固定時間擴(kuò)張狀態(tài)觀測器下的四旋翼飛行器滑?？刂撇呗?/h1>
2023-01-12 01:15:08張昭琪李平
華僑大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版) 2023年1期
張昭琪，李平
(華僑大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，福建 廈門 361021)
近年來，被廣泛應(yīng)用于眾多領(lǐng)域的無人機(飛行器)受到了工業(yè)界和學(xué)術(shù)界的關(guān)注[1].無人機按照需求分為消費級無人機及工業(yè)級無人機.其中，工業(yè)級無人機主要應(yīng)用于較為復(fù)雜的環(huán)境中，如運送貨物、環(huán)境保護(hù)、事故檢測等.相較于傳統(tǒng)飛行器，四旋翼飛行器具有結(jié)構(gòu)簡單、靈活性強、攜帶方便等優(yōu)點[2-5]，但四旋翼飛行器是一個強耦合、非線性的欠驅(qū)動系統(tǒng)，導(dǎo)致其軌跡跟蹤問題面臨諸多挑戰(zhàn).因此，如何實現(xiàn)工業(yè)四旋翼飛行器穩(wěn)定、快速地跟蹤期望軌跡成為一個熱門的研究課題.
滑?？刂?SMC)作為一類非線性控制，具有快速相應(yīng)、對應(yīng)參數(shù)變化及擾動不敏感、物理實現(xiàn)簡單等特點.目前，研究人員已提出許多擴(kuò)展滑?？刂频姆椒ǎ?yīng)用于四旋翼飛行器的控制器設(shè)計中[6-11].文獻(xiàn)[6]提出一種用于穩(wěn)定四旋翼飛行器姿態(tài)的魯棒二階滑?？刂破?，可以克服經(jīng)典滑?？刂浦械亩额潿F(xiàn)象，并保留滑模的不變性.文獻(xiàn)[7]提出一種穩(wěn)定一類串級控制系統(tǒng)的滑?？刂品椒?此外，為說明滑?？刂频聂敯粜裕男盹w行器在飛行過程中，風(fēng)擾被視為一種特定的擾動因素[12].文獻(xiàn)[13]提出二階滑模控制，以改善四旋翼飛行器存在模型不確定性時的系統(tǒng)性能.然而，上述方法未對滑模面參數(shù)選擇進(jìn)行進(jìn)一步的研究.為避免有限時間控制在整定時間上的缺陷，文獻(xiàn)[14-16]提出有限時間觀測器和固定時間觀測器，以及在不同被控對象上與控制算法結(jié)合的控制策略.文獻(xiàn)[17]將超級扭轉(zhuǎn)算法與積分滑?？刂葡嘟Y(jié)合，解決噴氣式飛行器的預(yù)分配時間和跟蹤控制問題.文獻(xiàn)[18]提出與模糊學(xué)習(xí)結(jié)合的固定時間控制方案，以保證足夠快的收斂時間及零跟蹤誤差.然而，上述方法需構(gòu)造復(fù)雜的李雅普諾夫(Lyapunov)函數(shù)以保證跟蹤結(jié)果.基于此，本文采用固定時間擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的二階滑?？刂?FTESO-2-SMC)策略，設(shè)計四旋翼飛行器系統(tǒng)的控制及擾動補償?shù)姆桨?
1 四旋翼飛行器模型
圖1 四旋翼飛行器結(jié)構(gòu)模型Fig.1 Structure model of quadrotor
四旋翼飛行器結(jié)構(gòu)模型，如圖1所示.圖1中：F1～F4分別為4個電機的升力；ω1～ω4分別為4個螺旋槳的轉(zhuǎn)子角速度；[x，y，z]為地球固聯(lián)坐標(biāo)系；O為地球固連坐標(biāo)系的原點；[xB，yB，zB]為機體坐標(biāo)系；OB為機體坐標(biāo)系的原點；φ，θ，ψ分別為四旋翼飛行器的滾轉(zhuǎn)角、俯仰角和偏航角；g為重力加速度；m為四旋翼飛行器的質(zhì)量.
