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        在“釋疑解惑”中提高高中數(shù)學(xué)試卷講評(píng)課的教學(xué)品質(zhì)

        2023-01-15 06:16:22王惠中

        [摘? 要] 試卷講評(píng)課應(yīng)從學(xué)生的實(shí)際學(xué)情出發(fā),重視學(xué)生思維過程的展示,在過程中發(fā)現(xiàn)學(xué)生的疑惑點(diǎn)、易錯(cuò)處,以此采取行之有效的方法幫助學(xué)生厘清問題的來龍去脈,認(rèn)清問題的本質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生“以不變應(yīng)萬變”的能力,提高數(shù)學(xué)教學(xué)品質(zhì).

        [關(guān)鍵詞] 試卷講評(píng)課;實(shí)際學(xué)情;教學(xué)品質(zhì)

        在高中數(shù)學(xué)試卷講評(píng)課上,教師除了幫助學(xué)生查缺補(bǔ)漏外,還應(yīng)尋找學(xué)生面臨的更深層次的問題,以此幫助學(xué)生更清楚地了解知識(shí)的來龍去脈,理解相關(guān)知識(shí)的本質(zhì),提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力. 試卷講評(píng)中教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生的疑惑處和易錯(cuò)處,通過自主探究、小組合作、集體探究等多種方式幫助學(xué)生釋疑解惑,讓學(xué)生“學(xué)懂學(xué)會(huì)”. 不過,在實(shí)際教學(xué)中,因考試頻率高,教學(xué)任務(wù)重,大多數(shù)教師沒有太多時(shí)間進(jìn)行學(xué)情分析,也沒有太多精力組織學(xué)生合作探究,講評(píng)時(shí)憑借主觀經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行教學(xué),這樣的試卷講評(píng)往往難以引發(fā)學(xué)生共鳴,不利于學(xué)生解題能力的提升. 要發(fā)揮試卷講評(píng)課的價(jià)值,教師必須利用好錯(cuò)誤資源,針對(duì)不同類型的錯(cuò)誤進(jìn)行錯(cuò)因分析,并給出相應(yīng)的解決問題的方法. 另外,突出教學(xué)重難點(diǎn),針對(duì)考試需要學(xué)生掌握的重點(diǎn)知識(shí)和技能進(jìn)行釋疑解惑,引導(dǎo)學(xué)生從本質(zhì)上看問題,注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的提煉,盡量減少思維僵化和思維惰化,培養(yǎng)學(xué)生敢于質(zhì)疑、勇于探索的積極的學(xué)習(xí)心態(tài),提高解題效率.

        導(dǎo)在疑處

        試卷講評(píng)不需要面面俱到,對(duì)于那些學(xué)生已經(jīng)掌握的基礎(chǔ)題沒有必要一講再講. 當(dāng)然不講并不是不重要,而是因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)理解并掌握了,若重復(fù)講不僅會(huì)消耗寶貴的課堂時(shí)間,而且難以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 教師應(yīng)在學(xué)生的疑惑處做文章,幫助學(xué)生消除疑惑,掌握解決問題的基本方法,以此提高學(xué)生解決問題的能力.

        例1 已知圓C:x2+y2-2mx-4y+m2-28=0,在圓C內(nèi)有一定點(diǎn)P(3,0),過點(diǎn)P任意作一條直線AB使其交圓C于A,B兩點(diǎn),若△ABC面積的最大值為16,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

        師:以下是考試時(shí)同學(xué)們給出的解答思路. (教師用PPT展示部分學(xué)生的解答思路)

        思路1:圓C的方程可化為(x-m)2+(y-2)2=32,記半徑為r,則r2=32. 已知點(diǎn)P(3,0)在圓C內(nèi),所以(3-m)2+(-2)2<32,即3-2

        思路2:圓C的方程可化為(x-m)2+(y-2)2=32,記半徑為r,則r2=32. 已知點(diǎn)P(3,0)在圓C內(nèi),得(3-m)2+(-2)2<32,即3-2

        師:考試時(shí)很多同學(xué)應(yīng)用的就是以上兩種解答思路,但有些同學(xué)最終沒有進(jìn)行到底. 現(xiàn)在請(qǐng)大家重新思考一下,看看是否還可以繼續(xù)呢. (預(yù)留充足的時(shí)間讓學(xué)生再思考)

        生1:這兩種思路的本質(zhì)是相同的,因?yàn)楫?dāng)(sinC)=1時(shí),d=r=4,即4=,可以將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的方程[(m-3)2-16]k2-4(m-3)k-12=0有解的問題來處理,當(dāng)(m-3)2-16=0時(shí),m=7或m=-1,代入上述方程可知方程有解;當(dāng)(m-3)2-16≠0時(shí),則有Δ=16(m-3)2+48[(m-3)2-16]≥0,解得m≤3-2或m≥3+2. 綜上可知,實(shí)數(shù)m的取值范圍為(3-2,3-2]∪[3+2,3+2).

