敬海泉 ，羅楷明，何旭輝

(1.中南大學 土木工程學院，湖南 長沙，410075；2.中南大學 高速鐵路建造技術國家工程重點實驗室，湖南 長沙，410075)

自20 世紀初以來，隨著計算機技術和有限元理論的快速發(fā)展，結構拓撲優(yōu)化技術持續(xù)進步，開始在工程設計領域受到重點關注和青睞[1-2]。目前，拓撲優(yōu)化方法已經在機械工程[3-5]、航空航天工程[6]等領域得到了廣泛研究與應用，在橋梁工程領域也有廣泛的應用前景[7]。然而，與機械、航空航天等領域相比，橋梁工程結構承受的荷載更加多樣，除了靜荷載外，還主要受到包括移動荷載在內的動載作用。截至2020 年底，我國動車組保有量達3 900 列[8]。列車運行安全性是鐵路運輸業(yè)非常重要的指標[9]，而橋梁作為主要交通樞紐在設計中需要考慮到移動荷載的效應。既有拓撲優(yōu)化方法以靜荷載效應為主，無法在橋梁工程領域直接應用。

目前，一些學者對考慮結構動態(tài)響應的拓撲優(yōu)化方法進行了研究，總體可以分為頻域動態(tài)響應拓撲優(yōu)化方法和時域動態(tài)響應拓撲優(yōu)化方法兩類。頻域動態(tài)響應拓撲優(yōu)化的目的是降低結構的振動和噪聲[10]。MA等[11]提出用均勻化方法解決結構在動荷載作用下的應變能最小化問題；XIE等[12]研究了針對結構振動頻率的拓撲優(yōu)化問題；JOG[10]對結構在周期荷載作用下的整體和局部結構拓撲優(yōu)化方法進行了研究。頻域動態(tài)響應拓撲優(yōu)化方法的優(yōu)點是計算成本低且容易實現(xiàn)等，但并不能完全反映結構的動態(tài)特性[13]。時域動態(tài)響應拓撲優(yōu)化最初以降低結構質量和結構剛度最大化為目標。MIN 等[14]提出了一種求解線性瞬態(tài)問題的顯式直接積分形式，但針對復雜結構或荷載持續(xù)時間較長的工況，這種方法計算量太大[13]。CHOI等[15-16]提出采用等效靜荷載法簡化動荷載作用下的結構優(yōu)化問題。等效靜荷載法假定動荷載作用下任意時刻的位移場與同時刻的等效靜荷載產生的位移場完全相同，基于等效的靜荷載對結構進行優(yōu)化，從而將原動力響應優(yōu)化問題轉化為線性靜態(tài)響應優(yōu)化問題。PARK等[17]證明了等效靜荷載法在結構優(yōu)化中的有效性。之后，許多學者對基于等效靜荷載法的結構動力響應拓撲優(yōu)化方法進行了研究。如ALAVI等[2]基于等效靜荷載法提出以最大應變能作為目標函數的動力響應拓撲優(yōu)化方法；

PARK等[13]基于等效靜荷載法提出時域動力響應拓撲優(yōu)化方法；LI 等[18]基于等效靜載法提出了考慮結構動力可靠性的拓撲優(yōu)化方法；MA等[19]進一步解決了時域動力響應多目標拓撲優(yōu)化問題；BAI等[20]進一步改進了等效荷載法，使之能夠適用于沖擊荷載的結構優(yōu)化；REN 等[21]克服了等效荷載法在非線性動力分析中的應用局限性，將其用于沖擊荷載下的薄墻結構優(yōu)化研究?？梢?，目前研究者主要對考慮荷載和結構動力響應的拓撲優(yōu)化方法開展了研究，但研究對象以固定作用點的動力加載為主，而考慮移動荷載效應的拓撲優(yōu)化方法的研究很少。為此，本文作者提出采用等效靜荷載法實現(xiàn)移動荷載作用下結構拓撲優(yōu)化。此方法可以充分考慮移動荷載的動力效應，且采用“對偶”加載方式處理移動荷載，使優(yōu)化后的結構具有良好力學性能的同時還具有對稱性，可有效避免荷載移動方向對優(yōu)化結構的影響，在橋梁工程領域具有適用性。

