徐旭華，趙春燕，李玲，王妍，鐘琴，陳相兵，李亮

（1.四川大學錦江學院數(shù)學學院，四川 成都 610207；2.安徽理工大學 力學與光電物理學院，安徽 淮南 232001）

為深入貫徹落實習近平總書記關于教育的重要論述和全國教育大會精神，教育部印發(fā)關于《高等學校課程思政建設指導綱要》的通知，要求各高校根據(jù)具體課程、具體情況制定好切實有效的教學改革計劃，把專業(yè)知識與育人目標統(tǒng)一起來。概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程蘊藏了豐富的哲學思想及數(shù)學文化，可以與馬克思主義的基本觀點有效結合起來，通過合理的教學案例，使學生的科學精神、思辨思維與倫理意識得到培養(yǎng)，增強他們立志報國、為民服務的責任感。概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程思政教學改革的目的是希望利用教學實踐的陣地，將大思政教育理念布局到教學的全過程，將知識傳授、能力培養(yǎng)和思想引領有機統(tǒng)一起來。張艷等從教學實踐的角度出發(fā)，提出了課程思政的案例專題研究原則［1］；黃昱等從時代意義上說明了課程思政的重大意義及其規(guī)范性［2］；吳紅艷等從方法途徑方面延伸了課程思政的內(nèi)涵［3］；彭丹等從現(xiàn)實背景中找觸點［4］，將典型思政案例整合到教材知識點中。對于思政資源的挖掘，目前的研究僅停留在某一章節(jié)的某一知識點上，缺乏系統(tǒng)性的提煉、梳理、研究與創(chuàng)新。文章嘗試在宏觀層面，基于知識間的邏輯性、相合性與統(tǒng)一性，對概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學中所涉及的思政資源進行整合與分類，進一步擴大育人面的廣度和深度。

1 概率論與數(shù)理統(tǒng)計中蘊藏的思政內(nèi)涵

概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程共有26個主要知識點，其中，和思政元素或數(shù)學文化有關聯(lián)的有12個，大約占比46%.只注重知識傳播的傳統(tǒng)教學方式無法適應新時期的學生成長需求，迫切需要將冷冰冰的知識轉(zhuǎn)化成有溫度的價值能力，這就要求教育工作者深挖課程中的思政資源。

1.1 弘揚愛國精神，傳承優(yōu)秀傳統(tǒng)文化

在講解第一章序言部分時，可以介紹數(shù)學家許寶騄舉世公認的學術成就，他勉勵學生潛心鉆研知識，以嚴謹務實的態(tài)度樹立偉大理想，為實現(xiàn)中國夢［5］添磚加瓦。在中國長達五千年的文化進程中，很早就孕育了概率論與數(shù)理統(tǒng)計的思想，它們以詩歌、諺語等形式流傳至今，如唐代·佚名《菩薩蠻·敦煌曲子詞》中“枕前發(fā)盡千般愿，要休且待青山爛。水面上秤錘浮，直待黃河徹底枯。白日參辰現(xiàn)，北斗回南面。休即未能休，且待三更見日頭”。這首古詩描繪了隨機事件、必然事件、不可能事件等。“常在河邊走，哪有不濕鞋”則是小概率事件的原理。在知識引入的過程中，可以使用諸如這樣的中華符號讓學生了解數(shù)學知識在實際生活中的應用，潛移默化地引導學生加強對自身文化血脈的認同和自信。

1.2 踐行社會主義核心價值觀——法治

《法句經(jīng)》里記載“莫輕小惡，以為無殃，水滴雖微，漸盈大器，凡罪充滿，從小積成”。在概率論與數(shù)理統(tǒng)計這門課程是小概率事件應用的范例。例如，一個小偷偷東西，假設每次盜竊的行為是獨立的，如果每次他行竊時被抓住的概率為0.05，那么隨著偷竊行為次數(shù)的增加，小偷至少被抓住一次的概率是多少？

設事件A表示小偷至少被抓住一次，Ak(k=1,2,...,n)表示小偷第k次偷竊被抓住，則

表1 偷竊次數(shù)的分布律

由表1可以看到，第75次時，小偷被抓住的可能性已經(jīng)很大了。通過這個案例教育學生在校時要遵守校規(guī)校紀，走上社會更要遵紀守法，懲惡揚善，最終通過小概率事件原理將法治理念悄無聲息地引入到學生的意識形態(tài)中。對于教師而言，要自覺踐行教師法，以教師十項行為準則為行動指南，懂得“法”與“治”的道理。作為一般公民要積小法，成大法，為社會主義和諧社會貢獻自己的力量。

