鄭鵬坤，陳 建

（上海理工大學(xué) 光電信息與計(jì)算機(jī)學(xué)院，上海 200093）

引 言

光子可以攜帶與偏振態(tài)有關(guān)的自旋角動(dòng)量（SAM）和與螺旋相位有關(guān)的軌道角動(dòng)量（OAM）[1]。在被廣泛研究的空間域渦旋光束中，其攜帶的縱向OAM與光束的傳播方向平行，并且只能在光束橫截面內(nèi)觀察到渦旋相位。渦旋結(jié)構(gòu)與光子軌道角動(dòng)量密切相關(guān)[2-4]，這在光學(xué)及量子信息通信技術(shù)中得到驗(yàn)證。如Mair等[5]演示了攜帶OAM的電磁場(chǎng)空間模型，Uchida等[6]報(bào)道了自由空間中攜帶OAM的電子束的產(chǎn)生，Wang等[7]的研究表明在通信領(lǐng)域OAM可能是提高自由空間通信能力的一個(gè)有用的自由度，Bozinovic等[8]演示了利用光的軌道角動(dòng)量來(lái)建立不同的數(shù)據(jù)傳輸通道的可能性。

隨著對(duì)渦旋光束的研究越來(lái)越深入，時(shí)空域光渦旋（STOV）引起了人們的極大興趣。通過(guò)引入時(shí)間域內(nèi)的相位變化，所形成的渦旋光束繞著垂直于傳播方向的軸旋轉(zhuǎn)，可以獲得純橫向OAM。在時(shí)空光場(chǎng)領(lǐng)域一些關(guān)于時(shí)空光渦旋和橫向OAM的開(kāi)創(chuàng)性研究已經(jīng)發(fā)表，比如Bliokh等[9]在理論上構(gòu)造出可以任意角度攜帶軌道角動(dòng)量的波束，Jhajj等[10]從實(shí)驗(yàn)上證實(shí)時(shí)空光渦旋的存在，Hancock等[11]演示了時(shí)空光渦旋在自由空間中的產(chǎn)生和傳播，Chong[12]利用空間頻率-頻率面到空間-時(shí)間面的傅里葉變化，成功生成并表征了攜帶橫向OAM的超短脈沖光波包。

在之前的研究中，我們已經(jīng)使用預(yù)處理的時(shí)空波包，在焦平面處產(chǎn)生具有橫向OAM的標(biāo)量STOV[13]。本文主要介紹強(qiáng)聚焦條件下生成偏振態(tài)可控的線偏振時(shí)空光渦旋的方法，并對(duì)聚焦后的波包性質(zhì)進(jìn)行分析。該方法為實(shí)驗(yàn)生成高度局域的矢量時(shí)空光渦旋鋪平了道路，在納米光子學(xué)、光與物質(zhì)相互作用、電光鑷等方面具有潛在的應(yīng)用前景。

1 入射波包預(yù)處理

不失一般性，具有拉蓋爾-高斯模分布且拓?fù)浜蔀?1的水平偏振STOV可表述為

式中： ω 是波包在空間域內(nèi)的束腰半徑， ωt是時(shí)域中波包最大強(qiáng)度的 1 /e2處的半脈沖寬度。ex是沿x方向的單位向量。同樣地，拓?fù)潆姾蔀?1的水平線偏振光STOV可表述為

通過(guò)之前的研究可知，由于時(shí)空像散效應(yīng)，波包中的時(shí)空螺旋相位在通過(guò)高數(shù)值孔徑透鏡聚焦時(shí)會(huì)被破壞[13]。為了防止時(shí)空相位結(jié)構(gòu)的崩潰，我們用類似于柱透鏡模式轉(zhuǎn)換器中用于從厄米-高斯（HG）模式轉(zhuǎn)換為拉蓋爾-高斯（LG）模式的預(yù)處理方式，以此來(lái)產(chǎn)生強(qiáng)聚焦時(shí)空光渦旋波包[14]。由于HG模式可以由LG模式線性疊加而成，上述兩個(gè)水平線偏振時(shí)空光渦旋波包線性疊加之后可獲得所需的預(yù)劈裂入射時(shí)空波包：

