量采用降溫法（動態(tài)法）和控溫法（靜態(tài)法）兩種實驗測量方案.方案1：需要將整個恒溫器從室溫降溫到低溫并同時進行微波諧振頻率采集；方案2：將準球形諧振腔降溫到目標溫度，并進行單個點的溫度控制和微波諧振頻率采集.

具體步驟如下：

(1) 記錄系統(tǒng)中各個溫度計的讀數(shù)溫度T.動態(tài)法中，諧振腔溫度值由T10-Cernox溫度計進行測量；靜態(tài)法中，諧振腔溫度值由NPL1標準銠鐵電阻溫度計確定，其由英國國家物理實驗室標定，詳見文獻[36]第三章節(jié)部分.

(2) 微波發(fā)射功率為?10 dBm，多個微波模式下的S21數(shù)據(jù)按照微波諧振頻率由低到高連續(xù)循環(huán)采集（比如，“TM11—TE11—TM12—TE13”，TM為橫磁模式，TE為橫電模式，后面的數(shù)字為區(qū)分的微波諧振頻率范圍）.動態(tài)測量時，諧振腔溫度變化快，為實時響應(yīng)溫度變化、保證微波諧振頻率擬合結(jié)果收斂，應(yīng)加快頻率掃描速度，掃描帶寬設(shè)為50 Hz；靜態(tài)測量時，為降低微波測量噪聲，提高微波諧振頻率測量精度，應(yīng)降低頻率掃描速度，掃描帶寬設(shè)為5 Hz.

(3) 采用公式(1)實時擬合散射參數(shù)，并記錄相應(yīng)微波模式的微波諧振頻率、半寬度等數(shù)據(jù).對于靜態(tài)法，完成一個目標溫度的測量后，需重復(fù)上述相應(yīng)測控過程，直到覆蓋整個研究溫區(qū)（4.3～26 K）.

為了檢驗系統(tǒng)的可靠性，本文中我們采用兩種實驗方案開展了多輪獨立重復(fù)實驗.

3 實驗結(jié)果

3.1 降溫實驗結(jié)果

為了消除隨機誤差的影響，得到可靠的結(jié)論，我們多次重復(fù)了降溫過程并進行計算，為了使整個實驗裝置降溫到最低溫度，需要在降溫過程開始之前向?qū)嶒炑b置中添加氦?4氣體，如圖2中藍色部分所示.而所充入氦?4氣體的量會影響降溫速度，本文中研究的不同輪實驗的降溫過程如圖3所示，可以看到從室溫299 K到5 K的降溫過程持續(xù)約30 h，具體時間由室溫起始溫度和所充入氦?4氣體的量決定，當起始充入的氦?4氣體越多時，實驗裝置降溫越快.圖中紅線為Run12輪（第12次）實驗，此時的降溫過程中水冷機發(fā)生了短暫暫停后并重啟，因此如圖中所示重啟后的降溫速率有所減慢.Run9到Run17之間圖中沒有的其他輪（Run11、Run13～Run16）實驗由于停電導(dǎo)致制冷機停機、降溫中斷，未傳輸、保存溫度數(shù)據(jù)，降溫過快導(dǎo)致個別微波模式數(shù)據(jù)不收斂等原因，在降溫過程中均未采集完整、有效的降溫數(shù)據(jù)，為此，本文中研究了如下四輪（Run9、Run10、Run12、Run17）降溫數(shù)據(jù).

圖3 各輪實驗的降溫過程Fig.3 The cooling procedure of different runs

3.1.1 諧振腔半徑

在降溫過程中，微波諧振腔的溫度由Cernox低溫電阻溫度計（T10）采集，低溫下該溫度計具有靈敏度高和穩(wěn)定性良好的優(yōu)點，其測量不確定度詳見其官方網(wǎng)站[35].按2.2章節(jié)實驗方案，通過微波諧振頻率測量，由公式(2)可得到降溫過程中不同微波模式測得的微波諧振腔體半徑.

圖4為微波諧振腔半徑的實驗測量結(jié)果.其中，圖4(a)描繪了Run9降溫過程中不同微波模式計算的半徑Rmode隨溫度的變化；并且，獲得了不同微波模式半徑計算值與第9輪平均值RRun9,avg的偏差，如圖4(b)所示，最大偏差為0.37 μm，表明半徑測量結(jié)果具有良好的微波模式一致性.

