姜立春，卞浩然

(1.華南理工大學(xué) 土木與交通學(xué)院，廣東 廣州，510640；2.華南理工大學(xué) 安全科學(xué)與工程研究所，廣東廣州，510640)

房柱法是地下金屬非金屬礦床開采常用的采礦方法，通過預(yù)留大量點(diǎn)狀礦柱維系采空區(qū)穩(wěn)定[1-3]。由于圍巖、礦體空間結(jié)構(gòu)復(fù)雜，超挖欠采現(xiàn)象無法避免，導(dǎo)致實(shí)際礦柱空間形態(tài)和分布與初步設(shè)計(jì)存在較大差異；實(shí)際頂板形狀不規(guī)整，容易產(chǎn)生高應(yīng)力集中區(qū)，極易發(fā)生采場大面積垮塌事故。隨著開采深度增加，重力荷載不斷加大，頂板失穩(wěn)風(fēng)險(xiǎn)不斷提高[4-7]。厚度是影響頂板穩(wěn)定性的重要因素，頂板厚度過大，將造成資源大量浪費(fèi)，過小則起不到承載上覆圍巖荷載的作用。因此，研究不均勻分布點(diǎn)狀礦柱承載條件下頂板最小安全厚度，對(duì)房柱法地下礦山安全生產(chǎn)具有十分重要的意義。

目前，點(diǎn)狀礦柱群支撐采空區(qū)穩(wěn)定性的研究主要集中在礦柱強(qiáng)度方面，對(duì)同一支撐系統(tǒng)下頂板穩(wěn)定性的研究較少[8-12]。馬海濤等[8]以不規(guī)則點(diǎn)柱支撐頂板的復(fù)雜空區(qū)結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，確定了潛在的采空區(qū)塌陷范圍。張雯等[9]采用數(shù)值模擬方法，對(duì)不同充填高度下方形、矩形、圓形及圓臺(tái)形4種形狀的點(diǎn)柱的應(yīng)力分布情況及支護(hù)效果進(jìn)行了分析。IDRIS等[10]提出了一種基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的煤柱穩(wěn)定性隨機(jī)評(píng)價(jià)方法，根據(jù)礦柱所能承受的最大應(yīng)變對(duì)礦柱的穩(wěn)定性進(jìn)行了評(píng)估。POULSEN[11]提出了一種適用任意平面形狀礦柱計(jì)算礦柱荷載的方法。LI 等[12]采用三維數(shù)值模擬方法，分析了不同采場結(jié)構(gòu)參數(shù)下的圍巖穩(wěn)定性，結(jié)合巖體強(qiáng)度確定了礦柱尺寸和間距。綜上所述，相關(guān)研究忽視了點(diǎn)狀礦柱支撐條件下頂板穩(wěn)定性。頂板作為直接承載上覆圍巖荷載的結(jié)構(gòu)體，其重要性不亞于礦柱[13-14]。

目前，國內(nèi)外學(xué)者通常假設(shè)礦房長度遠(yuǎn)超過跨度，將頂板簡化為平面問題，研究采空區(qū)頂板的穩(wěn)定性[15-19]。姜立春等[16]將單元空區(qū)頂板視為平面應(yīng)變梁，分析了頂板可能出現(xiàn)的變形破壞類型及失穩(wěn)特征。陳虎等[17]基于梁理論和塊體理論，研究了頂板厚度對(duì)層狀頂板的三類破壞形式變化規(guī)律的影響。JIANG 等[18]利用無鉸拱理論，給出了同時(shí)考慮剪切破壞和壓縮破壞的綜合安全系數(shù)表達(dá)式。YIOUTA-MITRA 等[19]基于壓縮拱形成懸鏈線的觀點(diǎn)，研究了多節(jié)理硬巖頂板在重力荷載作用下的受力特征。綜上所述，該類將采空區(qū)不同區(qū)域的頂板簡單視為同一類型進(jìn)行研究，忽視了不均勻分布點(diǎn)狀礦柱的承載條件，就寬大礦體而言，由于點(diǎn)狀礦柱的行列間距接近，簡化為平面問題難以充分表征其差異化特性。

