吳思涵，李小華*，張立鵬，趙洪利

(1.遼寧科技大學 電子與信息工程學院，遼寧 鞍山 114051;2.遼寧科技大學 圖書館，遼寧 鞍山 114051)

在實際生產(chǎn)和生活中，存在大量非線性系統(tǒng)，其中很多可用純反饋模型描述，如柔性關節(jié)機械臂系統(tǒng)[1-2]和化學反應系統(tǒng)[3]等.這些系統(tǒng)可采用網(wǎng)絡控制，但網(wǎng)絡控制存在丟包和帶寬限制等問題，故要量化處理控制信號[4-5]、降低信號傳輸頻率，以防止信號在傳輸中丟失、保證系統(tǒng)的控制性能.

在工業(yè)控制中，PID(proportional integral derivative)控制仍然占據(jù)主導地位.為了提升PID的控制效果，文獻[6]提出了一種自抗擾控制方法.與自抗擾控制有關的研究分為2大類：一類是直接設計系統(tǒng)的自抗擾控制器，并應用于實際系統(tǒng)[7-9]；另一類是基于反步法控制將擴張狀態(tài)觀測器(extended state observer，簡稱ESO)、跟蹤微分器(tacking differentiator，簡稱TD)分別用于估計未知項、虛擬控制函數(shù)的導數(shù)，以避免出現(xiàn)微分爆炸現(xiàn)象[10-12].

文獻[13]提出預設性能控制，該控制能使系統(tǒng)的跟蹤誤差滿足預先設定的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能要求.由于預設性能控制能同時保證系統(tǒng)動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能，因而已成研究熱點[14-16].

有限時間控制分為：精確有限時間控制[17-18]和實際有限時間控制[19-22].精確有限時間控制能使被控制的量在有限時間內(nèi)收斂至平衡點，而實際有限時間控制僅在有限時間內(nèi)收斂至平衡點附近的小鄰域，且沒有考慮暫態(tài)過程.文獻[22]將預設性能控制與有限時間控制相結合，提出了一個預設有限時間性能函數(shù)，能同時進行暫態(tài)性能控制和有限時間控制，且此類有限時間控制的停息時間是設計參數(shù)，與系統(tǒng)初始狀態(tài)無關.

自抗擾控制能改善系統(tǒng)的抗擾性能，預設有限時間控制能同時改善系統(tǒng)的暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能，因此該文將二者結合起來，針對一類具有量化輸入的非仿射純反饋系統(tǒng)，提出一種自抗擾預設定有限時間量化控制策略.

1 系統(tǒng)控制問題的描述

該文考慮的非仿射純反饋非線性系統(tǒng)為

(1)

(2)

從(2)式可看出，Q(u)∈{0,±up,±up(1+σ),p=1,2,…}.由文獻[23]可知

Q(u)=J(u)u(t)+L(t)，

(3)

其中：J(u)為u的未知函數(shù)，滿足1-σ≤J(u)≤1+σ;L(t)為t的未知函數(shù)，滿足|L(t)|≤umin.

該文基于反步法設計系統(tǒng)(1)的自抗擾預設定有限時間量化控制器，使跟蹤誤差滿足預設定有限時間控制要求的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能，系統(tǒng)有界穩(wěn)定，且具有抗干擾性.

這里給出對系統(tǒng)(1)的假設：

假設2[10]系統(tǒng)中的所有狀態(tài)均是可測量的.

注1假設2是引入擴張狀態(tài)觀測器的前提.假設4，5可保證系統(tǒng)(1)的可控性，且與系統(tǒng)模型處理有關.

該文采用文獻[22]中的預設定有限時間性能函數(shù)，即

(4)

其中：ρ(t)為一個光滑函數(shù)，且滿足：

(1)ρ(t)>0;

為了處理未知項和避免出現(xiàn)微分爆炸現(xiàn)象，使用文獻[24]中的ESO和TD.

2 自抗擾預設定有限時間量化控制器的設計

根據(jù)文獻[10]中對非仿射非線性系統(tǒng)的處理方法，將系統(tǒng)(1)轉換為

(5)

設計過程中使用的坐標變換為

e1=x1-yd，e2=x2-α1，…，en=xn-αn-1.

(6)

設

(7)

采用Backstepping方法設計自抗擾預設定有限時間量化控制器，具體步驟如下：

第1步 選取Lyapunov函數(shù)為

(8)

由式(6)～(8)，可得

(9)

其中

(10)

根據(jù)文獻[24]構建ESO對F1進行估計，此ESO的方程為

(11)

其中：E1為估計誤差；Z12為F1的估計值；β11，β12為設計參數(shù).

定義式(11)的ESO估計誤差為

ε1=F1-Z12.

(12)

由式(9)，(12)，可得

(13)

選取第1步的虛擬控制為

(14)

其中：設計參數(shù)c1>0.根據(jù)式(13)，(14)和Young’s不等式，有

(15)

第2步 選取Lyapunov函數(shù)為

(16)

根據(jù)式(6)，(15)，可得

(17)

構建ESO對F2進行估計，此ESO的方程為

(18)

定義式(18)的ESO估計誤差為

ε2=F2-Z22.

(19)

(20)

定義式(20)的TD估計誤差為

(21)

根據(jù)式(17)，(21)，可得

(22)

選取第2步的虛擬控制為

(23)

其中：設計參數(shù)c2>1.結合式(22)，(23)及Young’s不等式，可得

(24)

(25)

經(jīng)相關計算，得

(26)

構建ESO對Fi進行估計，此ESO的方程為

(27)

定義式(27)的ESO估計誤差為

εi=Fi-Zi2.