進一步，為考察半徑測量的重復(fù)性，我們在長達兩年零三個月的時間內(nèi)進行了四輪獨立降溫實驗（Run9、Run10、Run12、Run17），實驗結(jié)果如圖4(c)所示，可以看出，各輪半徑測量值RRun,avg與四輪結(jié)果平均值Ravg之間的偏差均在Ravg的測量不確定度內(nèi)，多次獨立降溫實驗結(jié)果具有良好的重復(fù)性.

最后，我們將各次實驗平均半徑RRun,avg的平均值Ravg作為最終的測量半徑值，圖4(d)所示為半徑Ravg測量標準不確定度u(Ravg)的分析結(jié)果.在整個測量溫度范圍內(nèi)，半徑測量的標準不確定度u(RTotal)小于0.27 μm，其最大的不確定度源自不同微波模式測量半徑結(jié)果的一致性.在150 K～299 K之間，半徑測量結(jié)果的重復(fù)性是其第二大來源，主要是由于四次獨立實驗的開機降溫條件不同（室溫溫度、系統(tǒng)真空、熱開關(guān)充氣壓力等參數(shù)），導(dǎo)致該溫度區(qū)間降溫速率不同；低于150 K的溫度區(qū)間內(nèi)，微波測量的非理想性超過半徑測量重復(fù)性成為其第二大不確定度來源，可以看出，低溫區(qū)半徑測量結(jié)果幾乎不受室溫端開機實驗條件的影響，從而更利于實現(xiàn)高準確度的半徑測量.

圖4 降溫過程中的諧振腔半徑計算結(jié)果分析.(a) Run9單個微波模式測得的半徑; (b) Run9單個微波模式測得的半徑與平均半徑的偏差; (c) 不同輪實驗測得的半徑平均值與最終半徑平均值的偏差(灰色背景為半徑平均值的標準不確定度誤差帶); (d) 降溫過程中最終半徑平均值的不確定度分析Fig.4 Analysis of the resonator radius during cooling: (a) radius of each microwave mode of Run9; (b) deviation of the single microwave mode and the average radius of Run9; (c) radius deviation in different runs and the average value (the gray background is the error bar of the standard uncertainty in the average radius value); (d) uncertainty analysis of the final average radius during cooling

3.1.2 線性熱膨脹系數(shù)

為了降低擬合公式(5)的殘差影響、獲得合適的擬合階數(shù)，我們采用不同的多項式階數(shù)進行了擬合，擬合結(jié)果Rfitting與實驗結(jié)果Rexperiment之間的對比結(jié)果如圖5所示.其中，圖5(a)為選取擬合階數(shù)J為7到12時諧振腔半徑的擬合殘差，圖5(b)為不同擬合階數(shù)對應(yīng)的殘差標準差，當擬合階數(shù)J=9時，殘差小于半徑測量不確定度且殘差標準差不再隨擬合階數(shù)的增加而大幅變化，可滿足計算要求.因此，在后續(xù)降溫過程線性熱膨脹系數(shù)的計算中，選取擬合階數(shù)Jopt=9.

圖5 不同擬合階數(shù)的擬合結(jié)果.(a) 不同擬合階數(shù)下半徑實驗值與擬合值相對偏差的變化; (b) 不同擬合階數(shù)下擬合殘差標準差的變化Fig.5 Fitting result of different fitting sequences: (a) deviation of the experimental and fitting values of the radius with different fitting order; (b) change of standard deviation of the fitting residual with different fitting order

圖6為降溫過程中測得的5～299 K的Cu-ETP線性熱膨脹系數(shù)結(jié)果.其中，圖6(a)為Run9不同微波模式計算結(jié)果αmode與文獻[7]中高導(dǎo)無氧銅線性熱膨脹系數(shù)數(shù)據(jù)αNIST（其中高導(dǎo)無氧銅熱線性膨脹系數(shù)的關(guān)聯(lián)方程適用范圍為4 K≤T≤300 K，計算不確定度為 1.4×10?7K?1）的對比結(jié)果，可以看出，兩者偏差幾乎全部在文獻計算結(jié)果的標準不確定度內(nèi)，最大偏差僅為 1.6×10?7K?1，且不同微波模式的線性熱膨脹系數(shù)實驗結(jié)果具有良好的一致性.