1 考慮移動荷載的結構拓撲優(yōu)化框架

提出一種基于等效靜荷載法，考慮移動荷載效應、并以加權應變能為目標函數的結構拓撲優(yōu)化方法，該拓撲優(yōu)化方法流程如圖1所示。該流程主要由4部分組成：1) 荷載處理；2) 結構動力響應分析；3) 等效靜荷載計算；4) 實體各向同性材料懲罰密度法(SIMP)拓撲優(yōu)化。優(yōu)化計算在Matlab軟件中采用自編程序實現(xiàn)。程序以ANDREASSEN等[22]提出的88 行Matlab 拓撲優(yōu)化程序為基礎擴展實現(xiàn)，增加了等效靜荷載和結構動力響應分析的相關程序。常規(guī)拓撲優(yōu)化方法可在Ansys和Abaqus軟件中實現(xiàn)。

圖1 考慮移動荷載效應的結構拓撲優(yōu)化方法流程示意圖Fig.1 Process of dynamic response topology optimization using equivalent static loads method for structural optimization

1.1 荷載處理

采用“對偶”加載法對移動荷載進行處理，即1次加載過程由2個相互獨立的移動荷載作用組成，在同樣移動荷載路徑下，2個方向相反的移動荷載在各自的時間區(qū)間內獨立地作用在結構上。結構拓撲優(yōu)化目標函數選擇為加權應變能。計算目標函數時，2個反方向加載的結構動力響應具有相同權重。通過這樣的荷載處理可使優(yōu)化結果具有優(yōu)良力學性能的同時，還具有土木工程結構應有的對稱性。

1.2 等效靜荷載的計算

等效靜荷載法結構拓撲優(yōu)化的基本原理是：假定等效靜荷載在每時刻產生的位移場與動荷載在同一時刻產生的位移場相同[14]。任意時刻d的等效靜荷載Feqd計算式如下[13]：

式中：s為時間步數；x為單元的相對密度，是優(yōu)化設計變量；K(x)為總剛度矩陣；utd為第d時刻的結構位移矢量。值得注意的是，即使外力只作用于結構上的一個節(jié)點上，得到的等效靜荷載也可能分布于離散后結構的所有節(jié)點上[2]。

1.3 結構拓撲優(yōu)化

1.3.1 物理模型

本文采用BENDS?E等[23]在相對密度法的基礎上提出的SIMP法作為材料處理的物理模型。該方法將結構進行離散化處理，并把所有單元假想由相對密度介于0～1之間的材料構成[23]，以所有單元的相對密度作為設計變量，引入懲罰因子使中間密度趨近0或1[23-25]。

1.3.2 目標函數

選擇以加權應變能最小化作為結構的優(yōu)化目標，應變能為外力作功之和。任意時刻d的應變能E可以表示為[13]

式中：Ftd為第d時刻的動載荷矢量。

式中：E為加權應變能；ωd為加權因子，本文取為第d時刻的應變能；N為有限單元總數；Vi為每個單元的體積；V*為設計體積；xi為每個單元的相對密度；xmin為單元最小相對密度，用于保證算法穩(wěn)定。

1.3.3 敏感度分析

在SIMP法中，將結構各個單元的相對密度作為設計變量，通過目標函數及其一階導數(敏感度)更新單元密度變量[24]。本文優(yōu)化過程中目標函數的導數解析式如下：

式中：p為懲罰因子；E0為彈性模量；Emin為給定的最小彈性模量，用于保證算法穩(wěn)定；為d時刻的單元位移列陣；ke為單元剛度矩陣。

1.4 收斂標準

結構拓撲優(yōu)化是一個不斷迭代計算過程，直到達到收斂標準為止。本文收斂標準定義為[22]

其中：xk代表第k次迭代時的設計變量；ε為自定義的收斂條件，本文取ε=1×10-3。

2 考慮移動荷載的結構拓撲優(yōu)化數值分析案例

2.1 結構及荷載參數

為了檢驗以上結構拓撲優(yōu)化方法的可行性，以一個假定的承受單一移動荷載的初始截面為實心矩形梁為案例，進行結構拓撲優(yōu)化。結構幾何參數如下：梁體計算跨度為30 m，梁高10 m。采用各向同性材料，彈性模量假定為206 GPa，泊松比為0.3，材料密度為7 870 kg/m3。荷載假定為500 kN，并以50 m/s的速度在結構上移動。為了簡化計算，忽略荷載與結構間的耦合效應。優(yōu)化目標為減少50%體積條件下的結構加權應變能最小。結構離散為108×36 個矩形單元。為了簡化計算，本案例僅采用最簡單的移動質量法計算結構動力響應，檢驗優(yōu)化方法的可行性。文中所提出的動力學問題采用Newmark 迭代法[26-27]進行求解。對于更加復雜的實際工程，可采用車橋耦合振動方法分析結構動力響應計算等效靜荷載。