        師:很好,你是怎么想到用這個(gè)方法求解的呢?

        生1:在考試時(shí),我也是求得d=4后就不知所措了,通過再思考終于想通了——當(dāng)△ABC的面積取最大值16時(shí),圓心C到過點(diǎn)P的直線的距離為4,這樣就可以將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的方程有解的問題求解了.

        生2:對(duì)于思路1,當(dāng)解得d=4后,可以利用幾何性質(zhì)繼續(xù)求解. 因?yàn)閯?dòng)直線AB過定點(diǎn)P,無論動(dòng)直線AB如何變化都是CP≥d,故當(dāng)CP≥4時(shí),d=4這一條件才能成立,因此(3-m)2+(-2)2≥16,即(3-m)2≥12,解得m≤3-2或m≥3+2.

        師:說得非常好,有時(shí)候解題發(fā)生思路中斷主要是因?yàn)閷?duì)題意的理解不到位,沒有形成整體思路,因此解題前一定要認(rèn)真審題.

        師:再認(rèn)真思考一下,影響△ABC面積的主因是什么?能否從變化的量入手求解呢?(學(xué)生沉思)

        生3:圓方程變形得(x-m)2+(y-2)2=32,可知圓心C在直線y=2上. 分析影響△ABC面積的主因,不妨從特殊情況出發(fā),當(dāng)m=3時(shí),圓心C為(3,2),故CP=2. 由圓的平面幾何性質(zhì)可知,對(duì)于圓內(nèi)過定點(diǎn)P的弦,弦心距的最大值為CP=2,即d=2,不成立. 當(dāng)圓心C在直線y=2上運(yùn)動(dòng)時(shí),CP的長(zhǎng)度也會(huì)隨之變化,若要使d=4成立,則需要CP≥4.

        師:很好,通過多角度分析,相信大家對(duì)該題已經(jīng)有了深刻的認(rèn)識(shí). 解題時(shí)我們習(xí)慣從因?qū)す?,即從已知出發(fā)尋找解決問題的突破口,有時(shí)候若能反過來進(jìn)行思考,也許會(huì)有意想不到的結(jié)果.

        考試時(shí)出錯(cuò)的原因可能是多種多樣的,在試卷講評(píng)時(shí)教師不要急于求成,應(yīng)為學(xué)生提供一個(gè)再思考、再認(rèn)識(shí)的時(shí)間和空間,幫助學(xué)生找到問題的癥結(jié),厘清問題的來龍去脈,同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生將問題思考到底,這樣不僅能提高學(xué)生的解題能力,而且能培養(yǎng)學(xué)生的解題信心,有利于提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.

        解在惑處

        因個(gè)體差異的存在,學(xué)生所犯的錯(cuò)誤往往是多種多樣的,只有找準(zhǔn)錯(cuò)因,對(duì)癥下藥,才能真正為學(xué)生解惑. 因此,講評(píng)前教師可以通過試卷分析或面談等方式了解學(xué)生出錯(cuò)的原因,從而通過有針對(duì)性的啟發(fā)和引導(dǎo)帶領(lǐng)學(xué)生走出困境. 如有的學(xué)生找不到解題的突破口,講評(píng)時(shí)教師應(yīng)加強(qiáng)思維訓(xùn)練和方法指導(dǎo),幫助學(xué)生找到正確的解題策略;有的學(xué)生因?yàn)橹R(shí)漏洞而產(chǎn)生了錯(cuò)誤,講評(píng)時(shí)教師要及時(shí)進(jìn)行補(bǔ)充,以此完善認(rèn)知體系,避免學(xué)生再次犯錯(cuò);有的學(xué)生因?yàn)檫\(yùn)算能力不強(qiáng)而產(chǎn)生了錯(cuò)誤,教師講評(píng)時(shí)可以呈現(xiàn)完整的運(yùn)算過程,以此消除學(xué)生的困惑,等等. 當(dāng)然,解惑后教師還應(yīng)拓展和延伸具體的問題,以此強(qiáng)化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解,同時(shí)通過對(duì)比分析引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)解題思路和技巧,提高學(xué)生的解題能力.

