張福友

(廣東省水利電力勘測設(shè)計(jì)研究院有限公司，廣州 510170)

1 概述

在描述地球上某一點(diǎn)的具體位置時(shí)，通常使用坐標(biāo)來表示。相同一個(gè)位置，在不同坐標(biāo)系中有不同坐標(biāo)值。為了更好地描述某點(diǎn)的位置、方位、角度等地理信息，產(chǎn)生了許多坐標(biāo)系，如空間直角坐標(biāo)系、大地坐標(biāo)系、平面直角坐標(biāo)系[1]等。在實(shí)際工程建設(shè)中，大部分采用高斯投影平面坐標(biāo)[2]系。由于地球表面是曲面，將曲面通過投影變?yōu)槠矫?，勢必存在變形，這便是投影變形[3]。因此，我們使用的平面地圖均存在投影變形，當(dāng)變形值超過了一定限度后，我們需要建立獨(dú)立坐標(biāo)系[4]，將變形值減少到可接受范圍內(nèi)以滿足工程建設(shè)的要求。本文通過分析高斯投影的特點(diǎn)、變形特性等，從根本上探索獨(dú)立坐標(biāo)系建立的必要性，同時(shí)提出一種基于投影變形分析的獨(dú)立坐標(biāo)系建立的方法，從源頭解決投影變形問題，并通過實(shí)例數(shù)據(jù)檢驗(yàn)該方法的可行性。

2 高斯投影及高斯正反算

地圖的制作過程離不開投影，即所謂的地圖數(shù)學(xué)投影，是將地面上的元素按照一定的數(shù)學(xué)法則投影到平面上的過程[5-6]。常用的投影方法有墨卡托投影、高斯投影、斜軸等面積方位投影、雙標(biāo)準(zhǔn)緯線等角圓錐投影、等差分緯線多圓錐投影、正軸方位投影等。

高斯投影是工程建設(shè)中用的最多的一種投影，全稱高斯-克呂格投影(Gauss-Krüger)，屬于等角橫軸切橢圓柱投影。它是將假想的橢圓柱面橫套在橢球體外面，并與某一條子午線(此子午線稱為中央子午線或軸子午線)相切，橢圓柱的中心軸通過橢球體中心，然后將中央子午線兩側(cè)各一定經(jīng)差范圍內(nèi)的地區(qū)投影到橢圓柱面上，再將橢圓柱面展開即成為投影面，我國規(guī)定按經(jīng)差6°和3°進(jìn)行投影分帶，特殊情況下有1.5°分帶或任意分帶[7-8]。高斯投影存在以下特點(diǎn)[5]：① 中央子午線投影后為直線；② 中央子午線投影后長度不變；③ 投影具有正形性質(zhì)，即正形投影條件(柯西—黎曼條件)。

由上面條件進(jìn)行推導(dǎo)，可以得出高斯投影正算公式如下[9]：

(1)

(2)

式中:

ρ″=206 264.806;t=tanB;η2=e′2cos2B;

N——卯酉圈曲率半徑;

X——自赤道至緯度B的子午線弧長，正算公式換算精確至0.001 m。

同樣，通過上述條件推導(dǎo)出高斯投影反算公式[9]：

(3)

(4)

反算公式換算精確至0.000 1″。

由上可知，某點(diǎn)的高斯平面坐標(biāo)值依附于中央子午線的取值，中央子午線的選擇不同，即所在帶不同，坐標(biāo)系便不同，坐標(biāo)值自然不一樣。中央子午線無論選取值是多少，任何兩個(gè)高斯平面坐標(biāo)系的點(diǎn)都可以通過數(shù)學(xué)法則進(jìn)行轉(zhuǎn)換。通過上面的高斯投影正反算公式可以實(shí)現(xiàn)高斯換帶計(jì)算，實(shí)現(xiàn)不同帶的坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換。

3 投影變形分析

在投影過程中引起投影變形因素包含兩方面[10]：一是投影面高差造成的。當(dāng)?shù)孛媾c投影面間存在高差時(shí)，投影后便發(fā)生變形。在圖1中，AB為地面測距邊，A′B′為投影邊，可以看出，當(dāng)投影面低于地面時(shí)，投影后邊長縮短，反之則伸長。二是高斯投影由參考橢球面到高斯投影面引起的變形。從圖2可以看出，投影后中央子午線不變，其他經(jīng)度線向兩側(cè)外凸，緯度線向赤道凸出，離中央子午線越遠(yuǎn)變形越大。

圖1 投影面高差引起的投影變形示意

圖2 參考橢球面到高斯投影面引起的變形示意

由投影面高差引起的變形值計(jì)算如下：

(5)

式中：

S——地面實(shí)際邊長；

hm——測距邊平均高程;

Rm——地球曲率半徑。

由參考橢球面到高斯平面引起的變形值計(jì)算如式(6)(7)所示:

(6)

(7)