為此，本文在某省32 家地下石灰石礦山調(diào)研基礎(chǔ)上，以某礦山采空區(qū)為例，按照不規(guī)則分布點(diǎn)柱群不同支撐條件，將頂板分為3類，研究局部頂板承載機(jī)制，推導(dǎo)頂板承載應(yīng)力方程；考慮節(jié)理的影響，給出最小安全厚度與頂板形狀及節(jié)理參數(shù)之間的計(jì)算式，定量研究不同頂板跨度比、頂板暴露面積及巖體節(jié)理密度、巖體節(jié)理面直徑等條件下的點(diǎn)狀礦柱極限支撐頂板最小安全厚度，利用數(shù)值分析結(jié)果及工程監(jiān)測數(shù)據(jù)驗(yàn)證分析研究結(jié)果的科學(xué)性。

1 頂板力學(xué)模型

1.1 基本假設(shè)

受成本和環(huán)保條件的制約，石灰石礦地下開采采用房柱空?qǐng)龇ㄩ_采。為了避開此類礦體中大小不一溶洞的影響，開采過程中不斷調(diào)整礦柱形狀和位置，導(dǎo)致回采后點(diǎn)柱形態(tài)不規(guī)則及分布不均勻，致使空區(qū)結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜。廣東某地下石灰石礦山的采空區(qū)+175 m 中段空區(qū)平面面積為41 280.53 m2，共有37個(gè)獨(dú)立礦柱，礦柱大致為矩形，行列間距不均勻，其平面圖如圖1所示。

圖1 采空區(qū)平面圖Fig.1 Plan of goaf

為了簡化應(yīng)力計(jì)算，對(duì)空區(qū)點(diǎn)柱群進(jìn)行規(guī)范假設(shè)：

1) 同一采場點(diǎn)狀礦柱視為大小相同的矩形體。

2) 同行或同列礦柱的間距一致，不同行列間距不同。

3) 上部圍巖荷載為唯一荷載，不考慮其他荷載作用。

1.2 按位置分類

根據(jù)上述規(guī)范假設(shè)，將研究區(qū)域進(jìn)行簡化，記M、N為礦柱沿行列分布方向長度，2a和2b分別為礦柱分布列間距與行間距，不同行列其間距不同，可記為a1、b1、a2、b2，分別代入計(jì)算式進(jìn)行計(jì)算。由于礦柱呈不規(guī)整分布，不能簡單將單一礦柱及其上頂板視為單元體，因此按礦柱位置不同，可將空區(qū)頂板分為3類，其簡化模型圖如圖3所示。

圖2 簡化模型圖Fig.2 simplified model diagram

圖3 不同空區(qū)頂板簡化模型Fig.3 Simplified model of different goaf roof

1) 一類為行間頂板。位于同行相鄰礦柱之間，由相鄰?fù)械V柱支撐，其另外兩側(cè)視為無支撐作用，如圖2中區(qū)域(1)所示。

2) 二類為列間頂板。位于同列相鄰礦柱之間，由相鄰?fù)械V柱支撐，其另外兩側(cè)視為無支撐作用，如圖2中區(qū)域(2)所示。

3) 三類為行列間頂板。位于行間頂板和列間頂板中間，由相鄰四個(gè)礦柱在頂板角點(diǎn)支撐，如圖2中區(qū)域(3)所示。

1.3 應(yīng)力求解

1.3.1 行間頂板

行間頂板由左右兩側(cè)點(diǎn)狀礦柱固支，另兩側(cè)與行列間頂板相連。以頂板中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系。由于沿y軸頂板受力較小。為了簡化計(jì)算，假設(shè)撓度沿y軸沒有變化，則邊界條件的數(shù)學(xué)表達(dá)為：

