崔祎，常承林，王彧斐

（1.中國石油大學（北京）自動化系，北京 102249；2.重慶大學化學化工學院，重慶 400044）

冷凝器的種類繁多，按接觸方式不同，可分為蓄熱式、混合式及間壁式等[1-3]；按傳熱面形式不同，可分為管殼式、板式及翅片式等[4-5]。其中，管殼式冷凝器以其易生產、低成本、清洗方便和處理量大等優(yōu)點，成為化學工業(yè)中應用最廣泛的冷凝設備[6]。

王開鋒提出了1 種基于遺傳-模擬退火算法對管殼式冷凝器的詳細設計，分析了了有相變情況下，管內外徑、管長，擋板數(shù)量和管程數(shù)等設計變量對于冷凝器費用的影響，對換熱面積與壓降進行全面的權衡[7]；彭嵐建立了數(shù)值計算模型，采用遺傳算法，研究管外徑、管間距、管壁厚等變量對于冷凝器重量的影響[8]；劉成洋等采用改進的遺傳算法，研究了管外徑和管間距對于冷凝器重量和體積的影響，該算法的精確性和收斂性都得到了充分的驗證[9]。

HASSAN 等以管程數(shù)、管束布局等為設計變量，以冷凝器總成本為目標函數(shù)，對比遺傳算法和粒子群算法的優(yōu)劣，發(fā)現(xiàn)遺傳算法的收斂速度更快[10]；ALLEN 等，以管間距、擋板間距、殼程直徑和管外徑等為設計變量，建立了冷凝器費用的優(yōu)化模型[11]；PATEL等采用粒子群優(yōu)化，考慮管內外徑、擋板間距和管束布局等設計變量，對冷凝器年度總費用進行優(yōu)化，其結果顯示，粒子群優(yōu)化具有較高的準確性和收斂性[12]；NASR等開發(fā)了1 種新型蒸發(fā)式冷凝器設計方法，提供換熱面積、壓降以及傳熱傳質系數(shù)之間的關系，在最大允許壓降條件下，計算得到最小換熱面積，減少了試算次數(shù)[13]。

基于Kern 方法，GON?ALVES 等采用混合整數(shù)非線性優(yōu)化來最小化換熱面積，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)情況下模型不收斂[14]。設計變量均為離散值，他們將混合整數(shù)非線性模型轉化為混合整數(shù)線性模型，實現(xiàn)了全局求解。此外，GON?ALVES 等根據(jù)換熱器機械部件的標準值，定義了多個二進制變量來組合離散的設計變量，加快了混合整數(shù)線性模型的求解[15]；GON?ALVES等又基于Bell-Delaware方法建立混合整數(shù)線性模型，實現(xiàn)了年度總費用的最小化優(yōu)化[16]。LEMOS 等開發(fā)了集合修建算法，利用不等式約束順序消除不可行得到換熱器設計變量，以最小化換熱面積為目標，經過算例測試表明，該方法大幅提高了計算效率[17]。PEREIRA 等將冷凝器的混合整數(shù)非線性規(guī)劃轉換成為整數(shù)線性模型，采用整數(shù)線性求解，該模型不需要初始值，同時避免了局部優(yōu)化解[18]。

在以上研究中，現(xiàn)有的算法能夠在一定程度上解決冷凝器的設計問題，但是他們都不能完全保證得到解的全局優(yōu)化性，雖然采用隨機優(yōu)化方法或添加隨機算子可以避免陷入局部最優(yōu)，但需要多次嘗試才能實現(xiàn)，結果也需要進一步驗證。此外，很多文獻中的方法依賴于人工提供初值，對參數(shù)進行多次調整，這使得很多算例的求解過程及結果無法重現(xiàn)。同時，初值的選擇會極大地影響算法的求解速度，無法保證算法的收斂性能。

針對上述問題，筆者首先介紹了冷凝器詳細設計的數(shù)學模型，包括熱力學和水力學方程，以及最小化換熱面積和冷凝器功耗的目標函數(shù)等。采用文獻[18]中算例，以面積最小化為目標進行優(yōu)化計算，將計算結果與文獻比較分析，然后以最小化冷凝器功耗為目標進行計算，求出不同換熱面積條件下的最小冷凝器功耗，進行功耗與換熱面積間的權衡。另外，還進行了冷凝器功耗與換熱面積的權衡，給出在冷凝器操作費用方面表現(xiàn)更優(yōu)的設計方案。

