韓 苗， 周圣武， 金子龍

(中國礦業(yè)大學 數(shù)學學院，江蘇 徐州 221116)

1 引 言

季節(jié)變動，是指社會經(jīng)濟現(xiàn)象隨著季節(jié)的變化而呈現(xiàn)的周期性變動.不分析研究、認識掌握現(xiàn)象的季節(jié)變化規(guī)律，常常會使模型的預測作用減弱甚至喪失.針對季節(jié)性時間序列，一般在統(tǒng)計預測課程教學中，可供選擇的方法較多，如溫特線性和季節(jié)性指數(shù)平滑模型、季節(jié)性交乘趨向模型、含虛擬變量回歸模型、ARMA模型等方法[1-2].不同預測模型各具特點，在教學中為了綜合比較這幾種模型，本文從實際問題出發(fā)，探討模型的應(yīng)用實踐.

國內(nèi)生產(chǎn)總值GDP是衡量經(jīng)濟發(fā)展水平的重要指標之一，研究GDP的預測分析問題具有重要的實際意義.很多學者針對不同類型的數(shù)據(jù)，如季度GDP[3-5]、年度GDP[6]及地區(qū)GDP[7-9]等進行分析，追求預測精度更高的模型及算法.由于本文考察的是季節(jié)性時間序列建模方法，因此選取我國國內(nèi)生產(chǎn)總值當季值(億元)進行研究，基于四種傳統(tǒng)的季節(jié)性時間序列預測方法進行統(tǒng)計建模，模型易于理解而且預測效果較優(yōu)，為我國國內(nèi)生產(chǎn)總值預測分析提供參考.在綜合建模分析的基礎(chǔ)上，強化應(yīng)用實踐，培養(yǎng)學生解決復雜問題的綜合能力和高階思維.

2 預測模型的構(gòu)建

2.1 溫特線性和季節(jié)性指數(shù)平滑模型

溫特線性和季節(jié)性指數(shù)平滑模型是描述既有線性趨勢又有季節(jié)變化序列的模型，一般有兩種形式，一種是線性趨勢與季節(jié)相乘形式；另一種是線性趨勢與季節(jié)相加形式.這里考慮相乘形式，即Holter-Winter 季節(jié)乘積模型，預測模型為

Ft+m=(St+btm)It-L+m，

(1)

式(1)中，m為預測的超前期數(shù)，且包含時序的三種成分：平穩(wěn)性(St)、趨勢性(bt)、季節(jié)性(It).它們都是建立在三個平滑值基礎(chǔ)上的，分別為

(2)

bt=β(St-St-1)+(1-β)bt-1， 0<β<1，

(3)

(4)

式中，L為季節(jié)周期長度.I為季節(jié)調(diào)整因子，α，β，γ為三個平滑參數(shù).

2.2 季節(jié)性交乘趨向模型

季節(jié)性交乘趨向模型如下：

(5)

式中，Vt是時間序列的趨勢項；fi是時間序列各季的季節(jié)指數(shù)，且

式中，F(xiàn)i是各期實際的季節(jié)指數(shù)，由當期實際值除以趨勢值得到，T是季節(jié)周期的長度，m是季節(jié)周期的個數(shù).

2.3 含虛擬變量回歸模型

在回歸模型中，一般解釋變量即自變量都是連續(xù)取值的，但實際問題中，影響被解釋變量變化的可能還有一些屬性變量.如學歷、性別、職業(yè)對收入的影響；一些月度或季度數(shù)據(jù)可能會受季節(jié)的影響.為了量化這些因素，通常會根據(jù)因素的屬性類別，構(gòu)造只取“0”或“1”的虛擬變量.虛擬變量的引入通常有三種形式：加法形式、乘法形式、加乘同時引入形式.

對于一般的一元線性回歸模型

yt=β0+β1xt+εt，

(6)

εt滿足回歸模型基本假設(shè).加法形式是將虛擬變量直接加到上面模型中，即

yt=β0+β1xt+αDt+εt，

(7)

式中Dt是虛擬變量，只取“0”或“1”.乘法形式是將虛擬變量與解釋變量相乘后引入模型，即

yt=β0+β1xt+γDtxt+εt.

(8)

加法與乘法同時引入的形式(加乘形式)是將虛擬變量直接加到模型中，同時又將虛擬變量與解釋變量相乘后引入模型，即

yt=β0+β1xt+αDt+γDtxt+εt.