類似地，垂直線偏振入射場(chǎng)和45°偏振入射場(chǎng)分別為

式中ey是沿y方向的單位向量。

預(yù)處理后的水平線偏振入射波包（等值面為峰值強(qiáng)度的10%）如圖1（a）所示。從式（3）可知，水平偏振光的y偏振分量為0，因此x偏振分量也就是總?cè)肷鋱?chǎng)，從圖1（a）可以看到x偏振分量波包被劈裂成兩部分，x=0、y=0、t=0三個(gè)截面上的強(qiáng)度分布形狀與HG01模相似。如圖1（b）所示，x分量的相位分布被二值化為π/4（黃色區(qū)域）和-3π/4（藍(lán)色區(qū)域）。從圖1（c）可以清楚地看出預(yù)處理后的波包在空間域?yàn)樗骄€偏振。

圖 1 水平線偏振入射波包強(qiáng)度、相位及x-y面偏振分布圖Fig. 1 Intensity, phase and polarization distribution in x-y plane of horizontally polarized incident wave packet

圖2為垂直線偏振入射波包強(qiáng)度、相位、偏振分布圖。對(duì)比圖1可以看出，垂直線偏振入射波包形狀、強(qiáng)度、相位分布都與水平偏振相同，但空間域偏振分布二者為正交關(guān)系。從圖2（c）可以看出預(yù)處理后的波包在空間域?yàn)榇怪本€偏振。

圖 2 垂直線偏振入射波包強(qiáng)度、相位及x-y面偏振分布圖Fig. 2 Intensity, phase and polarization distribution in x-y plane of vertically polarized incident wave packet

圖3為45°線偏振入射波包強(qiáng)度、相位、偏振分布圖。從式（5）可知45°線偏振入射波包的x偏振分量和y偏振分量相等。圖3（b）反映出45°線偏振入射波包的相位分布與前面的水平、垂直線偏振入射波包的相位分布相同。圖3（c）顯示預(yù)處理后的波包在空間域?yàn)?5°線偏振。

圖 3 45°線偏振入射波包強(qiáng)度、相位及x-y面偏振分布圖Fig. 3 Intensity, phase and polarization distribution in x-y plane of 45° polarized incident wave packet

2 高數(shù)值孔徑透鏡聚焦時(shí)空波包

圖4給出了預(yù)處理波包的強(qiáng)聚焦示意圖。其中er和eφ分別是在柱坐標(biāo)系下入射場(chǎng)的徑向和角向單位矢量，為像空間中球坐標(biāo)系中的徑向和角向單位矢量。利用這些單位矢量來(lái)說(shuō)明入射波包的偏振方向經(jīng)透鏡折射之后發(fā)生的變化。從圖4可以看出，入射波包的徑向單位矢量在被透鏡折射后方向發(fā)生了變化，從而在焦場(chǎng)中產(chǎn)生了z偏振分量；其角向單位矢量不會(huì)發(fā)生變化。

圖 4 時(shí)空渦旋強(qiáng)聚焦示意圖Fig. 4 Schematic diagram of the tight focusing of STOV

在后續(xù)的模擬仿真中，使用各向同性介質(zhì)的物鏡，將入射波包的空間大小歸一化為透鏡的NA，設(shè)置 ω =0.5 ， ωt=0.5，NA=0.9 。

在焦場(chǎng)的數(shù)值仿真計(jì)算中，采用了一種簡(jiǎn)化的模型，忽略時(shí)空耦合，假設(shè)入射波包的每個(gè)時(shí)間切片都聚焦在焦場(chǎng)的共軛位置，同時(shí)忽略色差和其它像差的影響。隨后利用Debye衍射積分公式計(jì)算焦平面上的強(qiáng)聚焦時(shí)空波包[15-16]。衍射積分公式如下：

式中α是由透鏡的NA決定的收斂半角。rf=P(θ,?) 為球面Ω上折射場(chǎng)的偏振分布[17-18]。B(θ) 描述透鏡的切趾函數(shù)，對(duì)于正弦透鏡EΩ(θ,?,t)描述球面Ω上折射場(chǎng)的復(fù)振幅分布，由笛卡兒坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，EΩ(θ,?,t)可以寫(xiě)為

