韓磊 王新彤 李錄賢

(西安交通大學(xué)航天航空學(xué)院,機械結(jié)構(gòu)強度與振動國家重點實驗室,飛行器環(huán)境與控制陜西省重點實驗室,西安 710049)

引言

橡膠材料等彈性體因其卓越的減震性、柔韌性及密封性等,已廣泛應(yīng)用于輪胎、密封件或振動支座等各類橡膠制造行業(yè)[1-3].這些材料的超彈性力學(xué)行為,通?；趹?yīng)變能密度函數(shù)(簡稱應(yīng)變能函數(shù))來研究.近幾十年來,人們已經(jīng)提出大量模型來預(yù)測材料的超彈性行為[4-9].例如文獻[5],基于遺傳算法利用多目標(biāo)優(yōu)化程序,提出了一種參數(shù)識別方法,比較研究了44 種超彈性本構(gòu)模型對多種變形模式下實驗曲線的擬合精度.彭向峰等[10]從不同體積變化形式、多變形模式和全范圍變形程度3 方面對超彈性本構(gòu)關(guān)系進行總結(jié)分析,并提出了超彈性材料完全本構(gòu)關(guān)系的構(gòu)造步驟及研究方法.隨著計算能力和非線性數(shù)值模擬技術(shù)的快速發(fā)展,有限元分析已成功應(yīng)用于大變形復(fù)雜橡膠構(gòu)件的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計和可靠性分析[11-12],但是,若沒有采用準(zhǔn)確的超彈性本構(gòu)模型,就無法獲得高精度的應(yīng)變和/或應(yīng)力分布的數(shù)值結(jié)果.

目前,大多數(shù)本構(gòu)模型可對實驗數(shù)據(jù)進行高精度的預(yù)測,尤其是針對單軸拉伸實驗數(shù)據(jù).Destrade等[13]采用多種形式的應(yīng)變能函數(shù)對單軸拉伸實驗的全變形范圍進行了參數(shù)識別,但該模型對等雙軸拉伸實驗曲線的預(yù)測效果較差.Han等[14]采用(I1-3)m和(I2-3)m型應(yīng)變能函數(shù)分階段逐步對單軸拉伸實驗數(shù)據(jù)進行參數(shù)識別,得到了令人滿意的預(yù)測曲線,并保持了材料的初始剪切模量,但對等雙軸和純剪實驗數(shù)據(jù)的預(yù)測效果卻不盡人意.魏志剛等[15]基于平面應(yīng)力變形狀態(tài),構(gòu)建了一類依賴于第一和第二主伸長比的本構(gòu)模型形式,可使用單類實驗數(shù)據(jù)識別得到可靠的模型參數(shù),但其單軸拉伸變形范圍僅有400%.Steinmann等[6]和Hossian等[16]發(fā)現(xiàn)僅用一種變形模式得到的模型參數(shù)并不能有效預(yù)測其它變形模式的實驗結(jié)果,即使可很好描述單軸和純剪切變形模式的八鏈模型[17],對等雙軸載荷響應(yīng)的預(yù)測也不能令人滿意.

理論上,材料的本構(gòu)模型并不因變形模式而不同,且最佳模型能夠用最少數(shù)量的材料參數(shù)描述超彈性體的完整行為[18].鑒于此,Bien-Aimé等[19]提出了一種新的類橡膠材料模型,運用遺傳算法,通過預(yù)測Treloar(3 種變形模式)和Nunes(簡單剪切)的實驗數(shù)據(jù),建立了材料的本構(gòu)模型.Blaise等[20]基于Hart-Smith 模型和Gornet 修正模型,提出一種不可壓縮超彈性模型,很好預(yù)測了橡膠材料在多種變形模式下的應(yīng)力-應(yīng)變響應(yīng).考慮到超彈性材料在各種載荷下均表現(xiàn)出了S 形的應(yīng)力曲線,指數(shù)型函數(shù)[21-23]也是應(yīng)變能函數(shù)的一個很好選擇.Darijani等[21]的工作表明,指數(shù)型應(yīng)變能函數(shù)也可準(zhǔn)確預(yù)測可壓和不可壓橡膠材料的實驗數(shù)據(jù).基于文獻[21]的框架,Mansouri等[22]構(gòu)造了一組新的應(yīng)變能函數(shù),對大變形條件下具有J 形和S 形力學(xué)行為的彈性體和軟組織材料均具有良好的預(yù)測能力.然而,對一般超彈性材料,指數(shù)型應(yīng)變能函數(shù)的適用性仍是一個需要解決的問題.

