劉明群，何 鑫，覃日升，姜 訸，孟 賢

(云南電網(wǎng)有限責(zé)任公司電力科學(xué)研究院，云南 昆明 650217)

近年來，配電網(wǎng)電壓監(jiān)測系統(tǒng)建設(shè)加強(qiáng)了對配電網(wǎng)電壓、電流等數(shù)據(jù)的管理與計(jì)算分析，實(shí)現(xiàn)了電網(wǎng)故障預(yù)警、電壓準(zhǔn)實(shí)時在線監(jiān)測等功能[1]。然而，由于配電網(wǎng)規(guī)模和配電網(wǎng)監(jiān)測數(shù)據(jù)日益增大，傳統(tǒng)在線監(jiān)測方法已無法滿足監(jiān)測系統(tǒng)對數(shù)據(jù)挖掘的快速性和準(zhǔn)確性要求。因此，為保障配電網(wǎng)安全可靠運(yùn)行，配電網(wǎng)電壓監(jiān)測系統(tǒng)數(shù)據(jù)異常檢測方法研究具有重要意義。

聚類算法通過對配電網(wǎng)電壓數(shù)據(jù)聚類，挖掘數(shù)據(jù)特征、區(qū)分?jǐn)?shù)據(jù)類型、實(shí)現(xiàn)實(shí)時故障預(yù)警。聚類算法可分為劃分聚類法、層次聚類法和密度聚類法等，其中劃分聚類法計(jì)算效率較高，但需事先假定聚類數(shù)值[2]，包括K-means、K-medoids和CLARA算法。特別地，K-means算法原理簡單且效率高，非常適合配電網(wǎng)電壓數(shù)據(jù)在線監(jiān)測；K-means算法僅在多項(xiàng)式時間內(nèi)收斂到局部最優(yōu)解[3]，但合理地選擇初值將有利于收斂到全局最優(yōu)解。文獻(xiàn)[4]采用K-means++算法選取K-means算法初值，但運(yùn)用K-means算法要事先假定聚類數(shù)。聚類數(shù)可根據(jù)樣本情況判斷[5]，然而，在相關(guān)經(jīng)驗(yàn)不足或數(shù)據(jù)量過大等情況下無法給出最佳聚類數(shù)。對于靜態(tài)數(shù)據(jù)庫而言，聚類數(shù)不會改變，但當(dāng)在線監(jiān)測系統(tǒng)數(shù)據(jù)庫是動態(tài)時，聚類數(shù)會隨著配電網(wǎng)故障等問題的產(chǎn)生而動態(tài)變化，導(dǎo)致K-means算法的聚類效果變差[6]，因而需要其他算法輔助選擇聚類數(shù)。

為解決聚類數(shù)選擇問題，目前已有學(xué)者提出多種聚類數(shù)選擇算法。文獻(xiàn)[7]提出輪廓系數(shù)法，算法原理簡單且只需給定聚類數(shù)上限，對最佳聚類數(shù)估計(jì)效果很好，但計(jì)算速度較慢，不適合在線監(jiān)測配電網(wǎng)電壓；文獻(xiàn)[8]運(yùn)用DBI算法為K-means算法選取聚類數(shù)，DBI算法對最佳聚類數(shù)估計(jì)效果較好，但計(jì)算速度稍慢；文獻(xiàn)[9]運(yùn)用Canopy算法快速自適應(yīng)選取聚類數(shù)，但該算法需根據(jù)交叉驗(yàn)證法或先驗(yàn)知識設(shè)定松閾值和緊閾值，且緊閾值嚴(yán)重影響聚類數(shù)的選取，因此算法自適應(yīng)能力不夠強(qiáng)；文獻(xiàn)[10-11]運(yùn)用elbow method選取聚類數(shù)，該方法因簡單直觀且計(jì)算速度快而被廣泛應(yīng)用，但常常因“肘部點(diǎn)”不明顯而無法估計(jì)最佳聚類數(shù)。上述常用算法存在自適應(yīng)能力不強(qiáng)、計(jì)算速度慢和準(zhǔn)確率不夠高等問題，不適合異常數(shù)據(jù)在線檢測。

