顏閩秀, 謝俊紅, 張 帥

(1. 沈陽化工大學(xué) 信息工程學(xué)院, 遼寧 沈陽 110142; 2. 工業(yè)環(huán)境-資源協(xié)同控制與優(yōu)化技術(shù)遼寧省高校重點實驗室, 遼寧 沈陽 110142; 3. 東北大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院, 遼寧 沈陽 110004)

如今,受到Lorenz混沌系統(tǒng)的啟發(fā),混沌已成為研究的熱點,許多不同的混沌系統(tǒng)相繼被提出[1-6].生成新混沌系統(tǒng)有兩個有趣的方向，一種是在簡單的數(shù)學(xué)模型中發(fā)現(xiàn)非線性系統(tǒng)中的混沌;另一種是構(gòu)造具有特殊奇異吸引子的混沌系統(tǒng),如多渦卷吸引子、共存吸引子等[8-11].平衡點的個數(shù)在一定程度上決定了動力學(xué)性質(zhì).一個經(jīng)典的理論是一個同宿軌道連接的鞍焦點或兩個異宿軌道連接的鞍焦點的系統(tǒng)能夠產(chǎn)生馬蹄意義下的混沌系統(tǒng)[12].沒有平衡點的混沌系統(tǒng)能夠產(chǎn)生隱藏吸引子.大量的研究表明,具有多個不穩(wěn)定平衡點的混沌系統(tǒng)往往具有更豐富的動力學(xué)行為，且更容易產(chǎn)生共存吸引子.因此許多學(xué)者傾向于構(gòu)造混沌系統(tǒng),并通過平衡點的類型來區(qū)分動力學(xué)特性,如鞍點、不穩(wěn)定焦點、中心平衡點和其他類型平衡點的混沌系統(tǒng)[13-16].

最近,在混沌系統(tǒng)中吸引子的共存和多穩(wěn)態(tài)性引起了學(xué)者們的廣泛關(guān)注.Li等[17-21]通過數(shù)值實驗研究了Lorenz混沌系統(tǒng)中的吸引子的共存,并提出了產(chǎn)生共存吸引子的方法.Kengne等[22]提出了Jerk系統(tǒng)中吸引子的共存.Lai等[23-24]介紹了構(gòu)造具有無窮多奇異吸引子的混沌系統(tǒng)的有效方法.Bao等[25-26]發(fā)現(xiàn),基于憶阻器的混沌系統(tǒng)可以產(chǎn)生不同類型的共存吸引子.多穩(wěn)態(tài)是指兩個或多個吸引子在不同的初始條件下共存,具有相同的參數(shù)[27]，通?？梢栽谠S多非線性動力系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn).Ab等[28]發(fā)現(xiàn)了具有多穩(wěn)態(tài)和隱藏吸引子的混沌系統(tǒng);Kengne等[29]提出了一種新型的Jerk混沌系統(tǒng)，并在該系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了五個平衡點、多穩(wěn)態(tài)性和多渦卷.

眾所周知,在混沌系統(tǒng)中,具有多穩(wěn)態(tài)和吸引子共存的混沌系統(tǒng)會導(dǎo)致非常復(fù)雜的動態(tài)行為,應(yīng)用在工程中有很大的潛力,提出新的具有多穩(wěn)態(tài)和吸引子共存的混沌系統(tǒng)是有意義的.因此，從建立具有簡單系統(tǒng)和復(fù)雜行為的角度出發(fā),提出了一個具有多穩(wěn)態(tài)的吸引子共存的混沌系統(tǒng),且將雙曲正切函數(shù)引入該系統(tǒng),建立了可調(diào)數(shù)目的吸引子共存.對該系統(tǒng)的動態(tài)特性進(jìn)行了必要的理論和實驗研究，表明該系統(tǒng)能夠生成無限多個吸引子的共存并存在多穩(wěn)態(tài)性.最后,基于模型系統(tǒng)進(jìn)行了模擬電路的實驗和驗證，表明了該系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)的可能性.

1 混沌系統(tǒng)模型及分析

在經(jīng)典混沌系統(tǒng)的基礎(chǔ)上作考察后[30],描述了一個三維混沌系統(tǒng)，其模型較為簡單,如下式所示：

(1)

式中:x1、x2、x3為狀態(tài)變量；a、b、c、d為系統(tǒng)的常數(shù).將初值取為(0.1,0.1,0.1),圖1～3展示了系統(tǒng)(1)的吸引子.

