李曉娜，郝 鋼

(黑龍江大學(xué) 電子工程學(xué)院, 哈爾濱 150080)

0 引 言

非線性系統(tǒng)的分布式狀態(tài)估計(jì)與集中式估計(jì)相比，能夠較好的模擬真實(shí)系統(tǒng)的復(fù)雜性，使?fàn)顟B(tài)估計(jì)更加準(zhǔn)確，可擴(kuò)展性更強(qiáng)，魯棒性更高。目前，已經(jīng)被廣泛應(yīng)用在目標(biāo)跟蹤、故障診斷、信息處理等領(lǐng)域[1-3]。分布式估計(jì)也存在計(jì)算負(fù)擔(dān)較大，一致性等問題，為了解決這些問題，有關(guān)非線性系統(tǒng)分布式共識濾波估計(jì)的研究迅速發(fā)展。

在非線性系統(tǒng)濾波估計(jì)的研究過程中，擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)算法最早被提出[4]。主要利用泰勒級數(shù)展開，一階線性化的思想，將非線性濾波轉(zhuǎn)化為線性濾波。但該算法存在較大誤差，并且系統(tǒng)的雅可比矩陣難以求解[5-6]。為了彌補(bǔ)EKF算法存在的缺陷，Julier S J等提出了無跡卡爾曼濾波(UKF)算法，該算法利用了UT變換的思想，通過采樣策略對非線性函數(shù)的概率密度分布進(jìn)行近似，克服了EKF算法的局限性[7]。隨著研究的深入，非線性濾波的研究從低維系統(tǒng)擴(kuò)展到了高維系統(tǒng)，UKF算法中的協(xié)方差矩陣計(jì)算易出現(xiàn)非正定的情況，無法保證濾波系統(tǒng)的穩(wěn)定性。粒子濾波(PF)算法使用采樣點(diǎn)來近似系統(tǒng)狀態(tài)的后驗(yàn)分布，該算法的采樣點(diǎn)是通過隨機(jī)蒙特卡羅仿真產(chǎn)生的，能夠解決任何非線性非高斯系統(tǒng)的濾波問題，缺點(diǎn)是存在粒子退化、計(jì)算代價(jià)較大等問題[8]。2009年，Arasaratnam I等提出了容積卡爾曼濾波(CKF)算法，以非線性的高斯濾波為基礎(chǔ)，采用三階球面徑向準(zhǔn)則得到容積點(diǎn)集，使用容積點(diǎn)獲取非線性系統(tǒng)的狀態(tài)均值和協(xié)方差矩陣[9]。在高維系統(tǒng)中，該算法也能夠保持系統(tǒng)穩(wěn)定，有較高的濾波精度。容積信息卡爾曼濾波(CIF)算法作為CKF的信息形式，在適用條件下具有優(yōu)異的性能。

在分布式濾波估計(jì)過程中，加權(quán)平均共識策略是解決分布式估計(jì)一致性問題的主要方法之一。2016年，Li W等將加權(quán)平均共識機(jī)制引入非線性系統(tǒng)之中，提出了基于加權(quán)平均共識的分布式UKF算法，該算法估計(jì)精確，魯棒性高[10]。隨后，Chen Q等基于擴(kuò)展信息卡爾曼濾波，提出了基于加權(quán)平均共識的分布式CIF算法，并通過SLAM應(yīng)用，驗(yàn)證了該算法的性能優(yōu)于基于加權(quán)平均共識的分布式UKF算法[11]?；诩訖?quán)平均共識分布式CIF算法的性能優(yōu)點(diǎn)，本系統(tǒng)的分布式算法在此基礎(chǔ)上改進(jìn)提出。