隨著超彈性材料斷裂問題的研究與應(yīng)用,為了預(yù)測較大變形范圍和復(fù)雜變形模式,冪函數(shù)型應(yīng)變能函數(shù)的指數(shù)也會出現(xiàn)小于1 的情形,此時,以(I1-3)和(I2-3)為底的冪函數(shù)(例如文獻[8,19-20,24-25]),雖可提高大變形階段的預(yù)測精度,但在初始狀態(tài)的小變形階段,面臨更大的應(yīng)力奇異問題.鑒于此,Carroll[26]建議以I1和I2為底,提出了3 參數(shù)冪類應(yīng)變能函數(shù),依次通過單軸和等雙軸拉伸實驗數(shù)據(jù)對模型參數(shù)進行了識別,所得本構(gòu)模型對純剪變形模式也給出了令人滿意的預(yù)測效果.該模型克服了初始狀態(tài)時會出現(xiàn)應(yīng)力偏差大的局限,但預(yù)先指定的冪指數(shù),限制了模型的預(yù)測精度.一些學(xué)者也采用其它技術(shù)來提高本構(gòu)模型的預(yù)測效果和穩(wěn)定性.徐中明等[27]提出超靜定方程方法來識別橡膠的材料參數(shù),預(yù)測效果顯示了該方法的有效性和可靠性.肖銳等[28]在熵彈性模型的基礎(chǔ)上引入纏結(jié)約束效應(yīng),其本構(gòu)模型能準(zhǔn)確描述不同變形模式的應(yīng)力響應(yīng),并揭示了纏結(jié)約束效應(yīng)對超彈性材料宏觀力學(xué)行為的影響.

本文基于Treloar 的單軸拉伸、等雙軸拉伸和純剪切3 種不同變形模式的實驗數(shù)據(jù),采用和兩類非指定指數(shù)的冪函數(shù)型應(yīng)變能函數(shù),建立超彈性材料的完全本構(gòu)模型.第1 節(jié)首先對3 種基本實驗曲線的特點進行分析;接著,基于共有的應(yīng)力條件,推導(dǎo)單軸、等雙軸拉伸和純剪切3 種基本變形模式的本構(gòu)關(guān)系;最后,對3 種變形模式下和兩類基本應(yīng)變能函數(shù)的本構(gòu)特性進行討論.第2 節(jié)提出一種新的模型參數(shù)識別方法,以3 種實驗數(shù)據(jù)與模型預(yù)測的總體誤差泛函最小為目標(biāo),對模型參數(shù)進行識別,構(gòu)建滿足3 種基本變形模式、適合全程大變形范圍的完全本構(gòu)關(guān)系.第3 節(jié)將本文結(jié)果與已有文獻結(jié)果進行比較.第4 節(jié)總結(jié)全文工作并給出結(jié)論.

1 基本理論

1.1 實驗數(shù)據(jù)分析

Treloar 對含8%硫的硫化橡膠分別開展了單軸拉伸(簡稱ST)、等雙軸拉伸(簡稱ET)和純剪切(簡稱PS) 3 種變形模式的實驗測試,所得實驗數(shù)據(jù)如表1～ 表3 所列[6,14],其應(yīng)力隨伸長比的變化關(guān)系如圖1 所示.

表1 單軸拉伸變形模式的實驗數(shù)據(jù)Table 1 Experimental data of the ST deformation mode

表2 等雙軸拉伸變形模式的實驗數(shù)據(jù)Table 2 Experimental data of the ET deformation mode

表3 純剪切變形模式的實驗數(shù)據(jù)Table 3 Experimental data of the PS deformation mode

從圖1 可以看出,這3 組實驗曲線均表現(xiàn)出高度的非線性.單軸拉伸和純剪切曲線在伸長比為1～5 之間的變化規(guī)律基本一致,等雙軸拉伸實驗曲線則更為陡峭.

圖1 ST,ET和PS 實驗數(shù)據(jù)匯總Fig.1 Collection of experimental data under ST,ET and PS states

1.2 本構(gòu)理論

超彈性材料的力學(xué)特性可以用它的應(yīng)變能函數(shù)W予以描述.一般地,應(yīng)變能函數(shù)可表示為變形梯度張量F的函數(shù)W(F),考慮到材料性能的客觀性,應(yīng)變能函數(shù)又可表示為右拉伸張量U的函數(shù)W(U).在大變形分析中,右Cauchy-Green 張量C=U2=FTF是描述物體變形(例如Green 應(yīng)變)的一個重要物理量,為此,與大多數(shù)文獻(例如文獻[1,5,23])所采用的等價方式一樣,本文假定應(yīng)變能函數(shù)W為右Cauchy-Green 張量C的3 個不變量I1,I2和I3的函數(shù)W(I1,I2,I3),3 個不變量的含義為

其中,λ1,λ2和λ3為拉伸張量U(或變形梯度張量F)的3 個特征值,在物理上解釋為物體的3 個主伸長比.

