李 明，張乘虎，扈婧喬，胡心卓，劉繼凱

多孔模型設(shè)計方法

李 明1，張乘虎2，扈婧喬1，胡心卓1，劉繼凱2

(1. 浙江大學(xué)計算機學(xué)院，浙江 杭州 310058；2. 山東大學(xué)機械工程學(xué)院，山東 濟南 250012)

多孔模型質(zhì)量輕，且具有優(yōu)秀的力熱磁等復(fù)合性能。采用多孔模型有望突破傳統(tǒng)設(shè)計極限，獲得綜合性能優(yōu)異的機械部件，滿足先進工業(yè)級產(chǎn)品對結(jié)構(gòu)的極致物理性能追求。近年來，增材制造技術(shù)的發(fā)展與成熟，大幅推動了多孔模型的工業(yè)應(yīng)用，多孔模型已經(jīng)在航空航天部件、醫(yī)療器械等重要裝備或儀器中發(fā)揮出獨特且卓越的工業(yè)價值。因此，以多孔模型設(shè)計方法為落腳點，分別從基于幾何建模的多孔模型正向設(shè)計方法、基于拓撲優(yōu)化的多孔模型逆向設(shè)計方法2方面闡述相關(guān)工作。前者論述了多孔模型的離散體素表示、連續(xù)參數(shù)表示、連續(xù)隱式表示、其他及混合表示等建模方法，后者論述了多孔模型微結(jié)構(gòu)單元優(yōu)化設(shè)計方法、多孔模型結(jié)構(gòu)設(shè)計方法，并探討了2方面多孔模型設(shè)計的發(fā)展趨勢。

多孔模型；晶格結(jié)構(gòu)；設(shè)計優(yōu)化；拓撲優(yōu)化；雙尺度設(shè)計；三維打??；數(shù)字材料

多孔模型在自然界中廣泛存在，如人類骨骼、鳥喙或植物莖等生物系統(tǒng)。經(jīng)過數(shù)百萬年的自然選擇，這些結(jié)構(gòu)在微觀尺度上表現(xiàn)出與宏觀外形截然不同的幾何形貌——形態(tài)各異的多孔單元在結(jié)構(gòu)內(nèi)部形成有序的分布。這些多孔模型能夠在相對較低的密度下，表現(xiàn)出卓越的結(jié)構(gòu)性能，如更高的比強度和比剛度[1]、抗沖擊性[2]，抗阻尼性[3]，誤差容忍度[4]，抗屈曲性等，以及降噪、隔音、吸波等其他復(fù)合性能。采用多孔模型有望突破傳統(tǒng)設(shè)計極限，獲得復(fù)合性能優(yōu)異的機械部件，滿足先進工業(yè)級產(chǎn)品對結(jié)構(gòu)的極致物理性能的追求[5-6]。近年來，增材制造技術(shù)的發(fā)展與成熟，大幅推動了多孔模型的工業(yè)應(yīng)用，多孔模型已經(jīng)在航空航天部件[7]、醫(yī)療植入器械[8]、能量吸收保護裝置[9]等重要裝備或儀器中發(fā)揮出獨特且卓越的工業(yè)價值。

多孔模型設(shè)計，針對特定目標(biāo)需求，在計算機中以數(shù)字化手段對模型的幾何外形進行精確定義，然后遵循特定物理規(guī)律對模型進行仿真測試，根據(jù)計算結(jié)果調(diào)整多孔模型的幾何結(jié)構(gòu)，如此反復(fù)迭代，最終設(shè)計出滿足設(shè)計目標(biāo)的多孔模型幾何結(jié)構(gòu)。此設(shè)計過程總體可分為幾何建模、物理仿真和性能優(yōu)化3個方面。其中，幾何建模采用某類設(shè)計參數(shù)精確表示和定義模型的幾何外觀；物理仿真根據(jù)模型材料分布和外部環(huán)境，預(yù)測其物理性能；性能優(yōu)化將模型設(shè)計表述為數(shù)學(xué)優(yōu)化問題，基于仿真結(jié)果迭代式地改進模型結(jié)構(gòu)參數(shù)，最終達成設(shè)計目標(biāo)。上述幾何建模、物理仿真、性能優(yōu)化3個方面在多孔模型的設(shè)計問題中緊密耦合。多孔模型幾何形貌復(fù)雜，其巨大的設(shè)計和仿真自由度給多孔模型的數(shù)字化設(shè)計帶來巨大的挑戰(zhàn)。本文以多孔模型設(shè)計方法為落腳點，分別從基于幾何建模的多孔模型正向設(shè)計方法、基于拓撲優(yōu)化的多孔模型逆向設(shè)計方法2個方面闡述部分相關(guān)工作。需要指出的是，這里的多孔模型指具有層次結(jié)構(gòu)分布的復(fù)雜模型，在不同的領(lǐng)域也部分重疊與晶格結(jié)構(gòu)、(多)層次結(jié)構(gòu)、超材料等。此外，多孔模型設(shè)計交叉于計算機應(yīng)用、機械工程、計算物理、計算材料等多學(xué)科，本文綜述主要從計算機輔助設(shè)計角度介紹相關(guān)研究與背景。

1 基于幾何建模的正向設(shè)計方法

幾何建模主要采用計算機輔助設(shè)計(computer aided design，CAD)技術(shù)，對模型進行直觀、精準、可控的幾何表示，以面向模型交互設(shè)計、可視化展示、加工制造和裝配等工業(yè)需求。傳統(tǒng)CAD技術(shù)發(fā)展相對成熟，可以設(shè)計幾何結(jié)構(gòu)復(fù)雜的超大型機械模型。然而，多孔模型設(shè)計有別于傳統(tǒng)實體模型的單尺度建模，其耦合宏觀-微觀2個尺度上的幾何結(jié)構(gòu)：多孔單元按一定分布嵌入于宏觀結(jié)構(gòu)中。為此，多孔模型設(shè)計時，一方面需要考慮多孔單元模型幾何結(jié)構(gòu)的表達方法，同時也需要考慮宏觀-微觀尺度上的耦合方法。

多孔模型建模，可以從不同角度進行觀察，根據(jù)孔單元分布，可以分為有序、隨機及半序；根據(jù)不同的幾何表示方法，可以分為離散體素表示、連續(xù)參數(shù)表示、連續(xù)隱式表示、其他建模方法及混合建模方法；考慮到表示形式很大程度上決定了多孔模型設(shè)計的質(zhì)量、效率和方式，這里主要從此角度分別介紹，見表1。

1.1 基于離散體素建模的方法

在基于離散體素建模的方法中，多孔模型由定義在三維空間中規(guī)整體素網(wǎng)格上的密度分布所定義。這些離散點值明確地描述了多孔模型的幾何結(jié)構(gòu)。這類基于體素的模型表示方法是拓撲優(yōu)化(單尺度或雙尺度)領(lǐng)域主流且經(jīng)典的表示方法，在多孔模型拓撲優(yōu)化設(shè)計中被廣泛采用[10-11]；更多細節(jié)見第2節(jié)。