在無線傳感器網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，分布式的濾波估計(jì)擁有靈活多變、魯棒性高的優(yōu)點(diǎn)，但其設(shè)計(jì)也增加了網(wǎng)絡(luò)的傳輸負(fù)擔(dān)，事件觸發(fā)機(jī)制能夠合理地分配網(wǎng)絡(luò)通訊資源，改善網(wǎng)絡(luò)擁堵的情況。Trimpe S等設(shè)計(jì)了基于估計(jì)方差的事件觸發(fā)狀態(tài)估計(jì)器，當(dāng)方差大于設(shè)定的閾值時(shí)，發(fā)送數(shù)據(jù)，并基于事件觸發(fā)的條件設(shè)計(jì)了相關(guān)的分布式算法[12]。文獻(xiàn)[13]針對線性系統(tǒng)，采用了新息事件觸發(fā)機(jī)制，結(jié)合極大似然法進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)，并且給出了最佳估計(jì)值。文獻(xiàn)[14]針對分布式系統(tǒng)，使用了基于send-on-delta(SOD)的觸發(fā)判斷條件，設(shè)計(jì)了相應(yīng)的事件觸發(fā)方案。文獻(xiàn)[15]研究了動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)的傳輸機(jī)制，將采樣時(shí)刻的測量值與偏移量變量進(jìn)行比較，判斷是否觸發(fā)，并且對系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行了穩(wěn)定性分析。文獻(xiàn)[16]介紹了在無線傳感器網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，實(shí)施基于自適應(yīng)觸發(fā)條件的分布式估計(jì)算法步驟，求解出了網(wǎng)絡(luò)的傳輸速率。文獻(xiàn)[17]將事件觸發(fā)與共識卡爾曼濾波進(jìn)行結(jié)合，設(shè)計(jì)了最優(yōu)和次優(yōu)的基于事件觸發(fā)的共識卡爾曼濾波器。

本文引入了新息事件觸發(fā)機(jī)制對現(xiàn)有的基于共識的分布式CIF算法進(jìn)行了改進(jìn)，通過分析非線性系統(tǒng)分布式濾波估計(jì)、共識濾波算法以及事件觸發(fā)機(jī)制的研究現(xiàn)狀，明確了基于共識的分布式CIF算法有著較高的估計(jì)精度，但計(jì)算和網(wǎng)絡(luò)傳輸負(fù)擔(dān)較大;而新息事件觸發(fā)機(jī)制能夠通過設(shè)置觸發(fā)條件有效降低冗余的數(shù)據(jù)傳輸，減少網(wǎng)絡(luò)傳輸負(fù)擔(dān)，將二者相結(jié)合，設(shè)計(jì)出網(wǎng)絡(luò)負(fù)擔(dān)較小，估計(jì)精度較高的分布式估計(jì)算法。

1 問題描述

考慮具有多個(gè)傳感器的離散非線性隨機(jī)系統(tǒng)：

xk+1=fk(xk)+wk

(1)

(2)

(3)

E[x0]=μ0,E[(x0-μ0)(x0-μ0)T]=P0

(4)

式中：E(·)為數(shù)學(xué)期望；(·)T為矩陣的轉(zhuǎn)置；δkt為克羅內(nèi)羅δ函數(shù)，δtt=1,δtk=0(t≠k)。

2 容積信息卡爾曼濾波算法

CIF算法是CKF的信息形式，具有與CKF算法同等的精度，在信息融合的過程中，CIF算法是信息形式能夠省略相應(yīng)的計(jì)算，使用更加簡單方便。CIF算法的主要步驟為

1)構(gòu)造k時(shí)刻容積點(diǎn)：

(5)

(6)

其中：ej矩陣中第j位為1。

2)預(yù)報(bào)粒子：

(7)

3)狀態(tài)預(yù)報(bào)：

(8)

4)預(yù)報(bào)誤差方差：

(9)

(10)

其中：(·)-1為矩陣的逆運(yùn)算。

量測更新：

1)預(yù)報(bào)容積點(diǎn)：

(11)

(12)

2)觀測預(yù)測：

(13)

(14)

3)互協(xié)誤差方差矩陣：

(15)

4)新息、信息狀態(tài)和相關(guān)信息矩陣分別為

(16)

(17)

(18)

5)狀態(tài)估計(jì)：

(19)

(20)

(21)

