張 珍

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，山西大同 037009）

自然界中的連續(xù)漸變過程或系統(tǒng)中具有這樣共同的特征，即系統(tǒng)經(jīng)歷一個不受本身控制的瞬間作用或系統(tǒng)的狀態(tài)在很短的時間范圍內(nèi)發(fā)生快速變化，然而這個短暫的擾動時間與整個發(fā)展過程中所持續(xù)的時間相比，可以忽略不計，這種現(xiàn)象就稱為脈沖現(xiàn)象。在疾病模型的研究中廣泛存在，建立的模型就是對易感人群在固定時間點給與預(yù)防接種疫苗，即具有脈沖接種的傳染病模型。有關(guān)脈沖接種的疾病病模型已有很多研究，見參考文獻[1-7]。建立了如下的模型：

其中S(t),E(t),I(t),R(t)分別代表在t時刻易感者,潛伏者,染病者和恢復(fù)者的數(shù)量，N(t)代表t時刻總?cè)丝诘臄?shù)量值,且總?cè)丝跀?shù)量滿足方程N′=A-dN-αI。這里的A是常數(shù)移民人數(shù)，d是自然死亡率系數(shù),α是因病死亡率系數(shù)，β1和β2分別表示S類與E類、I類的有效接觸率系數(shù)，表示潛伏期，k是恢復(fù)率系數(shù)。

1 無病周期解的存在性

無病周期解如果存在，則其必須滿足條件E(t)=0和I(t)=0，在這個條件下，很顯然易感人群S(t)是與脈沖周期相同的一個周期函數(shù)。在t0=nτ＜t≤(n+1)τ范圍內(nèi)，S(t)需要滿足下面的脈沖方程：

當(dāng)E(t)=0，I(t)=0，不動點S*會局部表現(xiàn)為穩(wěn)定，所以數(shù)列Sn必定收斂于S*。所以，易感人數(shù)S(t)也同時收斂于一個周期解。在t0=nτ＜t≤(n+1)τ的無病周期解為

2 無病周期解的穩(wěn)定性

2.1 局部穩(wěn)定性

2.1.1 利用Floquet定理研究局部穩(wěn)定性

無病周期解局部的穩(wěn)定性可以將系統(tǒng)進行線性化來證明。

2.1.2 基本再生數(shù)的計算

當(dāng)t=(n+1)τ+,可以推導(dǎo)出

完成了無病周期解局部穩(wěn)定性的證明并且很成功地算出了基本再生數(shù)。根據(jù)多次的數(shù)值模擬，得到這個疾病模型的基本再生數(shù)是完全合理的，即得到了

2.2 全局漸近穩(wěn)定性

2.2.1 利用脈沖微分不等式引入

2.2.2 無病周期解全局穩(wěn)定的結(jié)論

綜合上面的證明和一系列推導(dǎo)，(S(t),E(t),I(t)) →((t),0,0)。

得到定理1。

定理1當(dāng)基本再生數(shù)小于1 的時候，這個系統(tǒng)的無病周期解是全局漸近穩(wěn)定的。

3 結(jié)論

在一個傳染病模型中，有常數(shù)移民并且給與脈沖接種的SEIR 模型是有無病周期解并且可以算出當(dāng)此SEIR模型的基本再生數(shù)

時候，無病周期解是全局漸近穩(wěn)定的。所以預(yù)防接種疫苗是保護人群避免染病的有效途徑，通過接種疫苗可以大幅度提高種群個體的免疫力，從而可以有效快速地控制疾病的發(fā)生以及流行。通過頻閃映射、Floquet定理和脈沖微分不等式的理論知識證明了這一類傳染病模型無病周期解的存在性、局部穩(wěn)定性以及全局漸近穩(wěn)定性。同時也說明了預(yù)防接種的重要性，它可以很有效控制疾病的惡化發(fā)展和蔓延。