基于體素的多孔模型建模方法具有以下優(yōu)點：

(1) 模型表達形式統(tǒng)一、自由，可直接表達任意復(fù)雜結(jié)構(gòu)，可表達多孔單元或由其組合而成的整體多孔結(jié)構(gòu)，亦可支持多材料模型或功能梯度模型[12]。

(2) 體素模型支持穩(wěn)定高效的布爾運算，能夠通過直接的內(nèi)外部判定，生成具有復(fù)雜宏觀外形的多孔結(jié)構(gòu)[13]。

(3) 體素模型直接提供了性能仿真所需要的離散表示，實現(xiàn)多孔模型的性能仿真，避免了繁瑣且不穩(wěn)定的體網(wǎng)格剖分過程。

表1 基于幾何建模的正向設(shè)計方法和模型匯總表

(4) 體素模型無需額外進行模型切片，即可直接生成增材制造所需的切片圖。

基于體素的模型表示的局限性同樣顯著：

(1) 體素模型對多孔結(jié)構(gòu)的表示并不完備，其缺失了原結(jié)構(gòu)重要的拓撲和幾何信息，使得基于更高層設(shè)計語義的幾何控制變得極為困難。如在拓撲優(yōu)化中[10-11]，如何有效地控制所生成結(jié)構(gòu)的有效性，添加懸角、尺度等工藝約束成為一個重要難題。

(2) 體素模型如采用基于矩陣描述的逐點紀錄方法，對規(guī)模大、分辨率高的模型，會產(chǎn)生龐大的結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)，導(dǎo)致極高的存儲空間乃至不可行。采用先進的離散表示或?qū)哟螛浣Y(jié)構(gòu)，有望部分解決該問題。

(3) 目前的體素建模方法多面向三維空間中微結(jié)構(gòu)呈周期性排布的多孔結(jié)構(gòu)，如直接應(yīng)用幾何隨形多孔結(jié)構(gòu)以及負載自適應(yīng)的多孔模型設(shè)計[8,14]，可能涉及體素單元的形變。

(4) 除此之外，體素模型的分辨率也是固定的，對于不同的3D打印儀器要求，其分辨率需要重采樣。

1.2 基于參數(shù)化建模的方法

參數(shù)化建模方法作為一種發(fā)展已久的主流計算機輔助設(shè)計方法，能夠?qū)δＰ偷奶卣鬟M行顯式快速地更改，廣泛應(yīng)用于基于特征的建模方法和主流CAD系統(tǒng)中[15]。

隨著計算機輔助設(shè)計技術(shù)和系統(tǒng)的發(fā)展，主流的商業(yè)CAD及計算機輔助工程 (computer aided engineering，CAE)軟件如Rhino和Hypermesh等已集成了一些參數(shù)化幾何原型作為其基本單元，如梁(beam)單元和桁架(truss)單元。一些研究基于這些基本單元表示多孔條柱，繼而構(gòu)建整體的多孔結(jié)構(gòu)。NGUYEN等[16]對西門子的NX CAD系統(tǒng)提出了一種保形多孔結(jié)構(gòu)的設(shè)計方法。首先構(gòu)建輸入CAD模型的隨形六面體網(wǎng)格，而后用規(guī)整單元下的多孔單元進行相應(yīng)的嵌入式填充。LIU等[17]同樣在Hypermesh中采用了預(yù)先構(gòu)建的多孔單元庫，設(shè)計復(fù)雜多孔結(jié)構(gòu)。這些工作對多孔結(jié)構(gòu)的設(shè)計受限于軟件已經(jīng)集成的參數(shù)化原型，現(xiàn)有的CAD系統(tǒng)還無法提供高效的幾何參數(shù)化方法，難以直接對大規(guī)模非周期異質(zhì)多孔結(jié)構(gòu)進行高效表示[18]。

研究者們也很早就開始了多孔結(jié)構(gòu)的參數(shù)化建模研究。WANG和ROSEN[19]研究了桁架結(jié)構(gòu)的參數(shù)化建模方法，使用貝塞爾(Bezier)曲面來對桁架結(jié)構(gòu)的表面進行逼近，并對其進行實體建模。然而，結(jié)構(gòu)表面的分解和貝塞爾曲面的構(gòu)造會耗費大量的時間。近年來對多孔結(jié)構(gòu)參數(shù)化建模的研究致力于開發(fā)高效、易計算的參數(shù)化模型。GUPTA等[20]基于一種旋轉(zhuǎn)二次曲線(quadric of revolution)提出了一種簡易的多孔模型設(shè)計方法，并給出了該模型每個面的精確構(gòu)造實體修剪(constructive solid trimming)表達式。隨后，該團隊進一步研究了如何對此種多孔結(jié)構(gòu)進行可編程式構(gòu)建[21]、精確的布爾操作、緊致的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)表示及查詢[22]、凸包[23]、空間變換等[24-25]。其中，文獻[25] 為這種建模方法提出了一種COTS(corner-operated tran-similar)映射方法，可以在恒定時間下高效查詢給定區(qū)域的點-晶格成員測試(point-in-lattice testing)和多孔結(jié)構(gòu)的總面積和質(zhì)量等。

此外，HONG和ELBER[26]提出了一種V-Rep模型，此模型通過函數(shù)復(fù)合進行多孔結(jié)構(gòu)的精確水密構(gòu)建，并采用一種三元形變函數(shù)實現(xiàn)了參數(shù)空間到物體空間的變換。該方法對多孔微結(jié)構(gòu)的拓撲、幾何和材料屬性的控制擁有很高的自由度[27]，所構(gòu)建的微結(jié)構(gòu)表示可以與B樣條和等幾何分析兼容。

參數(shù)化建模方法也存在相應(yīng)的局限性：

(1) 主要局限來自于其非魯棒的布爾運算，這也是經(jīng)典CAD模型的一個歷史遺留問題[28]。

(2) 參數(shù)化多孔模型無法無縫地用于后續(xù)的優(yōu)化過程，仍需要通過體網(wǎng)格劃分或轉(zhuǎn)換為體素后才能進行有限元分析，這一過程需消耗大量的時間且不穩(wěn)定。

(3) 參數(shù)化模型的結(jié)構(gòu)形狀對設(shè)計變量的靈敏度分析往往比較復(fù)雜。

1.3 基于隱式建模的方法

隱式建模和參數(shù)化建模都屬于連續(xù)建模方法，可定義多孔模型任意一點值。其中，隱式建模方法基于隱式函數(shù)來描述多孔結(jié)構(gòu)的內(nèi)外部。隱式函數(shù)是一種水平集函數(shù)(level set function)，其能夠?qū)?D空間中的任意點返回一個標(biāo)量值，以表征點與函數(shù)邊界之間的位置關(guān)系。相比較于參數(shù)化建模方法，隱式建模方法有諸多優(yōu)點：

(1) 容易構(gòu)建自由、光滑的多孔模型，很適合描述復(fù)雜自然的多孔模型。

(2) 隱式表示可以通過函數(shù)復(fù)合高效精準的定義模型間的布爾運算，此基于體的描述方式在布爾操作時非常魯棒。

(3) 隱式建模易于通過函數(shù)復(fù)合實現(xiàn)過渡和變形等常規(guī)幾何操作，很適合復(fù)雜多孔模型穩(wěn)定建模。

由于這些獨特的優(yōu)勢，隱式表示為增材制造設(shè)計軟件公司nTopology所全面采用[29]。隱式建模的主要缺點是精準幾何控制比較困難，在進行模型繪制時一般需要轉(zhuǎn)換為離散的STL格式完成。

