毛芃暉，胡 東

（杭州電子科技大學，浙江 杭州 310018）

0 引言

在無線電監(jiān)測過程中，由于電磁環(huán)境較為復雜，難以識別與測量信號的基本參數信息，其中對信號的頻譜分析尤為困難。在對信號的離散譜進行處理時，經常出現頻譜泄露和柵欄效應的現象，信號的頻率估計容易產生較大的誤差。

為解決離散譜估計誤差較大的問題，國內外許多學者已經研究出了不少頻率估計的方法。文獻[1]提出了基于Fitz 算法來進行頻率估計，在低信噪比下也有很好的性能，但適用頻率范圍有限。文獻[2]基于Kay 算法的特點通過最大似然估計得到修正權值矩陣，可在采樣點不多的情況下完成頻率估計，但頻偏估計范圍較窄。文獻[3]提出了一種多步插值的頻偏估計算法，該算法有效降低了計算的復雜度，但需要一定的信噪比門限。文獻[4]提出了一種相位差分法，將載波估計轉為相位差估計問題，計算精度不高。文獻[5]采用了能量重心法對離散頻譜進行頻率校正，該方法較為簡單易行，但不適用于頻率密集的場合，有一定的局限性且精度不夠高。文獻[6]使用的Rife 算法是利用最大譜線及次大譜線來計算信號頻率估計，該算法的精度較高，但由于快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，FFT）只能對有限個樣點值進行處理，時域上的截斷很有可能會帶來較大的誤差。文獻[7]提出了一種M-Rife 算法，通過使用插值和頻譜偏移可以大幅度提高頻率估計的精度，且算法復雜度較低，頻譜估計范圍廣，但計算量太大，在實際工程中并不適用。文獻[8]、文獻[9]、文獻[10]都是在FFT 變換的基礎上對Rife 算法進行了改進，但算法復雜度較高，實現難度較大。

本文提出了一種基于M-Rife 算法的頻率估計方法，先計算出頻率在能量重心法中粗估計結果的誤差，再結合M-Rife 算法做信號的精確估計。理論分析和仿真結果證明，該方法計算較為簡單，且適用于不同的調制信號，計算精度與傳統(tǒng)Rife 算法相比也有所提高。

1 信號模型

假設接收到的信號經過基帶調制后為：

式中：M為載波相位的取值數；Ts為信號周期；i=1,2,…,M；Es為每個符號的能量；fc為載波頻率。抽樣后的信號進行正交分解可表示為：

式中：I(n)為信號的同相分量；Q(n)為信號的正交分量。信號經過高斯白噪聲信道后得到的信號模型為S(t)=x(t)+z(t)，其中，z(t)為信號噪聲大小。

2 能量重心法

能量重心法是一種基于離散譜的校正算法，其校正原理是利用對稱窗函數功率譜的能量重心無窮逼近坐標原點的特性，并通過使用窗譜函數主瓣內功率譜較大的譜線精準估計出信號主瓣重心的位置，從而實現對頻譜的校正[11]。窗函數的功率譜函數可以表示為：

功率譜最大譜線值為：

式中：l為頻偏；ω(x)為窗函數的頻譜模函數；ω(-l)為窗譜能量。根據文獻[5]可知能量校正法在白噪聲背景下的歸一化頻率校正的公式為：

式中：n為校正點數；m為主瓣內峰值最大點的譜線號；Gi為功率譜內第i條譜線值。能量重心法的校正精度在一定程度上由所選用的窗譜函數能量特性來決定，而在矩形窗、Hamming 窗、Blackman 窗等常見窗函數中，當n足夠大時，離散窗譜的能量重心都十分接近原點，其中由于Hanning 窗功率譜的能量主要集中在主瓣內，所以能量重心法的校正精度最高。以Hanning 窗為例，Hanning 窗的時域表達式為：

式中：N為窗長點數。N的功率譜模函數的計算式為：

式中：x0為需要分析的信號的歸一化頻率。通常選取3 條譜線來進行離散頻譜的能量重心校正，即利用功率譜內峰值最大的譜線和與之相鄰的兩條譜線，求出其頻率估計量為：

能量重心法簡單易行，可運用于不同窗函數公式，但在實際應用中可能會存在各種噪聲的干擾使得譜線的定位出現偏差，估計性能降低。

3 Rife 算法

Rife 算法主要是利用最大譜線和次大譜線值來推導出公式[12]：

式中：|X(k0)|為最大譜線值。當|X(k0+1)|≤|X(k0-1)|時，r=-1；當|X(k0+1)|≥|X(k0-1)|時，r=1。在理想的無信噪比條件下，使用Rife 算法進行頻率估計得到的誤差較?。坏趯嶋H有噪環(huán)境下，Rife 算法存在一定信噪比門限，且計算機模擬結果表明，當f0越靠近fs(k0+r)/N時，信號的頻率估計誤差越大。而當信噪比較低時，最大譜線與次大譜線距離較為接近，對譜線幅度也有一定影響，信號的估計誤差也會變大。為使頻率估計更為準確，在Rife 算法的基礎上建立了M-Rife 算法。M-Rife 算法首先執(zhí)行Rife 算法1 次，并把所得到的最大譜線和次大譜線之間的頻譜區(qū)域劃分為相等的3 段。找出最大譜線后，使用離散傅里葉變換的譜估計方法可得到一個粗估計的頻率值。當Rife 算法計算的頻率值為粗估計頻率值的1/3 時，得到的頻率估計值的精確度較高，可直接返回估計值；當估計到的頻率值接近粗估計頻率值的1/3 時，則將目標信號頻移fs/N/3，之后再次使用Rife 算法進行估計，獲得新的頻率估計值后，再將先前的頻移除去，便可以得到精確度更高的估計值。M-Rife 算法的頻譜量化位移公式[13]為：