水平線偏振光P(θ,?) 可以表示為

垂直線偏振光P(θ,?) 可以表示為

45°線偏振光P(θ,?) 可以表示為

3 聚焦場(chǎng)時(shí)空結(jié)構(gòu)分析

首先，圖5給出了水平線偏振入射波包聚焦后焦場(chǎng)的x、y和z偏振分量的強(qiáng)度、相位以及等值面波包圖（等值面為最大強(qiáng)度的20%）。圖5（a）、5（b）分別是x分量的強(qiáng)度和相位分布圖；圖5（c）、5（d） 分別是y分量的強(qiáng)度和相位分布圖；圖5（e）、5（f） 分別是z分量的強(qiáng)度和相位分布圖。從圖5（a）可以看到等值面波包有一個(gè)沿y軸的相位奇點(diǎn)軌跡，對(duì)應(yīng)的相位分布圖5（b）在x-t面從-π到π呈逆時(shí)針變化，這表明x分量在x-t面內(nèi)攜帶拓?fù)浜?1的橫向OAM。從圖5（c）可以看到y(tǒng)分量強(qiáng)度很小，和x分量相差2個(gè)數(shù)量級(jí)，因此y分量可以忽略不計(jì)。從圖5（e）可以看出，聚焦時(shí)空渦旋具有較強(qiáng)的z分量，其峰值強(qiáng)度約為x分量的29%。從圖5（d）和5（f）可以看到y(tǒng)分量和z分量均沿y軸有兩個(gè)相位奇點(diǎn)軌跡，相位分布同樣從-π到π呈逆時(shí)針變化，表明y和z分量在x-t面同時(shí)攜帶兩個(gè)拓?fù)浜蔀?1的橫向OAM。

圖6給出了聚焦時(shí)空渦旋的總強(qiáng)度和偏振分布。圖6（a）為聚焦時(shí)空渦旋的強(qiáng)度分布及等值面波包圖（等值面為最大強(qiáng)度的30%）?？偨箞?chǎng)的波包形狀與x分量的波包形狀基本一致，因此x分量決定了總焦場(chǎng)的波包形狀。圖6（b）為空間域（x-y面）偏振分布圖，從中可以看出聚焦波包在空間域的偏振分布呈水平線偏振。

圖7給出了垂直線偏振入射波包聚焦后焦場(chǎng)的x、y和z偏振分量的強(qiáng)度、相位以及等值面波包圖（等值面為最大強(qiáng)度的20%）。從圖7（a）可以看出x分量強(qiáng)度很小，比y分量低兩個(gè)數(shù)量級(jí)，可以忽略不計(jì)。從圖7（b）可以看出，x分量在x-t面內(nèi)攜帶兩個(gè)拓?fù)浜蔀?1的橫向OAM。圖7（c）顯示聚焦波包的y分量有一個(gè)沿y軸的相位奇點(diǎn)軌跡，對(duì)應(yīng)的相位分布如圖7（d）所示，在x-t面從-π到π呈逆時(shí)針變化，這表明y分量攜帶拓?fù)浜蔀?1的橫向OAM。從圖7（e）可以看出聚焦時(shí)空渦旋具有較強(qiáng)的z分量。圖7（f）顯示z分量沿y軸有相位奇點(diǎn)軌跡，在x-t面的相位從-π到π呈逆時(shí)針變化，表明z分量攜帶一個(gè)拓?fù)浜蔀?1的橫向OAM。

圖 5 水平線偏振焦場(chǎng)分量強(qiáng)度及相位圖Fig. 5 Intensity and phase distribution of the horizontally polarized focal field component

圖 6 水平線偏振總焦場(chǎng)強(qiáng)度及x-y面偏振分布圖Fig. 6 Total intensity and polarization distribution in x-y plane of the horizontally polarized focused STOV

圖8給出了聚焦時(shí)空渦旋的總強(qiáng)度和偏振分布。圖8（a）為垂直線偏振總焦場(chǎng)強(qiáng)度分布及等值面波包圖（等值面為最大強(qiáng)度的30%）。垂直線偏振總焦場(chǎng)波包形狀與y分量基本一致?？偨箞?chǎng)的波包形狀由y分量決定。從圖8（b）x-y面偏振分布圖中可以看出聚焦波包在空間域的偏振分布為垂直線偏振。