材料的體積變形比J=λ1λ2λ3=.對于不可壓材料,有J=1,此時,用第一Piola-Kirchhoff應(yīng)力張量P表示的本構(gòu)關(guān)系為

其中,p是與不可壓約束相關(guān)的靜水壓力.對于主方向的應(yīng)力ti(i=1,2,3),式(2)又可表示為

對于單軸拉伸、等雙軸拉伸以及純剪切3 種基本變形模式,都具有t3=0的相同應(yīng)力條件,因而,其本構(gòu)特性在主應(yīng)力空間均可表征為加載方向的應(yīng)力T與該方向上主伸長比 λ 間的關(guān)系式,下面推導(dǎo)這3 種基本模式的具體本構(gòu)關(guān)系.

(1) 單軸拉伸模式的本構(gòu)關(guān)系

對于單軸拉伸模式,除了t3=0的應(yīng)力條件外,還具有 λ1=λ和λ2=λ3=λ-1/2的變形特征,將其代入式(6),得出單軸拉伸時的本構(gòu)關(guān)系為

(2) 等雙軸拉伸模式的本構(gòu)關(guān)系

對于等雙軸拉伸模式,除了t3=0的應(yīng)力條件外,還具有 λ1=λ2=λ和λ3=λ-2的變形特征,將其代入式(6),得出等雙軸拉伸時的本構(gòu)關(guān)系為

(3) 純剪模式的本構(gòu)關(guān)系

與簡單剪切變形時應(yīng)變主軸在加載過程中不斷旋轉(zhuǎn)變化不同,純剪變形的應(yīng)變主軸在加載過程中保持空間方向不變.這樣,純剪變形可通過如圖2 所示的寬高比b/h0足夠大的薄橡膠板拉伸試驗來實現(xiàn).

圖2 純剪試件示意圖Fig.2 Schematic of pure shear specimen

于是,對于純剪變形模式,除了t3=0的應(yīng)力條件外,將具有 λ1=λ,λ2=1 以及 λ3=λ-1這樣一個極為特殊的雙軸拉伸變形特征[29],將其代入式(6),得出純剪時的本構(gòu)關(guān)系為

1.3 基本應(yīng)變能函數(shù)的本構(gòu)特性

在1.2 節(jié)中,簡單拉伸、等雙軸拉伸以及純剪3 種變形模式的本構(gòu)關(guān)系都表示成了T與主伸長比λ之間的關(guān)系.下面研究應(yīng)變能函數(shù)分別為W1=I1m和W2=I2m兩種基本冪函數(shù)形式時材料的不同本構(gòu)特性.根據(jù)式(1),I1和I2恒大于等于3,所以,以兩者為底時指數(shù)m可允許取小于1 的正實數(shù).

對于應(yīng)變能函數(shù)為W1=I1m的情形,根據(jù)式(7)～式(9),得到其應(yīng)力T1的表達式為

對于應(yīng)變能函數(shù)為W2=I2m的情形,根據(jù)式(7)～式(9),得到其應(yīng)力T2的表達式為

典型m取值時式(10)和式(11)所表示的不同變形模式的本構(gòu)規(guī)律分別如圖3和圖4 所示.

由圖3 可以看出,對于W1=I1m型基本應(yīng)變能函數(shù),3 種變形模式的規(guī)律基本一致.當(dāng)m<1 時,應(yīng)力在伸長比較小時變化非常陡峭,隨著伸長比的增大,應(yīng)力變化逐漸趨于平緩;當(dāng)m>1 時,應(yīng)力隨伸長比的變化與m<1 時呈相反趨勢,即先平后陡的增長變化;3 種變形模式應(yīng)力大小的次序不隨m發(fā)生變化,均依次為等雙軸最大、純剪次之、單軸最小.

圖3 典型m 取值時 W1=I1m對3 種變形模式的本構(gòu)描述Fig.3 Constitutive behavior of three deformation modes described by W1=I1mfor typical values of m

對于圖4 表示的W2=I2m型基本應(yīng)變能函數(shù),情形則有所不同,3 種變形模式下以及不同m取值時,應(yīng)力的變化都表現(xiàn)出復(fù)雜的非線性行為.