(9)

2.4 自回歸移動平均(ARMA)模型

自回歸移動平均(ARMA)模型是經(jīng)典的時間序列分析方法，廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域.該模型建模步驟主要包括平穩(wěn)性檢驗、模型識別、模型建立與選擇和預測.如果時間序列包含季節(jié)性和趨勢性特征，可以通過d階逐期差分和D階季節(jié)差分使其平穩(wěn)化，再建立ARMA模型.通常將模型記為ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s，具體形式如下：

φp(B)ΦP(Bs)(1-B)d(1-Bs)Dyt=θq(B)ΘQ(Bs)εt，

(10)

式中，p是自回歸階數(shù)；q是移動平均階數(shù)；P是季節(jié)性自回歸階數(shù)；Q是季節(jié)性移動平均階數(shù).其中

φp(B)=1-φ1B-φ2B2-…-φpBp

是p階自回歸算子；

θq(B)=1-θ1B-θ2B2-…-θqBq

是q階移動平均算子；

ΦP(Bs)=1-Φ1Bs-Φ2B2s-…-ΦPBPs

是季節(jié)性P階自回歸算子；

ΘQ(Bs)=1-Θ1Bs-Θ2B2s-…-ΘQBQs

是季節(jié)性Q階移動平均算子.

3 中國國內(nèi)生產(chǎn)總值預測分析

本文采用的數(shù)據(jù)為2000年第1季度至2020年第4季度中國國內(nèi)生產(chǎn)總值當季值(億元)季度數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來源國家統(tǒng)計局，數(shù)據(jù)序列如圖1所示.從長期來看，季度GDP序列總體呈現(xiàn)上升的趨勢，并且具有明顯的季節(jié)性特征.

圖1 中國國內(nèi)生產(chǎn)總值時序圖

下面采用前面介紹的四種常用的季節(jié)性時間序列建模方法對我國國內(nèi)生產(chǎn)總值進行預測分析.這里將2000年第1季度至2018年第4季度數(shù)據(jù)作為訓練樣本，用于建立模型，選取2019年第1季度至2020年第4季度數(shù)據(jù)作為測試樣本以檢驗模型的預測效果，最終預測2021年的季度GDP數(shù)據(jù).

3.1 溫特線性和季節(jié)性指數(shù)平滑模型預測結(jié)果

建立溫特線性季節(jié)性指數(shù)平滑模型，首先要給定初值，分別選取初值

初始季節(jié)指數(shù)可以通過下面公式計算

其中

其次，要選取平滑參數(shù)，這里通過反復試驗，綜合比較最終選取平滑參數(shù)分別為α=0.5，β=0.5，γ=0.6，利用式(1)—(4)計算可得各期預測值.

最終得到預測結(jié)果2001年第2季度至2018年第4季度預測期內(nèi)的均方根誤差RMSE=1759.115404，平均絕對百分誤差MAPE=1.521%；2019年第1季度至2020年第4季度樣本期外的均方根誤差RMSE=13639.86425，平均絕對百分誤差MAPE=4.166%.

3.2 季節(jié)性交乘趨向模型預測結(jié)果

根據(jù)季度GDP時間序列的非線性變化特征，建立如下季節(jié)性交乘趨向模型：

式中，β0+β1t+β2t2是GDP時間序列非線性趨勢部分.

設(shè)國內(nèi)生產(chǎn)總值當季值序列的趨勢方程為

Vt=β0+β1t+β2t2，

采用最小二乘法，得到趨勢的估計方程(括號中的數(shù)據(jù)為對應(yīng)t檢驗統(tǒng)計量的值)：

且可以得到R2=0.981975，接近1，擬合程度高.F檢驗值為1988.43，顯然F檢驗通過.D.W=2.098135，表明隨機誤差項不存在序列相關(guān)，趨勢方程整體擬合效果較好.

表1 季節(jié)指數(shù)與修正的季節(jié)指數(shù)

由上面結(jié)果可得

通過計算可得2000年第1季度至2018年第4季度預測期內(nèi)的均方根誤差RMSE=3697.749096，平均絕對百分誤差MAPE=4.276%；2019年第1季度至2020年第4季度樣本期外的均方根誤差RMSE=14767.88079，平均絕對百分誤差MAPE=4.716%.