圖1 系統(tǒng)(1)三維相圖Fig.1 System (1) three-dimensional phase diagram

圖2 x1-x3相圖Fig.2 x1-x3 phase diagram

圖3 x2-x3相圖Fig.3 x2-x3 phase diagram

當(dāng)參數(shù)a=0.7,b=1,c=1,d=0.5時,系統(tǒng)為三維耗散混沌系統(tǒng).通過MATLAB計算出系統(tǒng)(1)的李雅普諾夫指數(shù)為L1=0.36,L2=0,L3=-0.48.

計算李雅普諾夫維數(shù)得到：

(2)

通過李雅普諾夫指數(shù)圖可看出,系統(tǒng)(1)有正、零、負(fù)的李雅普諾夫指數(shù)且之和總是為負(fù)數(shù),式(2)可看出系統(tǒng)為分?jǐn)?shù)維,因此系統(tǒng)(1)是混沌系統(tǒng).其中j是滿足下式的最大整數(shù)：

(3)

通過MATLAB計算出系統(tǒng)(1)的3個平衡點為：A(0,0,0),B(-0.464 1,0.232,-0.464 1),C(0.464 1,-0.232,0.464 1)．

令det(J1-λE)=0,計算其相應(yīng)特征值．當(dāng)平衡點為A(0,0,0)時,特征值為(-0.68,0.25+0.968 2i,0.25-0.968 2i)；當(dāng)平衡點為B(-0.464 1,0.232,-0.464 1)和C(0.464 1,-0.232,0.464 1)時,特征值均為(0.570 7,-0.375 3+1.532i,-0.375 3-1.532i).其中i為虛數(shù)單位.

通過平衡點及特征值可以看出,系統(tǒng)(1)有3個平衡點,相對應(yīng)的特征值有一個實數(shù)和兩個共軛復(fù)數(shù),因此該平衡點為不穩(wěn)定鞍焦平衡點，且符合混沌系統(tǒng)的指標(biāo)為2的鞍焦平衡點的條件.因此該混沌系統(tǒng)更容易產(chǎn)生吸引子共存的現(xiàn)象.

綜上,對系統(tǒng)(1)進(jìn)行了一定的理論分析.驗證了系統(tǒng)(1)的復(fù)雜動力學(xué)特性.

2 混沌系統(tǒng)的多穩(wěn)態(tài)性

基于系統(tǒng)(1),選擇以初值為(0.1,0.1,0.1)和(-0.1,-0.1,-0.1)進(jìn)行多穩(wěn)態(tài)分析.圖4展示了兩組不同初始值下的系統(tǒng)動態(tài)演變.

觀察圖4,發(fā)現(xiàn)在兩組不同的初始值下系統(tǒng)(1)均存在混沌和周期狀態(tài).進(jìn)一步分析圖4a可知,系統(tǒng)在兩組不同初始值下存在吸引子的共存且在參數(shù)固定狀態(tài)下呈現(xiàn)出不同類型的吸引子共存.這種具有多穩(wěn)態(tài)的系統(tǒng)其動力學(xué)行為更為復(fù)雜,即存在共存的周期吸引子和共存的混沌吸引子.圖5給出了系統(tǒng)(1)的周期共存吸引子和混沌共存吸引子.

圖4 系統(tǒng)動態(tài)演化Fig.4 System dynamic evolution

圖5 吸引子共存Fig.5 Coexistence of attractors

圖5a為周期1共存吸引子,圖5b為周期2共存吸引子,圖5c和圖5d為混沌共存吸引子.顯然,通過圖5可以看出,當(dāng)選擇固定參數(shù)為a=1.1,a=0.95,a=0.88和a=0.7,且初值為(0.1,0.1,0.1)和(-0.1,-0.1,-0.1)時,系統(tǒng)(1)表現(xiàn)出多穩(wěn)態(tài)性,即具有兩個吸引子共存的現(xiàn)象.

