彭程, 孫立國(guó), 王衍洋, 譚文倩, 肖峰

(北京航空航天大學(xué) 航空科學(xué)與工程學(xué)院, 北京 100191)

與一般的固定翼飛機(jī)相比,基于撲翼飛行生物仿生學(xué)設(shè)計(jì)的撲翼飛行器具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、質(zhì)量輕、飛行機(jī)動(dòng)性和靈活性強(qiáng)及氣動(dòng)效率高等優(yōu)勢(shì),因此,仿生撲翼飛行器的研究已成為世界各國(guó)研究的熱點(diǎn)[1]。 根據(jù)尺寸大小、翅膀撲動(dòng)的頻率及升力產(chǎn)生機(jī)理的不同,撲翼飛行器包括仿昆蟲型和仿鳥型2 種類型撲翼機(jī)。 本文研究的仿鴿撲翼機(jī)屬于仿鳥型撲翼機(jī)[2]。 仿鳥型撲翼飛行器尺寸較大,范圍從厘米級(jí)到米級(jí)不等,其機(jī)翼?yè)鋭?dòng)頻率不高,小型鳥類一般不超過20 Hz,大型鳥類可能只有1 ～2 Hz,且其機(jī)翼相對(duì)于整個(gè)飛行器的質(zhì)量占比較大。 仿鳥型撲翼機(jī)主要以平飛運(yùn)動(dòng)為主,其升力來(lái)源于機(jī)翼的撲動(dòng)與空氣的相對(duì)運(yùn)動(dòng),此外,其機(jī)翼?yè)鋭?dòng)在產(chǎn)生升力的同時(shí)還為其提供飛行的推動(dòng)力[3-4]。

撲翼飛行器具有復(fù)雜的氣動(dòng)特性[3],想要建立精確的動(dòng)力學(xué)模型非常困難。 面向控制問題建模時(shí)雖對(duì)精度要求有所降低,但仍具有較高難度,目前仍缺少一個(gè)通用模型,在能反映機(jī)翼運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的慣性力和力矩影響的同時(shí),還能用于控制器設(shè)計(jì)的驗(yàn)證。 目前,撲翼飛行器的建模主要有2類方法。 一類是較為常用的采用了單剛體假設(shè)的牛頓-歐拉法[5-10]。 這種方法將撲翼飛行器視為質(zhì)量分布均勻的單剛體模型,不考慮機(jī)翼?yè)渑み\(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的慣性力和慣性力矩。 另一類建模方法是將撲翼飛行器視為一個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)約束下的多剛體模型[11-13],考慮機(jī)翼運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的慣性力和慣性力矩。 Orlowski 和Girard[12]的研究結(jié)果顯示,當(dāng)機(jī)翼相對(duì)于整個(gè)飛行器的質(zhì)量占比達(dá)到5. 7%時(shí),撲翼機(jī)的單剛體近似模型與非線性多剛體模型的慣性位置、俯仰角和俯仰角速率的仿真結(jié)果差別較大,此時(shí)多剛體模型更精確。 此外,要建立能用于控制器設(shè)計(jì)的動(dòng)力學(xué)模型,還需要獲取相關(guān)的氣動(dòng)系數(shù)、氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)和操縱導(dǎo)數(shù)。 Dietl 和Garcia[8]利用Andersen 等[14]使用氣動(dòng)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)和操縱導(dǎo)數(shù),建立了撲翼飛行器面向控制的縱向動(dòng)力學(xué)模型。 Kajak 等[9]利用最小二乘法估計(jì)得到了相關(guān)的氣動(dòng)系數(shù)和操縱導(dǎo)數(shù),建立了無(wú)尾撲翼飛行器面向控制的縱向動(dòng)力學(xué)模型。 Jiang 等[10]進(jìn)一步考慮了尾翼的影響,利用Sun 等[15]給出的氣動(dòng)系數(shù)和氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)及Armanini等[16]給出的操縱導(dǎo)數(shù)建立了撲翼飛行器面向控制的縱向動(dòng)力學(xué)模型。 在撲翼飛行器建模的研究中[5-13],Kajak[9]和Jiang[10]等建立的模型屬于仿昆蟲型撲翼機(jī),Dietl 和Garcia[8]建立的撲翼機(jī)尺寸雖然較仿昆蟲型撲翼機(jī)大,但是其使用氣動(dòng)模型的雷諾數(shù)較低,適用于仿昆蟲型撲翼機(jī)。對(duì)于仿鳥型撲翼機(jī),目前還缺少相關(guān)的氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)和操縱導(dǎo)數(shù)數(shù)據(jù)。 因此,在考慮機(jī)翼運(yùn)動(dòng)慣性力和慣性力矩影響的基礎(chǔ)上,如何建立仿鳥型撲翼機(jī)面向控制的縱向動(dòng)力學(xué)模型仍然是一個(gè)需要解決的問題。