鑒于這些優(yōu)勢，隱式函數(shù)被研究者們廣泛應(yīng)用于多孔結(jié)構(gòu)的幾何表示中，用于定義多孔模型的不同形式的隱式函數(shù)被持續(xù)提出。WATTS和TORTORELLI[30]提出了一種將三維多孔條柱隱式化的方法，其中每個條柱都被表示為一個類圓柱結(jié)構(gòu)，同時還提出了一種幾何映射方法，將多孔幾何平滑地映射到一個連續(xù)密度場上。KAZEMI等[31]將該方法拓展到二維多材料多孔結(jié)構(gòu)的逆均一化設(shè)計中。PANETTA等[32]使用隱式有向距離場來表達多孔條柱，其能構(gòu)建具有梯度半徑的多孔條柱，并為條柱的連接提出了一種局部有效的過渡操作。MUSTAFA和LAZOGLU[33]基于二次圓錐曲線為非均質(zhì)多孔條柱的表示提出一種新的形式以及對應(yīng)的直接切片方法。LIU等[34]和DING等[35]提出了基于隱式表示的內(nèi)存高效的大規(guī)模多孔結(jié)構(gòu)建模方法，其中，文獻[34] 使用卷積曲面來表達多孔模型的幾何結(jié)構(gòu)。

三重周期最小曲面(triply periodic minimal surfaces，TPMS)是一種特殊的隱式曲面，具有，，軸上三向的周期性，平均曲率始終為0，且具有高孔隙率、表面積大的特點。YOO[36-37]早期即開始了系統(tǒng)的TPMS設(shè)計研究，如通過距離場引導(dǎo)的異質(zhì)多孔模型、多尺度混合TPMS模型等。其他一些工作常使用原始或修改后的TPMS單元作為多孔結(jié)構(gòu)的基本構(gòu)建單元。AL-KETAN等[38]使用TPMS族中的G類和D類作為基本微結(jié)構(gòu)單元，在不同的相對密度，晶胞尺寸和外形下研究其力學(xué)性能。YAN等[39]采用形變的TPMS單元定義模型內(nèi)部填充結(jié)構(gòu)，并采用局部優(yōu)化的方法使得多孔模型具有更優(yōu)秀的力學(xué)性能。HU等[40]使用TPMS單元設(shè)計了一種處處光滑連接的新型多孔殼結(jié)構(gòu)，并且基于TPMS函數(shù)來進行結(jié)構(gòu)的表示、分析、優(yōu)化和存儲。LI等[41]提出了一種擴展的TPMS表示方法，使用一種連續(xù)的空間變化函數(shù)來控制TPMS結(jié)構(gòu)中單元的異質(zhì)性。

就局限性而言，TPMS單元幾何結(jié)構(gòu)復(fù)雜，在多孔結(jié)構(gòu)設(shè)計中，其幾何形態(tài)難以被顯式控制。同時，涉及隨形和大規(guī)模TPMS的研究工作仍然較少。

1.4 其他及混合建模方法

研究者們也考慮其他建模方法或結(jié)合多種幾何表示方法來實現(xiàn)對多孔模型的表示和建模。

Voronoi圖適合用于生成非周期多孔結(jié)構(gòu)。Voronoi圖亦稱為泰森多邊形，由一組連接兩鄰點直線段的垂直平分線所構(gòu)成的連續(xù)多邊形組成[42-43]。LU等[44]通過在模型內(nèi)部構(gòu)建Voronoi剖分，并從內(nèi)部挖孔形成了力學(xué)優(yōu)化的閉孔模型；作者又進一步提出了各向異性模型[45]、開孔模型[46]。針對多孔模型存儲量大，建模復(fù)雜的挑戰(zhàn)，MARTíNEZ等[47-48]提出了過程式Voronoi多孔模型(procedural voronoi foams)。該模型可在打印過程中，依據(jù)所需要的屬性分布，逐步生成多孔模型切片。其具有輕量的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)表示，并且非常易于生成梯度化的結(jié)構(gòu)并具有優(yōu)秀的可打印性。如何在滿足力學(xué)性能要求的情況下，構(gòu)建適合的Voronoi剖分，并指導(dǎo)模型構(gòu)建，對多孔模型設(shè)計具有重要意義。為此，STANKOVI?和SHEA[49]考慮4種不同多孔單元來進行設(shè)計，而FENG等[50]通過巧妙的隱式函數(shù)表示，構(gòu)建了可微分且具有局部可控性的各向異性Voronoi多孔結(jié)構(gòu)。該方法的一個主要局限是模型邊界呈復(fù)雜曲線結(jié)構(gòu)，且難以直接拓展到三維情形。整體而言，基于Voronoi剖分指導(dǎo)單元設(shè)計，是一種頗具潛力的多孔模型建模方法。該方法的一個明顯優(yōu)勢是很容易適配自由外形，但其單元結(jié)構(gòu)相對不統(tǒng)一，控制難。此外，傳統(tǒng)均一化仿真方法也不直接適用于此類異質(zhì)模型。

具有多孔特征的rank-N微結(jié)構(gòu)被認為是可以實現(xiàn)特定本構(gòu)屬性的最優(yōu)解[51]。其中，最少鋪層參數(shù)取決于設(shè)計問題的分析維度及載荷數(shù)目。如，rank-2和rank-3結(jié)構(gòu)[52]分別對應(yīng)于平面問題中的單載荷工況和多載荷工況。然而，將rank-N微結(jié)構(gòu)應(yīng)用于多尺度結(jié)構(gòu)設(shè)計通常需要特定的尺度分離假設(shè)，這導(dǎo)致其可制造性存在困難。近年來，PANTZ和TRABELSI[53]及GROEN等[54-55]提出并發(fā)展了一種被稱為“De-homogenization”的設(shè)計方法，將rank-N微結(jié)構(gòu)對應(yīng)的設(shè)計結(jié)果轉(zhuǎn)化為更具可制造性的高分辨率多孔結(jié)構(gòu)。

