代云中，莊圣賢，李美容

（1.宜賓職業(yè)技術(shù)學(xué)院 智能制造學(xué)院，四川宜賓，644003；2.西南交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院，四川成都，611756）

0 引言

20世紀(jì)80年代Chua[1～3]通過物理的對稱性給出一種憶阻器，由于憶阻器具有非線性與記憶等特性，使得憶阻器在混沌系統(tǒng)[6～10]、阻變存儲器[5～6]、現(xiàn)場可編程邏輯門陣列[14,11]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[12]、保密通信[11]、電力電子[13,14]、圖像處理[11,12]和音頻信號[16]等方面有廣泛使用。近年來，國內(nèi)外學(xué)者研究了多種具有不同結(jié)構(gòu)的含有憶阻器的混沌電路[3～6,15-17]。LOChua等給出一種分段磁控憶阻器（Magnet-Controlled Memristor,MCM）替換chua系統(tǒng)中的二極管，得出了含有非線性MCM的chua混沌系統(tǒng)[3,6]。文獻(xiàn)[7]采用分段MCM并聯(lián)在Lorenz電容兩端[7]，給出一種含MCM的Lorenz混沌系統(tǒng)，然而分段函數(shù)是階躍變化的，難以在實際工程中實現(xiàn)。但是文獻(xiàn)[7]的研究表明，與傳統(tǒng)Loren相比，含MCM的Lorenz系統(tǒng)表現(xiàn)出了完全不同的非線性行為[7,16]。

由于現(xiàn)有工業(yè)產(chǎn)品中還無法造出憶阻器，為了研究含憶阻器的Lorenz系統(tǒng)的動力學(xué)行為。上述研究憶阻器使用比例積分（Proportional Integral，PI）電路、乘法器等搭建憶阻器的電路[5～9]。但是因為PI電路中積分漂移的作用，使憶阻器的輸出信號與真實的憶阻器有較大不同，進(jìn)而難以對含有憶阻器的混沌系統(tǒng)的真實動力學(xué)行為進(jìn)行研究[8～9,15～17]。

本文首先提出采用鏡像電流源的荷控憶阻器；接著將給出含荷控憶阻器的Lorenz混沌系統(tǒng)（Lorenz with Charge-Controlled Memristor, Lorenz -CCM）；最 后，對 Lorenz-CCM系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真和實驗驗證。

1 荷控憶阻器

惠普（HP）憶阻器是一種荷控憶阻器，由文獻(xiàn)[1]可知其憶阻值為：

式（1）中：

μv電子遷移率，則憶阻器的輸入電流i(t)和輸入電壓u(t)關(guān)系為[1]：

式(2)中φ(t)為磁通，q(t)為電荷。

當(dāng)取aq=1，bq=450，u(t)=sin(2πft)，f=50Hz時，可得：

將u(t)代入（3）式，進(jìn)行數(shù)值仿真可得憶阻器的u-i曲線，如圖1所示。從圖1中可知，呈現(xiàn)出一個斜“8”字形的緊磁滯回線，與Chua的荷控憶阻器具有一樣的u-i特性[6]。

圖1 u-i曲線

由(3)式的憶阻器數(shù)學(xué)模型，本文設(shè)計了一種基于鏡像電流源的荷控憶阻器，如圖2所示。

i(t)通過由N型(MN0～MN4)與P型金氧半場效晶體管(Metal-Oxide-Semiconductor Field-Effect Transistor, MOSFET) (MP0～MP4)構(gòu)建的鏡相電路后，分別流入到電容CT與電阻RT中，獲得CT的電壓VC=qc(t)/CT和RT的電壓i(t)×RT，qc(t)為CT的電荷。圖2中VDD和VSS分別為+5V和-5V。VC與i(t)×RT再經(jīng)過乘法器(AD633)后可得Vx為：

圖2 荷控憶阻器

Vx通 過（U2，U3，U4，r1，r2，r3，r4，r5，r6）組 成 的反相比例電路可得Vx1：

接著，通過圖2可知：

所以，在i(t)輸入下可知鏡像電流源荷控憶阻器v(t)和i(t)的關(guān)系為：

然后，當(dāng)aq=1，bq=450時，對照(3)式和(7)式，可計算出鏡像電流源荷控憶阻器的電路參數(shù)如表1所示。

表1 鏡像電流源荷控憶阻器仿真參數(shù)