3.3 含虛擬變量回歸模型預測結(jié)果

這里通過引入虛擬變量來刻畫季節(jié)性特征，同時因為時間序列具有遞增的非線性趨勢特征，在二次多項式函數(shù)趨勢基礎(chǔ)上，引入表示季節(jié)因素的虛擬變量，分別記作

由于引入虛擬變量，區(qū)分了不同季度的影響，更好的揭示了變量之間的關(guān)系，因此會提高預測精度.對于虛擬變量的引入，本文分別采用加法形式，乘法形式以及加乘同時引入形式模型.通過數(shù)值結(jié)果分析，模型優(yōu)化，最終采用乘法形式的虛擬變量回歸模型.具體模型如下：

yt=β0+β1t+β2t2+β3D1t×t+β4D2t×t+β5D3t×t+εt，

采用最小二乘法進行參數(shù)估計，估計結(jié)果見下表.

表2 含虛擬變量回歸模型參數(shù)估計

模型整體擬合效果較好，通過預測分析，可得2000年第1季度至2018年第4季度樣本期內(nèi)的均方根誤差RMSE=3714.049862，平均絕對百分誤差MAPE=4.441%；2019年第1季度至2020年第4季度樣本期外的RMSE=14027.03523，MAPE=3.921%.

3.4 ARMA模型預測結(jié)果

3.4.1 時間序列特征分析

首先對GDP當季值序列yt進行平穩(wěn)性檢驗.采用單位根檢驗，結(jié)果見表3，ADF=-1.221931，在顯著性水平(1%～10%)下，大于ADF 臨界值，且相伴概率為0.8979，充分說明該序列是非平穩(wěn)的.

表3 我國國內(nèi)生產(chǎn)總值時間序列平穩(wěn)性檢驗

為了消除趨勢并減小序列的波動性，對原序列取自然對數(shù)，并做逐期差分，通過分析比較最終選擇做1階逐期差分.從自相關(guān)與偏自相關(guān)分析圖來看，序列的趨勢基本消除，但當k=4，k=8時，樣本的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)顯著不為0，表明季節(jié)性存在，繼續(xù)做一階季節(jié)差分.從表4的計算結(jié)果可以看出我國國內(nèi)生產(chǎn)總值取對數(shù)差分后的時間序列通過了平穩(wěn)性檢驗，且序列通過0均值檢驗.說明原始序列通過取對數(shù)，1階逐期差分和1階季節(jié)差分后可以建立ARMA模型，即可建立ARIMA(p,1,q)(P,1,Q)4模型，模型階數(shù)需要綜合平穩(wěn)化序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖以及評價準則來選擇.

表4 我國國內(nèi)生產(chǎn)總值取對數(shù)差分后時間序列平穩(wěn)性檢驗

3.4.2 模型的識別

通過觀察平穩(wěn)序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)結(jié)果來幫助選擇模型階數(shù)，建立合適的模型進行預測分析，平穩(wěn)化序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)結(jié)果如圖2所示.

圖2 我國國內(nèi)生產(chǎn)總值平穩(wěn)化后自相關(guān)偏自相關(guān)圖

結(jié)合自相關(guān)和偏自相關(guān)分析，考慮模型形式分別為ARIMA(2,1,3)(1,1,1)4和ARIMA(2,1,3)(2,1,2)4，同時ARIMA(2,1,3)(2,1,2)4模型又具體考慮了兩種情況.

3.4.3 模型的建立與選擇

由計算結(jié)果可知，三個模型都滿足平穩(wěn)可逆條件.將三個模型的參數(shù)估計和相關(guān)檢驗結(jié)果匯總列入表5和表6.

表5 不同ARIMA模型參數(shù)估計結(jié)果

表6 不同ARIMA模型檢驗結(jié)果

另外，模型的殘差序列通過檢驗.比較表中各個模型的檢驗結(jié)果，第三個模型的AIC和SC較小，不管是樣本期內(nèi)還是樣本期外的MAPE值顯示其預測精度最高.因此選擇第三個模型比較合適，其展開式為

(1+0.7609B4+0.1174B8)(1-0.3053B-0.6783B2)(1-B4)(1-B)ln(yt)

=(1-0.6302B+0.6432B2+0.9840B3)(1+0.0148B4+0.9447B8)εt.

3.4.4 預測

4 模型結(jié)果比較分析

為了比較四種模型的預測效果，筆者將真實值與四種模型預測結(jié)果繪制成下面圖3，Y表示GDP時間序列，YF1表示溫特線性和季節(jié)性指數(shù)平滑模型預測結(jié)果，YF2表示季節(jié)性交乘趨向模型預測結(jié)果，YF3表示含虛擬變量回歸模型預測結(jié)果，YF4表示ARIMA模型預測結(jié)果.從圖3來看，四個模型整體預測效果較優(yōu).對于樣本期外的預測，從圖形來看預測誤差較大的時間點是2020年第1季度，這由于新冠肺炎疫情突發(fā)事件的影響，導致預測誤差偏大.但同時也看到了，疫情雖然短期會對經(jīng)濟造成重大沖擊，但是并不會改變中國經(jīng)濟長期向好的根本趨勢.