研究者們也使用混合方法對多孔微結(jié)構(gòu)進行建模。PANETTA等[56]提出了一種面向增材制造的多孔微結(jié)構(gòu)設(shè)計方法。其通過在一個48對稱的四面體單元內(nèi)以一定的規(guī)則采樣拓撲生成規(guī)整單元下的完整拓撲，并基于多孔微結(jié)構(gòu)的完整拓撲生成對應(yīng)的四面體網(wǎng)格模型。而WANG等[57]從模型輕量化打印出發(fā)，提出了一種多目標(biāo)驅(qū)動下的迭代優(yōu)化方法，將3D模型表達為蒙皮包裹的內(nèi)部桁架結(jié)構(gòu)，在大幅減少了打印材料的同時優(yōu)化設(shè)計了打印件的物理穩(wěn)定性和可加工性。后續(xù)，上述作者又提出了一種免支撐的中空結(jié)構(gòu)設(shè)計框架[58]，有效免除了對支撐結(jié)構(gòu)的需求。CHEN等[59]則在高分辨率單位方格下進行體素采樣，得到連通的體素后再提取骨架，并進行參數(shù)化建模。WANG等[60]提出了一種用于大規(guī)模共形多孔結(jié)構(gòu)的混合幾何建模方法。首先構(gòu)建每個單元結(jié)構(gòu)的實體模型(BRep)，然后根據(jù)得到的實體模型生成單元結(jié)構(gòu)的多邊形網(wǎng)格。通過組裝所有晶胞的面網(wǎng)格，可以得到整體結(jié)構(gòu)的幾何模型。該方法使用多種不同類型的多孔結(jié)構(gòu)，包括規(guī)則多孔結(jié)構(gòu)和幾何隨形多孔結(jié)構(gòu)，但對具有復(fù)雜參數(shù)分布的大規(guī)模多孔結(jié)構(gòu)，該方法構(gòu)建對應(yīng)實體模型的效率較低。CHOUGRANI等[61]對多孔結(jié)構(gòu)提出了一種輕量化的三角網(wǎng)格劃分算法，其中使用一種參數(shù)化的圓柱多孔模型來表示多孔幾何，還使用鄰接圖來定義多孔結(jié)構(gòu)的拓撲。也有作者采用復(fù)雜曲線或特殊單元結(jié)構(gòu)進行多孔結(jié)構(gòu)設(shè)計。如，文獻[62] 采用Escher形狀來進行模型表面曲面的填充，而文獻[63] 基于棱鏡形單元，通過曲面細分完成多孔結(jié)構(gòu)的內(nèi)部填充設(shè)計。HU等[64]提出了一種基于給定紋理生成自適應(yīng)設(shè)計域的優(yōu)化方法，可用于特定紋理多孔結(jié)構(gòu)模型的生產(chǎn)。在不同的載荷條件下，不同填充結(jié)構(gòu)的三維模型可具有各不相同的結(jié)構(gòu)性能。XU等[65]提出了一種基于分層結(jié)構(gòu)的新型輕質(zhì)填料結(jié)構(gòu)。其所提出的填充結(jié)構(gòu)的層連續(xù)周期性地在三角形和六邊形之間變換，并且在不同的加載條件下具有相當(dāng)?shù)慕Y(jié)構(gòu)性能。

面向復(fù)雜外形結(jié)構(gòu)，多孔模型設(shè)計往往需要滿足隨形設(shè)計需求。此復(fù)雜外形結(jié)構(gòu)，難以采用規(guī)整的六面體單元進行直接填充。為實現(xiàn)宏觀、微觀結(jié)構(gòu)的外形匹配，一般通過裁剪操作完成[66]，由此常導(dǎo)致邊界單元結(jié)構(gòu)不完整，單元與邊界處連接不光滑等問題。通過共形映射，可以將每個多孔單元通過形變嵌入宏觀結(jié)構(gòu)，使緊密貼合模型外形結(jié)構(gòu)[67]，并且可通過幾何或物理場，如應(yīng)力[68]，進一步實現(xiàn)多孔單元設(shè)計參數(shù)的調(diào)控。然而，該方法需要首先對整體模型進行參數(shù)化處理，而其本身就是一個非常復(fù)雜的研究問題；多孔單元嵌入過程中也常會導(dǎo)致單元形變，影響模型質(zhì)量。

整體而言，混合幾何方法對多孔結(jié)構(gòu)的表示更加完備，一些包含參數(shù)化模型的方法也能兼容于現(xiàn)有的CAD系統(tǒng)。然而，混合表示由于包含大量的面網(wǎng)格、體網(wǎng)格或者體素單元而很難對模型的局部特征進行修改，同時建模的時間也往往較長。

1.5 評價與展望

多孔模型正向設(shè)計，類似傳統(tǒng)計算機輔助設(shè)計技術(shù)，基于幾何建模方式完成。其中，體素表示自由、統(tǒng)一，便于仿真計算，也是拓撲優(yōu)化領(lǐng)域所采用的主流表示方法，但其實現(xiàn)光滑建模需要很高的模型分辨率，存儲量大。參數(shù)多孔表示與主流CAD軟件表示相統(tǒng)一，但也面臨著建模復(fù)雜度高、不穩(wěn)定的挑戰(zhàn)。隱式表示容易構(gòu)建自由、光滑的多孔模型，易于幾何操作，如過渡和變形，很適合多孔模型建模。隱式建模的主要缺點是精準幾何控制比較難。如何充分吸收各表示優(yōu)勢，處理超大規(guī)模模型，值得進一步挖掘。這些模型也常轉(zhuǎn)化為三角面網(wǎng)格，其目前仍是工業(yè)主流的多孔模型表示方法，被增材制造建模軟件Materialize采用[69]，自由簡單，但存儲量大，缺乏幾何控制參數(shù)。

對多孔模型設(shè)計而言，需考慮廣泛的設(shè)計空間、有效的幾何控制參數(shù)、易于與后續(xù)的仿真優(yōu)化集成3個方面，即：

多孔模型設(shè)計需要覆蓋廣闊的設(shè)計空間，同時具有直觀的幾何控制參數(shù)。理想情況下，采用足夠精細的空間采樣，足以充分表達任何復(fù)雜的多孔模型，但缺乏高層設(shè)計語義，導(dǎo)致難以實現(xiàn)有效的幾何控制。如考慮基于各向異性的彈性張量的多孔描述，設(shè)計參數(shù)從一維標(biāo)量變?yōu)楦呔S四階張量，設(shè)計維度增加，能夠進一步探索結(jié)構(gòu)所能達到的極致物理性能，卻導(dǎo)致設(shè)計空間過于廣泛，對于極端屬性的彈性張量難以找到匹配的微結(jié)構(gòu)。具有充分表達能力的設(shè)計空間，應(yīng)該直接從多孔模型的幾何信息出發(fā)，顯式地描述模型的拓撲與幾何分布，脫離底層單元的依賴性。在此方面，仍需要更多的研究工作。

此外，多孔模型的建模同時需要考慮后續(xù)仿真及優(yōu)化需求，實現(xiàn)設(shè)計-仿真-優(yōu)化一體化將大幅增強多孔模型的設(shè)計能力。并可避免復(fù)雜的網(wǎng)格剖分，進行高效高精的性能預(yù)測，同時可直接優(yōu)化模型的設(shè)計參數(shù)，由此，有望避免傳統(tǒng)CAD/CAE一體化的難題，提升多孔模型設(shè)計效率。

2 基于拓撲優(yōu)化的逆向設(shè)計方法

多孔模型設(shè)計的另一種方法是采用仿真驅(qū)動的自動化設(shè)計，其多在體素模型表示的基礎(chǔ)上，通過單尺度或雙尺度的自由拓撲優(yōu)化完成。本文進一步從2方面描述：微結(jié)構(gòu)單胞優(yōu)化和多尺度結(jié)構(gòu)優(yōu)化。

