李詩(shī)雨, 陳惠香
(揚(yáng)州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇 揚(yáng)州 225002)
對(duì)于正整數(shù)n,n×n復(fù)數(shù)矩陣全體表示為Mn().對(duì)于矩陣A=(αjk)∈Mn(),令階單位矩陣記作In,或簡(jiǎn)記I.對(duì)于正整數(shù)1≤j 設(shè)A,B∈Mn().如果存在可逆矩陣Λ∈Mn()使得或等價(jià)地,則稱A與B有關(guān)系~,記作A~B.顯然,~是一個(gè)等價(jià)關(guān)系. 引理1[7]設(shè)A,B∈Mn().若A是偽酉矩陣,A~B,則B也是偽酉矩陣. 引理2[8]設(shè)A∈M2()是偽酉矩陣,則A~I(xiàn). 引理3設(shè)n>2,A=(αjk)∈Mn()是偽酉矩陣.若α1n≠0,則 其中A1,A3是(n-2)×1矩陣,A2∈Mn-2(). 且 推論1設(shè)n>2,A=(αjk)∈Mn()是偽酉矩陣.若α1n=0但αn1≠0,則 其中A1,A3是(n-2)×1矩陣,A2∈Mn-2(). (1) (2) 引理5設(shè)A=(αjk)∈Mn()是偽酉矩陣且n>2,則其中A1∈Mn-2(),A2∈M2()或A1∈M1(),A2∈Mn-1(). 證若α1n≠0,則由引理3和引理4知, 其中B1∈Mn-2().取則所以 其中B2∈Mn-2().再由上面的證明知結(jié)論成立.若α12=…=α1n=αn1=0,但存在2≤j≤n-1使得αj1≠0,取Λ1=Pn(j,n),則且的(n,1)-元素為αj1≠0,再由上面的證明知結(jié)論成立.若α1j=αj1=0,2≤j≤n,則 結(jié)論仍然成立. 定理1設(shè)A∈Mn()是偽酉矩陣,則A~I(xiàn). 令 則Λ可逆,且 本文給出了偽酉矩陣的關(guān)于~的劃分,在證明過程中利用了偽酉矩陣的基本性質(zhì).主要旨在一定程度上簡(jiǎn)化偽酉矩陣相關(guān)問題,以便在實(shí)際研究中選取合適的等價(jià)形式. 致謝作者十分感謝提供啟發(fā)的相關(guān)文獻(xiàn)以及提出寶貴意見的審稿專家.3 偽酉矩陣的分類
4 結(jié) 論