進一步，基于四次獨立降溫實驗，獲得了線性熱膨脹系數(shù)實驗測量的重復(fù)性結(jié)果.圖6(b)呈現(xiàn)了不同輪實驗線性熱膨脹系數(shù)平均值αRun,avg與多輪實驗結(jié)果最終平均值αavg的偏差在5～299 K溫度范圍內(nèi)的變化趨勢.可以看出，室溫附近不同輪實驗結(jié)果的偏差較大，主要是由于四次獨立實驗的開機降溫條件不同，導(dǎo)致室溫至270 K溫度范圍內(nèi)降溫速率不同；在低于25 K的溫區(qū)內(nèi)，偏差再次變大，主要是因為低溫下諧振腔比熱變小，降溫速度變快，可采集的實驗數(shù)據(jù)點較少導(dǎo)致，這也說明了有必要采用控溫法對該溫區(qū)的線性熱膨脹系數(shù)進行實驗測量.整體而言，5～299 K溫度范圍內(nèi)αRun,avg與αavg的偏差均小于 1.9×10?7K?1，這表明降溫數(shù)據(jù)具有良好的重復(fù)性，結(jié)果可靠.

圖6 Run9降溫過程中線性熱膨脹系數(shù)計算結(jié)果分析.(a) 各微波模式線性熱膨脹系數(shù)計算值和文獻值的偏差; (b) 不同輪實驗線性熱膨脹系數(shù)平均值與最終平均值的偏差; (c) 不同輪線性熱膨脹系數(shù)的最終平均值; (d) 線性熱膨脹系數(shù)的不確定度分析Fig.6 Analysis of the linear thermal expansion during the cooling of Run9: (a) deviation of linear thermal expansion of every microwave mode and the literature value; (b) deviation of the linear thermal expansions of different runs and the final average value; (c) final average value of the linear thermal expansion of different runs; (d) uncertainty analysis of the linear thermal expansion

最后，我們將各次實驗αRun,avg取平均獲得了線性熱膨脹系數(shù)αavg，αavg及其標準不確定度u(αTotal)隨溫度的變化分別如圖6(c)和圖6(d)所示.可以看出重復(fù)性是影響不確定度的最主要來源，其影響比其他各分項大2到3個數(shù)量級，并且在270 K以上和24.5 K以下影響更大，這是由于剛開始降溫時的降溫速率很快，而低溫下由于降溫很緩慢，可采集的有效數(shù)據(jù)點數(shù)比較少；微波模式一致性是重復(fù)性以外的第二大影響因素，剛開始降溫時和24.5 K以下的影響也比較大，因此，開展后續(xù)控溫過程中的線性熱膨脹系數(shù)計算很有必要，降溫過程線性熱膨脹系數(shù)最大標準不確定度為2.2×10?7K?1.

3.2 控溫實驗結(jié)果

3.2.1 諧振腔半徑

受基準測溫裝置中制冷機冷量參數(shù)和加熱器的功率峰值限制，目前低溫區(qū)可控的溫度范圍為4.3～26 K，因此，在控溫過程中主要開展此溫度區(qū)間的熱膨脹系數(shù)測量研究.同降溫過程分析方法，圖7(a)為Run10控溫法各個微波模式測量的微波諧振腔半徑Rmode結(jié)果，圖7(b)為Run10各個微波模式測得的半徑Rmode與Run10平均半徑RRun10,avg之間的偏差.可以看出，不同微波模式測得的半徑Rmode隨溫度的變化趨勢并不完全相同，TE11模式的半徑與RRun10,avg的偏差最小，而TM11模式的半徑與RRun10,avg的偏差最大，在4.3～26 K溫度范圍內(nèi)，四種微波模式半徑與RRun10,avg的偏差量級是相同的，最大變化幅度為0.089 μm，半徑測量結(jié)果具有良好的微波模式一致性.

圖7(c)為多次獨立重復(fù)實驗中各微波模式的平均半徑值RRun,avg與其最終平均值Ravg的偏差結(jié)果（其中，Run9實驗在不拆機的情況下進行了兩輪實驗，分別表示為Run9-1和Run9-2如圖中圖例所示），偏差均在0.0056 μm內(nèi)，小于半徑測量標準不確定度u(Ravg)，具有良好的重復(fù)性.與降溫法半徑測量結(jié)果相比，控溫法半徑測量結(jié)果的重復(fù)性提升約2倍，主要是因為多個微波模式連續(xù)循環(huán)采集存在時間差，降溫時各微波模式溫度不一致引起.