從圖3中很難定量比較四個模型預測結(jié)果的差別，為了精確比較差異，將數(shù)值結(jié)果匯總至表7.由于不同的模型建模會存在初值問題，差分問題，因此會有部分樣本數(shù)據(jù)損失.這里為了方便比較，將樣本期內(nèi)時間段統(tǒng)一為2004年第1季度至2018年第4季度.樣本期外仍然統(tǒng)一為2019年第1季度至2020年第4季度.

圖3 我國國內(nèi)生產(chǎn)總值四種模型預測結(jié)果

從表7中的數(shù)據(jù)可以看出，從樣本期內(nèi)擬合效果來看，ARIMA模型最優(yōu)，溫特線性和季節(jié)性指數(shù)平滑模型次之，季節(jié)交乘趨向模型和含虛擬變量回歸模型擬合效果相對差些.但是從樣本期外預測效果來看，含虛擬變量回歸模型預測效果最好，溫特線性和季節(jié)性指數(shù)平滑模型次之.四種模型預測結(jié)果存在差異，但整體效果較優(yōu).

表7 四種模型預測結(jié)果比較分析

為了分析2021年各季度GDP的發(fā)展狀況，進一步對2021年四個季度GDP進行預測，數(shù)值結(jié)果見表8，可以看出未來我國國內(nèi)生產(chǎn)總值仍然是保持穩(wěn)步增長態(tài)勢.

表8 2021年我國國內(nèi)生產(chǎn)總值四種模型預測結(jié)果(億元)

5 結(jié) 論

本文以我國國內(nèi)生產(chǎn)總值時間序列為研究對象，重點探究季節(jié)性時間序列的建模方法，從定量的角度分析我國國內(nèi)生產(chǎn)總值的變化趨勢，以及對未來的發(fā)展預測分析.結(jié)果表明四種模型整體對我國國內(nèi)生產(chǎn)總值的預測效果較好.但2020年第1季度預測結(jié)果偏差較大，這主要是因為新冠肺炎疫情突發(fā)事件的影響，從而說明對于突發(fā)事件預測也是無能為力.雖然疫情短期對經(jīng)濟造成重大沖擊，但并不影響中國經(jīng)濟長期向好的基本面.比如從ARIMA 預測結(jié)果來看，2021年GDP將增長8.1%.預測結(jié)果支持2021年3月5日李克強總理作政府工作報告中2021年國內(nèi)生產(chǎn)總值增長6%以上的預期目標.在教學過程中，適時開展思政教育[10]，引導學生用全面、辨證、科學、長遠的眼光看待我國的經(jīng)濟發(fā)展，堅定信心，激發(fā)學生學以致用、科技報國的家國情懷和使命擔當.

通過綜合案例分析，培養(yǎng)學生運用統(tǒng)計軟件在數(shù)據(jù)收集、數(shù)據(jù)整理、數(shù)據(jù)分析等方面的操作技能.培養(yǎng)學生深入理解統(tǒng)計建模思想，提升統(tǒng)計思維.統(tǒng)計預測建模是建立在數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上的，是通過數(shù)據(jù)進行推斷的，因此教學過程中要教育學生樹立正確的統(tǒng)計責任意識，嚴肅認真、實事求是.統(tǒng)計建模允許人們根據(jù)自己的理解提出不同的預測方法，因此統(tǒng)計建模對結(jié)果的判斷原則不能是“對”或“錯”，只能是“好”或“壞”，在教學過程中要強調(diào)統(tǒng)計方法的選擇與優(yōu)化，培養(yǎng)學生精益求精的工匠精神.

本文采用的是傳統(tǒng)的季節(jié)性時間序列建模方法，模型易于理解而且預測效果較優(yōu).在建模過程中也嘗試使用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法[9]，但是從預測結(jié)果來看，該方法對于樣本期內(nèi)預測效果較優(yōu)，但是樣本期外預測精度不高.在不斷探索優(yōu)化的過程中，激發(fā)學生學習興趣，鼓勵嘗試創(chuàng)新組合預測模型[8-9,11]、周期ARMA模型[12]等，提高課程學習的創(chuàng)新性和挑戰(zhàn)度.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.