梅金金

阜陽師范大學(xué) 安徽阜陽 236037

矩陣的特征值是“高等代數(shù)”課程的重要內(nèi)容之一，它在很多科學(xué)領(lǐng)域都應(yīng)用非常廣泛。以矩陣為工具，將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，再通過靈活運(yùn)用矩陣的特征值和特征向量可以使得很多復(fù)雜的實(shí)際問題簡單化。在學(xué)生學(xué)習(xí)“高等代數(shù)”這門課程的過程中，準(zhǔn)確計(jì)算矩陣特征值也是求解矩陣相似對(duì)角化、矩陣方冪計(jì)算、矩陣正交相似對(duì)角化、判斷二次型的正定性、利用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形、化一般有心二次曲線為標(biāo)準(zhǔn)形、求有心二次曲線的最大值與最小值等問題的前提。

設(shè)A=(aij)為n階方陣，λ∈R為A的特征值。根據(jù)定義可知，矩陣對(duì)應(yīng)的特征矩陣λE-A是一個(gè)λ-矩陣，特征多項(xiàng)式是其特征矩陣的行列式，特征多項(xiàng)式的根就是矩陣的特征值。但是，一方面，很多學(xué)生對(duì)行列式理論的理解和認(rèn)識(shí)不夠深刻。又由于特征矩陣的行列式中含有參量λ，學(xué)生也不能熟練運(yùn)用行列式的性質(zhì)計(jì)算出方陣的特征多項(xiàng)式。另一方面，即使能夠計(jì)算出方陣的特征多項(xiàng)式，學(xué)生也會(huì)在求解該多項(xiàng)式的根時(shí)遇到一些困難，這是因?yàn)閷W(xué)生一般很難將次數(shù)大于等于3的高次多項(xiàng)式徹底分解為若干個(gè)一次因式乘積的形式。

因此，為了讓廣大學(xué)生能夠準(zhǔn)確計(jì)算出方陣的特征值，本文以3階方陣為例，歸納總結(jié)方陣特征值的若干計(jì)算方法和技巧。通過引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察和分析特征矩陣對(duì)應(yīng)的行列式的結(jié)構(gòu)，主要根據(jù)行列式按行(或列)展開定理、整系數(shù)多項(xiàng)式有理根判定定理、方陣的跡和行列式與特征值的等式關(guān)系、矩陣的初等變換等思想，討論了各類3階方陣特征值的計(jì)算方法，從而加深學(xué)生對(duì)矩陣特征值的理解，幫助學(xué)生熟練掌握方陣特征值的計(jì)算技巧，也培養(yǎng)其觀察、分析、概括、歸納、總結(jié)的數(shù)學(xué)思維方式，從而養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。

一、預(yù)備知識(shí)

為計(jì)算n階方陣的特征值，結(jié)合特征值的定義與矩陣的運(yùn)算規(guī)律，將特征值的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為求一個(gè)含有n個(gè)未知量的齊次線性方程組的非零解。具體地，設(shè)x∈Rn是矩陣A屬于特征值λ的非零特征向量，則有等式Ax=λx。于是，再利用矩陣加法和數(shù)乘的運(yùn)算規(guī)則，我們可以得到關(guān)于x的齊次線性方程組(λE-A)x=0。由此，要使得該齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是|λE-A|=0。實(shí)質(zhì)上，|λE-A|是關(guān)于λ的一元n次多項(xiàng)式。下面，為計(jì)算方程|λE-A|=0的解，給出相關(guān)計(jì)算方法會(huì)涉及的定義和定理。

定理1[1]：設(shè)A=(aij)為n階方陣，Aij為元素aij對(duì)應(yīng)的n-1階代數(shù)余子式，則有下面兩個(gè)等式成立：

定理4[1]：設(shè)A=(aij)為n階方陣，P為P-1A階單位矩陣作一次初等行(或列)變換得到的初等矩陣，則PA表示矩陣A作一次與P相對(duì)應(yīng)的初等行變換得到的矩陣，AP表示矩陣A作一次與P相對(duì)應(yīng)的初等列變換得到的矩陣。而且，若A為可逆矩陣，則它可以表示為若干個(gè)初等矩陣的乘積。

定義[2]：設(shè)A=(aij)為n階方陣，P為n階初等矩陣，P-1A表示A經(jīng)過一次初等行變換轉(zhuǎn)化后的矩陣，P-1AP表示P-1A再作一次初等列變換轉(zhuǎn)化后的且與A相似的矩陣，則上述這個(gè)變換過程稱為矩陣A的相似變換。

定理5[2]：設(shè)A=(aij)為n階方陣，λ為A的特征值，若對(duì)它的特征矩陣λE-A施行一系列的初等列變換，則可得到一個(gè)下三角矩陣的B(λ)。將B(λ)的主對(duì)角線上n個(gè)元素相乘起來得到一個(gè)關(guān)于λ的一元n次多項(xiàng)式，則該多項(xiàng)式的根為矩陣A的特征值。

二、方陣特征值的計(jì)算方法

(一)利用行列式展開定理計(jì)算特征值

如果直接利用行列式按行(或列)展開定理計(jì)算方陣的特征多項(xiàng)式，將會(huì)導(dǎo)致計(jì)算過程很復(fù)雜，而且達(dá)不到簡化行列式計(jì)算的目的。特別是當(dāng)矩陣A的階數(shù)比較大時(shí)，反而還會(huì)極大地增加計(jì)算行列式的計(jì)算量和復(fù)雜度。因此，首先引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察矩陣的特征多項(xiàng)式|λE-A|中元素的排列特點(diǎn)，驗(yàn)證行列式經(jīng)過恒等變換后是否可以使得其某一行或者某一列的所有元素含有相同的因式。利用行列式的性質(zhì)，將這個(gè)3階方陣A的特征多項(xiàng)式|λE-A|中某一行(或列)中的兩個(gè)元素化為零，再根據(jù)行列式按行(或列)展開定理計(jì)算出矩陣A的特征多項(xiàng)式[3]。