為給仿鳥型撲翼機(jī)控制算法的研究提供設(shè)計(jì)驗(yàn)證平臺(tái),仍有待于從自然界鳥類的操縱機(jī)理來(lái)對(duì)仿鳥型撲翼機(jī)的動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行拓展。 結(jié)合撲翼飛行生物和微型飛行器的飛行特點(diǎn),撲翼飛行器往往需要能夠改變俯仰力矩的操縱機(jī)構(gòu)來(lái)維持或改變俯仰姿態(tài)。 例如,李智[6]、Dietl 和Garcia[8]、Jiang 等[10]、年鵬等[17]采用升降舵的偏轉(zhuǎn)角作為輸入來(lái)改變俯仰力矩,Kajak 等[9]采用壓力中心的水平位置來(lái)改變俯仰力矩。 此外,撲翼飛行器還需要以機(jī)翼的撲動(dòng)速度作為輸入來(lái)改變飛行時(shí)的推力,其中機(jī)翼在一個(gè)撲動(dòng)周期內(nèi)的平均撲動(dòng)速度可以通過控制機(jī)翼的撲動(dòng)角振幅[6,8]、撲動(dòng)角位移[17]、撲動(dòng)頻率[6,9,18]等來(lái)改變。 然而,自然界中的鳥類在飛行中除了通過偏轉(zhuǎn)尾翼來(lái)維持縱向姿態(tài)平衡及改變翅膀的撲動(dòng)振幅或頻率來(lái)改變飛行推力外,還會(huì)扭轉(zhuǎn)翅膀來(lái)配合翅膀的撲動(dòng),以調(diào)節(jié)翅膀產(chǎn)生的升力方向。 但是,目前針對(duì)包含機(jī)翼扭轉(zhuǎn)角振幅的面向控制的三輸入仿鳥型撲翼飛行器縱向動(dòng)力學(xué)模型仍有待于研究。

綜上所述,為給仿鳥型撲翼機(jī)控制律設(shè)計(jì)提供通用驗(yàn)證平臺(tái),本文建立了三輸入定撲動(dòng)周期的仿鴿撲翼機(jī)線性時(shí)變周期系統(tǒng)模型,并進(jìn)行了動(dòng)穩(wěn)定性分析和開閉環(huán)時(shí)域仿真分析等多角度的驗(yàn)證。 首先,考慮機(jī)翼運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的慣性力和慣性力矩的影響,利用Kane 方程建立了仿鴿撲翼機(jī)的多剛體非線性模型;其次,選擇升降舵偏轉(zhuǎn)角、機(jī)翼?yè)鋭?dòng)角振幅和機(jī)翼扭轉(zhuǎn)角振幅作為控制輸入,結(jié)合已有氣動(dòng)數(shù)據(jù)及計(jì)算模型[19-22]工程估算了撲翼機(jī)的氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)系數(shù)和操縱導(dǎo)數(shù)系數(shù),建立了面向控制的仿鴿撲翼機(jī)縱向多余度線性時(shí)變周期系統(tǒng)模型;然后,基于Floquet 理論對(duì)該線性時(shí)變周期系統(tǒng)模型進(jìn)行了動(dòng)穩(wěn)定性分析;最后,在設(shè)計(jì)基礎(chǔ)控制器和控制分配方法的前提下,進(jìn)行了開環(huán)和閉環(huán)仿真分析驗(yàn)證,闡釋了模型的可信性及機(jī)翼扭轉(zhuǎn)角振幅的引入對(duì)飛行操控能力的改善效果。

1 仿鴿撲翼機(jī)線性時(shí)變周期系統(tǒng)模型的建立

1.1 仿鴿撲翼機(jī)的多剛體模型

仿鴿撲翼機(jī)模型包含機(jī)身、一對(duì)對(duì)稱的機(jī)翼和尾翼。 機(jī)翼通過鉸鏈與機(jī)身相連接,繞xb軸上下?lián)鋭?dòng),同時(shí)繞機(jī)翼中心線扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng),撲動(dòng)角為φ,扭轉(zhuǎn)角為η,如圖1 所示。

圖1 仿鴿撲翼機(jī)概念示意圖Fig.1 Diagram of a pigeon-like flapping-wing aircraft

仿鴿撲翼機(jī)穩(wěn)定飛行時(shí),機(jī)翼的撲動(dòng)和扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)是周期性的,為了方便表示機(jī)翼的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,參照Dietl 和Garcia[7]的方法將機(jī)翼?yè)鋭?dòng)和扭轉(zhuǎn)分別簡(jiǎn)化為頻率為f1和f2的正弦運(yùn)動(dòng):

