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        偽酉矩陣的分類

        2023-01-14 07:14:50李詩(shī)雨陳惠香
        大學(xué)數(shù)學(xué) 2022年6期
        關(guān)鍵詞:記作正整數(shù)等價(jià)

        李詩(shī)雨, 陳惠香

        (揚(yáng)州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇 揚(yáng)州 225002)

        1 引 言

        2 預(yù)備知識(shí)

        對(duì)于正整數(shù)n,n×n復(fù)數(shù)矩陣全體表示為Mn().對(duì)于矩陣A=(αjk)∈Mn(),令階單位矩陣記作In,或簡(jiǎn)記I.對(duì)于正整數(shù)1≤j

        設(shè)A,B∈Mn().如果存在可逆矩陣Λ∈Mn()使得或等價(jià)地,則稱A與B有關(guān)系~,記作A~B.顯然,~是一個(gè)等價(jià)關(guān)系.

        引理1[7]設(shè)A,B∈Mn().若A是偽酉矩陣,A~B,則B也是偽酉矩陣.

        引理2[8]設(shè)A∈M2()是偽酉矩陣,則A~I(xiàn).

        3 偽酉矩陣的分類

        引理3設(shè)n>2,A=(αjk)∈Mn()是偽酉矩陣.若α1n≠0,則

        其中A1,A3是(n-2)×1矩陣,A2∈Mn-2().

        推論1設(shè)n>2,A=(αjk)∈Mn()是偽酉矩陣.若α1n=0但αn1≠0,則

        其中A1,A3是(n-2)×1矩陣,A2∈Mn-2().

        (1)

        (2)

        引理5設(shè)A=(αjk)∈Mn()是偽酉矩陣且n>2,則其中A1∈Mn-2(),A2∈M2()或A1∈M1(),A2∈Mn-1().

        證若α1n≠0,則由引理3和引理4知,

        其中B1∈Mn-2().取則所以

        其中B2∈Mn-2().再由上面的證明知結(jié)論成立.若α12=…=α1n=αn1=0,但存在2≤j≤n-1使得αj1≠0,取Λ1=Pn(j,n),則且的(n,1)-元素為αj1≠0,再由上面的證明知結(jié)論成立.若α1j=αj1=0,2≤j≤n,則

        結(jié)論仍然成立.

        定理1設(shè)A∈Mn()是偽酉矩陣,則A~I(xiàn).

        則Λ可逆,且

        4 結(jié) 論

        本文給出了偽酉矩陣的關(guān)于~的劃分,在證明過程中利用了偽酉矩陣的基本性質(zhì).主要旨在一定程度上簡(jiǎn)化偽酉矩陣相關(guān)問題,以便在實(shí)際研究中選取合適的等價(jià)形式.

        致謝作者十分感謝提供啟發(fā)的相關(guān)文獻(xiàn)以及提出寶貴意見的審稿專家.

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