1.3 堅持社會主義道路，堅定制度自信

以新冠肺炎疫情為例，一些國家選擇了寄希望于全民免疫的“躺平”政策，致使國家的病毒感染人數(shù)急劇上升，嚴重地危害了人民的健康，人們連最基本的生存權無法得到保證。而中國政府根據(jù)不同階段的情況，選擇不同的管控方式，始終把人民的生活福祉放在首位，那么該采取什么樣的核酸檢測策略呢？這其實是期望和假設檢驗在實際生活的應用［6］。假設某地區(qū)共有5000人參加核酸檢測，已知每人檢測呈陽性的概率是0.001，現(xiàn)有單獨檢驗和分組檢驗兩種策略，哪種策略最優(yōu)？

策略一：采用逐一化驗，則檢驗次數(shù)為5000次；

策略二：采用10人為一組的分組檢驗，如果檢驗呈陰性則一次通過，如果呈陽性，再逐一檢驗。設隨機變量Xi(i=1,2…,500)為第i組檢驗所需的檢驗次數(shù)，那么Xi的可能取值要么為1（全陰性），要么為11（陽性逐一化驗），其概率值分別為Xi=1意味著第i組10人全陰性，一個人呈陰性的概率為0.999，10個人呈陰性的概率為0.99910，Xi=11意味著第i組至少有1人陽性，也就是全為陰性的逆事件，則其概率為1-0.99910，那么每組需要的平均檢驗次數(shù)為

設策略二總檢驗次數(shù)為Z，則Z=X1+X2+…+X500，有

因此，策略二比策略一更高效。

通過核酸檢測案例，引導學生從親身經(jīng)歷的新冠肺炎疫情出發(fā)，理性看待新冠肺炎疫情以及各項防疫措施，讓學生認識到中國智慧和中國速度，增強制度認同感，把個人的成長融入偉大民族復興的進程中，以一種只爭朝夕的精神狀態(tài)去迎接生活的饋贈。

1.4 從量變到質(zhì)變，培養(yǎng)批判性的科學精神

黑格爾在《邏輯學》的“存在論”中，闡述了質(zhì)量互變思想，中心極限定理反映了從量變到質(zhì)變的思想。棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理指出，當隨機變量越來越多時，二項分布變成了正態(tài)分布，獨立同分布中心極限定理說明如果隨機變量是由許多隨機變量的和組成，構成這些隨機變量的因素都是微小的、沒有一個因素起到?jīng)Q定性的作用，則這個數(shù)量指標近似地服從正態(tài)分布［7］，由此可以引導學生認識事物變化都是由量變到質(zhì)變的。以評估體育鍛煉為例，設Xi(i=1,2,…,365)表示第i天進行了鍛煉，Xi為獨立同分布的隨機變量序列，E(Xi)表示第i天鍛煉的綜合效果，表現(xiàn)如體質(zhì)增強等，D(Xi)表示為第i天鍛煉后的感受差異程度，表現(xiàn)如過度疲勞等，假設E(Xi)=65.6,D(Xi)=28.282，X表示一年的體育鍛煉效果，則

上述結論表明，堅持鍛煉的效果很明顯，體現(xiàn)在均值較大，而方差較大，說明需要改進鍛煉的方式技巧。教育學生不要輕視小問題，不要蔑視小成就，要重視日常積累，養(yǎng)成良好的生活學習習慣。

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計的發(fā)展進程中，從古典概率到幾何概率，統(tǒng)計概率再到概率的公理化定義，提供了理解概率收斂的理論基礎。在概率論的公理化體系建立以后，大數(shù)定律可在理論上進行嚴格的證明而成為意義明確的定理，尤其在1733年到1937年間，從De Moivre首次得出了一個特殊版本的中心極限定理到Feller和Levy給出中心極限定理的充要條件，例如：

該定理是概率論與數(shù)理統(tǒng)計歷史上第一個中心極限定理，由棣莫弗于1730年給出的特殊情況，幾十年后經(jīng)拉普拉斯推廣到0＜p＜1的一般情形。無數(shù)偉大的數(shù)學家、統(tǒng)計學家經(jīng)過一場跨越兩百年的探索，概率論與數(shù)理統(tǒng)計才發(fā)展成一門獨立學科。這場偉大實踐處處體現(xiàn)了對立統(tǒng)一規(guī)律、量變質(zhì)變規(guī)律、否定之否定規(guī)律，彰顯了科學精神的精髓實質(zhì)，讓學生感受到數(shù)學獨特的嚴謹之美，培養(yǎng)他們縝密、批判、務實的邏輯思維。