假設(shè)頂板在覆巖重力載荷q的作用下發(fā)生彎曲，平均撓度為ω。由薄板理論，彈性矩形板的應(yīng)變能U表達(dá)式為

式中：D為頂板抗彎剛度，D=Eh3/[12(1-μ2)]；E為頂板巖體彈性模量；μ為巖體泊松比。

由功能轉(zhuǎn)化關(guān)系，矩形頂板外力勢能表示為

聯(lián)立式(2)和式(3)，得總勢能H表達(dá)式：

類比四邊固支頂板[20-21]，根據(jù)模型邊界條件和變形后曲面可能的形狀，在誤差允許的情況下，撓度的近似表達(dá)式為

式中：A為行間頂板撓度方程的待定系數(shù)。

將式(5)代入式(4)，由Ritz法可知?H/?A=0，可求得A，代入得到撓度表達(dá)式為

由矩形板理論及彈性力學(xué)理論，得到頂板彎矩表達(dá)式：

根據(jù)彈性力學(xué)理論的內(nèi)力和內(nèi)矩之間的關(guān)系，可得頂板內(nèi)應(yīng)力表達(dá)式為

由式(8)可知，頂板應(yīng)力最大值點(diǎn)位于y軸處，即距兩支撐礦柱最遠(yuǎn)位置，應(yīng)力最大值為-12qa2/(π2Dh2)。

1.3.2 列間頂板

列間頂板由同列兩側(cè)礦柱固支，左右兩側(cè)為行列間頂板。以頂板中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系。為簡化計(jì)算，假設(shè)撓度沿x軸應(yīng)沒有變化，則邊界條件的數(shù)學(xué)表達(dá)為

類比行間頂板，構(gòu)造滿足邊界條件的試函數(shù)：

式中：B為列間頂板撓度方程的待定系數(shù)。

利用1.3.1 的方法，求解得到列間頂板的撓度方程：

則列間頂板內(nèi)應(yīng)力表達(dá)式為：

由式(12)可知，頂板應(yīng)力最大值點(diǎn)在x軸上，距兩支撐礦柱最遠(yuǎn)位置，應(yīng)力最大值為-12qb2/(π2Dh2)。

1.3.3 行列間頂板

行列間頂板由相鄰四個(gè)點(diǎn)狀礦柱于角點(diǎn)固支，邊界分別與行間頂板、列間頂板相連。為簡化計(jì)算，將角點(diǎn)簡化為固支邊界，頂板厚度為h，頂板跨度為2a和2b，坐標(biāo)原點(diǎn)位于頂板中心，建立坐標(biāo)系。邊界條件表達(dá)式為

考慮到荷載條件一致，獲得的總勢能H表達(dá)式同式(2)。

根據(jù)模型邊界條件和變形后曲面可能的形狀，在誤差允許的情況下，撓度的近似表達(dá)式為

式中：C為行列間頂板撓度方程的待定系數(shù)。

將式(14)代入式(4)，由Ritz 法可知?H/?C=0，可求得C，代入得到撓度表達(dá)式：

由矩形板理論及彈性力學(xué)理論，可得頂板彎矩表達(dá)式：

式中：M3x和M3y分別為矩形板x和y方向彎矩。

根據(jù)彈性力學(xué)理論的內(nèi)力和內(nèi)矩之間的關(guān)系，可得頂板內(nèi)應(yīng)力表達(dá)式為

可見，頂板應(yīng)力最大值點(diǎn)位于原點(diǎn)處，即頂板中心位置，設(shè)a為長邊，應(yīng)力最大值為-24qa2b2·(a2+μb2)/[Dπ2h2(a4+b4)]。

1.3.4 最大拉應(yīng)力

由于頂板內(nèi)部巖體強(qiáng)度一致，不均勻分布點(diǎn)狀礦柱承載條件下頂板穩(wěn)定的必要條件是，頂板各位置應(yīng)力均未達(dá)到巖體破壞強(qiáng)度，即頂板應(yīng)力最大值不大于巖體破壞強(qiáng)度。