圖4 典型m 取值時 W2=I2m所表征的三種變形模式本構(gòu)特性Fig.4 Constitutive behavior of three deformation modes described by W2=I2mfor typical values of m

2 完全本構(gòu)關(guān)系的建立

超彈性材料的非線性及其多樣性,決定了材料本構(gòu)模型的形式及其參數(shù)取值需要多種變形模式及全變形范圍的實驗去驗證.例如,僅運用單軸拉伸實驗數(shù)據(jù)確定的本構(gòu)關(guān)系及其參數(shù),一般并不能很好預(yù)測等雙軸和純剪兩種變形模式時的應(yīng)力變化特性(參考文獻[22]及3.2 節(jié)的討論).為了同時兼顧不同模式下的實驗數(shù)據(jù),采用3 種變形模式實驗數(shù)據(jù)對本構(gòu)參數(shù)進行同步識別的思想,以實現(xiàn)本構(gòu)模型對不同變形模式同時達到最佳預(yù)測精度的目標(biāo).

2.1 初始階段本構(gòu)關(guān)系的建立

如圖1 所示,超彈性材料較小變形的初始階段,除了具有因不同物理機制決定的復(fù)雜變化關(guān)系外,它還是獲取超彈性材料基本材料參數(shù)(例如初始剪切模量[14])的重要依據(jù).因而,對該區(qū)域的劃分及預(yù)測精度就顯得尤為重要.

理論上,初始階段選取的變形范圍越小越好,但考慮到該階段是實驗的初始階段,數(shù)據(jù)分散性較大[6],經(jīng)分析3 種模式的實驗數(shù)據(jù),我們確定取伸長比不超過1.12 的6 組實驗數(shù)據(jù)為初始階段,具體如表4所示.利用最小二乘法,通過尋求該階段所有實驗點處預(yù)測的總體誤差泛函最小,以獲取最佳模型參數(shù).

表4 初始階段數(shù)據(jù)及其對應(yīng)變形模式Table 4 Data in the initial regime and the associated deformation modes

眾所周知,在非常小變形情形下,超彈性材料都服從neo-Hookean 模型[30],即WI=A1I1,也就是說,式(10)中的m=1.

根據(jù)式(10),并結(jié)合表4 的數(shù)據(jù),得到6 組數(shù)據(jù)的誤差分別為

定義該階段的總體誤差泛函為

通過對總體誤差泛函Err(A1) 關(guān)于本構(gòu)參數(shù)A1求變分,解析得到A1=0.206 7,進而獲得材料的初始剪切模量[14]G=2A1=0.413 4 MPa.

2.2 全變形范圍本構(gòu)關(guān)系的建立

借鑒Carroll[26]將單軸拉伸全變形范圍分為兩個階段的做法,本文將3 種變形模式實驗曲線除初始階段的剩余部分作為第2 階段進行統(tǒng)一處理.考慮到2.1 節(jié)已得到材料在初始階段的本構(gòu)特性,通過TU-E=TE-TI,將得到圖5 所示的3 種模式全變形范圍的更新實驗數(shù)據(jù)TU-E.

圖5 3 種變形模式的更新實驗數(shù)據(jù)Fig.5 Updated experimental data of three deformation modes

經(jīng)分析圖3和圖4 基本應(yīng)變能函數(shù)所表征的本構(gòu)特性,圖5 的高度非線性變化很難采用單一基本應(yīng)變能函數(shù)予以表征,為此,本文假設(shè)應(yīng)變能函數(shù)為

其中兩個不同指數(shù)項I1的引入是為了后續(xù)與文獻[26]結(jié)果進行比較.

根據(jù)式(7)～式(9),針對式(14)的應(yīng)變能函數(shù),得到不同模式的本構(gòu)關(guān)系為

結(jié)合圖5 的更新數(shù)據(jù),先計算各模式的偏差,再仿式(13)構(gòu)造3 種模式的總體誤差泛函,最后運用1stOpt 軟件,在Err=0.163 2 時識別得到模型參數(shù)為

采用式(15)的本構(gòu)關(guān)系和式(16)的模型參數(shù),對更新數(shù)據(jù)的預(yù)測效果如圖6 所示.