2.2 優(yōu)化過程分析

假定結構支撐點設置于梁的頂部兩端，且荷載作用位置位于結構頂面，因此，結構頂部兩端采用固定鉸約束，質點的移動路徑為結構頂面。整個拓撲優(yōu)化迭代計算過程如圖2所示。從圖2可見：隨著迭代次數增加，受力主體結構越來越明晰，非受力單元逐漸消失，最終達到理想結構形式。從圖2(d)可見：優(yōu)化后的結構類似于“反拱”橋，由橋面結構、傳力結構和反“拱圈”結構組成，荷載作用于橋面，再由傳力結構傳遞給“拱圈”，拱圈將荷載傳遞給兩端支座；結構走向與荷載傳遞路徑一致，間接證明了此優(yōu)化方法的科學性，且可有效避免材料浪費和提高結構性能。

圖2 結構優(yōu)化過程Fig.2 Topology optimization processes of structure

圖3所示為優(yōu)化過程中結構加權應變能和跨中最大位移隨迭代次數的變化規(guī)律。從圖3可見：在前10 次迭代過程中，結構加權應變能快速降低，跨中最大位移持續(xù)減小，表明結構剛度持續(xù)增大；10 次迭代后，結構加權應變能及跨中最大位移下降趨勢減小，直到最終達到收斂條件。

圖3 加權應變能和跨中最大位移隨迭代次數的變化Fig.3 Relationship between convergence and the midspan maximum displacement and iteration times

將均布靜荷載(500 kN/30 m，約16.7 kN/m)作用下的拓撲優(yōu)化結構與本方法得到的優(yōu)化結構進行對比，結果如圖4 所示。從圖4 可見：2 種荷載優(yōu)化結構的主體外形十分相似，均近似為“反拱”結構，但均布荷載優(yōu)化結果的“拱圈”厚度明顯大于移動荷載優(yōu)化結果的“拱圈”厚度；傳力結構存在較明顯差異，均布荷載優(yōu)化結果的傳力結構以豎向和弧形支撐為主，移動荷載優(yōu)化結果的傳力結構以斜向交叉支撐為主。

圖4 不同荷載條件下結構拓撲優(yōu)化結果Fig.4 The optimized results at different load conditions

2 種優(yōu)化結構a 和b 在均布荷載和移動荷載作用下的加權應變能和跨中最大位移見表1。從表1可見：荷載選擇對拓撲優(yōu)化結構的力學性能影響顯著；基于移動荷載的拓撲優(yōu)化結構在移動荷載作用下的力學性能更好，基于均布荷載的拓撲優(yōu)化結構在均布荷載作用下的力學性能更好。因此，拓撲優(yōu)化荷載類型的選取(尤其是控制荷載)對優(yōu)化結構的力學性能至關重要。

表1 分析結果Table 1 Results of the analyses

2.3 荷載位置與約束條件對拓撲優(yōu)化結果的影響

既有研究結果表明，在相同幾何尺寸和材料條件下，約束條件和荷載作用位置對拓撲優(yōu)化結果影響顯著，因此，本文繼續(xù)對4種支撐條件和荷載位置對結構拓撲優(yōu)化的影響規(guī)律進行進一步研究。為方便比較，假定支撐方法和荷載位置位于同一平面，約束條件和荷載作用位置如下：1) 固定鉸支座約束位于結構頂面兩端；2) 固定鉸支座約束位于結構底面兩端；3) 固定鉸支座約束位于梁體兩端中間位置，上下高度比為1.6∶1；4) 固定鉸支座約束位于梁體兩端中心位置。

優(yōu)化后結構幾何形態(tài)如圖5 所示。從圖5 可見：當支撐點和荷載作用位置位于頂端和底端時，結構形式十分相似，結構a輪廓呈現(xiàn)與魚腹梁類似的“反拱”結構，結構b呈現(xiàn)出下承式拱橋的結構形式。結構b類似于結構a相對于荷載作用平面的上下翻轉，與既有實際工程中的拱橋相比，它們的空間布置更復雜。當支撐點和荷載作用于中間位置時，優(yōu)化后的2種結構類似于桁架結構，但它們的造型更加奇特、新穎，在實際土木工程中較少有類似的結構形式。以上結果表明，算法中定義不同荷載位置與約束條件時，優(yōu)化結構呈現(xiàn)出完全不同的外觀形態(tài)。