3 共識機(jī)制與事件觸發(fā)機(jī)制

3.1 共識機(jī)制

在分布式系統(tǒng)中，通常采用異步通信，定義相應(yīng)的容錯(cuò)協(xié)議，使各個(gè)主機(jī)之間的狀態(tài)達(dá)成一致[18]。共識機(jī)制可提高工作效率，記錄信息，并且保證數(shù)據(jù)的安全。本文所使用的無線傳感器網(wǎng)絡(luò)為N階無向圖G={V,E}，其中：V={1,2,3,…,N} 為節(jié)點(diǎn)集，E∈V×V為邊集，無向圖中與節(jié)點(diǎn)i相連節(jié)點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)i的鄰居集[19]。在共識機(jī)制中，每個(gè)采樣時(shí)刻，每個(gè)節(jié)點(diǎn)將得到的信息廣播給其他的節(jié)點(diǎn)，以達(dá)成一致[20]。各個(gè)節(jié)點(diǎn)信息的交換發(fā)生在每個(gè)單獨(dú)的節(jié)點(diǎn)與其鄰居節(jié)點(diǎn)之間。

在分布式的網(wǎng)絡(luò)化估計(jì)系統(tǒng)中，共識就是確定一個(gè)統(tǒng)一的規(guī)則，將各個(gè)節(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)通過這個(gè)規(guī)則的轉(zhuǎn)化保持一致。采用加權(quán)平均共識機(jī)制：

(22)

(23)

3.2 新息事件觸發(fā)機(jī)制

事件觸發(fā)機(jī)制是狀態(tài)估計(jì)研究過程中應(yīng)用較為廣泛的能夠降低計(jì)算負(fù)擔(dān)，合理分配資源的機(jī)制[21-22]?？煞譃閮深?①靜態(tài)事件觸發(fā)，包括基于觀測、新息、方差、狀態(tài)值等方式設(shè)計(jì)觸發(fā)條件；②動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)，包括基于隨機(jī)、自適應(yīng)等方式設(shè)計(jì)事件觸發(fā)條件。本文選取新息事件觸發(fā)機(jī)制，該觸發(fā)方式為改進(jìn)的SOD機(jī)制，公式為

(24)

3.3 基于新息事件觸發(fā)的分布式共識CIF算法

融合狀態(tài)估計(jì)能夠在時(shí)間空間上獲取更多的有關(guān)目標(biāo)的信息，使?fàn)顟B(tài)估計(jì)更加準(zhǔn)確[23-26]。在設(shè)計(jì)的算法系統(tǒng)中，采用的融合方法是將每個(gè)節(jié)點(diǎn)都作為鄰居的中心節(jié)點(diǎn)，再將中心節(jié)點(diǎn)的相關(guān)信息矩陣和信息狀態(tài)相加，如式(25—26)：

(25)

(26)

基于新息事件觸發(fā)的分布式共識CIF算法(IDCIF)步驟：

3)根據(jù)新息事件觸發(fā)機(jī)制進(jìn)行觸發(fā)判斷：

(27)

不滿足觸發(fā)條件，則

(28)

(29)

滿足觸發(fā)條件，執(zhí)行以下步驟：

b)初始化：

(30)

(31)

c)共識機(jī)制：forL=0,1,2,…L1-1

(32)

(33)

4)事件觸發(fā)的共識濾波：

(34)

(35)

(36)

備注1：基于新息事件觸發(fā)的分布式共識CIF算法(IDCIF)的穩(wěn)定性分析可分為觸發(fā)狀態(tài)和不觸發(fā)狀態(tài)兩種，該算法在均方意義下指數(shù)有界[30]。

4 仿真分析

(37)

圖1 無線傳感器網(wǎng)絡(luò)連接圖Fig.1 Wireless sensor network connection

已知系統(tǒng)的初始位置為(10 m，10 m)，x和y方向的運(yùn)動(dòng)速度均為1 m·s-1，掃描時(shí)刻T=1 s，在傳感器網(wǎng)絡(luò)中，1～10節(jié)點(diǎn)初始值分別為(2 m，0 m)，(1 m，1 m)，(3 m，1 m)，(0 m，2 m)，(4 m，2 m)，(1 m，3 m)，(3 m，3 m)，(2 m，1 m)，(1 m，2 m)，(3 m，2 m)。其連通情況見圖1。對每個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行數(shù)據(jù)的觀測，系統(tǒng)的觀測方程為

i=1,…,4

(38)

k時(shí)刻表示狀態(tài)估計(jì)性能的位置累積均方誤差(RMSE)[28]為

(39)