最后，圖9給出了45°線偏振入射時(shí)空波包聚焦后焦場(chǎng)的x、y和z偏振分量的強(qiáng)度、相位以及等值面波包圖（等值面為最大強(qiáng)度的20%）。從圖9（a）、9（c）可以看到焦場(chǎng)的x分量和y分量的波包沿y軸都有一個(gè)相位奇點(diǎn)軌跡，觀察圖9（b）、9（d）可以發(fā)現(xiàn)x分量和y分量在x-t面有一個(gè)相位奇點(diǎn)，相位分布從-π到π呈逆時(shí)針變化，這表明他們都攜帶拓?fù)浜蔀?1的橫向OAM。從圖9（e）可以看出，聚焦時(shí)空渦旋的z分量峰值強(qiáng)度約為x分量的29%，其波包有兩個(gè)傾斜的相位奇點(diǎn)軌跡；圖9（f）顯示z分量在x-t面有兩個(gè)相位奇點(diǎn)，相位分布同樣從-π到π呈逆時(shí)針變化，這表明z分量攜帶兩個(gè)拓?fù)浜蔀?1的橫向OAM。

圖 7 垂直線偏振焦場(chǎng)分量強(qiáng)度及相位圖Fig. 7 Intensity and phase distribution of the vertically polarized focal field component

圖 8 垂直線偏振總焦場(chǎng)強(qiáng)度及x-y面偏振分布圖Fig. 8 Total intensity and polarization distribution in x-y plane of vertically polarized STOV

圖10給出了聚焦時(shí)空渦旋的總強(qiáng)度和偏振分布。圖10（a）為總焦場(chǎng)強(qiáng)度分布及等值面波包圖（等值面為最大強(qiáng)度的30%），可以看出波包中間的相位奇點(diǎn)軌跡不再是垂直于x-t面，其角度發(fā)生了一定的偏轉(zhuǎn)。圖10（b）清楚地顯示聚焦場(chǎng)在空間域的偏振分布為45°方向線偏振。

圖 9 45°線偏振焦場(chǎng)分量強(qiáng)度及相位圖Fig. 9 Intensity and phase distribution of 45° polarized focal field component

圖 10 45°線偏振總焦場(chǎng)強(qiáng)度及x-y面偏振分布圖Fig. 10 Total intensity and polarization distribution in x-y plane of 45° polarized STOV

4 結(jié) 論

我們研究了預(yù)處理的線偏振波包經(jīng)強(qiáng)聚焦生成具有橫向OAM的時(shí)空光渦旋，并對(duì)其強(qiáng)度和相位分布特性進(jìn)行了分析。水平線偏振入射波包強(qiáng)聚焦后，焦場(chǎng)主要由x偏振分量決定；垂直線偏振入射波包強(qiáng)聚焦后，焦場(chǎng)主要由y偏振分量決定；當(dāng)45°偏振入射波包強(qiáng)聚焦后，焦場(chǎng)的水平偏振分量和垂直偏振分量強(qiáng)度基本相同，且均攜帶拓?fù)浜蔀?1的橫向OAM。三種線偏振入射波包經(jīng)高數(shù)值孔徑透鏡聚焦后，其焦場(chǎng)均具有較強(qiáng)的z分量；對(duì)于水平偏振和45°偏振入射波包而言，其強(qiáng)聚焦場(chǎng)的z分量具有兩個(gè)橫向相位奇點(diǎn)軌跡；對(duì)于垂直偏振入射波包而言，其強(qiáng)聚焦場(chǎng)的z分量則只有一個(gè)橫向相位奇點(diǎn)軌跡。前期的研究在理論上生成了攜帶橫向OAM的亞波長(zhǎng)標(biāo)量時(shí)空光渦旋，沒(méi)有對(duì)焦場(chǎng)時(shí)空波包的偏振分析，本文將研究?jī)?nèi)容拓展到矢量場(chǎng)，加入針對(duì)線偏振特性的研究。報(bào)道的方法可以通過(guò)定制入射波包，經(jīng)過(guò)高NA透鏡聚焦后，在焦平面獲得偏振態(tài)可控的具有橫向OAM的高度局域線偏振時(shí)空光渦旋，其在光與物質(zhì)相互作用、等離子體物理、光鑷等方面有潛在的應(yīng)用前景。