4個螺旋槳作為直接動力源，2根硬桿垂直交叉于中心，旋翼對稱分布于4個機臂末端.動力學(xué)模型由地球固連坐標(biāo)系建立的位置模型和機體坐標(biāo)系建立的姿態(tài)模型組成.通過歐拉角建立的四旋翼飛行器動力學(xué)模型基于以下3個假設(shè)[19-20].1) 四旋翼被視為1個剛體，且結(jié)構(gòu)對稱.2) 四旋翼的幾何中心與重心重合.3) 在四旋翼飛行器的飛行過程中，系統(tǒng)受到的擾動是有界的，各輸出受到的擾動db≤D，b=1，2，…，6，D為擾動的上界.
基于上述假設(shè)，可得動力學(xué)模型為
(1)
式(1)中:u1～u4為四旋翼飛行器各控制輸入量(控制律)；Ix，Iy，Iz分別為四旋翼飛行器繞機體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動慣量；l為螺旋槳到四旋翼飛行器中心的距離；k1～k6為氣動摩擦系數(shù)；Jr為螺旋槳的轉(zhuǎn)動慣量；ωr為螺旋槳整體的角速度，ωr=-ω1+ω2-ω3+ω4.
在控制策略中，需要考慮內(nèi)部參數(shù)不匹配及外部擾動對系統(tǒng)的影響.由于四旋翼飛行器的欠驅(qū)動特性，滾轉(zhuǎn)角和俯仰角的期望值φd，θd需要根據(jù)期望軌跡進(jìn)行姿態(tài)解算得到.令ux=u1(cosφsinθcosψ+sinφsinψ)，uy=u1(cosφsinθsinψ-sinφcosψ)，uz=u1cosφcosθ1，則φd，θd分別為
(2)
式(2)中：ψd為偏航角的期望值.
2 四旋翼飛行器控制策略設(shè)計
通過四旋翼飛行器的6個狀態(tài)量及控制輸入量的信息建立固定時間擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的二階滑?？刂撇呗?在控制結(jié)構(gòu)中，采用二階滑?？刂破鱽肀ＷC狀態(tài)變量在有限時間內(nèi)收斂，同時采用固定時間擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(FTESO)來估計四旋翼飛行器的位置、姿態(tài)及相應(yīng)的擾動.四旋翼飛行器控制結(jié)構(gòu)圖，如圖2所示.圖2中：xd，yd，zd為x，y，z的期望值.
圖2 四旋翼飛行器控制結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Control structure diagram of quadrotor
根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)將系統(tǒng)分為全驅(qū)動子系統(tǒng)和欠驅(qū)動子系統(tǒng)，分別采用二階滑?？刂破鱽肀ＷC狀態(tài)變量在有限時間內(nèi)收斂.利用固定時間擴(kuò)張狀態(tài)觀測器在時間上限內(nèi)觀測到擾動項的特點，到達(dá)時間上限后，將趨近律中的符號項取消，從而保證系統(tǒng)狀態(tài)收斂的同時減少擾動.
2.1 固定時間擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的設(shè)計
相較于傳統(tǒng)擴(kuò)張狀態(tài)觀測器，固定時間擴(kuò)張狀態(tài)觀測器允許狀態(tài)在固定時間內(nèi)從任意初始位置收斂至真實值.固定時間擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的設(shè)計以x軸為例進(jìn)行說明，有
(3)
引理1固定時間擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的參數(shù)如下.
根據(jù)式(3)、引理1及文獻(xiàn)[21]可以得到任意的初始觀測誤差在時間上限內(nèi)收斂至零的數(shù)學(xué)推導(dǎo).因此，觀測誤差將在固定的時間上限內(nèi)收斂到零，且收斂時間與初始觀測誤差無關(guān).與現(xiàn)有的線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(ESO)相比，F(xiàn)TESO采用兩個多項式分量，即階數(shù)小于1的多項式分量和階數(shù)大于1的多項式分量，故FTESO的固定時間收斂特性是基于兩個多項式分量及Tu.當(dāng)時間t2.2 二階滑?？刂破鞯脑O(shè)計
二階滑模控制結(jié)構(gòu)圖，如圖3所示.