根據(jù)圖2的電路結(jié)構(gòu)和表1的計算出的鏡像電流源荷控憶阻器電路參數(shù)，采用Pspice搭建電路對圖2中設(shè)計的荷控憶阻器進(jìn)行電路仿真。當(dāng)u(t)=sin(2πft)，f=50Hz時的電路仿真結(jié)果如圖3所示。圖3(a)、(b)、(c)分別為u(t)，i(t)和u-i特性曲線。從圖3中可知i(t)的相位滯后于u(t)。u-i曲線是一個斜“8”字形的類緊磁滯回線的特性，且關(guān)于中心原點對稱，不存在積分漂移特征。所以，仿真結(jié)果驗證了鏡像電流源荷控憶阻器電路設(shè)計的正確性。

圖3 鏡像電流源荷控憶阻器的電路仿真

2 含憶阻器的Lorenz電路

2.1 Lorenz電路

文獻(xiàn)[9]中的傳統(tǒng)Lorenz電路如圖4所示。

圖4 傳統(tǒng)Lorenz電路

其數(shù)學(xué)模型為[9]：

(8)式 中V1，V2，V3，分別為電容C1，C2，C3的電容電壓。

2.2 Lorenz-CCM電路

Lorenz-CCM如圖5所示，先將鏡像電流源荷控憶阻器與L串聯(lián)，再與C3并聯(lián)。Lorenz-CCM混沌電路與通常的Lorenz電路相比，增加了2個動態(tài)元件：iL和q，iL是電感L的電流，q是指鏡像電流源荷控憶阻器的內(nèi)部電荷。

圖5 Lorenz-CCM

由KVL定律和式（7）可知Lorenz-CCM的狀態(tài)方程為：

設(shè)x=V1，y=V2，z=V3，w=iL，k=q，

并定義非線性函數(shù)M(k)為：

則(9)式可重寫為：

所以，Lorenz-CCM是一個五維的一階微分方程，由式(11)可對Lorenz-CCM進(jìn)行相應(yīng)的演繹推導(dǎo)與MATLAB數(shù)值仿真。

2.3 混沌吸引子

選擇電路參數(shù)α=13；β=15；aq=1和bq=450，x0，y0，z0，w0，k0分別為狀態(tài)變量x，y，z，w，k的初始值。當(dāng)（x0，y0，z0，w0，k0）=（0.01，0，0，0，0.013）時，Lorenz-CCM在x-y，y-z和x-z平面的投影圖分別如圖6(a)～(c)所示，由圖可知Lorenz-CCM呈現(xiàn)出一個雙渦卷形狀的吸引子。

圖6 Lorenz-CCM混沌吸引子

通過Jacobi法計算出Lorenz-CCM系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)為：L1=1.0223，L2=-0.0205，L3=-0.0376，L4=-17.6417，L5=-42.1998，Lyapunov維數(shù)DL=3.0546，因此，Lorenz-CCM為分?jǐn)?shù)維。在y=0平面上四維龐加萊(poincare)映射z-w的相圖如圖7(a)所示，交點表現(xiàn)為有規(guī)律的密集點，且無法構(gòu)成閉合曲線，所以Lorenz-CCM為混沌態(tài)。

x，y，z，w，k隨時間t變化的波形如圖7(b)所示，由圖7可知x，y，z，w，k隨t變化的過程是非周期性的。因此，由相軌圖、poincare映射、時域圖和Lyapunov指數(shù)以及其維數(shù)，可知Lorenz-CCM是混沌的。

圖7 poincare映射曲線和時域圖

2.4 平衡點集與穩(wěn)定性

令式(11)的右邊等于零，即：

可得(12)式的平衡點集為：

從上述分析可知k軸上的點集都是平衡點，在此c為實常數(shù)。當(dāng)α=13；β=15；aq=1；bq=450和k=c，(11)式在平衡點處的Jacobi矩陣JE為：

平衡點集E的特征根方程：

當(dāng)令(15)式中括號的系數(shù)為：

令式（15）的根的實部小于零時，可得：

解得c＜0.00222。所以，當(dāng)式（15）中c＞0.00222時，平衡點集是不穩(wěn)定的。

2.5 對初始值的敏感性

當(dāng)α=13，β=15，aq=1與bq= 450時。且x，y，z，w，k的初始值(x0，y0，z0，w0，k0)=(0.01，0，0，0，0.013）時，x隨時間t變化的波形如圖8所示。當(dāng)x0僅相差0.000001，y0，z0，w0，k0保 持 不 變，x在t=11.8s后 截 然 不 同。當(dāng)x0=0.0130001時Lorenz-CCM的Lyapunov如圖9所示，由圖9可知Lorenz-CCM有一個大于零的Lyapunov指數(shù)。因此，Lorenz-CCM是混沌的。