式中:A為機(jī)翼?yè)鋭?dòng)角振幅;R為機(jī)翼扭轉(zhuǎn)角振幅;t為時(shí)間;φ1和φ2分別為撲動(dòng)和扭轉(zhuǎn)的相位角。

由于自然界中鴿子身體、翅膀的形狀極不規(guī)則且在飛行中不斷變化,要獲取其精確的外形幾何數(shù)據(jù)非常困難,為了方便分析,參照Orlowski 和Girard[12]的簡(jiǎn)化方法,考慮機(jī)翼?yè)鋭?dòng)產(chǎn)生的附加慣性力和慣性力矩的影響,將撲翼機(jī)簡(jiǎn)化為圖2所示的多剛體模型。 機(jī)身簡(jiǎn)化為一個(gè)質(zhì)量均勻的圓柱體,長(zhǎng)度為l,半徑為r;左右機(jī)翼的形狀簡(jiǎn)化為矩形,機(jī)翼展長(zhǎng)為l1,單機(jī)翼質(zhì)心到機(jī)身尾翼組合體質(zhì)心距離為l2,單機(jī)翼弦長(zhǎng)為l3;尾翼簡(jiǎn)化為矩形薄板,單個(gè)尾翼長(zhǎng)、寬分別為l4、l5,左右兩邊尾翼作為仿鴿撲翼機(jī)的升降舵,由聯(lián)動(dòng)機(jī)構(gòu)連接,同時(shí)偏轉(zhuǎn)相同角度;機(jī)身尾翼組合體、左側(cè)機(jī)翼、右側(cè)機(jī)翼的質(zhì)量分別為m1、m2、m3,其中m2=m3,機(jī)翼質(zhì)心位于機(jī)翼幾何中心,機(jī)身質(zhì)心到機(jī)翼前緣的距離為xg,全機(jī)總質(zhì)量為m,其中m1、m2和m3前“*”表示重心位置。 需要說(shuō)明的是,由于在較低的飛行速度下鳥類飛行的升力和推動(dòng)力主要由翅膀撲動(dòng)產(chǎn)生,為了方便分析,主要考慮仿鴿撲翼機(jī)機(jī)翼?yè)鋭?dòng)產(chǎn)生的氣動(dòng)力而忽略機(jī)身的氣動(dòng)力,因此,由機(jī)身形狀的不同而產(chǎn)生的對(duì)全機(jī)氣動(dòng)力的影響可以忽略。

圖2 仿鴿撲翼機(jī)簡(jiǎn)化模型Fig.2 Simplified model of pigeon-like flapping-wing aircraft

由于采用Kane 方程可以避免方程中出現(xiàn)對(duì)靜矩的求導(dǎo)項(xiàng),容易將動(dòng)力學(xué)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式,便于編程計(jì)算[23],采用Kane 方程建立如式(3)所示的仿鴿撲翼機(jī)縱向多剛體動(dòng)力學(xué)模型:

式中:u、w分別為撲翼機(jī)相對(duì)于地面參考系的速度在機(jī)體軸xb、zb方向的分量;q為撲翼機(jī)相對(duì)于地面參考系的俯仰角速度在機(jī)體軸上的分量,˙q、¨q分別為導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù);θ為撲翼機(jī)相對(duì)于地面坐標(biāo)系的俯仰角;α為撲翼機(jī)飛行迎角;L、D、My分別為撲翼機(jī)所受的升力、阻力、俯仰力矩,其與撲翼機(jī)飛行速度V、雷諾數(shù)、撲翼機(jī)飛行迎角α及機(jī)翼?yè)鋭?dòng)時(shí)的平均迎角αw有關(guān);I1y為機(jī)身在yb軸上的慣性矩,I2y為機(jī)翼在yb軸上的慣性矩。

該撲翼機(jī)模型的幾何參數(shù)和機(jī)翼運(yùn)動(dòng)參數(shù)如表1 所示。

表1 仿鴿撲翼機(jī)幾何參數(shù)Table 1 Geometry parameters of pigeon-like flapping-wings aircraft

當(dāng)撲 翼 固 定 時(shí),φ=η===== 0,式(3)為傳統(tǒng)的固定翼飛機(jī)的縱向動(dòng)力學(xué)方程,與其相比較,式(3)中包含和的項(xiàng)為機(jī)翼?yè)鋭?dòng)引起的慣性力或力矩,包含¨η的項(xiàng)為機(jī)翼扭轉(zhuǎn)引起的慣性力矩,多出來(lái)的其他項(xiàng)為機(jī)身運(yùn)動(dòng)引起的機(jī)翼產(chǎn)生的慣性力或力矩。