1.5 感知唯物主義辯證法，從偶然性到必然性

隨機現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同的條件下進行大量重復試驗時才會呈現(xiàn)出來。如在實踐中人們認識到大量測量值的算術平均值具有穩(wěn)定性，大數(shù)定律表達并證明了這種規(guī)律性［8］，即隨機現(xiàn)象的平均結果不再受個別事件的影響，而是呈現(xiàn)出某種規(guī)律性。例如，拋擲硬幣，設n表示實驗次數(shù)，nH表示正面出現(xiàn)的次數(shù)，f表示頻率，當拋擲次數(shù)較少的時候，正反兩面出現(xiàn)的次數(shù)會有明顯的差異，這是偶然性，但當拋擲次數(shù)很多的時候，正反兩面出現(xiàn)的次數(shù)就“幾乎”一樣，這是必然性，如表2所示。教育學生堅持必然與偶然的辯證統(tǒng)一，不被暫時的挫折打倒，不被眼前的榮譽迷惑，要堅定信念，勤奮學習，最終會學有所成，成為對社會有貢獻的人［9］。

表2 頻率的波動性

1.6 培養(yǎng)馬克思主義的基本觀點，矛盾的普遍性與特殊性，共性和個性統(tǒng)一

利用矛盾分析法講解隨機變量。首先，隨機變量一般分為離散型和連續(xù)型，它們是對立統(tǒng)一的，“離散和連續(xù)的矛盾，正是推動數(shù)學發(fā)展的矛盾之一。”在相互轉(zhuǎn)化過程中，綻放出了一種思辨之美，讓學生更加深刻地了解它們各自存在的條件，培養(yǎng)了同學們嚴謹?shù)臄?shù)學思維［10］。其次，隨機變量是一個函數(shù)，但它與普通的函數(shù)具有本質(zhì)的差別，普通函數(shù)是定義在實數(shù)軸上的，隨機變量是定義在樣本空間上的，這其實是同一個問題的兩個方面，體現(xiàn)了共性和個性的統(tǒng)一。最后，從隨機事件與隨機變量的關系來看，它們都是研究隨機現(xiàn)象的手段，隨機事件是從靜態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象，而隨機變量則是從動態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象。在求解連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布時，利用分布函數(shù)求導，得到概率密度是普遍性的思路，而當函數(shù)處處可導，且嚴格單調(diào)時，利用公式法求概率密度則是特殊性的方法，這是事物特殊性與普遍性的辯證關系。

1.7 提倡合作共贏，培育集體主義價值觀

“一個籬笆三個樁，一個好漢三個幫”“三個臭皮匠，頂個諸葛亮”“人心齊、泰山移”等這些諺語所反映的思想在事件的獨立性，泊松分布均有體現(xiàn)［11］。例如，維護80臺同類型設備，故障率為0.01，有兩種維修方案，方案一是4人維護，每人負責20臺，方案二是由3人共同維護。哪種方案更加合理？

方案一：以Ai(i=1,2,3,4)表示事件“第i人維護的20臺中發(fā)生事故不能及時維修”，X表示“第1人維護的20臺中同一時刻發(fā)生故障的臺數(shù)”，則

方案二：設Y表示同時發(fā)生故障的臺數(shù)，則有Y～B(80,0.01)，λ=np=0.8，則不能及時維修的概率為

可以看出第二種方案，雖然配備的人員少，但由于團隊協(xié)作，發(fā)生故障后需要等待的概率反而更低。通過此案例引導同學們要培育團隊精神，學會依靠集體的力量，讓他們體會到團隊力量的強大。

1.8 注重隱私，把握敏感性問題的工作方法

全概率公式的基本思想是把一個未知的復雜事件分解成一個個已知的簡單事件再求解，這種思想在解決敏感性問題的調(diào)查時比較適用，如學生作弊、疾病的感染等。

保密問題：在一個無人的房間里有一個紙箱，假設箱里裝有30個球，其中20個紅球10個白球；被測試者事先被告知，從這個箱子中隨機抽取一個球，看過顏色后放回。

如果學生取的是白球，回答問題A：“你的生日是在10月1日之前嗎？”

如果學生取的是紅球，回答問題B：“你期末考試作弊了嗎？”

學生將結果勾在一張只有“是”與“否”的答卷上，每一位學生都參與了這次測試?；厥?200份答卷，如果其中400份答卷回答“是”，那么該校期末考試學生的作弊實際比例是多少呢？對于任意一個被調(diào)查者，由于調(diào)查者不知道他抽到的是何種顏色的球，所以不會知道他回答的到底是問題A還是問題B，這樣就有效保護了被調(diào)查者的個人隱私。于是，被調(diào)查者可以放心地給出真實答案。