圖3 二階滑?？刂平Y(jié)構(gòu)圖Fig.3 Structure diagram of second order sliding-mode control
根據(jù)四旋翼飛行器的動力學(xué)模型，將系統(tǒng)劃分為全驅(qū)動子系統(tǒng)及欠驅(qū)動子系統(tǒng).全驅(qū)動子系統(tǒng)是由狀態(tài)變量[zdψd]T組成的高度和偏航角的雙通道子系統(tǒng).欠驅(qū)動子系統(tǒng)是由狀態(tài)變量[xd，θd，yd，φd]T組成的俯仰角和滾轉(zhuǎn)角的雙通道子系統(tǒng).
全驅(qū)動子系統(tǒng)的滑模面S1，S2分別為
(4)
(5)
式(4)～(5)中：C1，C2為滑膜面系數(shù)，C1，C2>0.
(6)
式(6)中：趨近律參數(shù)ε1，ε2，γ1，γ2均大于0.
對滑模面進(jìn)行求導(dǎo)，并根據(jù)相應(yīng)的趨近律，可得全驅(qū)動子系統(tǒng)的控制律為
(7)
(8)
式(8)中：C為比例系數(shù).
欠驅(qū)動子系統(tǒng)的滑模面S3，S4分別為
(9)
(10)
式(9)～(10)中：C3～C10均為滑模面系數(shù).
(11)
對欠驅(qū)動子系統(tǒng)的滑模面進(jìn)行求導(dǎo)，并根據(jù)相應(yīng)的控制律，可得欠驅(qū)動子系統(tǒng)的控制律為
(12)
(13)
2.3 FTESO-2-SMC策略的穩(wěn)定性分析
FTESO主要用于四旋翼存在內(nèi)部參數(shù)不確定及外部擾動的情況中，以保證系統(tǒng)狀態(tài)的快速收斂，并消除控制輸入的抖顫問題.FTESO-2-SMC策略分為3個部分:1) 當(dāng)t為[0，T1]，主要利用趨近律中的sgn(·)函數(shù)保證系統(tǒng)狀態(tài)收斂至滑模面；2) 當(dāng)t為[T1，T2]，此時固定時間擴(kuò)張狀態(tài)觀測器已經(jīng)跟蹤上誤差項，主要通過前饋補償?shù)姆绞降窒麛_動項，同時取代sgn(·)函數(shù)，從而減少控制輸入的抖顫現(xiàn)象；3) 當(dāng)t為[T2，+∞]，系統(tǒng)狀態(tài)從滑模面收斂至平衡點，滑模面參數(shù)根據(jù)Hurwitz判據(jù)得到.
由二階控制器可知，系統(tǒng)狀態(tài)誤差可從狀態(tài)空間中的任意位置收斂到滑模面.在此基礎(chǔ)上，引入固定時間擴(kuò)張狀態(tài)觀測器，以前饋的方式對控制器進(jìn)行補償.
當(dāng)t為[0，T1]，全驅(qū)動子系統(tǒng)的控制律為
(14)
(15)
當(dāng)t為[0，T1]，欠驅(qū)動子系統(tǒng)的控制律為
(16)
(17)
根據(jù)FTESO的特點，即系統(tǒng)狀態(tài)誤差在固定的時間上限內(nèi)從任意初始位置收斂至零，這意味著達(dá)到固定時間后跟蹤上相應(yīng)的誤差項.因此，當(dāng)t為[T1，+∞]，取消控制輸入內(nèi)的符號項，采用FTESO補償取而代之.
(18)
當(dāng)t為[T1，+∞]，全驅(qū)動子系統(tǒng)的控制律為
(19)
(20)
當(dāng)t為[T1，+∞]，欠驅(qū)動子系統(tǒng)的控制律為
(21)
(22)
定理1在整個控制過程引入擾動的情況下，對于四旋翼控制系統(tǒng)及滑模面，分階段采用式(14)～(17)，(19)～(22)進(jìn)行計算，系統(tǒng)狀態(tài)變量將在有限時間內(nèi)收斂至期望值.更進(jìn)一步，系統(tǒng)狀態(tài)的跟蹤誤差將在有限時間內(nèi)收斂至零.
證明：選取Lyapunov函數(shù)為
第1階段([0，T1]).根據(jù)式(5)～(7)，(11)～(12)，(15)～(18)，對選定的Lyapunov函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，可得
基于擾動有界的假設(shè)db∈|D|，參數(shù)εi的選擇遵循εi≥|D|，可以將上式改寫為
上式中：ιi=εi-|D|.