1.2 仿鴿撲翼機(jī)操縱機(jī)制

為闡明仿鴿撲翼機(jī)的操縱機(jī)制及設(shè)計(jì)依據(jù),一方面,選取常規(guī)的升降舵偏轉(zhuǎn)角作為操縱輸入;另一方面,為了方便工程實(shí)踐和系統(tǒng)建模分析,在定周期條件下選取機(jī)翼?yè)鋭?dòng)角振幅和扭轉(zhuǎn)角振幅作為操縱輸入。 其中,升降舵偏轉(zhuǎn)的變化可以通過伺服舵機(jī)電壓的變化來(lái)工程實(shí)現(xiàn);定周期下的機(jī)翼?yè)鋭?dòng)角和扭轉(zhuǎn)角振幅的實(shí)時(shí)變化可以通過無(wú)刷電動(dòng)機(jī)、伺服舵機(jī)和無(wú)級(jí)調(diào)幅撲翼驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)[24]來(lái)工程實(shí)現(xiàn)。

本節(jié)以機(jī)翼?yè)鋭?dòng)角為例,闡釋仿真中定周期、變振幅的機(jī)翼?yè)鋭?dòng)角在各離散采樣時(shí)刻的實(shí)時(shí)變化情況。 在各個(gè)離散的采樣時(shí)刻,機(jī)翼?yè)鋭?dòng)角的變化如下:

即在t=tk時(shí)刻,機(jī)翼?yè)鋭?dòng)角位于振幅為(A0+ΔAk)的正弦軌跡線上。 以撲動(dòng)頻率10 Hz,撲動(dòng)基準(zhǔn)角振幅A0,仿真步長(zhǎng)0.005 s,初始相位φ1=0 為例,機(jī)翼?yè)鋭?dòng)角在一個(gè)周期為20 個(gè)離散采樣點(diǎn)的變化曲線如圖3 所示。

圖3 中,機(jī)翼?yè)鋭?dòng)角在一個(gè)周期T內(nèi)的各采樣時(shí)刻點(diǎn)的值如下:

圖3 分時(shí)段變振幅撲動(dòng)序列示意圖Fig.3 Diagram of flapping sequence of time-varying amplitude

1.3 面向控制的線性時(shí)變周期系統(tǒng)模型的建立

為了方便后續(xù)線性時(shí)變周期系統(tǒng)的分析及控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì),本文對(duì)撲翼機(jī)非線性運(yùn)動(dòng)方程(3)解耦并進(jìn)行小擾動(dòng)線性化。 選擇仿鴿撲翼機(jī)升降舵的偏轉(zhuǎn)角變化量Δδe、機(jī)翼?yè)鋭?dòng)角振幅相對(duì)于基準(zhǔn)值的變化量ΔA及機(jī)翼扭轉(zhuǎn)角振幅相對(duì)于基準(zhǔn)值的變化量ΔR來(lái)作為被控對(duì)象的控制輸入,即控制輸入為v= [ΔδeΔAΔR]T;撲翼機(jī)縱向狀態(tài)量相對(duì)于配平值的偏差為x=[uwqθ]T;選定速度為10 m/s、高度為20 m表示基準(zhǔn)飛行狀態(tài),在基準(zhǔn)飛行狀態(tài)下的配平值如表2所示。

表2 配平值Table 2 Trimming values

最終得到撲翼機(jī)的線性狀態(tài)方程:

式中:

F中各元素由氣動(dòng)系數(shù)和氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)構(gòu)成,在氣動(dòng)系數(shù)方面F中各元素與升力系數(shù)CL、阻力系數(shù)CD和俯仰力矩系數(shù)Cm有關(guān),在氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)方面,a11、a21、a31與升力、阻力、俯仰力矩對(duì)速度u的導(dǎo)數(shù)Lu、Du、Mu有關(guān),a12、a22、a32與升力、阻力、俯仰力矩對(duì)速度w的導(dǎo)數(shù)Lw、Dw、Mw有關(guān),a13、a23、a33與升力、阻力、俯仰力矩對(duì)角速度q的導(dǎo)數(shù)Lq、Dq、Mq有關(guān)。G中各元素由操縱導(dǎo)數(shù)構(gòu)成,其中b11、b21、b31與升力、阻力、俯仰力矩對(duì)升降舵偏轉(zhuǎn)角δe的導(dǎo)數(shù)Lδe、Dδe、Mδe有關(guān),b12、b22、b32與升力、阻力、俯仰力矩對(duì)機(jī)翼?yè)鋭?dòng)角振幅A的導(dǎo)數(shù)LA、DA、MA有關(guān),b13、b23、b33與升力、阻力、俯仰力矩對(duì)機(jī)翼扭轉(zhuǎn)角振幅R的導(dǎo)數(shù)LR、DR、MR有關(guān)。F和G中各元素的具體表達(dá)式可以通過小擾動(dòng)線性化推導(dǎo)得到。 為獲取F和G隨機(jī)翼運(yùn)動(dòng)的周期變化情況,本節(jié)將對(duì)仿鴿撲翼機(jī)的氣動(dòng)系數(shù)、氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)系數(shù)及操縱導(dǎo)數(shù)系數(shù)進(jìn)行計(jì)算。