3 可調(diào)數(shù)目的混沌吸引子共存

基于系統(tǒng)(1),考慮a=0.7,b=1,c=1,d=0.5,建立雙曲正切函數(shù)的序列用于生成可調(diào)數(shù)目的吸引子共存.建立的函數(shù)如下式所示：

(4)

其中：n為非負(fù)整數(shù)；參數(shù)β可調(diào)節(jié),此時取β=100.可以看出,隨著n增大,函數(shù)Hi(xi)的零點得到擴展.利用H1(x1)取代系統(tǒng)(1)中等式右邊的x1,那么在特定參數(shù)下,得到的新系統(tǒng)將會沿x1的方向產(chǎn)生共存吸引子.

首先,考慮沿x1軸的方向產(chǎn)生共存的吸引子,利用H1(x1)取代系統(tǒng)(1)中等式右邊的x1,得到如下系統(tǒng)：

(5)

分別取參數(shù)n=0,1,2,沿x1軸方向產(chǎn)生的共存混沌吸引子如圖6所示.

圖6展示了當(dāng)n=0,n=1和n=2時的混沌共存吸引子.圖6a中的混沌共存吸引子對應(yīng)的初值為(2i-3,0.1,-0.1),其中i=1,2;圖6b中的混沌共存吸引子對應(yīng)的初值為(2i-5,0.1,-0.1),其中i=1,2,3,4;圖6c中的混沌共存吸引子對應(yīng)的初值為(2i-7,0.1,-0.1), 其中i=1,2,3,4,5,6.這些混沌吸引子的共存形狀相似,但是軌跡并不相同.若繼續(xù)增大n的值,系統(tǒng)將會沿x1軸方向產(chǎn)生更多的混沌吸引子共存.

圖6 混沌吸引子共存Fig.6 Coexistence of attractors

其次,考慮用H2(x2)取代系統(tǒng)(5)中等式右邊的x2,得到如下系統(tǒng)：

(6)

系統(tǒng)(6)將會沿x1和x2軸方向產(chǎn)生共存的混沌吸引子,圖7分別給出了參數(shù)n為0、1、2時的吸引子.

圖7分別展示了2×2、4×4、6×6的吸引子,這些吸引子對應(yīng)的初始條件分別為(2i1-3,2j1-3,-0.1),(2i2-5,2j2-5,-0.1),(2i3-7,2j3-7,-0.1).其中:i1,j1=1,2;i2,j2=1,2,3,4;i3,j3=1,2,3,4,5,6.

圖7 x1和x2軸上的吸引子共存Fig.7 Coexistence of attractors on x1 and x2 axes

最后,考慮用H3(x3)取代系統(tǒng)(7)中等式右邊的x3,得到如下系統(tǒng)：

(7)

系統(tǒng)(7)將會沿x1、x2和x3軸方向產(chǎn)生共存的混沌吸引子,圖8分別給出了n為0、1時的系統(tǒng)(7)的吸引子.

圖8展示了2×2×2和4×4×4的吸引子,它們所對應(yīng)的初始值分別為(2i1-3,2j1-3,2k1-2.8)和(2i2-5,2j2-5,2k2-4.8),其中:i1,j1,k1=1,2;i2,j2,k2=1,2,3,4.

圖8 x1、x2和x3軸方向上的吸引子共存Fig.8 Coexistence of attractors on x1 、x2 and x3 axes

通過設(shè)置合適的參數(shù)系統(tǒng)能夠產(chǎn)生其他類型的吸引子.以系統(tǒng)(6)為例,設(shè)置參數(shù)a=1.1和a=0.98時系統(tǒng)產(chǎn)生的周期共存吸引子如圖9所示.

圖9展示了通過設(shè)置合適的參數(shù)而產(chǎn)生的周期共存吸引子.圖9a中周期1共存吸引子的初始值為(2i1-5,2j1-5,±0.1),其中：i1=1,2,3,4;j1=1,2,3,4.圖9b中周期2共存吸引子的初值為(2i2-5,2j2-5,±0.1),其中：i2=1,2,3,4;j2=1,2,3,4.

圖9 共存的周期吸引子Fig.9 Coexisting periodic attractors

通過上述研究表明,系統(tǒng)(1)在函數(shù)(5)的作用下,通過調(diào)整n可以改變吸引子共存的生成個數(shù).通常,若沿r個方向來產(chǎn)生吸引子的共存,系統(tǒng)(5～7)生成的吸引子共存?zhèn)€數(shù)至少為Nr=(2n+2)r,r=1,2,3.當(dāng)n→∞時,Nr→∞,即吸引子共存?zhèn)€數(shù)趨近于無窮.