第2階段([T1，T2]).根據(jù)式(4)～(6)，(9)～(11)，(19)～(22)，有
根據(jù)FTESO的特性，當(dāng)時間為[T1，T2]時，觀測值已經(jīng)跟蹤上擾動值，可將上式改寫為
第3階段([T2，+∞]).根據(jù)上述推導(dǎo)，全驅(qū)動子系統(tǒng)的狀態(tài)變量誤差將在有限時間內(nèi)收斂至零，而欠驅(qū)動子系統(tǒng)的滑模面參數(shù)S3，S4需要滿足Hurwitz判據(jù)，從而保證系統(tǒng)狀態(tài)誤差收斂至零.以S3為例進(jìn)行說明.
(23)
當(dāng)S3=0，可得
(24)
將式(24)帶入式(23)，可得
(25)
(26)
(27)
上式中：ξ1～ξ3為足夠小的常量；a，b，c，A21，A22，A23均為矩陣A的系數(shù).
λleft(A)為矩陣A在負(fù)半平面中實部處于最左邊的特征根.矩陣A中的參數(shù)選擇需要使λleft(A)?0.因此，矩陣A滿足Hurwitz判據(jù)，并且可以得到相應(yīng)的狀態(tài)變量在平衡點附近是漸近穩(wěn)定的.
令C4≠0，C6≠0，矩陣A的系數(shù)為
令|λI-A|=0，可得
相應(yīng)的特征多項式為
λ3-(A22+c)λ2+(cA22-A21-bA23)λ+cA21-aA23=0.
(28)
設(shè)計相應(yīng)的特征根α1～α3，則特征方程為
(λ+α1)(λ+α2)(λ+α3)=0.
(29)
式(29)中：設(shè)計的特征根需要保證在復(fù)平面的負(fù)半平面.
3 仿真結(jié)果及分析
為了直觀地驗證控制策略的有效性，在MATLAB/Simulink平臺上進(jìn)行仿真實驗.仿真實驗中，四旋翼飛行器模型參數(shù)及控制器參數(shù)，分別如表1，2所示.
表1 四旋翼飛行器模型參數(shù)Tab.1 Parameters of quadrotor model
表2 控制器參數(shù)Tab.2 Parameters of controller
仿真實驗中，將初始狀態(tài)設(shè)置為零，為模擬真實的作業(yè)環(huán)境，分別對z，φ，θ引入擾動dz=0.1sint，dφ=0.1sint，dθ=0.1sint.固定時間擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的二階滑?？刂撇呗缘能壽E跟蹤仿真圖，如圖4所示.位置軌跡跟蹤仿真對比圖，如圖5所示.由圖5可知：相較于二階滑模控制(2-SMC)策略，F(xiàn)TESO-2-SMC策略在期望軌跡變化時更穩(wěn)定，且收斂速度更快.
圖4 FTESO-2-SMC策略的軌跡跟蹤仿真圖 圖5 位置軌跡跟蹤仿真對比圖Fig.4 Simulation diagram of FTESO-2-SMC strategy tracking trajectory Fig.5 Simulation comparison diagram of position tracking trajectory
為了更清晰地對比兩個控制策略的響應(yīng)速度及控制輸入，選取其中一點進(jìn)行定點懸停分析.分別對z，φ，θ引入擾動dz=0.1sint，dφ=0.1sint，dθ=0.1sint.設(shè)定目標(biāo)點x，y，z，ψ分別為1，0，10，0，仿真對比圖如圖6，7所示.全驅(qū)動子系統(tǒng)和欠驅(qū)動子系統(tǒng)的控制輸入對比圖，如圖8，9所示.由圖8，9可知：FTESO-2-SMC策略控制輸入更為平滑，有效地減少了控制輸入的抖顫現(xiàn)象.