根據(jù)上述計(jì)算，考慮a，b的良好的互換性，不妨設(shè)a≥b，則頂板內(nèi)部應(yīng)力最大值σmax可能出現(xiàn)2個(gè)位置，當(dāng)行列間頂板中心或當(dāng)頂板某一方向跨度較大時(shí)，出現(xiàn)在該方向頂板中線位置，其應(yīng)力最大值為

2 最小安全厚度

工程界一般不直接將頂板的應(yīng)力最大值作為判斷頂板穩(wěn)定性的指標(biāo)，主要通過比較預(yù)留頂板厚度與最小安全厚度判斷頂板穩(wěn)定性[22]。因此，基于頂板安全系數(shù)法，通過計(jì)算頂板最小安全厚度hs，分析頂板最小安全厚度的影響因素。

2.1 失穩(wěn)判據(jù)

由巖體力學(xué)理論可知巖體抗拉強(qiáng)度通常遠(yuǎn)小于抗壓強(qiáng)度，因此，選擇極限抗拉強(qiáng)度作為巖體破壞標(biāo)準(zhǔn)[σ]。當(dāng)頂板內(nèi)部最大應(yīng)力σmax＞[σ]時(shí)，點(diǎn)狀礦柱支撐頂板處于非穩(wěn)定狀態(tài)；當(dāng)σmax＜[σ]時(shí)，點(diǎn)狀礦柱支撐頂板處于穩(wěn)定的狀態(tài)；當(dāng)σmax=[σ]時(shí)，點(diǎn)狀礦柱支撐頂板處于臨界狀態(tài)。

2.2 計(jì)算式

頂板最小安全厚度hs通常取決于頂板極限厚度hmin，極限厚度hmin為采空區(qū)頂板臨界失穩(wěn)狀態(tài)判斷依據(jù)：若頂板厚度小于hmin，則采空區(qū)將發(fā)生失穩(wěn)垮塌[20]?？紤]到參數(shù)設(shè)置值與實(shí)際工程值之間的偏差、巖體質(zhì)量等不確定因素，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，往往預(yù)留一定的安全系數(shù)。

節(jié)理是巖體的自然屬性，節(jié)理損傷將導(dǎo)致完整巖體的物理力學(xué)性能劣化。對(duì)于某一優(yōu)勢節(jié)理主控宏觀力學(xué)性質(zhì)的石灰?guī)r體，可引入損傷系數(shù)D′來反映巖體損傷系數(shù)與節(jié)理參數(shù)的關(guān)系[23]，則考慮力學(xué)性質(zhì)劣化的巖體極限抗拉強(qiáng)度表達(dá)式為(1-D′)[σ]。巖體損傷系數(shù)越大，表現(xiàn)為極限抗拉強(qiáng)度不斷減小。

式中：λ為節(jié)理密度，d為節(jié)理面直徑。

考慮力學(xué)性質(zhì)劣化的巖體極限抗拉強(qiáng)度，令σmax=(1-D′)[σ]，跨度比m=a/b，暴露面積S=2a×2b，考慮到參數(shù)設(shè)置值與實(shí)際工程值之間的偏差、巖體質(zhì)量等不確定因素，預(yù)留安全系數(shù)k，則頂板最小安全厚度表達(dá)式為

式中：k為安全系數(shù)，地下采礦工程一般取k＞1.25。

由式(20)可知，對(duì)某一點(diǎn)狀礦柱支撐頂板而言，E、q、μ、[σ]為定值。因此，影響點(diǎn)狀礦柱支撐頂板厚度的主要因素為頂板跨度比m、面積S、節(jié)理密度λ、節(jié)理面直徑d。在實(shí)際地下工程中，頂板的跨度比和面積屬于可控變量，節(jié)理密度和節(jié)理面直徑屬于非可控變量。