式中：

ym——測距邊兩端點(diǎn)到中央子午線的平均距離；

Δy——測距邊兩端點(diǎn)橫坐標(biāo)之差；

Rm——參考橢球面上測距邊中點(diǎn)的地球曲率半徑；

Bm——測距邊平均緯度。

總投影變形值：

S=S1+S2

(8)

根據(jù)公式(8)，繪制投影變形趨勢如圖3所示，其中縱軸ym的取值為0～150 km，計(jì)算間隔為5 km,橫軸Hm取值為0～3 000 m,計(jì)算間隔為10 m，ΔS的大小由灰度值表示，顏色越深，變形越大。在下圖中，負(fù)變形最大為右上角，約-48 cm/km，正變形最大為左下角，約28 cm/km。之間白色部分為變形值在-5～5 cm/km之間。

根據(jù)《水利水電工程測量規(guī)范》(SL 197—2013)[11]要求，長度投影變形值不應(yīng)大于5 cm/km，否則應(yīng)建立獨(dú)立坐標(biāo)系，優(yōu)先采用掛靠在國家坐標(biāo)系下、測區(qū)平均高程面上的獨(dú)立坐標(biāo)系。由圖3可看出：投影面高差引起負(fù)變形，遠(yuǎn)離中央子午線引起正變形，兩者可以相互抵消，但只有約1/5區(qū)域投影變形符合規(guī)范要求。所以，為了消減投影變形，獨(dú)立坐標(biāo)系的建立在工程建設(shè)當(dāng)中顯得非常重要。

4 獨(dú)立坐標(biāo)系建立

獨(dú)立坐標(biāo)系建立的總原則為減少投影變形至限差范圍內(nèi)。獨(dú)立坐標(biāo)系的建立方法有多種，如“1.5°帶投影”、“任意帶投影”、“一點(diǎn)一方位”[12-14]等。其中在工程項(xiàng)目中使用較多的為“一點(diǎn)一方位”加實(shí)測邊長值作為起算數(shù)據(jù)建網(wǎng)，這種方法是利用外部實(shí)測邊長數(shù)據(jù)來約束投影變形。本章節(jié)將闡述從內(nèi)部通過公式計(jì)算投影變形值的大小，利用“一點(diǎn)一方位一邊長+投影抵償面”法抵消投影變形來建立獨(dú)立坐標(biāo)系的方法。

圖3 投影變形趨勢示意

該方法和“一點(diǎn)一方位”一樣，需要選取控制網(wǎng)中一個(gè)點(diǎn)作為起算點(diǎn)(該點(diǎn)盡量在測區(qū)中央或者重要區(qū)域，在此用A點(diǎn)表示)、該點(diǎn)到另一個(gè)點(diǎn)(在此用B點(diǎn)表示)的方位角作為起算方位角，同時(shí)采用測區(qū)平均高程面或者特定高程面作為投影抵償面[15-17]，起算邊長的距離可通過上面公式精確計(jì)算得出。

對于投影面高差造成的變形，可以通過公式(5)進(jìn)行歸算，最大限度地減少它帶來的影響。對于高斯投影由參考橢球面到高斯投影面引起的變形，由公式(6)可以看出，當(dāng)測距邊與中央子午線重合時(shí)，ΔS2為0，因此正好可以利用該特點(diǎn)來獲取精準(zhǔn)邊長。這個(gè)需要我們在控制點(diǎn)布設(shè)時(shí)，將測距邊的兩個(gè)控制點(diǎn)布設(shè)在相同經(jīng)度的位置上且在測區(qū)中央或者重要區(qū)域的中央，通過換帶計(jì)算(新帶的中央子午線取該兩點(diǎn)的平均經(jīng)度)得出該測距邊的精準(zhǔn)距離，同時(shí)該測距邊應(yīng)盡可能長以提升邊長的相對精度。這里需要注意的是，該測距邊不可能完全在同一經(jīng)線上，但應(yīng)盡可能實(shí)現(xiàn)，讓ΔS2盡量小。在實(shí)際操作當(dāng)中，首先可以通過常規(guī)的GNSS控制網(wǎng)靜態(tài)平差解算出一套國家統(tǒng)一坐標(biāo)，取A點(diǎn)平面坐標(biāo)作為起算坐標(biāo)，A到B的方位角作為起算方位角。然后通過換帶計(jì)算，將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行換帶計(jì)算，新帶中央子午線取A、B兩點(diǎn)的平均經(jīng)度，算出A′、B′并求出兩點(diǎn)的平面距離，將該距離歸算到投影抵償面上作為起算邊長。至此，一點(diǎn)一方位一邊長+投影抵償面起算數(shù)據(jù)準(zhǔn)備完畢。最后利用這些起算數(shù)據(jù)對控制網(wǎng)重新平差，解算出來的結(jié)果即為獨(dú)立坐標(biāo)。

5 實(shí)例檢驗(yàn)