圖6 位置定點懸停仿真對比圖 圖7 姿態(tài)定點懸停仿真對比圖 Fig.6 Simulation comparison diagram of position fixed point hovering Fig.7 Simulation comparison diagram of attitude fixed point hovering
圖8 全驅(qū)動子系統(tǒng)控制輸入對比圖 圖9 欠驅(qū)動子系統(tǒng)控制輸入對比圖Fig.8 Comparison diagram of fully-actuated subsystem control input Fig.9 Comparison diagram of under-actuated subsystem control input
4 結(jié)束語
提出固定時間擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的二階滑?？刂撇呗?，針對二階滑?？刂拼嬖谳斎攵额澋膯栴}，采用固定時間擴(kuò)張狀態(tài)觀測器來觀測并抵消擾動.當(dāng)觀測值未跟蹤上準(zhǔn)確的真實值前，由二階滑?？刂破鞔_保所有的狀態(tài)變量在可控范圍內(nèi)；當(dāng)?shù)竭_(dá)時間上限時，取消趨近律中的符號項，從而減少控制輸入的抖顫現(xiàn)象.在今后的工作中，將會把觀測器的時延考慮到控制設(shè)計之中.
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滑?？刂?SMC)作為一類非線性控制，具有快速相應(yīng)、對應(yīng)參數(shù)變化及擾動不敏感、物理實現(xiàn)簡單等特點.目前，研究人員已提出許多擴(kuò)展滑?？刂频姆椒ǎ?yīng)用于四旋翼飛行器的控制器設(shè)計中[6-11].文獻(xiàn)[6]提出一種用于穩(wěn)定四旋翼飛行器姿態(tài)的魯棒二階滑?？刂破?，可以克服經(jīng)典滑?？刂浦械亩额潿F(xiàn)象，并保留滑模的不變性.文獻(xiàn)[7]提出一種穩(wěn)定一類串級控制系統(tǒng)的滑?？刂品椒?此外，為說明滑?？刂频聂敯粜裕男盹w行器在飛行過程中，風(fēng)擾被視為一種特定的擾動因素[12].文獻(xiàn)[13]提出二階滑模控制，以改善四旋翼飛行器存在模型不確定性時的系統(tǒng)性能.然而，上述方法未對滑模面參數(shù)選擇進(jìn)行進(jìn)一步的研究.為避免有限時間控制在整定時間上的缺陷，文獻(xiàn)[14-16]提出有限時間觀測器和固定時間觀測器，以及在不同被控對象上與控制算法結(jié)合的控制策略.文獻(xiàn)[17]將超級扭轉(zhuǎn)算法與積分滑?？刂葡嘟Y(jié)合，解決噴氣式飛行器的預(yù)分配時間和跟蹤控制問題.文獻(xiàn)[18]提出與模糊學(xué)習(xí)結(jié)合的固定時間控制方案，以保證足夠快的收斂時間及零跟蹤誤差.然而，上述方法需構(gòu)造復(fù)雜的李雅普諾夫(Lyapunov)函數(shù)以保證跟蹤結(jié)果.基于此，本文采用固定時間擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的二階滑?？刂?FTESO-2-SMC)策略，設(shè)計四旋翼飛行器系統(tǒng)的控制及擾動補償?shù)姆桨?
1 四旋翼飛行器模型
圖1 四旋翼飛行器結(jié)構(gòu)模型Fig.1 Structure model of quadrotor
四旋翼飛行器結(jié)構(gòu)模型，如圖1所示.圖1中：F1～F4分別為4個電機的升力；ω1～ω4分別為4個螺旋槳的轉(zhuǎn)子角速度；[x，y，z]為地球固聯(lián)坐標(biāo)系；O為地球固連坐標(biāo)系的原點；[xB，yB，zB]為機體坐標(biāo)系；OB為機體坐標(biāo)系的原點；φ，θ，ψ分別為四旋翼飛行器的滾轉(zhuǎn)角、俯仰角和偏航角；g為重力加速度；m為四旋翼飛行器的質(zhì)量.
4個螺旋槳作為直接動力源，2根硬桿垂直交叉于中心，旋翼對稱分布于4個機臂末端.動力學(xué)模型由地球固連坐標(biāo)系建立的位置模型和機體坐標(biāo)系建立的姿態(tài)模型組成.通過歐拉角建立的四旋翼飛行器動力學(xué)模型基于以下3個假設(shè)[19-20].1) 四旋翼被視為1個剛體，且結(jié)構(gòu)對稱.2) 四旋翼的幾何中心與重心重合.3) 在四旋翼飛行器的飛行過程中，系統(tǒng)受到的擾動是有界的，各輸出受到的擾動db≤D，b=1，2，…，6，D為擾動的上界.