1.3.1 總氣動(dòng)系數(shù)計(jì)算

特定撲翼翼型下的CL、CD、Cm大小與雷諾數(shù)Re、撲翼機(jī)飛行迎角α、機(jī)翼?yè)鋭?dòng)時(shí)的平均迎角αw有關(guān),而αw又與α、A、f1、R、f2、機(jī)翼尺寸大小及撲動(dòng)扭轉(zhuǎn)相位有關(guān)。 因此,CL、CD、Cm的大小由Re、α、A、R、f1、f2、t及機(jī)翼尺寸大小等元素共同確定。 由于仿鴿撲翼機(jī)的尺寸大小、飛行速度、Re與DOVE 撲翼機(jī)[25]基本相似,采用與DOVE 撲翼機(jī)相同的NACA4408 撲翼翼型,并結(jié)合其在Re為70 000 時(shí)CL、CD、Cm隨迎角的變換規(guī)律[20]和夏風(fēng)[19]給出的計(jì)算模型,計(jì)算得到各個(gè)采樣時(shí)刻機(jī)翼運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的CL、CD、Cm大小。 在表2 中選定的基準(zhǔn)飛行狀態(tài)及表3 設(shè)定的基準(zhǔn)機(jī)翼運(yùn)動(dòng)參數(shù)下,即Re、α、f1、f2均已設(shè)為定值,此時(shí)可以獲得在不同的A和R下,撲翼機(jī)的CL、CD、Cm在撲動(dòng)周期內(nèi)的變化,其變化情況如圖4 和圖5 所示。

圖4 不同機(jī)翼?yè)鋭?dòng)角振幅下氣動(dòng)系數(shù)的變化Fig.4 Variation of aerodynamic coefficients with different amplitudes of flapping-wing angle

圖5 不同機(jī)翼扭轉(zhuǎn)角振幅下氣動(dòng)系數(shù)的變化Fig.5 Variation of aerodynamic coefficients with different amplitudes of wing torsional angle

表3 機(jī)翼運(yùn)動(dòng)參數(shù)Table 3 Motion parameters of wings

由圖4 可以看出隨著A的增大,撲翼機(jī)的CL、CD、Cm的振幅增大,CD的平均值減小,即推力的平均值增大,這與自然界中鳥類的飛行特點(diǎn)相符合。 此外,在A=15°時(shí)CL、CD、Cm變化較為平緩,且CL的變化趨勢(shì)與其他3 個(gè)不同角振幅下的變化趨勢(shì)相反,這是因?yàn)榻钦穹^小時(shí)機(jī)翼的撲動(dòng)速度減慢,此時(shí)機(jī)翼的迎角主要受到扭轉(zhuǎn)的影響。 另外如圖5 所示,當(dāng)R增大時(shí),CL的振幅減小,Cm的振幅也減小。 因此,可以期望通過調(diào)節(jié)R來(lái)減緩撲翼機(jī)飛行中由于CL和Cm的變化引起的θ的振蕩和最大的法向過載。 此外,R不能無(wú)限增大。 當(dāng)R過大時(shí),會(huì)造成機(jī)翼?yè)鋭?dòng)時(shí)迎角方向反向,從而造成升力反向,使飛行不穩(wěn)定。 由圖5可以看出R=28.65°時(shí)CL已經(jīng)開始出現(xiàn)反向,因此A=30.03°時(shí),R不宜超過28.65°。 圖4和圖5 中T為周期,1T=0.1 s。

1.3.2 氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)系數(shù)和操縱導(dǎo)數(shù)系數(shù)估算

由于仿鴿撲翼機(jī)的平尾布局和作用與常規(guī)布局飛機(jī)類似,可以采用常規(guī)布局飛機(jī)的飛行動(dòng)力學(xué)[21]對(duì)其進(jìn)行估算。 其中,平尾尾容比Aht、平尾力臂lht及平尾升力線斜率CLα,t等參數(shù)將直接影響氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)系數(shù)和操縱導(dǎo)數(shù)系數(shù)的大小,因此,選取合適的Aht、lht/ˉc(ˉc為平均氣動(dòng)弦長(zhǎng))及CLα,t至關(guān)重要。