針對上述常用算法問題，本文提出一種快速選取聚類數(shù)的自適應(yīng)算法。所提算法基于elbow method和輪廓系數(shù)法，首先利用自適應(yīng)變化閾值求解聚類數(shù)下限，接著在聚類數(shù)上、下限內(nèi)計(jì)算輪廓系數(shù)。為提高算法速度，提出“一個極大值”規(guī)則，避免計(jì)算所有輪廓系數(shù)。該算法充分考慮elbow method的快速性和輪廓系數(shù)法的高準(zhǔn)確率特點(diǎn)，為K-means算法自動選取聚類數(shù)，使K-means算法在線監(jiān)測成為可能。最后，為評價所提算法，以2個實(shí)際配網(wǎng)電壓數(shù)據(jù)為例，通過仿真對比其他聚類數(shù)選擇算法。結(jié)果表明，相比于所對比算法，所提算法能以最高準(zhǔn)確率和最快計(jì)算速度自適應(yīng)選取最佳聚類數(shù)。

1 K-means聚類算法

K-means是一種基于劃分的無監(jiān)督聚類算法，能將數(shù)據(jù)集分成k類，其中k是事先假定的。K-means算法隨機(jī)產(chǎn)生k個聚類中心，根據(jù)最近鄰原則將數(shù)據(jù)點(diǎn)歸類離其最近的聚類中心，形成k個類，并重新計(jì)算各類的聚類中心，重復(fù)上述步驟直到聚類中心不再改變位置或達(dá)到規(guī)定的迭代次數(shù)。

K-means算法聚類的目標(biāo)是使各類誤差平方和(sum of the squared errors, SSE)最小，即

(1)

式中Ci為第i個聚類；p為Ci中的樣本點(diǎn)；mi為Ci的聚類中心，即Ci中所有樣本的均值；eSSE為所有樣本的聚類誤差，代表聚類效果的好壞。

根據(jù)拉格朗日定理和最小二乘法原理，確保SSE最小的聚類中心[3]應(yīng)滿足：

(2)

由式(2)可得：

(3)

其中，ni為第i聚類的樣本總量。因此，聚類中心是該聚類數(shù)據(jù)的平均值。K-means算法每一次迭代將聚類中心取為該聚類樣本的平均值，確保SSE在本次迭代內(nèi)達(dá)到最小，交替采用最近鄰原則和以均值計(jì)算聚類中心，使SSE不斷下降，直到平衡收斂。

2 基于elbow method和輪廓系數(shù)的聚類數(shù)自適應(yīng)確定

結(jié)合elbow method和輪廓系數(shù)，提出改進(jìn)的elbow method和輪廓系數(shù)算法(improved elbow method and silhouette coefficient，IES)，用于自適應(yīng)確定聚類數(shù)，從而與K-means算法結(jié)合為自適應(yīng)K-means算法。對于假定的聚類數(shù)上限kmax，首先，IES算法基于elbow method的聚類評價指標(biāo)SSE值確定聚類數(shù)下限kmin；然后，在聚類數(shù)搜索范圍[kmin,kmax]內(nèi)基于輪廓系數(shù)搜尋最佳聚類數(shù)k*，并利用提出的“一個極大值”規(guī)則避免計(jì)算[kmin,kmax]內(nèi)所有聚類數(shù)對應(yīng)的輪廓系數(shù)。當(dāng)最佳聚類數(shù)確定后，可用K-means算法進(jìn)行聚類。

2.1 改進(jìn)elbow method

IES算法的核心是在一定的定義域內(nèi)利用輪廓系數(shù)尋找最佳聚類數(shù)。使輪廓系數(shù)最大的聚類數(shù)為最佳聚類數(shù)k*。輪廓系數(shù)法一般在定義域[2,kmax]內(nèi)計(jì)算每一個聚類數(shù)k對應(yīng)的輪廓系數(shù)，但輪廓系數(shù)計(jì)算速度慢，不滿足配電網(wǎng)在線監(jiān)測的快速性要求。因此，IES算法利用計(jì)算速度更快的SSE確定聚類數(shù)下限kmin，將定義域范圍縮小為[kmin,kmax]。