基于上述假設(shè)，可得動力學(xué)模型為
(1)
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在控制策略中，需要考慮內(nèi)部參數(shù)不匹配及外部擾動對系統(tǒng)的影響.由于四旋翼飛行器的欠驅(qū)動特性，滾轉(zhuǎn)角和俯仰角的期望值φd，θd需要根據(jù)期望軌跡進(jìn)行姿態(tài)解算得到.令ux=u1(cosφsinθcosψ+sinφsinψ)，uy=u1(cosφsinθsinψ-sinφcosψ)，uz=u1cosφcosθ1，則φd，θd分別為
(2)
式(2)中：ψd為偏航角的期望值.
2 四旋翼飛行器控制策略設(shè)計
通過四旋翼飛行器的6個狀態(tài)量及控制輸入量的信息建立固定時間擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的二階滑?？刂撇呗?在控制結(jié)構(gòu)中，采用二階滑?？刂破鱽肀ＷC狀態(tài)變量在有限時間內(nèi)收斂，同時采用固定時間擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(FTESO)來估計四旋翼飛行器的位置、姿態(tài)及相應(yīng)的擾動.四旋翼飛行器控制結(jié)構(gòu)圖，如圖2所示.圖2中：xd，yd，zd為x，y，z的期望值.
圖2 四旋翼飛行器控制結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Control structure diagram of quadrotor
根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)將系統(tǒng)分為全驅(qū)動子系統(tǒng)和欠驅(qū)動子系統(tǒng)，分別采用二階滑?？刂破鱽肀ＷC狀態(tài)變量在有限時間內(nèi)收斂.利用固定時間擴(kuò)張狀態(tài)觀測器在時間上限內(nèi)觀測到擾動項的特點，到達(dá)時間上限后，將趨近律中的符號項取消，從而保證系統(tǒng)狀態(tài)收斂的同時減少擾動.
2.1 固定時間擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的設(shè)計
相較于傳統(tǒng)擴(kuò)張狀態(tài)觀測器，固定時間擴(kuò)張狀態(tài)觀測器允許狀態(tài)在固定時間內(nèi)從任意初始位置收斂至真實值.固定時間擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的設(shè)計以x軸為例進(jìn)行說明，有
(3)
引理1固定時間擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的參數(shù)如下.
根據(jù)式(3)、引理1及文獻(xiàn)[21]可以得到任意的初始觀測誤差在時間上限內(nèi)收斂至零的數(shù)學(xué)推導(dǎo).因此，觀測誤差將在固定的時間上限內(nèi)收斂到零，且收斂時間與初始觀測誤差無關(guān).與現(xiàn)有的線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(ESO)相比，F(xiàn)TESO采用兩個多項式分量，即階數(shù)小于1的多項式分量和階數(shù)大于1的多項式分量，故FTESO的固定時間收斂特性是基于兩個多項式分量及Tu.當(dāng)時間t 二階滑模控制結(jié)構(gòu)圖，如圖3所示. 圖3 二階滑?？刂平Y(jié)構(gòu)圖Fig.3 Structure diagram of second order sliding-mode control 根據(jù)四旋翼飛行器的動力學(xué)模型，將系統(tǒng)劃分為全驅(qū)動子系統(tǒng)及欠驅(qū)動子系統(tǒng).全驅(qū)動子系統(tǒng)是由狀態(tài)變量[zdψd]T組成的高度和偏航角的雙通道子系統(tǒng).欠驅(qū)動子系統(tǒng)是由狀態(tài)變量[xd，θd，yd，φd]T組成的俯仰角和滾轉(zhuǎn)角的雙通道子系統(tǒng). 