本文中的仿鴿撲翼機(jī)取Aht= 0. 37,lht/ˉc=1.67,對(duì)比表4 的撲翼機(jī)平尾容量系數(shù)典型值可以知道其Aht和lht/ˉc的大小均在合理范圍內(nèi)。 平尾翼型參考熊超[22]使用的尾翼翼型,其CLα,t=2.92,效率系數(shù)ηe=0.85。 基于Aht和lht/ˉc的數(shù)值大小及平尾的翼型和形狀,可以估算得到仿鴿撲翼機(jī)的氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)系數(shù)和升降舵的操縱導(dǎo)數(shù)系數(shù)。 此外,分別由圖4 和圖5 中的曲線插值可以得到A和R的操縱導(dǎo)數(shù)系數(shù)。 本節(jié)給出了氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)系數(shù)和操縱導(dǎo)數(shù)系數(shù)的估算方法及重要參數(shù)的選取依據(jù),進(jìn)而可以得到氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)系數(shù)和操縱導(dǎo)數(shù)系數(shù)的具體數(shù)值。

表4 撲翼機(jī)尾容量系數(shù)典型值[22]Table 4 Typical values of tail capacity coefficient of flapping-wing aircraft[22]

至此,獲得了仿鴿撲翼機(jī)線性模型中所需的氣動(dòng)系數(shù)、氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)系數(shù)及操縱導(dǎo)數(shù)系數(shù),構(gòu)建了一個(gè)完整的面向控制的線性時(shí)變周期系統(tǒng)模型。

1.3.3 狀態(tài)矩陣特征值分析

在如式(6)所示的仿鴿撲翼機(jī)線性時(shí)變周期系統(tǒng)中,狀態(tài)矩陣F的特征值變化及短周期阻尼比和自振頻率變化情況如圖6 所示,其中,T為周期,1T=0.1 s。

圖6 F 的特征值變化Fig.6 Eigenvalues of F

可以看到,機(jī)翼的周期性撲動(dòng)使得線性時(shí)變周期系統(tǒng)F中的模態(tài)極點(diǎn)周期性變化。 其中,2 個(gè)離虛軸較遠(yuǎn)的短周期模態(tài)極點(diǎn)的周期性變化表明系統(tǒng)短周期的阻尼比和自振頻率周期性變化,短周期平均阻尼比為0.399 9,短周期平均自振頻率為10.371 2 rad/s。 雖然短周期模態(tài)周期性變化,但其是穩(wěn)定的,這是合理地選擇平尾尾容比和平尾力臂等參數(shù)的結(jié)果。 此外還可以看到,2 個(gè)離虛軸較近的特征值在復(fù)平面的左右兩邊來(lái)回運(yùn)動(dòng),這意味著該系統(tǒng)存在靜不穩(wěn)定的模態(tài)。因此,撲翼機(jī)是否周期穩(wěn)定并不能由F直接確定,必須通過Floquet 動(dòng)穩(wěn)定性分析確定。

1.4 控制輸入各通道操縱效率分析

本節(jié)在基準(zhǔn)飛行狀態(tài)下,以估算得到的操縱導(dǎo)數(shù)系數(shù)為原始數(shù)據(jù),用G中各元素的表達(dá)式,計(jì)算得到仿鴿撲翼機(jī)的各輸入通道的操縱效能,并對(duì)其進(jìn)行分析,以明確各輸入的操縱作用,從而為控制器的設(shè)計(jì)提供依據(jù)。

在2 個(gè)撲動(dòng)周期內(nèi),撲翼機(jī)升降舵偏轉(zhuǎn)的操縱效能、機(jī)翼?yè)鋭?dòng)角振幅的操縱效能及機(jī)翼扭轉(zhuǎn)角振幅的操縱效能如圖7 所示,其中T為周期,1T=0.1 s。

如圖7 所示,升降舵的偏轉(zhuǎn)主要使q的平均值發(fā)生變化,從而改變撲翼機(jī)的俯仰姿態(tài)和平衡撲翼機(jī)的俯仰力矩。

圖7 控制輸入的操縱效能Fig.7 Control efficiency of inputs

此外,uA、wA及qA隨機(jī)翼的周期撲動(dòng)而周期變化且其振幅都特別大,這是因?yàn)閾湟頇C(jī)的升力和推力主要是由機(jī)翼的撲動(dòng)產(chǎn)生,而撲翼的升力和推力中心線不是一直通過撲翼機(jī)重心,而是隨著機(jī)翼的撲動(dòng)不斷地變化。 在一個(gè)周期內(nèi),uA、wA和qA的平均值分別為5. 066 6 m/(s·rad)、0.676 7 m/(s·rad)和19.752 4 s-1。 可以看到,A增大可以使u增大,這與增大A來(lái)增大撲翼機(jī)推力的操縱機(jī)制相符合。 另外,由于qA的平均值較大且振幅較大,A的改變必將引起q的改變。因此,對(duì)撲翼機(jī)縱向俯仰姿態(tài)的控制需要升降舵和機(jī)翼?yè)鋭?dòng)角振幅共同配合來(lái)完成。