聚類數(shù)為k時elbow method的誤差平方和記為eSSE(k)。k=i時的相對SSE定義為

(4)

式中eSSE(1)為k=1時eSSE(k)的值，也是其最大值。

由于eSSE(k)、相對SSE單調(diào)遞減且離散不可導(dǎo)，無法用極值點(diǎn)和拐點(diǎn)估計(jì)最佳聚類數(shù)，因此考慮設(shè)置閾值來估計(jì)聚類數(shù)下限。同時，由于不同數(shù)據(jù)集的手肘曲線不同，因而所設(shè)置閾值應(yīng)隨之自適應(yīng)變化。

定義取值范圍為(0,1)的常數(shù)Kelbow，稱為手肘系數(shù)。隨著k的增大，相對SSE從eSSE(1)%開始下降，當(dāng)k=kmax時，相對SSE最大下降量為eSSE(1)%-eSSE(kmax)%，而當(dāng)相對SSE下降量達(dá)到最大下降量的Kelbow倍時，對應(yīng)的相對SSE定義為手肘閾值eSSE，elbow%，可計(jì)算如下：

eSSE,elbow%=eSSE(1)%-Kelbow(eSSE(1)%-

eSSE(kmax)%)=100%-Kelbow·

(100%-eSSE(kmax)%)

(5)

根據(jù)大量仿真經(jīng)驗(yàn)，取Kelbow=0.5，則

(6)

利用式(6)，將聚類數(shù)下限kmin取為使eSSE(k)%≤eSSE，elbow%成立的最小k值。

在聚類數(shù)上限為kmax以及Kelbow=0.5時，kmax對應(yīng)人為限定的相對SSE最大下降量，所選的kmin使相對SSE下降量達(dá)到最大下降量的一半以上。應(yīng)指出，IES算法解出的kmin≥2。

手肘閾值具有自適應(yīng)性，因?yàn)楫?dāng)k>k*后eSSE(k)%變化緩慢，即使kmax較大，eSSE(kmax)%仍接近于eSSE(k*)%，而不同數(shù)據(jù)集的eSSE(k*)%不同，因此，由eSSE(kmax)%計(jì)算的手肘閾值也隨之自適應(yīng)變化。對不同數(shù)據(jù)集，當(dāng)kmax等于樣本總數(shù)時，均有eSSE(kmax)=eSSE(kmax)%=0[3]，由式(6)可知，手肘閾值達(dá)到其最小值eSSE，elbow%=50%，手肘閾值恒為常數(shù)且不隨數(shù)據(jù)集不同而變化，因此kmax可取值較大，但不應(yīng)過大。

不同Kelbow取值影響IES算法計(jì)算時間和準(zhǔn)確率(能否解出k*)。若降低Kelbow，手肘閾值將增大，使得解出的kmin變小，有利于IES算法解出k*(若kmin>k*，則IES算法無法解出k*)，但kmin變小又會使得輪廓系數(shù)法的定義域[kmin,kmax]范圍變大，不利于縮短輪廓系數(shù)法計(jì)算時間。同樣分析Kelbow增大的情況，可知Kelbow不應(yīng)過大或過小。由此也能看出，手肘閾值隨數(shù)據(jù)集不同而自適應(yīng)增大或減小，是在自適應(yīng)兼顧IES算法對不同數(shù)據(jù)集的準(zhǔn)確率和計(jì)算速度。實(shí)際應(yīng)用中可根據(jù)配網(wǎng)電壓歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行測試，適當(dāng)調(diào)整Kelbow取值。改進(jìn)elbow method確定聚類數(shù)下限流程如圖1所示。

圖1 改進(jìn)elbow method確定聚類數(shù)下限流程Figure 1 The flowchart of determinizing the lower limit of clustering number with the improved elbow method

具體步驟如下：

1)讀取人為設(shè)定的kmax和數(shù)據(jù)集；2)對k=1、kmax分別進(jìn)行K-means聚類，對聚類結(jié)果應(yīng)用式(1)計(jì)算SSE，即eSSE(1)、eSSE(kmax)；3)結(jié)合式(4)、(6)計(jì)算eSSE，elbow%，令k=2；4)對當(dāng)前k值進(jìn)行K-means聚類并計(jì)算eSSE(k)；5)采用式(4)計(jì)算eSSE(k)%；6)判斷eSSE(k)%≤eSSE，elbow%是否成立，不成立則令k自增1并返回步驟4)，成立則跳出循環(huán)進(jìn)入步驟7)；7)記錄此時的k為kmin，該流程結(jié)束。