由特征參數(shù)確定的點陣微結(jié)構(gòu)，其設(shè)計變量通常為各個桿的有無、位置、粗細等，而自由拓撲微結(jié)構(gòu)以整個代表性體元空間為設(shè)計域，根據(jù)設(shè)計需要，在設(shè)計域內(nèi)自由分配材料，如圖1所示。因此，相較于點陣微結(jié)構(gòu)，自由拓撲微結(jié)構(gòu)的設(shè)計域更加廣闊，結(jié)構(gòu)形式更加復(fù)雜，進而可實現(xiàn)更豐富的功能和屬性。然而，設(shè)計域的擴展帶來了更具挑戰(zhàn)性的設(shè)計問題，宏觀尺度拓撲優(yōu)化方法向微觀設(shè)計域的擴展成為過去10年的研究熱點。

微結(jié)構(gòu)的宏觀等效屬性，可通過均勻化方法計算評估。相對應(yīng)的，在某種等效屬性設(shè)計目標(biāo)的驅(qū)動下，基于拓撲優(yōu)化方法尋找微結(jié)構(gòu)單胞最優(yōu)構(gòu)型的方法通常稱為逆向均勻化方法(inverse homogenization)，且該方法也是宏微結(jié)構(gòu)一體化設(shè)計的支撐技術(shù)。

圖1 點陣微結(jié)構(gòu)和自由形式微結(jié)構(gòu)

2.1 微結(jié)構(gòu)單胞優(yōu)化

逆向均勻化方法于1994年由丹麥科學(xué)家SIGMUND[70]提出，通過拓撲優(yōu)化得到了具有特殊屬性的微結(jié)構(gòu)單胞，如宏觀等效泊松比為–1的微結(jié)構(gòu)。之后，學(xué)界開展了大量優(yōu)化算法研究，致力于設(shè)計具有極限屬性或特殊屬性的微結(jié)構(gòu)單胞，即機械超材料。

如圖2所示，關(guān)于具有極限屬性的微結(jié)構(gòu)單胞拓撲優(yōu)化，研究主要集中在最大化體積模量、剪切模量等力學(xué)屬性，或最優(yōu)化熱、流、電等物理屬性，同時，輕質(zhì)化也是微結(jié)構(gòu)單胞的設(shè)計要點，通常以材料用量約束的形式予以實現(xiàn)。部分代表性研究如，SIGMUND[71-72]和VIGDERGAUZ[73]優(yōu)化了具有最大體積模量的二維和三維微結(jié)構(gòu)。SIGMUND和TORQUATO[74]提出了最大化熱膨脹系數(shù)的三相多材料微結(jié)構(gòu)單胞設(shè)計方法。GUEST和PRéVOST[75]以剛度和流體滲透性為優(yōu)化目標(biāo)，實現(xiàn)了多功能屬性的微結(jié)構(gòu)單胞優(yōu)化設(shè)計。SILVA等[76-77]提出了在剛度和結(jié)構(gòu)對稱性約束下，微結(jié)構(gòu)單胞壓電性能的設(shè)計方法。CHALLIS等[78]以剛度與熱傳導(dǎo)性為優(yōu)化目標(biāo)，實現(xiàn)了三維各項同性微結(jié)構(gòu)單胞的優(yōu)化設(shè)計。ZHANG等[79]基于能量均勻化方法，實現(xiàn)了二維和三維微結(jié)構(gòu)單胞剛度的拓撲優(yōu)化設(shè)計。HUANG等[80]基于雙向漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法(bidirectional evolutionary structural optimization)，分別以體積模量和剪切模量最大化為優(yōu)化目標(biāo)，實施了二維和三維微結(jié)構(gòu)單胞的優(yōu)化設(shè)計。之后，學(xué)者們[81–84]先后發(fā)表了一系列關(guān)于微結(jié)構(gòu)單胞優(yōu)化的教育性論文，極大地促進了微結(jié)構(gòu)優(yōu)化研究領(lǐng)域的進程。

除了以極限屬性為目標(biāo)的微結(jié)構(gòu)單胞優(yōu)化，設(shè)計具有特殊屬性的超材料微結(jié)構(gòu)單胞也是研究領(lǐng)域內(nèi)的熱點，相關(guān)研究主要圍繞泊松比和熱膨脹系數(shù)展開。較早的，文獻[71-72,74] 等實現(xiàn)了零泊松比、負泊松比以及零熱膨脹系數(shù)和負熱膨脹系數(shù)的微結(jié)構(gòu)單胞拓撲優(yōu)化設(shè)計。后續(xù)，WANG等[85]提出了基于水平集優(yōu)化方法的負泊松比微結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計方法，并探究了不同初始設(shè)計對優(yōu)化結(jié)果的影響。VOGIATZIS等[86]實現(xiàn)了基于水平集拓撲優(yōu)化方法設(shè)計的多材料負泊松比微結(jié)構(gòu)。WANG等[87]基于超彈性材料有限元模型，通過數(shù)值計算評估微結(jié)構(gòu)在拉伸測試中的軸向與橫向應(yīng)變響應(yīng)，實現(xiàn)了大變形條件下的負泊松比微結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計。

圖2 極限屬性微結(jié)構(gòu)設(shè)計，體積約束為50%，楊氏模量為1，泊松比為0.3 ((a)最大體積模量二維微結(jié)構(gòu)；(b)最大剪切模量二維微結(jié)構(gòu)；(c)最大體積模量三維微結(jié)構(gòu))

上述工作實現(xiàn)了眾多新穎的機械超材料微結(jié)構(gòu)單胞設(shè)計，但優(yōu)化結(jié)果主要以數(shù)值計算進行評估，較少融合加工工藝約束，缺乏針對設(shè)計結(jié)果的制備研究與試驗驗證。

1997年，LARSEN等[88]使用激光微加工，率先實現(xiàn)了優(yōu)化設(shè)計負泊松比微結(jié)構(gòu)的制備，并對其進行了試驗測試。然而，正如文獻[88] 報道的，該加工方式應(yīng)用面窄，僅限于二維微結(jié)構(gòu)的制造。近年來，增材制造技術(shù)的快速發(fā)展解決了復(fù)雜拓撲結(jié)構(gòu)的制造問題，諸多具有極限屬性或特殊屬性的微結(jié)構(gòu)單胞拓撲造型得到了試驗驗證。同時，融合實際加工可制造性約束也逐漸成為微結(jié)構(gòu)單胞拓撲優(yōu)化算法研發(fā)的必須考量要素。