(28)

(29)

定義式(29)的TD估計誤差為

(30)

選取第i步的虛擬控制為

(31)

其中：設計參數(shù)ci>1.根據(jù)式(26)，(28)，(30)，(31)，可得

ei(Zi2+εi+Ti+1ei+1+Ti+1αi-vi-1,2-ηi-1)=

(32)

(33)

經(jīng)相關計算，得

(34)

構建ESO對Fn進行估計，此ESO的方程為

(35)

定義(35)式的ESO估計誤差為

εn=Fn-Zn2.

(36)

(37)

定義式(37)的TD估計誤差為

(38)

根據(jù)式(34)，(38)，可得

(39)

將式(3)代入式(39)，可得

en{Zn2+εn+Tn+1[J(u)u(t)+L(t)]-vn-1,2-ηn-1}.

(40)

根據(jù)1-σ≤J(u)≤1+σ，|L(t)|≤umin和式(40)，可得

en{Zn2+εn+Tn+1J(u)u(t)+Tn+1umin-vn-1,2-ηn-1}≤

en{Zn2+εn+Tn+1(1+σ)u(t)+Tn+1umin-vn-1,2-ηn-1}.

(41)

選取量化控制輸入為

(42)

其中：設計參數(shù)cn>1.將式(42)代入式(41)，可得

(43)

基于上面的設計，可給出如下結果：

定理1對于滿足假設1～5的系統(tǒng)(1)，且|e1(0)|<|ρ(0)|，若采用式(14)，(23)，(31)，(42)設計跟蹤控制器，則受控系統(tǒng)具有有界性，e1(t)能被ρ(t)約束，且在設定時間Tf內(nèi)收斂至期望的穩(wěn)態(tài)精度(-ρTf,ρTf).

為了證明該文所提策略具有更好的抗干擾性能，將該文策略的控制效果與神經(jīng)網(wǎng)絡策略的控制效果進行對比.因為神經(jīng)網(wǎng)絡策略的證明過程與定理1類似及篇幅所限，這里僅給出神經(jīng)網(wǎng)絡控制器的設計結果，即下面的定理2.

定理2對于滿足假設1～5的系統(tǒng)(1)，且|e1(0)|<|ρ(0)|，若選取神經(jīng)網(wǎng)絡虛擬控制律為

(44)

(45)

(46)

量化控制律為

(47)

自適應律為

(48)

(49)

(50)

則系統(tǒng)(1)是有界的，且跟蹤誤差能滿足預先設定的有限時間控制性能.

3 仿真研究

考慮如下系統(tǒng)

(51)

選取系統(tǒng)初始狀態(tài)為：[x1(0),x2(0)]=[0.5,0.5];選取期望信號為：yd=sin3t;選取系統(tǒng)參數(shù)為：T2=T3=2;選取控制參數(shù)為：c1=c2=50;選取有限時間性能參數(shù)為：ρ0=0.8，Tf=2，ρTf=0.02;選取量化器參數(shù)為：umin=0.9，γ=0.17;選取擴張狀態(tài)觀測器參數(shù)為：β11=20，β12=30，β11=12，β12=22;選取跟蹤微分器參數(shù)為：λ=10，δ=0.5.

該文的自抗擾預設定有限時間量化控制策略的仿真結果如圖1～5所示.由圖1，2可知，輸出狀態(tài)曲線與期望信號曲線在設定的2 s內(nèi)已高度重合，跟蹤誤差已收斂至預先設定的(-0.02,0.02).由圖3～5可知，狀態(tài)x2、控制輸入u及量化輸入Q(u)均是有界的.

圖1 輸出狀態(tài)跟蹤效果 圖2 跟蹤誤差 圖3 狀態(tài)x2

圖4 控制輸入 圖5 量化輸入

考慮外部干擾后的系統(tǒng)為

(52)

其中：w1,w2為外部干擾.

將該文提出的自抗擾預設定有限時間量化控制策略的抗干擾效果與神經(jīng)網(wǎng)絡策略的抗干擾效果進行仿真對比，仿真時二者參數(shù)、系統(tǒng)初始條件及期望信號均相同.2種控制策略的控制效果如圖6～7所示.由圖6～7可知，神經(jīng)網(wǎng)絡策略在外部擾動作用下系統(tǒng)發(fā)散，而該文策略能保證系統(tǒng)有界且控制效果良好，表明該文策略比神經(jīng)網(wǎng)絡策略有更好的控制性能.

圖6 2種策略的輸出狀態(tài)跟蹤效果 圖7 2種策略的跟蹤誤差

為了證明該文策略具有有效性，將其應用于一個單桿機械臂系統(tǒng)，其數(shù)學模型[25]為

(53)

選取初始狀態(tài)為:[x1(0),x2(0)]=[0.5,0.4];選取期望信號為yd=2sint.選取系統(tǒng)參數(shù)為：T2=T3=1;選取控制參數(shù)為：c1=10，c2=30;其余參數(shù)均同上.機械臂系統(tǒng)的仿真結果如圖8～10所示.由圖8～10可知，在量化輸入較小的情況下，機械臂的輸出誤差很小，即系統(tǒng)輸出有很好的跟蹤效果.

圖8 機械臂輸出狀態(tài)跟蹤效果 圖9 機械臂跟蹤誤差 圖10 機械臂量化輸入

4 結束語

該文提出了一種自抗擾預設定有限時間量化控制策略，設計的控制器能使跟蹤誤差滿足預設定有限時間控制要求的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能，系統(tǒng)有界穩(wěn)定.在外部擾動作用下，神經(jīng)網(wǎng)絡策略系統(tǒng)發(fā)散，而該文策略能保證系統(tǒng)有界且控制效果良好，表明該文策略比神經(jīng)網(wǎng)絡策略有更好的控制性能.該文策略可應用于對暫態(tài)、穩(wěn)態(tài)和抗干擾性能要求均較高的控制系統(tǒng).