2.2 “一個極大值”規(guī)則

聚類數(shù)為k時相應(yīng)的輪廓系數(shù)記為S(k)。基于輪廓系數(shù)搜尋最佳聚類數(shù)，在[kmin,kmax]區(qū)間內(nèi)利用輪廓系數(shù)算法搜尋最佳聚類數(shù)。然而，為確保大于最佳聚類數(shù)k*，聚類數(shù)上限kmax的設(shè)置可能會過大，而輪廓系數(shù)計(jì)算速度慢，對[kmin,kmax]區(qū)間內(nèi)每一個聚類數(shù)k計(jì)算輪廓系數(shù)將消耗大量時間。

為提高算法速度，IES算法借鑒gap statistic算法中“一個標(biāo)準(zhǔn)錯誤”(1-standard-error)的規(guī)則[12](文獻(xiàn)[13]也在其他算法中使用該規(guī)則)，提出“一個極大值”規(guī)則，即令聚類數(shù)k在[kmin,kmax]區(qū)間內(nèi)每次增加1，依次計(jì)算輪廓系數(shù)S(k)，當(dāng)S(k)首次出現(xiàn)極大值時停止計(jì)算S(k)。使用該規(guī)則得到多個輪廓系數(shù)，選其中最大值對應(yīng)的k為最佳聚類數(shù)k*。當(dāng)S(k)在定義域[kmin,kmax]內(nèi)不存在極大值時，“一個極大值”規(guī)則失效，需計(jì)算定義域內(nèi)所有S(k)，選最大值對應(yīng)的k為k*。本文中“一個極大值”規(guī)則在k=K生效是指：對于K>kmin，當(dāng)k增大到K+1時，出現(xiàn)S(k)的極大值S(K)，IES算法停止計(jì)算S(k)。S(K)為極大值是指：S(K)>S(K-1)且S(K)>S(K+1)。

“一個極大值”規(guī)則避免計(jì)算所有輪廓系數(shù)，相當(dāng)于降低了實(shí)際假定的kmax，從而提高算法速度。

2.3 基于輪廓系數(shù)自適應(yīng)確定聚類數(shù)

聚類數(shù)下限確定后應(yīng)用“一個極大值”規(guī)則，在定義域[kmin,kmax]內(nèi)利用輪廓系數(shù)法求解最佳聚類數(shù)。在已計(jì)算不同聚類數(shù)對應(yīng)的輪廓系數(shù)中自動尋找最大輪廓系數(shù)，所對應(yīng)聚類數(shù)為最佳聚類數(shù)k*，從而實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)確定聚類數(shù)?；谳喞禂?shù)自適應(yīng)確定聚類數(shù)流程如圖2所示。

圖2 基于輪廓系數(shù)自適應(yīng)確定聚類數(shù)流程Figure 2 The flowchart of determinizing the clustering number with the improved elbow method based on the silhouette coefficient adaptive determination

具體步驟如下：

1)建立空數(shù)組{S}，令k=kmin；2)對當(dāng)前k值進(jìn)行K-means聚類，接著對聚類結(jié)果計(jì)算輪廓系數(shù)并放入數(shù)組{S}；3)若數(shù)組{S}中的元素已達(dá)3個及以上，則說明可以判斷是否出現(xiàn)極大值，進(jìn)入步驟4)，否則令k自增1并回到步驟2)；4)判斷是否出現(xiàn)極大值，即S[-2]>S[-3]、S[-2]>S[-1]是否同時成立，其中S[-1]是數(shù)組{S}倒數(shù)第1個元素，即本次循環(huán)計(jì)算得到的輪廓系數(shù)；S[-2]、S[-3]分別是倒數(shù)第2、3個元素，若不出現(xiàn)極大值，令k自增1并回到步驟2)，若出現(xiàn)極大值則跳出循環(huán)進(jìn)入步驟5)；5)在數(shù)組{S}中尋找最大輪廓系數(shù)，并記錄對應(yīng)的聚類數(shù)為最佳聚類數(shù)k*，IES算法結(jié)束。