圖8 不同x0時x的時域波形

圖9 x0=0.0130001系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜

3 動力學(xué)分析

3.1 初始條件為（0.01，0，0，0，0.013）時，參數(shù)α變化

當(dāng)β=15；aq=1和bq=450，且x，y，z，w，k的初始值(x0，y0，z0，w0，k0)=(0.01，0，0，0，0.013）時，α為可變狀態(tài)變量。利用Lyapunov指數(shù)譜、分岔圖和相軌跡圖對Lorenz-CCM進(jìn)行非線性行為分析。當(dāng)α增加時，最大Lyapunov指數(shù)譜和以y=0為龐加萊截面z的分岔圖分別如圖10(a)～(b)所示，對比圖10(a)和圖10(b)可知，最大Lyapunov指數(shù)與分岔圖是一致的，在α較大的變化范圍內(nèi)，Lorenz-CCM是呈混沌態(tài)的。

從圖10(b)可看到Lorenz-CCM通向混沌的道路，在Lorenz-CCM混沌帶中有多個周期軌道和擬周期軌道的窗口。表2列出了α變化范圍內(nèi)對應(yīng)的非線性行為。

圖10 α變化時動力學(xué)行為

表2 參數(shù)α區(qū)間及其對應(yīng)的非線性行為

圖11 呈現(xiàn)了Lorenz-CCM的周期、擬周期和混沌軌道。圖11(a)為α=2.00時，x-y呈現(xiàn)出的穩(wěn)定原點；圖11(b)為α=4.00時，x-y呈現(xiàn)出的穩(wěn)定極限環(huán)。圖11(c)呈現(xiàn)出了一個擬周期狀態(tài)；圖11(d)呈現(xiàn)出混沌態(tài)。

圖11 不同α?xí)r的x-y相平面

3.2 瞬態(tài)混沌現(xiàn)象

當(dāng)α=6.71時，Lorenz-CCM出現(xiàn)的瞬態(tài)混沌現(xiàn)象[3]如圖12所示，其瞬態(tài)混沌吸引子和穩(wěn)態(tài)周期極限環(huán)在x-y平面的相圖分別如圖12(a)和12(b)所示。x隨時間t變化的波形如圖12(c)所示，與通常的Lorenz不同的是，當(dāng)時間在0＜t＜34s時，Lorenz-CCM是混沌狀態(tài)。當(dāng)t＞34s時，Lorenz-CCM為穩(wěn)定的周期態(tài)。圖12(d)為Lorenz-CCM的最大Lyapunov指數(shù)，其在一定的范圍內(nèi)大于零，但是隨著t的增大而逐漸變?yōu)?。

圖12 瞬態(tài)混沌現(xiàn)象

4 Lorenz-CCM系統(tǒng)實現(xiàn)

由 圖7可 知，(x，y，z，w，k)的 數(shù) 值 完 全 大 于LM741、AD633的電源電壓。所以，可以將其減小一定的比例才能作為芯片的輸入，當(dāng)將x，y，z，w，k同時縮小10倍時，可得：

則Lorenz-CCM可重寫為：

根據(jù)式(18)，設(shè)計出的Lorenz-CCM電路如圖5所示，其狀態(tài)方程為：

將式(18)與式 (19)比較，可得：

由(20)式 可 得L=1H，C3= 1F。同時當(dāng)取表3的實驗參數(shù)時，再根據(jù)圖5設(shè)計的電路進(jìn)行實驗。

表3 實驗參數(shù)

V1-V2、V2-V3和V1-V3的 實 驗波形分別如圖13(a)～(c)所示，將圖13(a)～(c)與圖6(a)～(c)分別對應(yīng)比較后可知, 實驗結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果是一致的。因此，實驗結(jié)果驗證了Lorenz-CCM理論演繹與電路設(shè)計的正確性。

圖13 Lorenz-CCM的實驗波形

5 結(jié)束語

通過本文對含荷控憶阻器混沌電路的研究可得以下結(jié)論：

(1) 基于鏡像電流源的荷控憶阻器消除了現(xiàn)有運放憶阻器存在的積分漂移現(xiàn)象。

(2) Lorenz-CCM系統(tǒng)和其他混沌電路類似的特點：對狀態(tài)變量初始值變化的敏感性、確定性、有界性、難以預(yù)測、大于零的最大Lyapunov指數(shù)等特點。

(3) 與通常的Lorenz電路相比，Lorenz-CCM存在瞬態(tài)混沌現(xiàn)象且易于硬件電路實現(xiàn)，可在應(yīng)用于各種保密工程中。