由圖7 可知,R增大對(duì)u、w和q的平均值影響很小,且對(duì)q的平均值影響可以通過升降舵來(lái)調(diào)節(jié)。 另外,在一個(gè)撲動(dòng)周期內(nèi),wR的振動(dòng)方向與wA相反,qR的振動(dòng)方向與qA相反,uR的最大值相對(duì)于uA較小。 因此,在增大A的同時(shí)調(diào)節(jié)R的大小可以減緩撲翼機(jī)飛行時(shí)q和θ的振動(dòng)及法向過載nz的振動(dòng)。

2 基于Floquet 理論的線性時(shí)變周期系統(tǒng)的動(dòng)穩(wěn)定性分析

考慮到Floquet 理論具有較高的準(zhǔn)確性[26],本節(jié)采用該理論對(duì)機(jī)翼質(zhì)量占比為6.67% 的仿鴿撲翼機(jī)線性時(shí)變周期系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)穩(wěn)定性分析。

當(dāng)存在小擾動(dòng)量時(shí),線性時(shí)變周期系統(tǒng)的微分方程為

式中:F(t)∈Rn×n且F(t+T) =F(t),x(t)∈Rn×1。式(7)的基解矩陣為非奇異矩陣ψ(t)∈Rn×n。

存在非奇異常值矩陣C∈Rn×n滿足:

矩陣C的特征值ρ1,ρ2,…,ρn即為式(7)的特征乘子。 根據(jù)Floquet 理論,可以獲得以下關(guān)系:

式中:k∈N。 此時(shí)擾動(dòng)狀態(tài)量xj隨時(shí)間的變化與矩陣C的特征值大小有關(guān)。 當(dāng)矩陣C所有的特征值都在單位圓內(nèi)時(shí),擾動(dòng)量將隨時(shí)間的增加而逐漸消失,系統(tǒng)穩(wěn)定;否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。

在基準(zhǔn)飛行狀態(tài)下,C的特征值為

矩陣C特征值模的最大值大于1,在單位圓外,系統(tǒng)動(dòng)不穩(wěn)定。

3 仿真分析

3.1 開環(huán)仿真結(jié)果

在基準(zhǔn)飛行狀態(tài)下,給升降舵一個(gè)脈沖信號(hào),仿鴿撲翼機(jī)的開環(huán)響應(yīng)如圖8 所示。

圖8 升降舵脈沖信號(hào)下的開環(huán)仿真響應(yīng)Fig.8 Open-loop simulation response under elevator pulse signal

如圖8 所示,在給升降舵一個(gè)脈沖激勵(lì)信號(hào)后,在短時(shí)間范圍內(nèi),w和q較快地穩(wěn)定下來(lái),仿鴿撲翼機(jī)具有穩(wěn)定的短周期模態(tài),與1.3.3節(jié)分析結(jié)果一致。 在長(zhǎng)時(shí)間范圍內(nèi),u發(fā)散,而其他3 個(gè)狀態(tài)量先是穩(wěn)定在一個(gè)值上,最終隨著u的發(fā)散而發(fā)散,這與第2 節(jié)的分析結(jié)果一致。

3.2 經(jīng)典控制器設(shè)計(jì)

利用串級(jí)PID 經(jīng)典控制算法設(shè)計(jì)了圖9 所示的縱向軌跡跟蹤控制器,以Δδe、ΔA和ΔR作為控制輸入,高度h和u作為輸出。 此外,針對(duì)操縱輸入的冗余問題,考慮到有效集方法具有計(jì)算方便、步驟簡(jiǎn)單、實(shí)時(shí)性好等優(yōu)點(diǎn),采用有效集方法[27],進(jìn)行控制分配器的設(shè)計(jì),實(shí)現(xiàn)了升降舵和機(jī)翼扭轉(zhuǎn)角振幅對(duì)俯仰姿態(tài)角回路的聯(lián)合控制,其中ucmd為需要跟蹤的u的指令信號(hào),hcmd為需要跟蹤的h指令信號(hào),符號(hào)上方“ -”表示負(fù)反饋。

圖9 縱向雙通道閉環(huán)控制器結(jié)構(gòu)Fig.9 Structure of longitudinal dual channel closed-loop controller

3.3 閉環(huán)仿真分析

在基準(zhǔn)飛行狀態(tài)下,給定一組周期為40 s、振幅為5 m 的正弦高度指令信號(hào),對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行仿真。 為了驗(yàn)證將ΔR作為控制輸入的效果,將采用帶控制分配的Δδe、ΔA和ΔR的三輸入閉環(huán)仿真結(jié)果與只采用Δδe和ΔA二輸入的閉環(huán)仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。 最終的狀態(tài)量響應(yīng)和操縱響應(yīng)分別如圖10 和圖11 所示。