1 數(shù)學模型

根據(jù)冷凝器布置的空間方向（水平或垂直），管殼程中冷熱物流分配，管殼式冷凝器主要有4種類型，即殼程冷凝的臥式換熱器、管程冷凝的臥式換熱器、殼程冷凝的立式換熱器和殼程冷凝的立式換熱器。以殼程冷凝的臥式換熱器為例，開發(fā)冷凝器詳細設計的新方法。

研究基于以下幾點假設：1）冷凝器殼程為E型；2）殼程物流冷凝只發(fā)生相變，進出口前后溫度保持不變；3）管程冷卻劑為湍流，且不發(fā)生相變；4）物性參數(shù)恒定，取平均溫度下的數(shù)值。

在優(yōu)化模型的描述中，初始給定、無需優(yōu)化的參數(shù)，其頂部帶有符號“?”。

1.1 符號含義

1）參數(shù)。?exc，面積裕量；?，相關參數(shù)；?pt，管程物流比熱容；?，重力加速度；ks，殼程導熱系數(shù)；kt，管程導熱系數(shù)；ktube，管壁導熱系數(shù)；ms，殼程質量流量；Q，熱負荷；mt，管程質量流量；Prt，管程普朗特數(shù)；Rfs，殼程熱絕緣系數(shù)；Rft，管程熱絕緣系數(shù)；Tcl，冷物流入口攝氏溫度；Tco，冷物流出口攝氏溫度；Thl，熱物流入口攝氏溫度；Tho，熱物流出口攝氏溫度；vsmax，殼程最大流速；vsmin，殼程最小流速；vtmax，管程最大流速；vtmin，管程最小流速；Hvap，汽化質量焓；Δpsdisp，殼程允許壓降；Δptdisp，管程允許壓降；ΔTlm，對數(shù)平均溫差；μs，殼程冷凝水黏度；μt，管程冷凝水黏度；μvs，殼程蒸汽黏度；ρs，殼程冷凝水密度；ρt，管程物流密度；ρvs，殼程蒸汽密度；?v0，平均兩相壓降系數(shù)；η，電機效率。

2）變量。A，實際換熱面積；Ar，殼程流動面積；Areq，所需換熱面積；Deq，等效直徑；Ds，殼程直徑；dte，管外徑；dti，管內徑；FAR，自由面積比；Fs，殼程摩擦系數(shù)；Ft，管程摩擦系數(shù)；FSC，冷凝器結構系數(shù)；FTC，管束修正系數(shù)；hs，殼程傳熱系數(shù)；ht，管程傳熱系數(shù)；K，壓降參數(shù)；Klay，管束布局參數(shù)；L，管長；lbc，擋板間距；ltp，管間距；Nb，擋板數(shù)量；Npt，管程數(shù)；Ntp，每次物流流動通過的管數(shù)；Ntt，總管數(shù)；Nut，傳熱單元數(shù)；Res，殼程雷諾數(shù)；Ret，管程雷諾數(shù)；U，總傳熱數(shù)；vs，殼程流速；vt，管程流速；W，冷凝器功耗；Δps，殼程壓降；Δpsv0，入口條件相關的殼程壓降；Δpt，殼程壓降；rp，間徑比。