3 影響因素分析

通過分析頂板最小安全厚度與跨度比、面積、節(jié)理密度和節(jié)理面直徑的定量關(guān)系，可以為點(diǎn)柱支撐頂板穩(wěn)定性分析提供理論依據(jù)。下面以某地下石灰石礦+175 m 水平中段為例進(jìn)行分析，該中段優(yōu)勢節(jié)理為閉合節(jié)理，產(chǎn)狀265°∠75°，最大密度為11.76%(圖4)。

圖4 研究區(qū)節(jié)理Fig.4 Joint crack in study area

根據(jù)礦山地質(zhì)資料和巖體力學(xué)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，巖體的物理力學(xué)參數(shù)如表1所示。根據(jù)礦山經(jīng)驗(yàn)，這里安全系數(shù)k取1.8[22]。礦體埋深約為100.0 m，圍巖自重載荷q=2.50 MPa。

表1 巖體物理力學(xué)參數(shù)Table 1 Physical and mechanical parameters of rock

由式(20)計(jì)算采空區(qū)頂板的最小安全厚度，分析頂板最小安全厚度與各因素的定量關(guān)系。

3.1 巖體節(jié)理影響因素

3.1.1 節(jié)理密度

經(jīng)試算，設(shè)定頂板結(jié)構(gòu)參數(shù)跨度比(m=1)和暴露面積(S=225 m2)為定值，取節(jié)理密度區(qū)間為0～16進(jìn)行分析，取節(jié)理面直徑分別為1.5、1.8、2.0、2.3 m的4組巖體進(jìn)行計(jì)算。由式(20)計(jì)算可得頂板最小安全厚度，結(jié)果如圖5所示。

圖5 最小安全厚度-節(jié)理密度關(guān)系Fig.5 Relationship between minimum safe thickness and joint density

由圖5可以發(fā)現(xiàn)，不同的節(jié)理面直徑對(duì)應(yīng)的最小安全厚度-節(jié)理密度曲線有較大區(qū)別。節(jié)理面直徑越大，最小安全厚度-節(jié)理密度曲線的增長速率越大。隨著節(jié)理密度的增加，最小安全厚度不斷增加，變化率逐漸增大，當(dāng)達(dá)到某一極限值時(shí)，巖石失去承載能力，最小安全厚度變?yōu)闊o限大。

以節(jié)理面直徑d=1.8 m曲線為例進(jìn)行分析，當(dāng)節(jié)理密度在0～3.0范圍內(nèi)變化時(shí)，最小安全厚度變化較小，節(jié)理密度超過3.0后，最小安全厚度變化率明顯增大，當(dāng)節(jié)理密度增大到12.0，最小安全厚度可視為無窮大。

3.1.2 節(jié)理面直徑

經(jīng)試算，設(shè)定頂板結(jié)構(gòu)參數(shù)跨度比(m=1)和暴露面積(S=225 m2)為定值，取節(jié)理面直徑區(qū)間為0～8.0 m進(jìn)行分析，取節(jié)理密度分別為0.5、1.0、1.5、2.0的4組巖體進(jìn)行計(jì)算。由式(20)計(jì)算可得頂板最小安全厚度，如圖6所示。

圖6 最小安全厚度-節(jié)理面直徑關(guān)系Fig.6 Relationship between the minimum safety thickness and joint surface diameter

由圖6 可以發(fā)現(xiàn)，節(jié)理密度對(duì)最小安全厚度-節(jié)理面直徑曲線有重要影響，節(jié)理密度越大，最小安全厚度-節(jié)理面直徑曲線的曲率增長越快。隨著節(jié)理面直徑的增加、最小安全厚度不斷增加，同時(shí)變化率逐漸增大，當(dāng)達(dá)到某一極限時(shí)，可認(rèn)為巖體失去承載能力，最小安全厚度為無限大。

以節(jié)理密度λ=1.0曲線為例進(jìn)行分析，當(dāng)節(jié)理面直徑在0～2.5 m范圍內(nèi)時(shí)，最小安全厚度變化較小，節(jié)理面直徑超過2.5 m時(shí)，最小安全厚度變化率明顯增大；當(dāng)節(jié)理面直徑增大到5.5 m，最小安全厚度為無窮大。