        例2 如圖1所示,已知圓G的方程為x2+y2=a2,橢圓E的方程為+=1(a>b>0),橢圓E的左頂點(diǎn)為A,過點(diǎn)A作斜率為k的直線l,其與橢圓E相交于點(diǎn)B,與圓G相交于點(diǎn)C.

        (1)若k=1時(shí),B恰好為線段AC的中點(diǎn),試求橢圓E的離心率e.

        (2)若橢圓E的離心率e=,F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn),當(dāng)

        BA+BF=2a時(shí),求k的值.

        (3)設(shè)D為圓G上異于A的一點(diǎn),直線AD的斜率為k2,當(dāng) =時(shí),試問直線BD是否過定點(diǎn)?若過定點(diǎn),請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不過,請(qǐng)說明理由.

        例2是高三復(fù)習(xí)解析幾何問題時(shí)給出的一道綜合題,主要研究的是直線和圓錐曲線相交有關(guān)的問題. 問題(1)和問題(2)較簡(jiǎn)單,大多數(shù)學(xué)生都能順利求解,講評(píng)時(shí)教師不再過多講解. 本題的難點(diǎn)主要為問題(3),為了便于說明問題,講評(píng)時(shí)教師給出了以下兩種解法:

        解法1:由

        y=k(x+a),

        +

        =1,可得+=0,解得x=-a或x=. 又x≠-a,故x=,從而y=k1(x+a)=. 再由

        y=k(x+a),

        x2+y2=a2,可得x2-a2+[k(x+a)]2=0,解得x=-a或x=. 同理x=,y=. 由=,得k=,代入x=,化簡(jiǎn)得x=,故y=2a3k1=,故k== -,所以BD⊥AD. 因?yàn)锳D為圓G的弦,所以∠ADB所對(duì)圓G的弦為直徑,所以直線BD過定點(diǎn),且定點(diǎn)為(a,0).

        解法2:設(shè)P(a,0),B(x,y),則+=1,因?yàn)?,所以kk=kk=··=·=·

        -

        =-1,所以PB⊥AD. 又PA為圓G的直徑,所以PD⊥AD,所以P,B,D三點(diǎn)共線,所以直線BD過定點(diǎn)P(a,0).

        從解題反饋來看,大多數(shù)學(xué)生選擇的是與解法1類似的思路. 不過解法1雖然思路自然,但是計(jì)算量大,很多學(xué)生沒有算下去的信心,所以最終也沒有得到答案;也有部分學(xué)生選擇的是解法2的思路,但是迫于沒有找到這個(gè)定點(diǎn)而最終放棄了. 對(duì)于本題該如何講評(píng)呢?難道直接告訴學(xué)生“你們選擇解法1相似的思路是沒有問題的,只要平時(shí)多加強(qiáng)運(yùn)算訓(xùn)練”就可以了嗎?這樣的教學(xué)難以幫助學(xué)生解惑,不利于解題能力提升. 在本例教學(xué)中,教師設(shè)計(jì)了如下環(huán)節(jié):

        (1)直觀演示

        利用幾何畫板作圖,通過改變點(diǎn)B的位置引導(dǎo)學(xué)生通過直觀觀察感知定點(diǎn)的位置.

        (2)類比聯(lián)想

        問題1:在圓G上任取一點(diǎn),該點(diǎn)與直徑兩個(gè)端點(diǎn)的連線的斜率存在怎樣的關(guān)系?

        問題2:在橢圓E上任取一點(diǎn),該點(diǎn)與橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線的斜率存在怎樣的關(guān)系?

        問題1是學(xué)生熟悉的內(nèi)容,學(xué)生可以直接給出結(jié)論,即斜率之積為-1,自然引發(fā)對(duì)問題2的聯(lián)想,由此通過類比聯(lián)想激發(fā)學(xué)生探究的積極性.

        (3)拓展延伸

        對(duì)于問題1可以將其推廣至過圓心的任意一條弦,那么對(duì)于問題2是否也可以將其推廣至過橢圓中心的任意一條弦呢?

        這樣通過直觀演示、類比聯(lián)想和拓展延伸有助于學(xué)生認(rèn)清問題的本質(zhì),有助于實(shí)現(xiàn)知識(shí)的融會(huì)貫通,有效激發(fā)學(xué)生的理性思維,提高教學(xué)品質(zhì).

        總之,試卷講評(píng)要打破“以師為主”的教學(xué)模式,從具體教學(xué)實(shí)際出發(fā),通過有針對(duì)性的教學(xué)互動(dòng),提升教學(xué)質(zhì)量,提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.

        作者簡(jiǎn)介:王惠中(1967—),本科學(xué)歷,中學(xué)一級(jí)教師,主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作.

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