全驅(qū)動子系統(tǒng)的滑模面S1，S2分別為 (4) (5) 式(4)～(5)中：C1，C2為滑膜面系數(shù)，C1，C2>0. (6) 式(6)中：趨近律參數(shù)ε1，ε2，γ1，γ2均大于0. 對滑模面進(jìn)行求導(dǎo)，并根據(jù)相應(yīng)的趨近律，可得全驅(qū)動子系統(tǒng)的控制律為 (7) (8) 式(8)中：C為比例系數(shù). 欠驅(qū)動子系統(tǒng)的滑模面S3，S4分別為 (9) (10) 式(9)～(10)中：C3～C10均為滑模面系數(shù). (11) 對欠驅(qū)動子系統(tǒng)的滑模面進(jìn)行求導(dǎo)，并根據(jù)相應(yīng)的控制律，可得欠驅(qū)動子系統(tǒng)的控制律為 (12) (13) FTESO主要用于四旋翼存在內(nèi)部參數(shù)不確定及外部擾動的情況中，以保證系統(tǒng)狀態(tài)的快速收斂，并消除控制輸入的抖顫問題.FTESO-2-SMC策略分為3個部分:1) 當(dāng)t為[0，T1]，主要利用趨近律中的sgn(·)函數(shù)保證系統(tǒng)狀態(tài)收斂至滑模面；2) 當(dāng)t為[T1，T2]，此時固定時間擴(kuò)張狀態(tài)觀測器已經(jīng)跟蹤上誤差項，主要通過前饋補償?shù)姆绞降窒麛_動項，同時取代sgn(·)函數(shù)，從而減少控制輸入的抖顫現(xiàn)象；3) 當(dāng)t為[T2，+∞]，系統(tǒng)狀態(tài)從滑模面收斂至平衡點，滑模面參數(shù)根據(jù)Hurwitz判據(jù)得到. 由二階控制器可知，系統(tǒng)狀態(tài)誤差可從狀態(tài)空間中的任意位置收斂到滑模面.在此基礎(chǔ)上，引入固定時間擴(kuò)張狀態(tài)觀測器，以前饋的方式對控制器進(jìn)行補償. 當(dāng)t為[0，T1]，全驅(qū)動子系統(tǒng)的控制律為 (14) (15) 當(dāng)t為[0，T1]，欠驅(qū)動子系統(tǒng)的控制律為 (16) (17) 根據(jù)FTESO的特點，即系統(tǒng)狀態(tài)誤差在固定的時間上限內(nèi)從任意初始位置收斂至零，這意味著達(dá)到固定時間后跟蹤上相應(yīng)的誤差項.因此，當(dāng)t為[T1，+∞]，取消控制輸入內(nèi)的符號項，采用FTESO補償取而代之. (18) 當(dāng)t為[T1，+∞]，全驅(qū)動子系統(tǒng)的控制律為 (19) (20) 當(dāng)t為[T1，+∞]，欠驅(qū)動子系統(tǒng)的控制律為 (21) (22) 定理1在整個控制過程引入擾動的情況下，對于四旋翼控制系統(tǒng)及滑模面，分階段采用式(14)～(17)，(19)～(22)進(jìn)行計算，系統(tǒng)狀態(tài)變量將在有限時間內(nèi)收斂至期望值.更進(jìn)一步，系統(tǒng)狀態(tài)的跟蹤誤差將在有限時間內(nèi)收斂至零. 證明：選取Lyapunov函數(shù)為 第1階段([0，T1]).根據(jù)式(5)～(7)，(11)～(12)，(15)～(18)，對選定的Lyapunov函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，可得 基于擾動有界的假設(shè)db∈|D|，參數(shù)εi的選擇遵循εi≥|D|，可以將上式改寫為 上式中：ιi=εi-|D|. 第2階段([T1，T2]).根據(jù)式(4)～(6)，(9)～(11)，(19)～(22)，有 根據(jù)FTESO的特性，當(dāng)時間為[T1，T2]時，觀測值已經(jīng)跟蹤上擾動值，可將上式改寫為 第3階段([T2，+∞]).根據(jù)上述推導(dǎo)，全驅(qū)動子系統(tǒng)的狀態(tài)變量誤差將在有限時間內(nèi)收斂至零，而欠驅(qū)動子系統(tǒng)的滑模面參數(shù)S3，S4需要滿足Hurwitz判據(jù)，從而保證系統(tǒng)狀態(tài)誤差收斂至零.以S3為例進(jìn)行說明. (23) 當(dāng)S3=0，可得 (24) 將式(24)帶入式(23)，可得 (25) (26) (27) 上式中：ξ1～ξ3為足夠小的常量；a，b，c，A21，A22，A23均為矩陣A的系數(shù). λleft(A)為矩陣A在負(fù)半平面中實部處于最左邊的特征根.