圖7 控溫過程中諧振腔半徑計算結(jié)果分析.(a) Run10控溫過程中各微波模式諧振腔半徑計算結(jié)果; (b) Run10控溫過程單個微波模式半徑和平均半徑的偏差; (c) 各輪控溫過程中半徑各模式平均值和最終平均半徑值的偏差; (d) 控溫過程中半徑的不確定度分析Fig.7 Analysis of the resonator radius during temperature control: (a) resonator radii of different microwave modes in Run10; (b) deviation of single microwave mode and average radius in Run10; (c) deviation of the average radii of different modes in different runs and the final average value; (d)uncertainty analysis of the resonator radius

最后，我們將各次實驗平均半徑RRun,avg的平均值Ravg作為最終的測量半徑值，其不確定度分析u(Ravg)及不確定度分量占比如圖7(d)所示.可以看出，Ravg的合成標準不確定度u(RTotal)約為0.12 μm，這里列出了五個主要的不確定度分量.其中，非理想修正和頻率穩(wěn)定性是兩個主要因素，占比近乎相同；其次，微波模式一致性的影響比上述兩個分量小，但它們對半徑的影響在同一量級；而半徑測量重復(fù)性和頻率擬合的影響很小，與其他三個因素相比可以忽略不計.為了更清楚地了解每個分量的占比，在表2中詳細列出了半徑Ravg在5、15和24.5 K時的標準不確定度結(jié)果.

表2 5、15和24.5 K下準球形諧振腔半徑的不確定度分析Table 2 Uncertainty analysis of the radius at 5, 15, and 24.5 K

3.2.2 線性熱膨脹系數(shù)

我們首先對整個溫區(qū)每個微波模式測得的半徑數(shù)據(jù)作多項式擬合，與降溫法分析思路一樣，根據(jù)擬合殘差、殘差標準以及半徑測量標準不確定度，確定最佳的多項式擬合階數(shù)為Jopt=7，此時，擬合殘差的影響相對測量半徑的不確定度可以忽略不計.

4.3～26 K溫區(qū)Cu-ETP線性熱膨脹系數(shù)結(jié)果如圖8所示.圖8(a)為Run10各微波模式實驗測量值αmode和文獻值αNIST[9]的比較結(jié)果.在圖8(a)所示的整個溫度范圍內(nèi)，各微波模式線性熱膨脹系數(shù)結(jié)果與文獻值的偏差在2.1×10?8K?1范圍內(nèi)，比降溫實驗結(jié)果（圖6(a)）小一個數(shù)量級，表明控溫法測量結(jié)果具有更好的微波模式一致性.

圖8(b)呈現(xiàn)了不同輪實驗線性熱膨脹系數(shù)各微波模式平均值αRun,avg與多輪實驗最終平均值αavg的偏差在4.3～26 K溫度范圍內(nèi)的變化趨勢.可以看出，整個測量范圍內(nèi)αRun,avg與αavg的偏差小于 2.8×10?9K?1，這一結(jié)果比降溫法小一個數(shù)量級，再次表明控溫法測量結(jié)果具有更好的重復(fù)性.

圖8(c)和圖8(d)分別為各輪實驗αRun,avg的平均值αavg及其標準不確定度u(αTotal)的分析結(jié)果，控溫過程中線性熱膨脹系數(shù)的最大標準不確定度為 2.9×10?9K?1.線性熱膨脹系數(shù)測量不確定度的來源主要有兩類：含有非理想修正的諧振頻率的實驗測量和多微波模式頻率測量.在第一類中，主要包括由腔體非理想性導(dǎo)致的趨膚效應(yīng)[37]，由氣體管道和天線探針孔洞引起的波導(dǎo)修正[37]，準球腔特殊設(shè)計形狀的二階形狀修正[38?39]以及基于相同溫度分析的溫度修正.第二類是多輪獨立實驗，多微波模式諧振頻率測量等引入的不確定度.其最大的測量不確定度來源為多模式微波測量結(jié)果的一致性；其次，是多次獨立實驗的重復(fù)性，相比這兩個因素，其他不確定度來源的影響可以忽略不計，表3中列舉了5、15和24.5 K的αavg標準不確定度分析結(jié)果.

表3 5、15和24.5 K下線性熱膨脹系數(shù)不確定度分析Table 3 Uncertainty analysis of linear thermal expansion at 5, 15, and 24.5 K

圖8 控溫過程中線性熱膨脹系數(shù)計算結(jié)果分析.(a) Run10實驗中各微波模式線性熱膨脹系數(shù)計算結(jié)果與文獻值的偏差; (b) 不同輪實驗線性熱膨脹系數(shù)平均值和最終平均值的偏差(粉色背景為平均值的標準不確定度誤差帶); (c) 多輪控溫過程中線性熱膨脹系數(shù)的最終平均值; (d) 控溫過程中線性熱膨脹系數(shù)的不確定度分量占比Fig.8 Analysis of the linear thermal expansion during temperature control: (a) deviation of experiment and reported linear thermal expansion of Run10 for microwave different modes; (b) deviation of average thermal expansion for different runs and the final average value (the pink background is the error bar of the standard uncertainty of the final average value); (c) final average value of linear thermal expansion for different runs; (d) uncertainty analysis of the final linear thermal expansion