ANDREASSEN等[89]實施了泊松比為–0.5的三維微結(jié)構(gòu)單胞設(shè)計，使用魯棒性過濾和閾值投影方法，實現(xiàn)了優(yōu)化過程中結(jié)構(gòu)的最小尺寸控制，并通過增材制造和壓縮試驗，驗證了優(yōu)化結(jié)果的可制造性和微結(jié)構(gòu)的等效負泊松比屬性，如圖3(a)所示。CLAUSEN等[90]實現(xiàn)了大變形條件下指定負泊松比微結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化設(shè)計，通過3D打印樣件，試驗驗證了持續(xù)加載情況下的穩(wěn)定負泊松比系數(shù)，相關(guān)設(shè)計結(jié)果如圖3(b)所示。DU等[91]基于能量均勻化的方法，以最大剪切模量為優(yōu)化目標(biāo)，實現(xiàn)了六邊形微結(jié)構(gòu)單胞的拓撲優(yōu)化設(shè)計，解決了傳統(tǒng)六邊形單胞剪切性能弱的問題。通過壓縮試驗，驗證了該方法所設(shè)計六邊形微結(jié)構(gòu)的高抗剪和超承載性能。ZHANG等[92]使用水平集拓撲優(yōu)化方法，以剛度最優(yōu)為目標(biāo)，實現(xiàn)了具有光滑曲面的微結(jié)構(gòu)單胞設(shè)計，并通過選擇性激光熔化(SLA)增材制造工藝打印試樣，試驗結(jié)果表明，相對于其他參數(shù)化點陣結(jié)構(gòu)[93–97]，拓撲優(yōu)化設(shè)計的微結(jié)構(gòu)具有顯著更優(yōu)的相對彈性模量。WU等[98]基于拓撲優(yōu)化方法實現(xiàn)了五模超材料(pentamode metamaterials)的設(shè)計與增材制造加工，相關(guān)制備樣件如圖3(c)所示。該項工作通過約束等效彈性矩陣中元素之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系實現(xiàn)了微結(jié)構(gòu)五模屬性的量化調(diào)控。

圖3 超材料微結(jié)構(gòu)設(shè)計及增材制造加工((a)負泊松比三維微結(jié)構(gòu)[89] ；(b)考慮大變形的負泊松比二維微結(jié)構(gòu)[90] ；(c)五模超材料微結(jié)構(gòu)[98] )

2.2 多尺度結(jié)構(gòu)設(shè)計

微結(jié)構(gòu)構(gòu)件的多尺度設(shè)計通常以尺度分離為假設(shè)，對宏觀結(jié)構(gòu)進行網(wǎng)格劃分及拓撲變量定義，以有限單元為單位進行微結(jié)構(gòu)的定義與優(yōu)化，利用計算均勻化方法實現(xiàn)宏微結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián)。自由拓撲微結(jié)構(gòu)單胞優(yōu)化與多尺度結(jié)構(gòu)優(yōu)化具有相似的特征——周期性邊界條件始終是微結(jié)構(gòu)有限元分析所需要遵循的，這是保證形成周期性微結(jié)構(gòu)特征的關(guān)鍵。而這2類優(yōu)化問題的差異在于，多尺度構(gòu)件設(shè)計不再以單胞的某種屬性或特性為優(yōu)化目標(biāo)，而是以宏觀結(jié)構(gòu)的整體力學(xué)響應(yīng)為優(yōu)化目標(biāo)，因此，多尺度設(shè)計中的微結(jié)構(gòu)是適應(yīng)宏觀結(jié)構(gòu)載荷的產(chǎn)物，每個局部的微結(jié)構(gòu)單胞均可能存在幾何差異，如圖4所示。顯然，微結(jié)構(gòu)構(gòu)件的多尺度設(shè)計對于單胞優(yōu)化更具挑戰(zhàn)性，本節(jié)主要從均質(zhì)微結(jié)構(gòu)填充和異質(zhì)微結(jié)構(gòu)填充相關(guān)2個角度對多尺度拓撲優(yōu)化相關(guān)工作展開論述。

圖4 L形梁基于不同微結(jié)構(gòu)的優(yōu)化結(jié)果 ((a)均質(zhì)微結(jié)構(gòu)；(b)異質(zhì)微結(jié)構(gòu)[99] )

2.2.1 均質(zhì)微結(jié)構(gòu)填充

均質(zhì)微結(jié)構(gòu)填充的基本假設(shè)是宏觀構(gòu)件僅由一種微結(jié)構(gòu)周期性排列形成。最早的，F(xiàn)UJII等[100]僅考慮宏觀結(jié)構(gòu)邊界條件對微結(jié)構(gòu)構(gòu)型的影響，在宏觀結(jié)構(gòu)固定的情況下，實現(xiàn)了對構(gòu)件微結(jié)構(gòu)拓撲造型的優(yōu)化，后續(xù)也通過BESO方法實現(xiàn)了類似的設(shè)計思路[101]。進一步地，XIE等[102]研究了微結(jié)構(gòu)單胞周期性次數(shù)的收斂性，結(jié)果表明，當(dāng)微結(jié)構(gòu)周期性循環(huán)大約8次以上時，通?？梢赃_到很好的收斂性。LIU等[103]基于數(shù)值與試驗結(jié)合的方法，探究了最小尺寸控制對于周期性循環(huán)次數(shù)收斂性的影響。進一步地，為了實現(xiàn)宏觀結(jié)構(gòu)與微結(jié)構(gòu)構(gòu)型協(xié)同優(yōu)化，LIU等[104]提出了多孔各項異性懲罰方法(porous anisotropic material with penalization，PAMP)。在相似的工作框架下，該方法也被拓展到固有頻率優(yōu)化[105]、載荷不確定的穩(wěn)健性優(yōu)化[106]及熱力載荷耦合優(yōu)化[107]。YAN等[108]和WANG等[109]分別基于BESO方法和水平集拓撲優(yōu)化方法實現(xiàn)了宏觀拓撲結(jié)構(gòu)與微結(jié)構(gòu)構(gòu)型的協(xié)同優(yōu)化設(shè)計。后續(xù)，ZHAO等[110]介紹了一種基于應(yīng)力約束的宏微并行拓撲優(yōu)化方法?？紤]到增材制造中自支撐性，ZHAO等[111]提出了在多尺度拓撲優(yōu)化框架內(nèi)構(gòu)建自支撐結(jié)構(gòu)的方法。通過基于相對位置的宏元素區(qū)分來彌合2個尺度上自給自足需求之間的差距，最終在雙尺度拓撲優(yōu)化框架內(nèi)生成一個完全自支撐結(jié)構(gòu)的方法。

以上工作考慮宏觀結(jié)構(gòu)中僅存在一種周期性微結(jié)構(gòu)，一定程度上限制了設(shè)計空間，但這類工作依然具有顯著的優(yōu)勢。由于結(jié)構(gòu)僅由一種微結(jié)構(gòu)周期性排布，且在微結(jié)構(gòu)有限元分析中施加了周期性邊界條件，因此相鄰微結(jié)構(gòu)間具有優(yōu)異的幾何連接性。同時，該類優(yōu)化模型簡單，數(shù)值計算規(guī)模小，大型構(gòu)件的均質(zhì)多孔結(jié)構(gòu)填充設(shè)計具有可觀的應(yīng)用前景。