解：將矩陣A的特征多項(xiàng)式|λE-A|的第二列、第三列都加到第一列上，即:

=(λ-1)(λ2-6λ+13)

因此，A的所有特征值λ1=1，λ2=3+2i，λ3=3-2i。

說明：經(jīng)觀察可知，該例題中|λE-A|中各行(或列)所有元素的和相等，即為λ-1。因此，可以將各行(或列)全部累加到某一行(或列)上，然后將其余兩行(或列)與該行(或列)相減，使得行列式中某一行或列的兩個(gè)元素全為零，再利用行列式按行(或列)展開定理計(jì)算出特征多項(xiàng)式。

解：將行列式|λE-A|的第三行的-1倍加到第一行上，即：

=(λ-4)(λ-1)(λ+3)，

則A的特征值λ1=1，λ2=4，λ3=-3。

說明：若|λE-A|中存在兩行(或列)相加或相減后得到的三個(gè)元素存在相同的因式，可將其中一行(或列)中的兩個(gè)元素化為零，再利用行列式按行(或列)展開定理計(jì)算方陣的特征行列式。

(二)利用多項(xiàng)式有理根定理計(jì)算特征值

我們也可以直接利用對(duì)角線法則計(jì)算3階方陣A的特征多項(xiàng)式|λE-A|。顯然，它是一個(gè)三次多項(xiàng)式。如果它的特征多項(xiàng)式不是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，可以利用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，通過先乘以一個(gè)非零的常數(shù)，將該特征多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式。再根據(jù)定理2和綜合除法，可判斷并尋找對(duì)應(yīng)整系數(shù)多項(xiàng)式的一個(gè)有理根及其重?cái)?shù)。最終，將矩陣的特征多項(xiàng)式分解為一個(gè)常數(shù)、一次因式或二次因式的乘積，從而進(jìn)一步確定方陣的特征值[4]。

解：根據(jù)對(duì)角線法則，可將矩陣A的特征多項(xiàng)式計(jì)算如下：

=λ3-4λ2+2λ+4

根據(jù)定理2，得±1，±2，±4可能為多項(xiàng)式f(λ)的有理根。再利用綜合除法，驗(yàn)證可得f(2)=0。則有f(λ)的因式分解結(jié)果為：

說明：上述例題也可直接利用行列式按行或列展開定理獲得矩陣的特征多項(xiàng)式，但這里的計(jì)算中會(huì)涉及三個(gè)2階代數(shù)余子式，同時(shí)還要特別注意這些代數(shù)余子式的正負(fù)號(hào)。

(三)利用方陣的跡與行列式計(jì)算特征值

若3階方陣A中某一行或某一列的元素滿足aii≠0，aij=0(i≠j)，易知aii即為A的一個(gè)特征值。再根據(jù)定理3，利用方陣的跡、行列式與其特征值間的兩個(gè)等式關(guān)系建立一個(gè)方程組，進(jìn)而求解出方陣的另外兩個(gè)特征值[5]。

解：顯然A有一個(gè)特征值為1。設(shè)λ1，λ2為A的另外兩個(gè)特征值。根據(jù)定理3，則有:

因此，可得λ1=1，λ2=4。

(四)利用初等變換計(jì)算特征值

我們可對(duì)3階方陣A的特征矩陣λE-A施行一系列的初等列變換，將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)含λ的下三角矩陣P(λ)。再根據(jù)定理5，將P(λ)的主對(duì)角線上的三個(gè)元素相乘可得到一個(gè)關(guān)于λ的一元三次多項(xiàng)式。最后，直接求解該多項(xiàng)式的根，即為這個(gè)矩陣A的全部特征值[2]。

解：對(duì)其特征矩陣作一系列的初等列變換，將它轉(zhuǎn)化為一個(gè)下三角形矩陣，具體過程如下：

將上述矩陣的主對(duì)角線上所有元素相乘得到-(λ-4)(λ-2)2。根據(jù)定理5，則有A的特征值λ1=4，λ2=λ3=2。

(五)利用矩陣的相似變換計(jì)算特征值

解：對(duì)上述矩陣A作一系列的相似變換，把其變換為一個(gè)上三角形矩陣，具體過程為：

則有A的特征值λ1=-9，λ2=λ3=0。

注意：上述計(jì)算過程中所施行的相似變換的行變換與列變換必須是同一類型的初等變換，且對(duì)方陣施行的行變換與列變換要是成對(duì)的，這樣才能保證經(jīng)過相似變換后得到的方陣與原方陣是相似的，其特征值全部相同。

結(jié)語

綜合以上內(nèi)容，根據(jù)3階方陣的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，我們總結(jié)歸納出3階方陣特征值的多種計(jì)算方法和技巧，這能夠幫助學(xué)生快速計(jì)算矩陣的特征值，進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力。同時(shí)，在教學(xué)過程中，要注意培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，從而使之能夠熟練掌握矩陣特征值的計(jì)算方法。在學(xué)生學(xué)習(xí)特征值的計(jì)算過程中，教師應(yīng)不斷加深學(xué)生對(duì)矩陣?yán)碚摰亩x、定理與推論的理解和認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的靈活應(yīng)用能力，為后續(xù)矩陣相似對(duì)角化、矩陣正交對(duì)角化、利用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形、矩陣方冪的計(jì)算等問題的計(jì)算求解奠定了基礎(chǔ)，在一定程度上達(dá)到簡化計(jì)算的目的。