矩陣A中的參數(shù)選擇需要使λleft(A)?0.因此，矩陣A滿足Hurwitz判據(jù)，并且可以得到相應(yīng)的狀態(tài)變量在平衡點附近是漸近穩(wěn)定的. 令C4≠0，C6≠0，矩陣A的系數(shù)為 令|λI-A|=0，可得 相應(yīng)的特征多項式為 λ3-(A22+c)λ2+(cA22-A21-bA23)λ+cA21-aA23=0. (28) 設(shè)計相應(yīng)的特征根α1～α3，則特征方程為 (λ+α1)(λ+α2)(λ+α3)=0. (29) 式(29)中：設(shè)計的特征根需要保證在復(fù)平面的負(fù)半平面. 為了直觀地驗證控制策略的有效性，在MATLAB/Simulink平臺上進(jìn)行仿真實驗.仿真實驗中，四旋翼飛行器模型參數(shù)及控制器參數(shù)，分別如表1，2所示. 表1 四旋翼飛行器模型參數(shù)Tab.1 Parameters of quadrotor model 表2 控制器參數(shù)Tab.2 Parameters of controller 仿真實驗中，將初始狀態(tài)設(shè)置為零，為模擬真實的作業(yè)環(huán)境，分別對z，φ，θ引入擾動dz=0.1sint，dφ=0.1sint，dθ=0.1sint.固定時間擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的二階滑?？刂撇呗缘能壽E跟蹤仿真圖，如圖4所示.位置軌跡跟蹤仿真對比圖，如圖5所示.由圖5可知：相較于二階滑模控制(2-SMC)策略，F(xiàn)TESO-2-SMC策略在期望軌跡變化時更穩(wěn)定，且收斂速度更快. 圖4 FTESO-2-SMC策略的軌跡跟蹤仿真圖 圖5 位置軌跡跟蹤仿真對比圖Fig.4 Simulation diagram of FTESO-2-SMC strategy tracking trajectory Fig.5 Simulation comparison diagram of position tracking trajectory 為了更清晰地對比兩個控制策略的響應(yīng)速度及控制輸入，選取其中一點進(jìn)行定點懸停分析.分別對z，φ，θ引入擾動dz=0.1sint，dφ=0.1sint，dθ=0.1sint.設(shè)定目標(biāo)點x，y，z，ψ分別為1，0，10，0，仿真對比圖如圖6，7所示.全驅(qū)動子系統(tǒng)和欠驅(qū)動子系統(tǒng)的控制輸入對比圖，如圖8，9所示.由圖8，9可知：FTESO-2-SMC策略控制輸入更為平滑，有效地減少了控制輸入的抖顫現(xiàn)象. 圖6 位置定點懸停仿真對比圖 圖7 姿態(tài)定點懸停仿真對比圖 Fig.6 Simulation comparison diagram of position fixed point hovering Fig.7 Simulation comparison diagram of attitude fixed point hovering 圖8 全驅(qū)動子系統(tǒng)控制輸入對比圖 圖9 欠驅(qū)動子系統(tǒng)控制輸入對比圖Fig.8 Comparison diagram of fully-actuated subsystem control input Fig.9 Comparison diagram of under-actuated subsystem control input 提出固定時間擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的二階滑?？刂撇呗?，針對二階滑?？刂拼嬖谳斎攵额澋膯栴}，采用固定時間擴(kuò)張狀態(tài)觀測器來觀測并抵消擾動.當(dāng)觀測值未跟蹤上準(zhǔn)確的真實值前，由二階滑?？刂破鞔_保所有的狀態(tài)變量在可控范圍內(nèi)；當(dāng)?shù)竭_(dá)時間上限時，取消趨近律中的符號項，從而減少控制輸入的抖顫現(xiàn)象.在今后的工作中，將會把觀測器的時延考慮到控制設(shè)計之中.2.2 二階滑?？刂破鞯脑O(shè)計
2.3 FTESO-2-SMC策略的穩(wěn)定性分析
3 仿真結(jié)果及分析
4 結(jié)束語
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