某抽水蓄能電站項(xiàng)目位于37與38帶之間，平均經(jīng)度約為112°47′，離114°子午線距離約125 km，平均高程約為200 m，通過上面公式計(jì)算，投影變形值約為16 cm/km，超出規(guī)范要求，需要對該項(xiàng)目建立獨(dú)立坐標(biāo)系，控制網(wǎng)布設(shè)如圖4所示。

圖4 控制網(wǎng)布置示意

按照國家統(tǒng)一坐標(biāo)系，中央子午線114°解算一套38帶的坐標(biāo)，選取最靠近測區(qū)中心的“2620”作為起算點(diǎn)，選擇與“2620”經(jīng)度盡量相等且距離較長的點(diǎn)作為方位點(diǎn)，從圖4中可以看出點(diǎn)“ZSZF”較為合適?！?620”到“ZSZF”的方位角α約為182°46′作為起算方位角。對“2620”、“ZSZF”兩點(diǎn)的平面坐標(biāo)進(jìn)行換帶計(jì)算，新帶的中央子午線取兩點(diǎn)的平均經(jīng)度，為112°47′2.8″，投影抵償面取測區(qū)平均高程值，約為200 m。利用兩點(diǎn)換帶后的平面坐標(biāo)計(jì)算其平距為16 306.035 5 m，作為起算邊長。利用上述起算數(shù)據(jù)對該控制網(wǎng)重新平差，算出獨(dú)立坐標(biāo)。對GNSS基線邊長與獨(dú)立坐標(biāo)反算邊長進(jìn)行對比，得出邊長相對誤差統(tǒng)計(jì)見表1所示。

表1 獨(dú)立坐標(biāo)系邊長相對誤差統(tǒng)計(jì)

獨(dú)立坐標(biāo)反算長度是用獨(dú)立坐標(biāo)的三維坐標(biāo)計(jì)算出來的長度，GNSS基線長度是由GNSS控制網(wǎng)自由網(wǎng)平差后的空間直角坐標(biāo)計(jì)算出來的長度。從表1可以看出，所有邊長相對誤差均在5 cm/km以內(nèi)，符合規(guī)范要求。為了檢驗(yàn)通過高斯正反算方式抵消的投影變形值的準(zhǔn)確性，下面通過國家統(tǒng)一坐標(biāo)系反算的邊長，加上公式(6)的距離歸化改正后的距離的長度值與GNSS基線長度進(jìn)行比較(見表2所示)。

表2 國家統(tǒng)一坐標(biāo)系加距離改化邊長相對誤差統(tǒng)計(jì)

從表2可以看出，改化距離的投影變形相對誤差也均在5 cm/km以內(nèi)，符合規(guī)范要求。表1與表2之間的相對誤差存在一定差異，是由于獨(dú)立坐標(biāo)系殘存的投影變形導(dǎo)致的，這是不可避免的，投影變形只能減少，不能消除。但該差異值均小于1/5限差，可以認(rèn)為通過高斯正反算方式抵消投影變形建立獨(dú)立坐標(biāo)系的方法是可行的。

6 結(jié)語

本文通過分析高斯投影變形特點(diǎn)，利用中央子午線無變形的特性，應(yīng)用于獨(dú)立坐標(biāo)系的建立，并通過實(shí)際項(xiàng)目數(shù)據(jù)，檢驗(yàn)了該方法的可行性，得出結(jié)論如下：

1) 本文提出的獨(dú)立坐標(biāo)系建立的方法，屬于“一點(diǎn)一方位一邊長+投影抵償面”的掛靠坐標(biāo)系，掛靠在國家統(tǒng)一坐標(biāo)系下，中央子午線、橢球參數(shù)等均不變。所有成果數(shù)據(jù)，如地形圖、斷面等均能與國家統(tǒng)一坐標(biāo)系下的數(shù)據(jù)銜接。

2) 該方法中的邊長獲取是通過高斯正反算得到的，無需采用全站儀實(shí)測，可以減輕外業(yè)工作量。同時(shí)，外業(yè)實(shí)測邊長時(shí)由于多種因素的限制，不能測取較長測距邊的邊長。加上內(nèi)業(yè)雖然經(jīng)過一些列改正，但會(huì)殘存大氣折光、地球曲率、溫度、濕度、氣壓等造成的影響。另外，獨(dú)立坐標(biāo)系更多考慮的是相對位置精度，而非絕對位置精度。

3) 采用該方法時(shí)需要注意將起算邊長的兩個(gè)控制點(diǎn)盡量布設(shè)在相同經(jīng)度上以最大限度減少換算時(shí)殘存的投影變形，且距離盡量長以提高邊長的相對精度，從而提升整個(gè)控制網(wǎng)的相對精度。但投影變形還是會(huì)殘存的，無法消除，只能盡量減少。

4) 該方法適用范圍也是有限的，遇到東西跨度大或者高差大的測區(qū)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行分區(qū)建立獨(dú)立坐標(biāo)系。

5) 遇到舊的控制網(wǎng)數(shù)據(jù)，也可采用該方法進(jìn)行獨(dú)立坐標(biāo)系建立。