總的來說,混沌系統(tǒng)(1)在函數(shù)序列(5)的作用下具有復(fù)雜的動力學(xué)特性.隨著初始值的變化,系統(tǒng)在相空間中的軌跡將收斂到不同的混沌吸引子,這種復(fù)雜的動態(tài)行為所產(chǎn)生的序列在安全通信中有重要的應(yīng)用潛力.如在圖像加密領(lǐng)域,通常選擇具有復(fù)雜動態(tài)行為的混沌系統(tǒng)用來產(chǎn)生偽隨機序列，以提高加密的安全性能.基于混沌的加密算法通過選擇不同的混沌系統(tǒng)來生成偽隨機序列,文獻(xiàn)[30]正是利用了此思想.如以系統(tǒng)(7)為例,將整個混沌系統(tǒng)集合作為混沌發(fā)生器,則由不同初始值產(chǎn)生的吸引子就等同于混沌集的算法中的不同混沌系統(tǒng)中產(chǎn)生的共存混沌吸引子,這可以提高加密的可靠性和安全性.此外,通過增加n,隨著初始條件作為密鑰的空間將傾向于無窮大,目前的計算機將很難通過窮舉來破譯.

4 系統(tǒng)的電路設(shè)計

通過選擇模擬電路對系統(tǒng)模型(1)進(jìn)行實驗和驗證.在此次的電路設(shè)計中采用運算放大器、電容、電阻及乘法器(增益為1)進(jìn)行電路實驗.其中,乘法器可應(yīng)用在實現(xiàn)系統(tǒng)中的非線性乘積項,電容器可應(yīng)用在實現(xiàn)積分運算中,可借用運算放大器及其相關(guān)電阻構(gòu)成實現(xiàn)加、減以及積分運算模塊.基于Multisim實現(xiàn)的電路原理圖如圖10所示,圖中U1=x1,U2=x2,U3=x3.

圖10 系統(tǒng)模型(1)的模擬電路原理圖Fig.10 System model (1) schematic diagram of analog circuit

根據(jù)電路定律得到以下微分電路方程：

(8)

將電路方程(8)進(jìn)行無量綱化處理,令

(9)

式(9)是將方程(8)與系統(tǒng)模型(1)作比較，并作如下取值：

(10)

依據(jù)上述數(shù)據(jù),對模型系統(tǒng)(1)的電路進(jìn)行驗證,結(jié)果如圖11所示.

圖11 相圖Fig.11 The phase trajectory

從圖11可以發(fā)現(xiàn),模擬電路仿真結(jié)果與系統(tǒng)模型(1)仿真結(jié)果一致,表明了所提出的混沌系統(tǒng)模型(1)具有能夠?qū)崿F(xiàn)的可能性.

5 結(jié)論

本文在傳統(tǒng)混沌系統(tǒng)的基礎(chǔ)上構(gòu)造了一個模型較為簡單的混沌系統(tǒng).通過動力學(xué)行為分析了該系統(tǒng)的多穩(wěn)態(tài)性,并在其基礎(chǔ)上將雙曲正切函數(shù)引入該系統(tǒng),建立了具有可調(diào)數(shù)目的吸引子的共存.理論研究表明，該系統(tǒng)能夠生成無限多個吸引子的共存,并通過數(shù)值模擬仿真進(jìn)行了驗證.在上述研究的基礎(chǔ)上,得到以下結(jié)論：

(1) 從建立具有簡單系統(tǒng)和復(fù)雜行為的角度出發(fā),建立了一個模型較為簡單的混沌系統(tǒng).

(2) 通過動力學(xué)分析驗證了該系統(tǒng)具有復(fù)雜的多穩(wěn)態(tài)行為.

(3) 將雙曲正切函數(shù)加入該系統(tǒng),從而建立了具有可調(diào)數(shù)目的吸引子共存.

(4) 設(shè)計了模擬電路對系統(tǒng)模型進(jìn)行實驗和驗證,表明了混沌系統(tǒng)模型具有實現(xiàn)的可能性.

由于該系統(tǒng)的吸引子具有多穩(wěn)態(tài)性和可調(diào)數(shù)目,較于傳統(tǒng)混沌系統(tǒng)具有更為復(fù)雜的動力學(xué)特性,因此在安全通信等領(lǐng)域有良好的應(yīng)用潛力.