3.2 采場結(jié)構(gòu)影響因素

3.2.1 跨度比

經(jīng)試算，考慮頂板巖體節(jié)理特征一定，即節(jié)理密度(λ=0.1)和節(jié)理面厚度(d=0.5)不變的條件下，取跨度比1～1.8 進(jìn)行分析，由式(20)計(jì)算可得頂板最小安全厚度，結(jié)果如圖7所示。

圖7 最小安全厚度-跨度比關(guān)系Fig.7 Relationship between the minimum safe thickness and span ratio

由圖7 可以發(fā)現(xiàn)，曲線最小值點(diǎn)在m=1.0 位置，泊松比越大，最小安全厚度越大；泊松比對(duì)最小安全厚度-跨度比曲線有重要影響，隨著泊松比增大，出現(xiàn)第二極小值點(diǎn)，同時(shí)第二極小值點(diǎn)最小安全厚度不斷減小。

以泊松比μ=0.2曲線為例，最小安全厚度在跨度比為1.0處存在一極小值，當(dāng)采空區(qū)頂板暴露面積一定時(shí)，隨著頂板跨度比增大，頂板最小安全厚度逐漸減小，且最小安全厚度減小速率隨跨度比增大而降低。這表明跨度比對(duì)最小安全厚度影響較大，二者呈正相關(guān)關(guān)系。

曲線在m=1.3左右出現(xiàn)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，這是由于當(dāng)跨度比較大時(shí)，行列間頂板由于短邊跨度較小，其穩(wěn)定性接近長邊對(duì)應(yīng)的行間頂板?？紤]a，b的等效性，跨度比為1.0(即正方形分布)較適宜開采設(shè)計(jì)。

3.2.2 暴露面積

經(jīng)試算，考慮頂板巖體節(jié)理特征一定，即節(jié)理密度(λ=0.1)和節(jié)理面厚度(d=0.5)不變的條件下，取暴露面積區(qū)間為0～500 m2進(jìn)行分析，由式(20)計(jì)算可得頂板最小安全厚度，結(jié)果如圖8所示。

由圖8 可以發(fā)現(xiàn)，跨度比對(duì)最小安全厚度-暴露面積曲線影響較小。在暴露面積相同的條件下，跨度比越大，最小安全厚度越大。以m=1.0曲線為例，當(dāng)采空區(qū)頂板跨度比一定時(shí)，隨著暴露面積增大，頂板最小安全厚度逐漸增大，且頂板最小安全厚度增長速率隨著暴露面積的增大而減小。這表明增大采空區(qū)暴露面積可取得更理想的最小安全厚度，提高礦體回采率。當(dāng)采空區(qū)暴露面積過大時(shí)，采空區(qū)發(fā)生冒落的風(fēng)險(xiǎn)也會(huì)增大。

圖8 最小安全厚度-暴露面積的關(guān)系Fig.8 Relationship between the minimum safe thickness and exposure area

綜上分析可知，為了確保點(diǎn)狀礦柱支撐頂板穩(wěn)定，預(yù)留頂板厚度須大于頂板最小安全厚度。在預(yù)留頂板厚度不變的條件下，可采取跨度比取接近1、減少暴露面積等措施，提高點(diǎn)狀礦柱支撐頂板的穩(wěn)定性。

4 模擬計(jì)算

為驗(yàn)證上述理論分析結(jié)果的可靠性，構(gòu)建內(nèi)含9個(gè)點(diǎn)狀礦柱的采空區(qū)數(shù)值模型如圖9所示，利用ABAQUS 數(shù)值分析軟件，模擬靜荷載作用下點(diǎn)柱群對(duì)預(yù)留頂板穩(wěn)定性的影響，監(jiān)測頂板內(nèi)部應(yīng)力分布規(guī)律。

圖9 含9個(gè)點(diǎn)狀礦柱的采空區(qū)數(shù)值模型圖Fig.9 Numerical model of goaf with nine point pillars