圖6 對3 種變形模式更新實驗數(shù)據(jù)的預(yù)測效果Fig.6 Predicted effect for the updated experimental data of three deformation modes

2.3 完全本構(gòu)關(guān)系的建立

根據(jù)2.1 節(jié)和2.2 節(jié)的分析,我們得到該材料的總體應(yīng)變能函數(shù)為

由于式(17)應(yīng)變能函數(shù)的選取及其參數(shù)識別同時考慮了3 種不同變形模式以及全變形范圍,我們將式(17)代入式(2)后得到的本構(gòu)關(guān)系,稱之為該材料的完全本構(gòu)關(guān)系,其退化形式可以是主應(yīng)力形式的式(3),或單軸拉伸變形模式的式(7)、等雙軸拉伸變形模式的式(8)和純剪切變形模式的式(9).

完全本構(gòu)關(guān)系對實驗曲線的預(yù)測效果如圖7 所示,單軸拉伸時的最小二乘誤差LSE為2.51%、等雙軸拉伸時LSE為2.76%、純剪切時LSE為2.45%,對3 種模式實驗均具有滿意的整體預(yù)測精度.

圖7 完全本構(gòu)關(guān)系對3 種不同模式實驗曲線的預(yù)測效果Fig.7 Predicted effect of complete constitutive relation for the three different modes

依據(jù)式(17)及文獻[14],得到該材料初始剪切模量為

可以看出,初始模量不再保持為初始階段確定的 2C1=0.413 4 MPa,降低了約17%,可認(rèn)為是同時兼顧3 種變形模式實驗數(shù)據(jù)后對材料初始剪切模量的有效修正.

3 比較與討論

3.1 與文獻[26]結(jié)果的比較與討論

Carroll[26]將兩種不同模式的實驗曲線分成兩段,通過分析各段的變化特征,采用指定指數(shù)的冪函數(shù)形式,將應(yīng)變能函數(shù)表示為

運用實驗數(shù)據(jù),Carroll[26]識別得到的模型參數(shù)為

式(19)和式(20)對3 種變形模式實驗曲線的預(yù)測精度如表5 所示.可以看出,對于3 種變形模式實驗數(shù)據(jù),本文得到的式(17)的預(yù)測精度均優(yōu)于式(19).

表5 不同本構(gòu)模型的預(yù)測精度比較Table 5 Comparison of prediction accuracy of different constitutive models

分析式(16)中的指數(shù)取值發(fā)現(xiàn),Carroll 模型[26]碰巧是一種與本文非整數(shù)指數(shù)接近的可選整數(shù)指數(shù)(例如m2=1和m3=4) 或半整數(shù)指數(shù)(例如m4=0.5)模型.實際上,如若假定本文模型中m2=1為給定指數(shù),可進而識別得到

最終得到一種可選模型為

值得注意的是,此時累加得到的I1項系數(shù)0.149 6與Carroll 模型[26]中的系數(shù)0.15(參考式(20))非常吻合.式(22)模型的預(yù)測精度也列于表5,可以看出,由于仍具有兩個非指定的指數(shù)m3和m4,模型預(yù)測的總體誤差泛函雖稍遜于式(17),但仍明顯優(yōu)于Carroll 模型的式(19).

3.2 與Destrade 工作的比較與討論

針對單軸拉伸全變形區(qū)域,Destrade等[13]提出了多個超彈性材料模型.單純從對單軸拉伸實驗預(yù)測的效果看,Destrade 模型的誤差泛函在0.06907～0.107 2 之間,優(yōu)于本文模型對單軸拉伸模式的最佳誤差泛函0.137 1.但當(dāng)Destrade 模型用于等雙軸拉伸或純剪變形兩種與單軸拉伸區(qū)別較大的模式時,其預(yù)測精度卻差強人意.以文獻[13]中最好的W1-GT和W2-GT兩種模型為例,參考圖8,二者對純剪模式的誤差泛函分別為0.0104和0.026 4,與本文模型和Carroll 模型(參考表5)基本相當(dāng);但對等雙軸拉伸模式的誤差泛函已達0.435 8和0.438 8,偏差太大;然而,本文模型對等雙軸模式仍能表現(xiàn)出強健的預(yù)測能力.