使用設(shè)計(jì)的基于新息事件觸發(fā)的分布式共識CIF算法(IDCIF)進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)，選取4個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)3，5，8，10進(jìn)行狀態(tài)觀測，真實(shí)軌跡曲線與θ=0.5時(shí)，估計(jì)曲線對比見圖2。當(dāng)傳輸?shù)臄?shù)據(jù)經(jīng)過計(jì)算大于事件閾值時(shí)，該算法處于觸發(fā)狀態(tài)，各個(gè)節(jié)點(diǎn)的估計(jì)信息達(dá)成一致，否則，各個(gè)節(jié)點(diǎn)保留其原有的估計(jì)值。

事件觸發(fā)閾值θ=0.5時(shí)，通訊結(jié)果見圖3。藍(lán)色為1的區(qū)域表明事件處于觸發(fā)狀態(tài)，將繼續(xù)進(jìn)行后續(xù)數(shù)據(jù)的計(jì)算，并傳輸數(shù)據(jù)；白色為0的區(qū)域表示事件不觸發(fā)，將使用預(yù)報(bào)值代替所需的信息。為了證明事件觸發(fā)機(jī)制對估計(jì)算法計(jì)算性能的影響，將事件閾值設(shè)置為θ1=0,θ2=0.1,θ3=0.5,θ4=1，選取節(jié)點(diǎn)3進(jìn)行對比，其他節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)3變化趨勢相同，通訊結(jié)果見表1。由表1可見，閾值越大，通信速率越低，傳統(tǒng)的基于共識機(jī)制的分布式CIF算法在應(yīng)用過程中需要進(jìn)行大量的數(shù)據(jù)計(jì)算，所以使用新息事件觸發(fā)機(jī)制可以有效降低通訊傳輸速率，節(jié)省資源。不同觸發(fā)閾值下，DICIF算法的RMSE的值見圖4，為了使圖像對比更加清晰，截取了前150步的變化，結(jié)果表明觸發(fā)閾值越大時(shí)，估計(jì)精度越低，閾值的增加使得一部分?jǐn)?shù)據(jù)通過預(yù)報(bào)進(jìn)行預(yù)測。

圖2 真實(shí)軌跡曲線與θ1=0.5時(shí)，DICIF算法曲線對比Fig.2 Comparison of real trajectory curve and DICIF algorithm with θ1=0.5

圖3 θ1=0.5時(shí)，DICIF算法事件觸發(fā)Fig.3 Event trigger status of DICIF algorithm with θ1=0.5

將DICIF算法與DCIF-WAC算法[29]、ET-DCIF-WAC算法[30]進(jìn)行了對比，結(jié)果見表2。由表2可見，DICIF算法的性能優(yōu)于ET-DCIF-WAC算法，本文提出的DICIF算法觸發(fā)率低于ET-DCIF-WAC算法，且RMSE值與ET-DCIF-WAC算法的RMSE值近似。

圖4 不同觸發(fā)閾值下，DICIF算法的RMSE的值Fig.4 Under different trigger thresholds, the RMSE value of DICIF

表1 不同閾值下節(jié)點(diǎn)3的通訊速率

表2 DICIF算法、DCIF-WAC算法、ET-DCIF-WAC算法性能對比

5 結(jié) 論

本文針對無線傳感器網(wǎng)絡(luò)，研究了基于新息觸發(fā)機(jī)制的非線性分布式共識狀態(tài)估計(jì)問題。將新息事件觸發(fā)機(jī)制引入基于加權(quán)平均共識的分布式CIF系統(tǒng)之中，提出了具有均方穩(wěn)定的DICIF算法，有效降低了通訊速率，提高了工作效率。仿真算例驗(yàn)證了該算法的有效性。為改進(jìn)現(xiàn)有復(fù)雜估計(jì)算法，節(jié)省資源提供了方向。