1.2 冷凝器數(shù)學模型

1.2.1 管程熱力學方程及水力學方程

湍流時，管程的熱力學方程為：

式中，管束布局參數(shù)Klay，三角形、正方形布局時分別取0.866、1.0。FTC取值見表1。

表1 管束修正系數(shù)取值Tab 1 Tube bundle correction factor value

FSC與冷凝器頭型相關，當＞0.337 m時，其取值見表2。

表2 結構參數(shù)取值Tab 2 Structure factor value

管程的水力學方程為（忽略了接管處的壓降）：

式中，壓降參數(shù)K，單管程時取0.9，雙管程或多管程時取1.6。

管程摩擦系數(shù)的計算：

1.2.3 總傳熱系數(shù)方程

1.2.6 冷凝器功耗方程

冷凝器功耗的計算：

式中，電機效率η取75%。

1.3 約束條件

為保證模型中方程的有效性以及冷凝器的正常工作，該模型的約束有熱力學、水力學約束，流速約束以及結構約束。

1.3.1 熱力學、水力學約束

管程和殼程的壓降需在允許范圍內：

對流速也做一定的限制：

為保證殼程和管程方程的有效性，對雷諾數(shù)也做出限制：

為保證生產安全以及冷凝器的正常運行，實際生產中一般都會設定裕量，使冷凝器有額外的換熱面積，實際換熱面積應滿足條件：

1.3.2 冷凝器結構約束

擋板間距與殼程直徑約束為：

1.4 目標函數(shù)

目標函數(shù)為：1）MinA；2）MinW。

2 案例研究

2.1 案例介紹

研究的算例程序均在GAMS 24.2.3中運行。對于設計變量為離散變量的算例，可以采用枚舉法進行求解。其方法原理為：先計算出所有可能的目標函數(shù)值，然后再設置相關的約束條件，求出符合條件的目標函數(shù)值，進而給出相關的設計變量。此方法的求解空間為全局，因此保證了解的全局最優(yōu)性；同時，枚舉法要計算出所有的目標函數(shù)可能值，所有不需要給定初始值。

理論上所有設計變量為離散變量的算例均可采用枚舉法，但因為枚舉法要計算出所有可能的目標函數(shù)值，所以對于設計變量過多的算例，其計算耗時較長。

該算例是1個用于冷凝純丙酮的蒸餾塔頂冷凝器，由SMITH等提出，PEREIRA等對其進一步求解[18,20]。為保證換熱面積與PEREIRA等的結果等效比較，本案例優(yōu)化時，不考慮額外的面積裕量，即?exc=0，同時管壁厚取2 mm，管壁的導熱系數(shù)ktub取45 W/(m·K)。

表3給出設計變量的集合，這些離散值符合商業(yè)標準。表4給出冷熱物流的物性參數(shù)（其中流速范圍及允許壓降由PEREIRA等給出）。數(shù)值在模擬過程中保持不變，取平均溫度下的值。

表3 設計變量的集合Tab 3 Collection of design variables

表4 物流數(shù)據(jù)及物性Tab 4 Stream data and physical properties

2.2 最小化換熱面積

根據(jù)表4，以最小化換熱面積為目標優(yōu)化，所得的結果見表5。

表5 換熱面積優(yōu)化結果Tab 5 Optimization results of heat exchange area

采用枚舉法，因為要計算出所有可能的目標函數(shù)值，故與采用求解器的PEREIRA 等相比，其計算過程較慢。

所采用的優(yōu)化方法得到了比文獻更小的換熱面積，為99.3 m2，但與文獻相差不大，僅減小了1.29%，原因是在優(yōu)化過程中考慮了冷凝器頭型變量，而文獻在優(yōu)化前就指定冷凝器頭型為浮頭式。優(yōu)化結果選用的冷凝器頭型為固定管板式，針對該算例而言，物流溫度壓力并不是高溫高壓，采用固定管板的冷凝器頭型滿足生產需求的同時費用較低，明顯更加符合生產實際。

在管數(shù)方面，得到的優(yōu)化解為360，與文獻相差較大，減少了34.17%。所得到的管束布局方式為正方形布局，雖然正方形布局在同等換熱面積下的布管數(shù)少于三角形布局，但在能滿足生產需要的條件下，采用正方形布局以及更低的管數(shù)，降低了布管的難度，降低了冷凝器的體積與重量，減少冷凝器的費用，更符合實際生產需求。

優(yōu)化所得的管程壓降為65.28 kPa，殼程壓降為18.20 kPa，與文獻的48.93 kPa和16.73 kPa相比較高。因為優(yōu)化結果選取的擋板數(shù)量為9，相比文獻偏大，故導致得到的殼程流速為28.4 m/s，比文獻的24.3 m/s更高，殼程流速較大使殼程壓降高于文獻。而管程壓降較高則是因為優(yōu)化取的管外徑和管長比文獻大，導致了管程物流流速2.5 m/s 比文獻的2.2 m/s 較高，提升了管程壓降。雖然優(yōu)化結果的管程、殼程壓降均比文獻大，但也仍在允許壓降范圍內。