由圖11(a)可以看出,撲翼機(jī)要跟蹤h指令時(shí),首先要偏轉(zhuǎn)Δδe來(lái)改變q,從而改變?chǔ)葋?lái)實(shí)現(xiàn)h的變化,同時(shí),由圖11(b)可以看出,為了避免h變化引發(fā)的u變化,要改變?chǔ)來(lái)改變機(jī)翼?yè)鋭?dòng)的速度。 此外,由圖10(a)、圖11(a) 和圖11(b)可以看到,撲翼機(jī)并不是完全依靠Δδe來(lái)改變俯仰姿態(tài),如在30 ～40 s 撲翼機(jī)上升時(shí),Δδe處于上偏狀態(tài),這是因?yàn)榇藭r(shí)A增大,其在產(chǎn)生推力的同時(shí)也會(huì)產(chǎn)生俯仰力矩從而對(duì)q產(chǎn)生影響,這一點(diǎn)也與圖7 中qA的平均值19.752 4 s-1相符合。因此,對(duì)撲翼機(jī)俯仰姿態(tài)的操控是通過Δδe和ΔA的變化共同來(lái)完成。

圖11 閉環(huán)系統(tǒng)操縱響應(yīng)Fig.11 Control response of closed-loop system

此外,從圖10(c) ～圖10(f)可以看出三輸入模型的θ、q的振幅及˙q和nz的最大絕對(duì)值要明顯小于二輸入模型。 其原因在于:引入ΔR控制輸入后,通過機(jī)翼在撲動(dòng)過程中的扭轉(zhuǎn)實(shí)時(shí)地調(diào)整機(jī)翼迎角,從而達(dá)到調(diào)整機(jī)翼產(chǎn)生的升力、阻力的大小和方向的目的,進(jìn)而使得在撲動(dòng)過程中全機(jī)的CL和Cm的振幅更小,最終達(dá)到減緩θ、q的振幅及˙q和nz的最大絕對(duì)值的效果。

圖10 閉環(huán)狀態(tài)量響應(yīng)Fig.10 States response of closed-loop system

為對(duì)引入ΔR后的控制效果進(jìn)行更有效評(píng)價(jià),探索了評(píng)價(jià)指標(biāo)的構(gòu)建問題。 撲翼機(jī)飛行時(shí)的實(shí)際情況表明,θ振動(dòng)過大會(huì)對(duì)空中投彈、偵查拍攝等任務(wù)造成不利影響,˙q和nz過大會(huì)使機(jī)體結(jié)構(gòu)承受過大的彎矩和慣性力,從而造成結(jié)構(gòu)疲勞。 因此,為了更清晰地表達(dá)減緩效果,提出式(10)所示的狀態(tài)平緩度指標(biāo):

式中:κ1、κ2、κ3為歸一化系數(shù),取值分別為0.373 4、4.152 5 ×10-5、9.809 7;nz為法向過載。 仿真結(jié)果顯示,二輸入模型的狀態(tài)平緩度指標(biāo)為100.501 9,而三輸入模型為83.450 7,減緩了17.05。

4 結(jié) 論

1) 鴿子飛行時(shí)常采用變頻率和振幅模式來(lái)調(diào)控翅膀撲動(dòng)、扭轉(zhuǎn)以達(dá)到高效飛行的目的。 研究發(fā)現(xiàn),定周期等振幅撲動(dòng)翅膀條件下,僅靠尾巴偏轉(zhuǎn)不能既實(shí)現(xiàn)高度的控制又實(shí)現(xiàn)速度的保持和控制,因此,需要引入機(jī)翼?yè)鋭?dòng)角振幅作為控制輸入來(lái)實(shí)現(xiàn)速度的保持,同時(shí)也有必要引入機(jī)翼扭轉(zhuǎn)角振幅作為控制輸入以進(jìn)一步提升軌跡跟蹤飛行的平穩(wěn)性和高效性。

2) 基于Floquet 理論對(duì)仿鴿撲翼機(jī)線性時(shí)變周期系統(tǒng)模型展開了動(dòng)穩(wěn)定性分析,與開環(huán)時(shí)域仿真結(jié)果一致,表明了仿鴿撲翼機(jī)具有緩慢發(fā)散模態(tài),從而指明了設(shè)計(jì)增穩(wěn)和控制器的必要性。

3) 閉環(huán)仿真結(jié)果表明機(jī)翼扭轉(zhuǎn)角振幅這一輸入量的引入能顯著提升軌跡跟蹤過程的平滑性,使?fàn)顟B(tài)平緩度指標(biāo)降低了17.05,驗(yàn)證了所建模型的有效性及模型輸入維度增加帶來(lái)的模型適應(yīng)性。