2.4 基于自適應(yīng)K-means的實(shí)時異常檢測模型

IES算法從圖1流程開始至圖2流程結(jié)束。自適應(yīng)確定聚類數(shù)的IES算法與K-means算法結(jié)合為自適應(yīng)K-means算法。正常運(yùn)行時配電網(wǎng)電壓數(shù)據(jù)波動范圍較穩(wěn)定，因此，可利用K-means算法對正常運(yùn)行數(shù)據(jù)聚類并得到聚類中心，通過判斷新輸入數(shù)據(jù)到聚類中心距離是否超過距離閾值H，從而判斷數(shù)據(jù)是否異常。

H=(h1,h2,…,hk)表示各聚類的閾值，其中k是聚類數(shù)，聚類中數(shù)據(jù)到聚類中心距離的最大值乘以常數(shù)D作為H，綜合考慮文獻(xiàn)[14]、[15]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，取D=1.04。若某數(shù)據(jù)X到k個聚類中心Ci距離均超過相應(yīng)閾值，則判定為異常數(shù)據(jù)，即異常數(shù)據(jù)滿足：

|X-Ci|>hi,i=1,2,…,k

(7)

IES算法能在異常檢測中更新正常數(shù)據(jù)最佳聚類數(shù)，并能在發(fā)生異常時幫助挖掘異常數(shù)據(jù)特征。隨著歷史正常運(yùn)行數(shù)據(jù)的不斷增多，正常數(shù)據(jù)的最佳聚類數(shù)可能改變，因此，每隔一段時間需用IES算法自適應(yīng)求解并更新最佳聚類數(shù)。當(dāng)發(fā)生異常時，在分析數(shù)據(jù)異常模式之前，為充分利用當(dāng)前所有異常數(shù)據(jù)，可通過IES算法對當(dāng)前所有正常和異常數(shù)據(jù)的最佳聚類數(shù)自適應(yīng)快速求解，然后利用K-means算法將異常與正常數(shù)據(jù)一起聚類，為挖掘異常數(shù)據(jù)特征和探測異常來源提供信息。除上述基于自適應(yīng)K-means聚類的方法，文獻(xiàn)[14]還利用了其他方法分析數(shù)據(jù)異常模式。

基于自適應(yīng)K-means的實(shí)時異常檢測總流程如圖3所示，具體步驟如下：

1)對配電網(wǎng)電壓歷史正常運(yùn)行數(shù)據(jù)進(jìn)行K-means聚類，并根據(jù)聚類得到的最優(yōu)聚類中心和聚類結(jié)果更新距離閾值H；2)計(jì)算新輸入數(shù)據(jù)到各個聚類中心的距離并與距離閾值比較；3)若新輸入數(shù)據(jù)屬于異常數(shù)據(jù)則標(biāo)記為異常，否則將其加入歷史正常運(yùn)行數(shù)據(jù)；當(dāng)歷史正常運(yùn)行數(shù)據(jù)新增數(shù)量達(dá)到一定量時，利用IES算法求解并更新最佳聚類數(shù)；4)將異常數(shù)據(jù)與歷史正常運(yùn)行數(shù)據(jù)共同作為新的數(shù)據(jù)集DS；5)IES算法根據(jù)事先假定聚類數(shù)上限計(jì)算數(shù)據(jù)集DS的最佳聚類數(shù)k*；6)用K-means將數(shù)據(jù)集DS分為k*個聚類；7)利用K-means聚類結(jié)果分析數(shù)據(jù)異常模式。

3 算例分析

3.1 數(shù)據(jù)集

以2個實(shí)際配電網(wǎng)電壓數(shù)據(jù)集為例(記為D1和D2)，與DBI算法和輪廓系數(shù)法進(jìn)行仿真比較，驗(yàn)證所提IES算法的有效性。