設事件C=“回答“是”，B1=“學生取到了紅球”，B2=“學生取到了白球”。由全概率公式，有：

2 優(yōu)化課程設計，深挖思政資源

重點圍繞知識目標、能力目標、育人目標開展教學設計活動，以生活案例［12］或者歷史典故為切入點，引發(fā)情感共鳴，從而更加有效地挖掘大思政資源，將恰當?shù)摹霸攸c”分享給同學，最終達到將知識傳授、能力培養(yǎng)與價值引領有機融合的教學目的。下面以貝葉斯公式為例，詳細說明。

（1）引入“烽火戲諸侯”“狼來了”典故，說明了什么哲理？這和這門課程有什么關系呢？

（2）實例教學，“狼來了”寓言中，小孩的誠信度是如何變化的？記A={小孩說謊}，B={小孩可信}，假設p(B)=0.8，根據(jù)貝葉斯公式得

說明村民第一次受騙后，小孩的可信度由原來的0.8下降為0.444，再次使用貝葉斯公式，可計算出小孩第二、三次撒謊后，村民對他的信任度。即：第一次村民對小孩的信任度由0.8下降到0.444.村民第二次聽到“狼來了”，發(fā)現(xiàn)又被騙后，小孩的信任度由0.444下降到0.138，最后小孩的信任度由0.138下降到0.013（表3）。

表3 可信度變化率

提煉思政元素：社會主義核心價值觀“誠信”，“言必行行必果”，村民對小孩的信任度急劇下降，下降的幅度越來越大。

如果小孩認識到錯誤，他怎么做才能再次取得村民的信任？在此基礎上，再用貝葉斯公式來計算，即這個小孩第三次說謊以后，村民對他的可信程度0.013，如果小孩認識到錯誤并改正：

這表明村民經(jīng)過三次上當，對這個小孩的可信度變?yōu)?.013后，小孩第一次誠實，人們對他的可信度變?yōu)?.0232.用同樣的方法，再用貝葉斯公式來計算，村民對他的可信程度0.0232，如果小孩第二次守信，可信度變化為0.04.用同樣的方法得到下面數(shù)據(jù)：

表4 可信度變化率

由表4可知，小孩3次說謊，幾乎將誠信度消耗殆盡，但是想要返回到以前，起碼需要10次守信。生活中，“第一印象壞了，就很難扭轉(zhuǎn)過來”，培養(yǎng)學生樹立正確的價值觀，珍惜當下，失去很容易，但是再想恢復到以前就很難了。這就是對社會主義核心價值觀“誠信”的教育實踐，力爭做到知識、情感、價值觀的協(xié)調(diào)共生［13］。

3 教學實踐探索

在課程思政教學實踐中，以“立德樹人”為使命，以“思政育人”為責任，在課程48個學時的教學時間里，將課程中所涉及的思政元素進行了分類處理，并給出了理論課與實踐課的建議學時（表5）。

表5 課程思政元素設計與挖掘

利用學校的交互課堂，選擇部分班級進行試驗，實行混合式教學［14］。立足于課程內(nèi)容，教學方法，課程思政建設模式等方面，并在以下幾個方面進行了改革探索。

（1）使用體現(xiàn)課程思政的新教材。新教材最大的特點是在各個環(huán)節(jié)加入了思政元素與數(shù)學文化，廣泛使用案例教學，提高學生學習興趣和積極性。參加課程思政試驗教學探索的班級以新編寫的教材作為參考，在教學過程中將思政元素有效提煉出來，達到潤物無聲的效果，自然生動地觸發(fā)學生思想奇點。聯(lián)系一位思政類的教學名師，參與課件與習題冊的設計制作，進行教學試點以后，啟用體現(xiàn)課程思政理念的新課件。

（2）開展翻轉(zhuǎn)課堂教學，引導學生自己思考，感悟?qū)W科中的相關思政理念。概率論與數(shù)理統(tǒng)計共有48個學時，選擇12個學時進行適度翻轉(zhuǎn)課堂教學實踐。教師有針對性地講解重點、難點、補充知識點，鼓勵學生提出問題，以學生討論為主，教師引導為輔。在這部分教學實踐中，課堂借助超星學習通，“雨課堂”平臺來輔助課上教學，在課堂中教師會根據(jù)教學需要發(fā)布搶答、評分等指令，進一步活躍課堂氣氛，加強師生互動，鼓勵學生主動參與到學習中來，以提高課堂教學效果。

（3）妥善處理好“課前、課中、課后”的關系。課前學生需要進行線上自主預習，帶著自己的問題和感悟進行課堂線下學習。課前教師需要給學生推送學習視頻［15］，在視頻的選擇上不是為了傳導知識，而是以提高學生興趣為主，如利用貝葉斯公式尋找馬航MH370，課后要布置適當作業(yè)，可以嘗試布置一些無標準答案的題型，提倡同學們從不同角度思考解決。