圖8 典型Destrade 模型對不同變形模式實驗數(shù)據(jù)的預(yù)測效果Fig.8 Predicted effect of typical Destrade models for experimental data of different deformation modes

3.3 與文獻[22]工作的比較與討論

Mansouri等[22]根據(jù)第1和第2 應(yīng)變不變量構(gòu)造了指數(shù)型應(yīng)變能密度函數(shù),對多種類橡膠材料以及生物軟組織材料進行預(yù)測,其本構(gòu)關(guān)系具有普遍性.考慮到本文工作均基于Treloar 的實驗數(shù)據(jù),文獻[22]中針對該數(shù)據(jù)得到的本構(gòu)模型為

由于文獻[22]中的單軸實驗數(shù)據(jù)與本文不一致*實際上,與其他多個文獻(如文獻[6,13])也不一致,此處只比較等雙軸拉伸和純剪兩種變形模式,其結(jié)果如圖9 所示.經(jīng)計算,式(23)對等雙軸拉伸和純剪變形預(yù)測的誤差泛函分別為0.4607和0.082 62,最小二乘誤差分別為LSE=15.78%和LSE=8.22%,均明顯大于本文模型的預(yù)測誤差(參考表5).

圖9 Mansouri 模型對不同變形模式實驗數(shù)據(jù)的預(yù)測效果Fig.9 Predicted effect of the Mansouri model for experimental data of different deformation modes

圖9 Mansouri 模型對不同變形模式實驗數(shù)據(jù)的預(yù)測效果(續(xù))Fig.9 Predicted effect of the Mansouri model for experimental data of different deformation modes(continued)

4 結(jié)論

本文基于Treloar 的實驗數(shù)據(jù),開展了超彈性材料的完全本構(gòu)關(guān)系研究.首先研究了單軸拉伸、等雙軸拉伸和純剪切3 種變形模式的本構(gòu)理論,再采用以I1和I2為底的非指定指數(shù)冪函數(shù)作為基本應(yīng)變能函數(shù),通過3 種模式下全范圍實驗數(shù)據(jù)的總體誤差泛函尋優(yōu),識別得到相應(yīng)的本構(gòu)參數(shù),預(yù)測精度比已有工作更高.

本文所采用的應(yīng)變能函數(shù)形式及其參數(shù)識別方法具有一般性,因而適用于其他超彈性材料(例如n-苯基-2-萘胺硫化橡膠,參考附錄)完全本構(gòu)關(guān)系的建立.我們的實踐還表明,本文提出的基于多變形模式實驗數(shù)據(jù)及其兩階段的研究策略,也適用于采用Ogden 型等其他函數(shù)類型建立超彈性材料的完全本構(gòu)關(guān)系.

附錄 n-苯基-2-萘胺硫化橡膠的完全本構(gòu)關(guān)系

根據(jù)文獻[26,31]中的實驗曲線,提取得到n-苯基-2-萘胺硫化橡膠的單軸拉伸(ST)和純剪切(PS)實驗數(shù)據(jù),分別如附表1和附表2 所示.

附表1 單軸拉伸實驗數(shù)據(jù)Table A1 Experimental data under the ST state

附表2 純剪切實驗數(shù)據(jù)Table A2 Experimental under the PS state

根據(jù)本文提出的方法,可以確定伸長比不超過1.2 的7 組實驗數(shù)據(jù)為初始階段.

在非常小變形情形下,超彈性材料都服從neo-Hookean模型,即

根據(jù)式(10),并結(jié)合初始階段數(shù)據(jù),得到7 個數(shù)據(jù)的誤差分別為

定義該階段的總體誤差泛函為

通過對總體誤差泛函Err() 關(guān)于本構(gòu)參數(shù)求變分,解析得到=0.178 2,進而得到初始剪切模量[14]G=2=0.356 5 MPa.

將兩種變形模式實驗曲線除初始階段的剩余部分作為第2 階段進行統(tǒng)一處理.考慮到已得到材料在初始階段的本構(gòu)特性,通過得到兩種模式全變形范圍的更新實驗數(shù)據(jù)TU-E′.

接下來,依據(jù)TU-E′數(shù)據(jù),研究剩余階段的本構(gòu)特性,為此,假設(shè)應(yīng)變能函數(shù)為

根據(jù)單軸拉伸和純剪切的本構(gòu)關(guān)系,針對式(A3)的應(yīng)變能函數(shù),得到不同模式的本構(gòu)關(guān)系為構(gòu)造兩種模式的總體誤差泛函,最后運用1stOpt 軟件,在總體誤差泛函為Err=0.031 44 時識別得到模型參數(shù)為

于是得到該材料的總體應(yīng)變能函數(shù)為

僅為0.03144 的總體誤差泛函表明,利用本文方法建立的完全本構(gòu)關(guān)系,反映了n-苯基-2-萘胺硫化橡膠材料的實際變形特性.