D1有1 000個樣本點(diǎn)，每個點(diǎn)對應(yīng)一個時刻三相電壓有效值。為體現(xiàn)所提IES算法的普適性，對A、B、C三相電壓分別加入異常數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。對于A相電壓，隨機(jī)抽取10%，即100個正常數(shù)據(jù)，并加上4%～10%噪聲，生成1個數(shù)據(jù)集，重復(fù)進(jìn)行50次，生成50個數(shù)據(jù)集，記為A組數(shù)據(jù)(注意：每個數(shù)據(jù)集只含10%異常數(shù)據(jù)，其中50個正常數(shù)據(jù)加上正噪聲4%～10%，50個正常數(shù)據(jù)加上負(fù)噪聲-10%～-4%)。用同樣方法對B、C相電壓各生成50個數(shù)據(jù)集，分別記為B、C組數(shù)據(jù)。

D2有4 000個樣本點(diǎn)，每個點(diǎn)對應(yīng)一個時刻三相電壓有效值。為說明選取不同聚類數(shù)對聚類效果的影響，對A、B、C三相電壓均加入異常數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。對于A相，隨機(jī)抽取15%，即600個正常數(shù)據(jù)，在±5%處加高斯分布隨機(jī)函數(shù)G作為噪聲。設(shè)正常數(shù)據(jù)值為Ndata，則加噪聲后的值為Ndata·(1±0.05)+G。用同樣方法處理B、C相電壓，最終得到的數(shù)據(jù)集記為D2noise。

3.2 評價指標(biāo)

各算法對最佳聚類數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確率定義為

(8)

式中N為實(shí)驗(yàn)次數(shù)，對A、B、C三相電壓的每一組數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)50次，故N=50；NT為對最佳聚類數(shù)估計(jì)正確的次數(shù)。

對于A、B、C三相電壓的3組數(shù)據(jù)，最佳聚類數(shù)為3，即分為1個正常數(shù)據(jù)聚類和2個異常數(shù)據(jù)聚類。用DBI算法、輪廓系數(shù)法和IES算法估計(jì)所有數(shù)據(jù)集的最佳聚類數(shù)k*，若k*=3則估計(jì)正確，若k*≠3則估計(jì)錯誤。

由于出現(xiàn)異常時需用自適應(yīng)K-means算法對正常和異常數(shù)據(jù)聚類，聚類效果影響下一步分析數(shù)據(jù)異常模式，因此，需說明K-means對正常和異常數(shù)據(jù)聚類時不同最佳聚類數(shù)估計(jì)值對聚類效果的影響。為方便說明，簡化為分析二分類異常檢測效果，再給出異常檢測效果評價指標(biāo)。對于二分類異常檢測，可根據(jù)真實(shí)和檢測情況將檢測結(jié)果分為4類，如表1所示，TN為實(shí)際正常且被檢測為正常的樣本，F(xiàn)P為實(shí)際正常但被檢測為異常的樣本，F(xiàn)N為實(shí)際異常但被檢測為正常的樣本，TP為實(shí)際異常且被檢測為異常的樣本。

表1 檢測結(jié)果分類Table 1 Classification of test results

對于異常檢測，相比于不將正常樣本判定為異常，更重要的是檢測到更多的異常點(diǎn)[16]。因此，采用召回率評估異常檢測效果，其值越高意味著檢測到越多真實(shí)異常點(diǎn)，其最大值為1。召回率：

(9)

3.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

計(jì)算環(huán)境如下：計(jì)算機(jī)CPU為Core i7-10700，內(nèi)存16 GB，主頻2.90 GHz，操作系統(tǒng)為Windows 10(64 bit)，數(shù)據(jù)分析工具為Python 3、Jupyter NoteBook。

對A、B、C三相電壓的3組數(shù)據(jù)分別用3種算法進(jìn)行最佳聚類數(shù)估計(jì)，為滿足在線監(jiān)測的自適應(yīng)性，應(yīng)取足夠大的聚類數(shù)上限kmax，以保證其大于最佳聚類數(shù)，因此取kmax=20，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2～4所示。

表2 對A組數(shù)據(jù)應(yīng)用3種算法Table 2 Three algorithms are applied to group A data

表3 對B組數(shù)據(jù)應(yīng)用3種算法Table 3 Three algorithms are applied to group B data