模型中點(diǎn)狀礦柱形狀為邊長15 m 的正方形，礦柱間距15 m，采空區(qū)高度取平均值15 m，預(yù)留頂板厚度10 m。巖體破壞服從Mohr-Coulomb準(zhǔn)則。

空區(qū)上部覆蓋層厚度約100 m，計(jì)算表明頂板上部重力載荷為2.7 MPa，直接施加在頂板上部接觸面，模型底部及側(cè)面邊界采用固定邊界。

圖10 所示為點(diǎn)柱群支撐頂板在上覆圍巖荷載下的位移云圖。由圖10 可以發(fā)現(xiàn)，行間頂板與列間頂板變形關(guān)于頂板中線對(duì)稱，同時(shí)頂板下沉最大位置位于頂板中線，在中線上沒有明顯變化，這與理論分析獲得的結(jié)果一致。行列間頂板變形最大，且變形最大值點(diǎn)位于頂板中心，變形關(guān)于各支撐礦柱有明顯的對(duì)稱現(xiàn)象，同時(shí)頂板中心位置下沉量最大。上述數(shù)值模擬結(jié)果與理論分析結(jié)果基本相符，驗(yàn)證了理論計(jì)算結(jié)果的合理性。

圖10 點(diǎn)柱群支撐頂板在上覆圍巖荷載下的位移云圖Fig.10 Displacement nephogram of roof supported by point column group under load of overlying surrounding rock

5 工程實(shí)例

5.1 實(shí)例1

為了對(duì)比分析，取本文選取的地下石灰石礦山不同中段采空區(qū)進(jìn)行分析(圖1)。該礦山+7 m水平中段空區(qū)內(nèi)部點(diǎn)狀礦柱行列間距均為15 m。頂板巖體為石灰?guī)r，巖體極限抗拉強(qiáng)度為6.4 MPa，彈性模量為6.5 GPa，泊松比為0.2，節(jié)理密度為0.28，節(jié)理面直徑為1.3 m。

經(jīng)計(jì)算，節(jié)理損傷系數(shù)為0.31，礦體上部覆蓋層厚度約100 m，計(jì)算表明頂板上部重力載荷為2.5 MPa，取安全系數(shù)1.8。根據(jù)式(20)，得到最小安全厚度為4.4 m。

實(shí)際開采預(yù)留頂板厚度不均，厚度最小處約為5 m。調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在4 a 內(nèi)，該采空區(qū)未發(fā)生頂板冒落垮塌現(xiàn)象，安全性良好(圖11)。由圖11 可知，本文理論計(jì)算結(jié)果符合現(xiàn)場實(shí)際工況，驗(yàn)證了理論計(jì)算結(jié)果的科學(xué)性。

圖11 實(shí)例1采空區(qū)實(shí)景圖Fig.11 Stable goaf in Case 1

5.2 實(shí)例2

取該礦山-21 m水平中段大面積空區(qū)進(jìn)行分析，該空區(qū)內(nèi)部點(diǎn)狀礦柱行間距30 m，列間距25 m。頂板石灰?guī)r的極限抗拉強(qiáng)度為6.0 MPa，彈性模量為6.3 GPa，泊松比為0.25，節(jié)理密度為0.24，節(jié)理面直徑為1.0 m。

經(jīng)計(jì)算該區(qū)域節(jié)理損傷系數(shù)為0.17，礦體上部覆蓋層厚度約150 m，計(jì)算表明頂板上部重力載荷為3.5 MPa，取安全系數(shù)1.8。根據(jù)式(20)，得到最小安全厚度為5.9 m。

經(jīng)現(xiàn)場調(diào)查，該區(qū)域存在嚴(yán)重超采問題，頂板厚度最小處為5.5 m，小于計(jì)算最小安全厚度。在6 a 時(shí)間內(nèi)，該采空區(qū)頂板中部有巖石掉落現(xiàn)象。為保證頂板穩(wěn)定，礦山在空區(qū)中心位置采用磚石砌筑方型人工礦柱(圖12)。采取人工支護(hù)措施后，頂板不再發(fā)生冒落現(xiàn)象，采空區(qū)安全性得以維持。