其頻移后的時域表達式為：

對x′(n)重新執(zhí)行一次Rife 算法，并將由上述公式得到的頻移除去，最終得到的信號估計頻率為：

4 基于M-Rife 算法的精估計算法

由于Rife 算法和M-Rife 算法都存在不足，本文將能量重心法與M-Rife 算法相結合，提出一種新的載頻估計方法。由于M-Rife 算法需在信號FFT 變換后得到，FFT 變換很難保證截斷的信號為周期信號，因此會引起能量泄露，導致得到的離散頻譜的頻率產生較大的誤差[14]。能量重心法和M-Rife 算法都是基于最大譜線值和次大譜線值來估計頻率的，而能量重心法計算精度大，能對多段平均功率譜直接進行頻率校正，所以本文采用能量重心法來計算M-Rife 算法所需的頻率補償。首先，選取一段均勻分布的頻段，在此頻段中選取N個頻率點，利用Hanning 窗旁瓣較小且衰減較快的性質對信號進行加Hanning 窗截斷，并選取合適的采樣頻率后對信號等間隔采樣得到序列：

對s(n)加窗函數ωN(n)，將得到的信號序列進行離散傅里葉變換求出信號頻譜為：

式中：Gω(k)，Xω(k)，Zω(k)分別為sω(k)，x(n)ωN(n)，z(n)ωN(n)的離散傅里葉變換頻譜。根據式（5）進行頻率估計，對每個頻率點做多次蒙特卡羅仿真，計算出每次仿真得到的估計頻率值的均方根誤差，均方根誤差最小的頻率值即為每個頻率點的最佳校正頻率δi，最后求出N個最佳校正頻率的平均值即為該頻段內的最佳校正值，則有：

在求得m的基礎上校正的M-Rife 公式可變?yōu)椋?/p>

式中：|X(k1)|為M-Rife 算法中信號頻移后得到的功率譜最大譜線的幅值；|X(k1+r)|為次大譜線的幅值。

5 仿真實驗與結果

在加性高斯白噪聲信道的條件下，對本文算法用MATLAB 進行蒙特卡羅仿真和分析，并通過比較不同信號在Rife 算法和改進后的算法下得到的頻率估計值的歸一化誤差均值和方差來評估算法性能。信號的歸一化平均誤差曲線（Normalized Mean Error，NME）的理論值[15]為：

歸一化均方誤差曲線（Normalized Mean Square Error，NMSE）公式為：

按照式（16）中定義的信號修正計算方法，相關參數設置如下：在頻段內選取10 個頻率點，采樣點數為1 024；仿真時選用2FSK、4PSK、16QAM這3 種常見的數字信號進行實驗，信號載波頻率為1 000 Hz，采樣頻率為1 000 Hz，采樣點數為 4 096，信噪比范圍在0～20 dB。具體的仿真結果分析如下文所述。

兩種載頻估計方法在每個信噪比下分別進行100 次蒙特卡羅仿真得到的誤差均值如圖1 所示。

圖1 不同信噪比下兩種算法的誤差均值曲線

通過圖1 可以看出，本文提出的頻率估計算法的估計誤差均值遠遠小于Rife 算法估計的誤差均值，說明通過能量重心法的計算，可以求出M-Rife算法載頻估計所需的校正值。特別是在信噪比較小時，M-Rife 算法的誤差較大，而改進后的算法在低信噪比時仍能保持較好的性能。

兩種載頻估計方法在每個信噪比下分別進行100 次蒙特卡羅實驗得到的誤差方差如圖2 所示。

圖2 不同信噪比下兩種算法的誤差方差曲線

通過圖2 可以看出，在不同信噪比的條件下，本文提出的新方法的頻率估計誤差方差都比較低，證明改進后的算法在不同的噪聲條件下仍舊可以保持很好的性能，在信噪比變化較大的情況下穩(wěn)定性也比傳統(tǒng)的Rife 算法更好。

6 結語

本文通過能量重心法來估計信號頻率并以此來計算出信號產生的頻率偏差，然后用求得的頻率偏差值來補償M-Rife 法的估計頻率，得到最終精準估計值。該方法易于實現，在不同信噪比下對比Rife 算法在估計性能方面有很大的優(yōu)勢，也能適用于不同類型的調制信號，非常適合在無線電頻譜監(jiān)測中使用。