2.2.2 異質(zhì)微結(jié)構(gòu)填充

為實現(xiàn)更優(yōu)的結(jié)構(gòu)性能，以異質(zhì)微結(jié)構(gòu)對宏觀構(gòu)件進行填充是進一步擴展設(shè)計空間的有效手段。RODRIGUES等[112]率先實現(xiàn)了異質(zhì)微結(jié)構(gòu)填充的多尺度構(gòu)件設(shè)計，在這項工作中，首先優(yōu)化結(jié)構(gòu)中每一個宏觀單元的密度，之后基于優(yōu)化結(jié)果設(shè)置每個單元內(nèi)微結(jié)構(gòu)單胞的體積分數(shù)上限，進而優(yōu)化每個單元內(nèi)微結(jié)構(gòu)的拓撲構(gòu)型?；谙嗨频膬?yōu)化框架，該類優(yōu)化問題也被擴展到三維結(jié)構(gòu)[113]。為了實現(xiàn)宏觀結(jié)構(gòu)與局部微結(jié)構(gòu)的協(xié)同優(yōu)化，XIA和BREITKOPF[114]建立了基于FE2的非線性多尺度優(yōu)化框架，然而，由于結(jié)構(gòu)每一位置處的微結(jié)構(gòu)優(yōu)化需要大量的并行計算，計算成本急劇增加。為此，XIA和BREITKOPF[115]在后續(xù)工作中以微結(jié)構(gòu)單胞數(shù)據(jù)庫及代理模型高效地替換了FE2多尺度優(yōu)化框架下的大體量均勻化計算。

早期的異質(zhì)微結(jié)構(gòu)構(gòu)件拓撲優(yōu)化方法為后續(xù)研究提供了重要的啟發(fā)性思路，但隨著多尺度構(gòu)件從概念性設(shè)計走向應(yīng)用層面，早期方法在微結(jié)構(gòu)連接性、構(gòu)件可制造性等方面的不足逐漸顯現(xiàn)，并引發(fā)了大量的相關(guān)研究。這里，將總結(jié)2類被重點關(guān)注的方法。

(1) 采用分區(qū)域優(yōu)化策略。其基本思路是根據(jù)宏觀載荷分布特征，將構(gòu)件劃分為若干區(qū)域，每一區(qū)域由相同構(gòu)型的微結(jié)構(gòu)進行填充。文獻[99] 將宏觀結(jié)構(gòu)按幾何特征劃分為若干區(qū)域，進而針對每一分區(qū)的微結(jié)構(gòu)拓撲構(gòu)型進行了宏微并行的協(xié)同優(yōu)化設(shè)計。XU和CHENG[116]提出了以主應(yīng)力方向為依據(jù)的分區(qū)策略，而QIU等[117]在此基礎(chǔ)上，同時考慮第一主應(yīng)力和第二主應(yīng)力的比值，提出了應(yīng)力狀態(tài)驅(qū)動的動態(tài)分區(qū)方法。然而，以上工作需設(shè)置統(tǒng)一的微結(jié)構(gòu)體積分數(shù)，未實現(xiàn)變密度填充效果，無法對變化的承載需求做出響應(yīng)。LI等[118]提出了一種基于宏觀單元密度分區(qū)的層級優(yōu)化策略，以單一分區(qū)存在唯一微結(jié)構(gòu)為假設(shè)，實現(xiàn)了宏觀結(jié)構(gòu)與微結(jié)構(gòu)拓撲構(gòu)型的并行優(yōu)化。LIU等[119]和GAO等[120]分步驟實現(xiàn)了變密度微結(jié)構(gòu)構(gòu)件的優(yōu)化設(shè)計，即首先優(yōu)化宏觀單元密度，以密度為指標(biāo)對有限單元進行分簇，最終針對每一分簇的關(guān)聯(lián)微結(jié)構(gòu)進行并行拓撲優(yōu)化。后續(xù)，這種方法也被拓展到頻響結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化設(shè)計[121]。XU等[122]采用類似的密度分區(qū)多步優(yōu)化方法，利用界面抽殼技術(shù)在不同微結(jié)構(gòu)域之間添加實體層，以此解決了不同微結(jié)構(gòu)之間的連接性問題，相關(guān)設(shè)計結(jié)果如圖5(a)所示。綜上，密度分區(qū)和主應(yīng)力分區(qū)均可實現(xiàn)較優(yōu)的多尺度結(jié)構(gòu)設(shè)計效果，但兩者的融合預(yù)期效果更佳。為此，ZHANG等[123]提出了一種綜合考慮局部承載量級及主應(yīng)力狀態(tài)的結(jié)構(gòu)分區(qū)策略，以此實現(xiàn)的多孔構(gòu)件拓撲優(yōu)化設(shè)計經(jīng)數(shù)值計算及試驗驗證，呈現(xiàn)了相較于單一分區(qū)指標(biāo)的顯著力學(xué)性能提升，相關(guān)設(shè)計結(jié)果如圖5(b)所示。類似地，TYBUREC等[124]以宏觀結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果中的彈性張量參數(shù)驅(qū)動單元分區(qū)，實現(xiàn)了優(yōu)異的多尺度結(jié)構(gòu)聚類優(yōu)化設(shè)計。

圖5 基于不同分區(qū)策略所實現(xiàn)的多尺度拓撲優(yōu)化案例((a)簡支梁設(shè)計結(jié)果[122] ；(b) Michell結(jié)構(gòu)設(shè)計結(jié)果[123] )

(2) 以具有相同或相近拓撲構(gòu)型的變密度微結(jié)構(gòu)對宏觀構(gòu)件進行功能梯度填充，以此實現(xiàn)多尺度結(jié)構(gòu)的宏微一體化設(shè)計。該類型方法的顯著優(yōu)勢是相同或相似的拓撲構(gòu)型保證了異質(zhì)微結(jié)構(gòu)間的幾何連接性，而研究難點在于如何在優(yōu)化過程中保持微結(jié)構(gòu)間的拓撲相似性。如，CRAMER等[125]預(yù)優(yōu)化了一系列具有最大體積模量的異質(zhì)微結(jié)構(gòu)，通過構(gòu)建微結(jié)構(gòu)密度與等效屬性的代理模型，實現(xiàn)了變密度微結(jié)構(gòu)構(gòu)件優(yōu)化設(shè)計。相似的優(yōu)化框架也被后續(xù)的工作[126-128]所采用，然而，以上工作中微結(jié)構(gòu)構(gòu)型的預(yù)優(yōu)化脫離于構(gòu)件真實工況的特定邊界條件，預(yù)優(yōu)化微結(jié)構(gòu)的選型對最終優(yōu)化結(jié)果影響巨大。為此，WANG等[129]以水平集函數(shù)描述微結(jié)構(gòu)拓撲構(gòu)型，通過建立水平集函數(shù)與等值面切割水平的協(xié)同優(yōu)化方法，實現(xiàn)了微結(jié)構(gòu)構(gòu)型與密度分布的并行優(yōu)化，如圖6(a)所示。在此工作的基礎(chǔ)上，ZONG等[130]通過在單元節(jié)點上定義切割水平變量，實現(xiàn)了具有更優(yōu)異連接性的二維和三維功能梯度微結(jié)構(gòu)構(gòu)件的優(yōu)化設(shè)計。以SIMP法為基礎(chǔ)，LI等[131]采用腐蝕-膨脹算子獲得了一系列具有相似拓撲的變密度微結(jié)構(gòu)，并據(jù)此實現(xiàn)了宏微并行設(shè)計，如圖6(b)所示?？傊?，這類優(yōu)化策略的核心在于運用具有相似幾何特征的一系列梯度微結(jié)構(gòu)進行構(gòu)件填充，而特征相似性為確保微結(jié)構(gòu)間的連接性提供了保障。