圖12 實(shí)例2采空區(qū)實(shí)景圖Fig.12 Goaf in Case 2

綜上所述，實(shí)際工程與本文理論計(jì)算結(jié)果相符，驗(yàn)證了理論計(jì)算結(jié)果的科學(xué)性。

6 討論

1) 由于實(shí)際工程中點(diǎn)狀礦柱多為不規(guī)整的多邊體，其邊界很難用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)式表達(dá)，將其簡化為形狀規(guī)整的矩形，將造成計(jì)算結(jié)果有一定誤差。

2) 在計(jì)算不均勻分布點(diǎn)狀礦柱承載條件下頂板最小安全厚度過程中，將同行列點(diǎn)狀礦柱視為等間距分布，忽略了實(shí)際工程中同行列礦柱間距不完全一致的情況，在后續(xù)研究中，可考慮通過比例坐標(biāo)變換進(jìn)行研究。

3) 在上述計(jì)算過程中，僅考慮了上部圍巖荷載，忽略了其他荷載作用的影響，在后續(xù)研究過程中，應(yīng)綜合考慮復(fù)雜荷載作用的影響。

4) 本文著力解決不均勻分布點(diǎn)狀礦柱承載條件下石灰?guī)r礦頂板最小安全厚度的實(shí)際問題，考慮多因素作用對(duì)主控巖性的某一優(yōu)勢傾向節(jié)理巖體損傷的影響，利用單一損傷因子表示層狀優(yōu)勢節(jié)理損傷后力學(xué)性征，符合實(shí)際情況。對(duì)于其他復(fù)雜節(jié)理巖體，可根據(jù)賦存特點(diǎn)，選擇損傷因子矩陣的方式進(jìn)行處理。

7 結(jié)論

1) 在現(xiàn)場調(diào)研的基礎(chǔ)上，根據(jù)頂板不同的支撐條件，分類構(gòu)建不規(guī)整點(diǎn)柱群承載頂板的力學(xué)模型，利用板理論推導(dǎo)出其任一點(diǎn)應(yīng)力數(shù)學(xué)表達(dá)式；結(jié)合失穩(wěn)判據(jù)，給出頂板最小安全厚度的數(shù)學(xué)表達(dá)式，定量研究頂板最小安全厚度與頂板的跨度比、暴露面積、節(jié)理密度和節(jié)理面直徑等因素之間的關(guān)系。

2) 當(dāng)頂板結(jié)構(gòu)參數(shù)一定時(shí)，隨著節(jié)理密度增加，節(jié)理面直徑增大，頂板最小安全厚度不斷增加，且增加速率逐漸加快。當(dāng)頂板暴露面積一定時(shí)，頂板最小安全厚度隨著頂板跨度比先增大后減小，跨度比為1 是最佳方案。當(dāng)跨度比一定時(shí)，頂板最小安全厚度隨暴露面積的增加而增加，且增加速率逐漸減緩。

3) 采用有限元軟件計(jì)算表明，理論計(jì)算結(jié)果能夠充分體現(xiàn)數(shù)值分析結(jié)果特征，在一定程度上驗(yàn)證了理論計(jì)算結(jié)果的合理性。某地下石灰石礦實(shí)例1和實(shí)例2驗(yàn)證表明，該礦山+7 m水平中段空區(qū)頂板(5.0～6.0 m)，超過計(jì)算安全厚度，采空區(qū)基本穩(wěn)定；+21 m 水平中段空區(qū)頂板(5.0～6.0 m)，部分區(qū)域頂板未達(dá)到安全厚度，采空區(qū)出現(xiàn)冒落現(xiàn)象?，F(xiàn)場情況驗(yàn)證了理論計(jì)算結(jié)果的合理性。