表4 對C組數(shù)據(jù)應(yīng)用3種算法Table 4 Three algorithms are applied to group C data

由表2可以看出，輪廓系數(shù)法和IES算法對最佳聚類數(shù)的估計(jì)值穩(wěn)定為3；DBI算法的估計(jì)值僅在2、3之間波動，其中，對于A組9個數(shù)據(jù)集，DBI算法解出k*=2，其余41個數(shù)據(jù)集解出k*=3。對表3、4不再贅述。根據(jù)表2～4，計(jì)算3種算法對A、B、C三相電壓的3組數(shù)據(jù)最佳聚類數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確率ω，如表5所示。

表5 3種算法準(zhǔn)確率Table 5 Accuracy of three algorithms accuracy %

由于3種算法對k*的估計(jì)值只有2和3，因此分別取k*=2、3，對A、B、C三相電壓的3組數(shù)據(jù)進(jìn)行K-means聚類，其中，k*=3時將聚類后的2個異常數(shù)據(jù)聚類合并，從而得到正常和異常數(shù)據(jù)二分類(注意：實(shí)際中不將異常數(shù)據(jù)聚類合并，因?yàn)闀p失異常數(shù)據(jù)特征信息，此處僅是為了計(jì)算召回率)。計(jì)算不同k*取值下各組數(shù)據(jù)召回率均值，如表6所示。

表6 不同k*取值下各組數(shù)據(jù)召回率均值Table 6 Mean recall rates of data in each group under different k* values

由表6可見，選取合適的聚類數(shù)能大幅提升異常檢測效果。對于A、B、C三相電壓的3組數(shù)據(jù)取k*=2顯然不合適，而在表2～4中，DBI算法對k*的估計(jì)值多次為2，結(jié)合表5可知輪廓系數(shù)法對最佳聚類數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確率比DBI算法更高，而IES算法保持了輪廓系數(shù)法的高準(zhǔn)確率。

為進(jìn)一步說明輪廓系數(shù)法和IES算法在準(zhǔn)確率方面比DBI算法更適合為K-means選擇最佳聚類數(shù)，對A組數(shù)據(jù)中某一數(shù)據(jù)集進(jìn)行K-means聚類，取k*=3，聚類結(jié)果如圖4所示，可明顯區(qū)分3類數(shù)據(jù)，但對于該數(shù)據(jù)集，DBI算法解出k*=2，而輪廓系數(shù)法和IES算法解出k*=3。

圖4 k*=3時K-means算法聚類結(jié)果Figure 4 Clustering results of K-means algorithm when k* =3

圖4中聚類2、3為異常數(shù)據(jù)類，聚類1為正常數(shù)據(jù)類，此時召回率的值為1，表明K-means算法適合對該數(shù)據(jù)集聚類，而輪廓系數(shù)法和IES算法比DBI算法更適合為K-means選擇最佳聚類數(shù)。

為說明選取不同聚類數(shù)對聚類效果的影響，分別取聚類數(shù)為2～9，對數(shù)據(jù)集D2noise進(jìn)行K-means聚類；為方便計(jì)算各聚類結(jié)果的召回率，人為將異常數(shù)據(jù)聚類合并，從而得到正常和異常數(shù)據(jù)二分類。數(shù)據(jù)集D2noise召回率隨聚類數(shù)變化曲線如圖5所示,可見召回率隨著聚類數(shù)增大而增大，說明聚類效果越來越好，當(dāng)聚類數(shù)為7、8、9時達(dá)到最大值1。應(yīng)指出，3種聚類數(shù)選擇算法對于D2noise的最佳聚類數(shù)估計(jì)值均為7。

圖5 數(shù)據(jù)集D2noise召回率隨聚類數(shù)變化曲線Figure 5 The curve of recall rate of D2noise changing with clustering number

進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)，聚類數(shù)大于7時會發(fā)生模型過擬合。聚類數(shù)分別為7、8時數(shù)據(jù)集D2noise的K-means聚類結(jié)果如圖6、7所示。對比圖6、7可知，圖6為最佳聚類，而圖7中將正常數(shù)據(jù)過擬合為2個聚類(聚類4、7)，不利于對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。