3.3 線性熱膨脹系數(shù)關(guān)聯(lián)方程

在3.1和3.2章節(jié)中，我們基于多輪、多微波模式實驗測量獲得了定壓氣體折射率基準測溫系統(tǒng)中Cu-ETP線性熱膨脹系數(shù)，為便于應(yīng)用，我們將所測得的線性熱膨脹系數(shù)平均值αavg及其標準不確定度u(αavg)關(guān)聯(lián)為溫度的多項式函數(shù)，最佳的多項式階數(shù)值Jopt的確定與上述章節(jié)中半徑擬合時相同，這里不在贅述.為便于公式推廣于適用于一般情況，本章節(jié)中下標αavg表示為α.

降溫法5～299 K線性熱膨脹系數(shù)α及其標準不確定度u(α)與溫度的的擬合函數(shù)α(T)和u(α(T))分別為：

其中，公式(9)擬合殘差的標準不確定度為3.3×10?8K?1，小于實驗標準不確定度u(α)，公式 (9)擬合殘差影響可以忽略不計；公式(10)計算的殘差僅為實驗標準不確定度u(α)的2.2%，具有很好的復(fù)現(xiàn)性.

控溫法4.3～26 K線性熱膨脹系數(shù)α及其標準不確定度u(α)的擬合函數(shù)α(T)和u(α(T))分別為：

公式(11)的擬合殘差的標準不確定度為4.1×10?10K?1，實驗標準不確定度與溫度的關(guān)系如公式(12)所示，由于4.3～26 K控溫法測量結(jié)果更優(yōu)，實際使用時在4.3～26 K溫度區(qū)間內(nèi)建議采用公式(11)進行計算，26～299 K溫度區(qū)間內(nèi)建議采用公式(9)進行計算.

上述方程不僅可以用于等溫壓縮系數(shù)和熱力學(xué)溫度的計算，還可以用于真空實驗數(shù)據(jù)預(yù)處理，不同溫度下微波諧振頻率可由公式(13)相互轉(zhuǎn)換.在真空實驗中，如果在計劃之外缺少了某個實驗狀態(tài)的微波諧振頻率，我們就可以利用公式(13)結(jié)合線性熱膨脹系數(shù)關(guān)聯(lián)方程α(T)計算獲得.

式中，f(T1,0)和f(T2,0)分別為真空狀態(tài)下溫度為T1和T2時所測得的微波諧振頻率.

4 結(jié)論

基于多模式微波諧振法，本文原位測量了定壓氣體折射率基準測溫系統(tǒng)中Cu-ETP線性熱膨脹系數(shù)，采用降溫法和控溫法兩種實驗測量方法，獲得了4.3～299 K范圍內(nèi)一組完整、高精度的Cu-ETP熱膨脹系數(shù)數(shù)據(jù).

降溫法（5～299 K）線性熱膨脹系數(shù)測量標準不確定度為 2.2×10?7K?1，其中，重復(fù)性是其測量不確定度的主要來源，室溫區(qū)不確定度較大主要是由于重復(fù)實驗的開機條件不同引起.控溫法（4.3～26 K）線性熱膨脹系數(shù)的測量標準不確定度為2.9×10?9K?1，其中，微波模式一致性和重復(fù)性是其測量不確定度的兩大主要來源.這兩種測量方法都采集了多個微波模式數(shù)據(jù)，計算結(jié)果也反映了良好的微波模式一致性.控溫穩(wěn)定性高、微波測量噪聲低，控溫法獲得的線性熱膨脹系數(shù)結(jié)果更為精確，與降溫法相比，不確定度約小兩個數(shù)量級，控溫法更適用于高精度線性熱膨脹系數(shù)的實驗測量.

最終，發(fā)展了定壓氣體折射率基準測溫系統(tǒng)中Cu-ETP材料的線性熱膨脹系數(shù)方程，實現(xiàn)了線性熱膨脹系數(shù)與溫度的高精度關(guān)聯(lián)，可用于低溫計量領(lǐng)域等溫壓縮系數(shù)等物性測量計算、微波諧振頻率測量的準確性檢驗以及真空條件下不同溫度微波諧振頻率的修正計算.