優(yōu)化所得的管、殼程傳熱系數(shù)分為10.67、1.331 kW/(m2·K)，總傳熱系數(shù)為0.788 0 kW/(m2·K)，與文獻相差不大，這也使優(yōu)化換熱面積只是略小于文獻的原因。

2.3 功耗與換熱面積的權衡

在該算例的優(yōu)化中存在冷凝器頭型的選擇，不同冷凝器頭型的費用相差較大，以冷凝器總費用為目標進行優(yōu)化可能會導致冷凝器頭型在優(yōu)化中比例過大，因此為了盡可能體現(xiàn)所有設計變量對于冷凝器設計的影響，在設計約束條件下，增加換熱面積的限制，選擇以最小化冷凝器功耗為目標進行優(yōu)化，求出不同換熱面積條件下的最小冷凝器功耗。不同換熱面積下最小冷凝器功耗見圖1。

圖1 不同換熱面積下的最小功耗Fig 1 Minimum power consumption under different heat exchange areas

從圖1可以看出，功耗隨著換熱面積的增加不斷下降。在100～105 m2內波動下降，在105 m2之后逐漸趨于恒定。該算例中的管程流量及壓降均遠大于殼程，而壓降又由流速控制，根據(jù)式(25)可知，在冷凝器功耗計算中，功耗主要是由管程流速控制。當換熱面積限制在100～105 m2時，距離優(yōu)化結果給出的最小換熱面積較近，此時最小化冷凝器功耗，滿足設計約束與換熱面積限制的解較少，在滿足限制的條件下，管程流速距離vtmin較遠，導致此階段管程流速較高且波動明顯，所以圖1中冷凝器功耗呈現(xiàn)大幅度的不規(guī)則波動。當換熱面積取大于105 m2后，滿足設計約束與換熱面積限制的解增加，此時最小化冷凝器功耗，管程流速普遍會更加接近vtmin，進而使冷凝器功耗降低且趨于穩(wěn)定。

圖1中A點為最小化換熱面積所得數(shù)據(jù)點，即優(yōu)化結果數(shù)據(jù)點，可見最小化換熱面積所得結果對應的冷凝器功耗最大，因此考慮到冷凝器操作費用等實際問題時，有必要將面積和功耗等因素同步考慮。

基于上述分析，選取B點情況下的設計變量作為權衡后的結果，給出冷凝器功耗與換熱面積進行權衡后的設計方案，見表6。

表6 權衡結果Tab 6 Compromise result

由表6可以看出，在此設計方案條件下，對比最小換熱面積條件下的功耗6.18 kW，冷凝器功耗降低了78.80%，而換熱面積僅增加了3.73%，綜合考慮權衡方案在冷凝器操作費用方面表現(xiàn)應優(yōu)于最小換熱面積方案。

3 結 論

與文獻[18]相比，采用枚舉法的優(yōu)化方法，無需設定初始值，還可以保證解的全局優(yōu)化性；同時優(yōu)化過程中還考慮了冷凝器頭型對于換熱面積的影響，給出了更加符合實際的最小換熱面積設計方案。

筆者提出的1種管殼式冷凝器詳細設計的新方法。該方法不依賴于商業(yè)求解器，無需設定初始值，且能保證設計解的全局最優(yōu)性。

以最小化換熱面積為求解目標，得到結果與文獻對比發(fā)現(xiàn)，頭型的選擇對冷凝器換熱面積影響并不明顯，但可能影響到冷凝器的管束排布方式，同時考慮到冷凝器頭型的優(yōu)缺點及物流屬性，頭型選擇對優(yōu)化結果仍有重要的影響。

還以最小化冷凝器功耗為目標進行優(yōu)化，得到不同換熱面積條件下的最小冷凝器功耗，進行功耗與換熱面積間的權衡，最終給出了權衡后的設計方案。權衡后的設計方案條件下，冷凝器功耗為1.31 kW，比最小換熱面積條件下的功耗降低了78.80%，而換熱面積僅增加了3.73%。