除了上述2類被廣泛研究的設(shè)計方法，微結(jié)構(gòu)之間的連接性也是學(xué)者們關(guān)注的重點。ZHOU和LI[132]通過定義實體非設(shè)計域保證了相鄰微結(jié)構(gòu)間的連接性。這種方法被廣泛應(yīng)用于自由拓撲微結(jié)構(gòu)構(gòu)件的多尺度設(shè)計[117-118]。DU等[133]以相鄰微結(jié)構(gòu)單胞在連接域附近的對稱性定義了連接性指數(shù)，并將其作為約束引入多尺度拓撲優(yōu)化算法中，實現(xiàn)了鄰接微結(jié)構(gòu)間的連接性。文獻[126] 提出了微結(jié)構(gòu)單胞結(jié)合法，即在優(yōu)化過程中綜合考慮當(dāng)前單胞屬性及其與鄰接單胞的組合體屬性，通過加權(quán)優(yōu)化達到單胞性能設(shè)計與微結(jié)構(gòu)連接性設(shè)計的平衡。HU等[134]提出了類似的加權(quán)優(yōu)化策略，通過提取當(dāng)前單胞與鄰接單胞的中間域來加權(quán)計算當(dāng)前單胞的等效屬性，進而確保了異構(gòu)微結(jié)構(gòu)間的連接性。LIU等[135]通過在微結(jié)構(gòu)單胞邊緣處定義連接域，并設(shè)置所有微結(jié)構(gòu)共享相同連接域的方法來保證微結(jié)構(gòu)連接性。與設(shè)置非設(shè)計域不同的是，該方法將連接域的材料分布融合到微結(jié)構(gòu)優(yōu)化中，進一步提升了設(shè)計空間。

圖6 具有相近拓撲構(gòu)型的變密度微結(jié)構(gòu)設(shè)計案例((a)基于水平集方法的梯度微結(jié)構(gòu)的形狀映射模型[129] ；(b)基于變密度法的腐蝕-膨脹技術(shù)[131] )

2.3 評價和展望

本節(jié)針對自由拓撲微結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計，詳細梳理了微結(jié)構(gòu)單胞設(shè)計與多尺度構(gòu)件設(shè)計2個方面的研究工作。同時，對于這種設(shè)計方法給出評價及展望。

對于微結(jié)構(gòu)單胞設(shè)計，基于拓撲優(yōu)化和逆向均勻化方法，可經(jīng)過嚴謹?shù)目茖W(xué)計算，實現(xiàn)一定約束下具有最優(yōu)屬性或定制化屬性的微結(jié)構(gòu)設(shè)計，這種設(shè)計方法已成為機械超材料設(shè)計的有力工具。對于自由拓撲微結(jié)構(gòu)構(gòu)件的多尺度設(shè)計，如果僅以構(gòu)件力學(xué)性能為設(shè)計目標(biāo)，其優(yōu)勢并不顯著。如，考慮一定體積約束下的柔度最小化優(yōu)化問題，具有相同設(shè)計自由度的單一尺度優(yōu)化方法可以獲得更優(yōu)的結(jié)果。因此，可認為多尺度方法的發(fā)展優(yōu)勢在于多孔微結(jié)構(gòu)構(gòu)件的設(shè)計能力及潛在多功能屬性的充分探索。

相較于第1節(jié)所論述的基于幾何建模的設(shè)計方法，自由拓撲微結(jié)構(gòu)構(gòu)件在優(yōu)化設(shè)計空間上顯然更具優(yōu)勢，但無論基于體素或參數(shù)化的周期性結(jié)構(gòu)拓撲建模，均與傳統(tǒng)CAD/CAE系統(tǒng)的幾何建模數(shù)學(xué)方法有所偏差，控制變量數(shù)目巨大，致使大規(guī)模拓撲優(yōu)化問題與CAD/CAM系統(tǒng)的融合極具難度，優(yōu)化后模型的高效存儲、編輯、加工預(yù)處理均是目前的研究難點。另一方面，自由拓撲微結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計脫離于幾何模板，無規(guī)律分布的大量微桿和微孔特征給增材制造帶來挑戰(zhàn)，優(yōu)化算法需要對殘余應(yīng)力約束、最小尺寸控制、最小曲率約束、自支撐約束、微結(jié)構(gòu)連接性約束等予以充分考慮。

當(dāng)前微結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化領(lǐng)域內(nèi)的多數(shù)工作以小變形假設(shè)下的柔度最小化問題為出發(fā)點，側(cè)重于優(yōu)化策略和幾何控制方法的創(chuàng)新，缺乏對于強度約束，材料與幾何非線性，和動力學(xué)等問題的深入研究，而這些問題在工程應(yīng)用中頗為重要。因此，向更深層次力學(xué)模型的拓展是自由拓撲微結(jié)構(gòu)構(gòu)件優(yōu)化設(shè)計方法的一個重要發(fā)展方向。

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Methods of porous structure design

LI Ming1, ZHANG Cheng-hu2, HU Jing-qiao1, HU Xin-zhuo1, LIU Ji-kai2

(1. School of Computer Science and Technology, Zhejiang University, Hangzhou Zhejiang 310058, China; 2. School of Mechanical Engineering, Shandong University, Jinan Shandong 250012, China)

The porous models are of light weight and excellent composite mechanical, thermal, and magnetic properties. They are expected to break through the traditional design limit, to obtain mechanical parts with excellent comprehensive performance, and to meet the extreme physical performance pursuit of advanced industrial products. In recent years, the development and maturity of additive manufacturing technology have boosted the industrial applications of porous models, playing a unique and outstanding industrial role in aerospace components, medical devices, and other important equipment or instruments. This review focused on the design method of porous model, and described the related work from two aspects: the forward design method of porous model via geometric modeling and the reverse design method of porous model via topology optimization. In case of the former, the porous model modeling methods were discussed, such as discrete voxel representation, continuous parameter representation, continuous implicit representation, others and mixed representation, while the latter was expounded on in terms of the optimization design methods of porous microstructure units and the overall porous model structures, as well as the trend of porous model design from these two aspects.

porous structures; lattice structures; design optimization; topology optimization; biscale design; 3D printing; digital materials

TP 391

10.11996/JG.j.2095-302X.2022061034

A

2095-302X(2022)06-1034-15

2022-08-06；

：2022-10-31

國家自然科學(xué)基金項目(61872320)

李 明(1977-)，男，副教授，博士。主要研究方向為CAD/CAE一體化、數(shù)字材料、智能設(shè)計等。E-mail：liming@cad.zju.edu.cn

劉繼凱(1987-)，男，教授，博士。主要研究方向為有限元基礎(chǔ)理論與應(yīng)用、固體力學(xué)與結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化、計算設(shè)計與制造等。 E-mail：jikai_liu@sdu.edu.cn

6 August，2022；

31 October，2022

National Natural Science Foundation of China (61872320)

LI Ming (1977-), associate professor, Ph.D. His main research interests cover CAD/CAE integration, digital material, intelligent design, etc. E-mail：liming@cad.zju.edu.cn

LIU Ji-kai (1987-), professor, Ph.D. His main research interests cover theory and application of FEA, solid mechanics and structural topology optimization, computational design and manufacturing, etc. E-mail：jikai_liu@sdu.edu.cn