圖6 聚類數(shù)為7時數(shù)據(jù)集D2noise的K-means聚類結(jié)果Figure 6 K-means clustering results of D2noise when the clustering number is 7

用3種算法對A組50個數(shù)據(jù)集估計(jì)最佳聚類數(shù)，記錄平均運(yùn)行時間和最小、最大運(yùn)行時間，如表7所示，可見輪廓系數(shù)法的最小運(yùn)行時間大于DBI算法最大運(yùn)行時間，從運(yùn)行時間均值也能看出DBI算法運(yùn)行速度更快。IES算法的運(yùn)行時間均值小于其他2個算法，計(jì)算速度最快，最符合在線監(jiān)測的快速性。IES算法運(yùn)行時間波動范圍大于其他2個算法，是因?yàn)閷τ?0個數(shù)據(jù)集，IES算法均解出kmin=3，但“一個極大值”規(guī)則在不同的聚類數(shù)k值(k>3)處生效，因此，不同數(shù)據(jù)集的計(jì)算量不同，導(dǎo)致運(yùn)行時間波動。

表7 3種算法運(yùn)行時間對比Table 7 Running time comparison of three algorithms

綜上所述，盡管DBI算法計(jì)算速度稍快于輪廓系數(shù)法，但DBI算法準(zhǔn)確率是3種算法中最低的。與DBI算法相比，IES算法不僅計(jì)算速度更快，而且準(zhǔn)確率更高；與輪廓系數(shù)法相比，IES算法不僅保持相同的準(zhǔn)確率，而且計(jì)算速度更快。因此，IES算法兼顧準(zhǔn)確率和計(jì)算速度，在保證高準(zhǔn)確率的前提下縮短了計(jì)算時間，提高了K-means算法在線監(jiān)測的準(zhǔn)確率和高效性。

4 結(jié)語

K-means聚類算法計(jì)算速度快、準(zhǔn)確率高，適合配電網(wǎng)在線監(jiān)測，但當(dāng)假定聚類數(shù)不合適時，可能導(dǎo)致聚類結(jié)果不理想。本文提出了一種快速選取聚類數(shù)的自適應(yīng)IES算法，為K-means算法自動選取聚類數(shù)，使K-means算法在線監(jiān)測配電網(wǎng)成為可能。以召回率評價二分類異常檢測效果為例，說明為K-means選取合適聚類數(shù)對異常檢測的重要性。IES算法首先利用自適應(yīng)變化閾值求解聚類數(shù)下限，接著在聚類數(shù)上、下限內(nèi)計(jì)算輪廓系數(shù)。為提高算法速度，提出“一個極大值”規(guī)則，避免計(jì)算所有輪廓系數(shù)。所提IES算法有如下優(yōu)點(diǎn)。

1)自適應(yīng)能力強(qiáng)。IES算法只需給定聚類數(shù)上限這一參數(shù)，且該上限允許較大，即使動態(tài)數(shù)據(jù)庫的最佳聚類數(shù)發(fā)生一定的改變，也能保證大于最佳聚類數(shù)。所提出用于確定聚類數(shù)下限的閾值可隨數(shù)據(jù)集不同而自適應(yīng)變化，從而自適應(yīng)兼顧IES算法準(zhǔn)確率和計(jì)算速度。

2)計(jì)算速度快。IES算法利用計(jì)算迅速的SSE求解聚類數(shù)下限，縮小了最佳聚類數(shù)的搜尋范圍，又利用所提出的“一個極大值”規(guī)則減少計(jì)算量，提高了計(jì)算速度。

3)準(zhǔn)確率高。IES算法充分利用了輪廓系數(shù)高準(zhǔn)確率的特點(diǎn)。

算例表明，所提IES算法能自適應(yīng)快速選取最佳聚類數(shù)，與輪廓系數(shù)法相比，IES算法準(zhǔn)確率相同而計(jì)算速度更快，與DBI算法相比，IES算法不僅準(zhǔn)確率更高，而且計(jì)算速度更快。因此，IES算法兼顧準(zhǔn)確率和計(jì)算速度，更有利于應(yīng)用于配電網(wǎng)在線監(jiān)測。