圖5 不同約束及荷載作用位置的拓撲優(yōu)化結果Fig.5 Topology optimization results of structure for different boundary conditions

為研究不同約束條件和荷載作用位置拓撲優(yōu)化結構的力學性能，進一步分析移動荷載作用下各結構的等效應力分布規(guī)律，結果如圖6所示。對于兩端頂部約束和兩端底部約束的拓撲優(yōu)化結構，應力集中區(qū)域主要位于荷載移動路徑和桁架節(jié)點周圍。從圖6(a)和圖6(b)可見：最大等效應力出現(xiàn)在支座處，為2.454 MPa，為所有工況的最大值。這2種結構最大的區(qū)別是頂部約束結構中的主體結構主要承受拉力，底部約束結構的主體結構主要承受壓力。

兩端中部約束結構如圖6(c)所示。類似于下承式梁橋與小尺寸魚腹梁的組合，荷載作用面以上的主體結構主要承受壓應力，荷載作用面以下的主體結構主要承受拉應力，最大應力出現(xiàn)在支座節(jié)點處，為1.788 MPa，平均等效應力和均方根分別為0.141 MPa和5.038×10-2MPa。

兩端中心約束所得優(yōu)化結構的等效應力極值分布如圖6(d)所示。優(yōu)化結構以荷載作用面為分界線，作用面以上主體結構應力主要為壓應力，作用面以下主體結構主要承受拉應力。與其他3種結構不同，兩端中心約束所得的優(yōu)化結構最大等效應力出現(xiàn)在荷載路徑與上桿件的節(jié)點處，為1.398 MPa，比其他3 種結構的小。此外，兩端中心約束優(yōu)化結構的平均等效應力為0.155 MPa，均方根為4.174×10-2MPa，為所有工況最小值。

圖6 優(yōu)化結構在加載過程中各單元最大等效應力分布Fig.6 The maximum equivalent stress distuibution of each element in the optimized structures during loading processes

4 種優(yōu)化結構的加權應變能、跨中最大位移、等效應力最大值、等效應力平均值和應力均方根的對比結果見表2。由表2 可見：頂面兩端約束和底面兩端約束所得的優(yōu)化結構的各項指標均十分接近，具有較小的位移和較大的等效應力；兩端頂部約束優(yōu)化結構的應力均方根最大，為5.569×10-2MPa。兩端中心約束結構的加權應變能最大且跨中位移也最大，但其極值應力最小，等效應力的平均值最大但均方根最小，說明此結構在應力分布的均勻性較高；兩端中部約束結構跨中位移介于以上兩類結構之間，但更接近于頂部和底部兩端約束優(yōu)化結構的跨中位移。

表2 數值案例分析結果Table 2 Results of numerical case analysis

本研究均假定荷載位置和支撐條件位于同一平面，在實際結構中，它們可以處在不同的平面。不同荷載位置與支撐條件的組合可以得到形狀和力學性能不同的優(yōu)化結構。在未來實際工程結構應用中，荷載類型基本不變，因此，可考慮根據實際工程需求先固定支撐條件或約束位置中的一種因素，再以另一種因素為變量進行結構拓撲優(yōu)化；若2種因素均可變，則可對2種因素同時開展系統(tǒng)拓撲優(yōu)化，確定最優(yōu)支撐條件和約束位置。

3 結論

1) 優(yōu)化后結構走向與荷載傳遞路徑一致，證明此方法科學可行，且可有效避免材料浪費，提高結構性能。

2) 與均布荷載拓撲優(yōu)化結構相比，此方法的優(yōu)化結構在移動荷載作用下具有更優(yōu)異的力學性能。

3) 支撐點和荷載作用位置對優(yōu)化結果影響顯著，頂面和底面兩端約束的優(yōu)化結構位移和平均應力均較小；兩端中心約束的優(yōu)化結構最大應力最小，應力分布均勻性較高；兩端中部約束的優(yōu)化結構的力學性能介于其他2種結構的力學性能之間。整體而言，采用拓撲優(yōu)化后的結構材料用料少，受力合理，造型美觀，可為結構設計工程師概念設計和形狀設計提供參考。