江蘇灌南縣蘇州路實驗學(xué)校（222599） 毛國榮

近年來，針對概念教學(xué)的教研活動愈加頻繁，不少一線教師進行了堅持不懈的努力，也做出了艱苦的探索，總體來說有所進展。然而，一些重大關(guān)切的命題仍沒有取得突破性進展，如只重視通過直觀操作的過程和結(jié)果來概括規(guī)律，卻沒有從理論邏輯上真正推演；只習(xí)慣于用順向的“示例總結(jié)——規(guī)律方法”，卻很難見到用逆向的“規(guī)律方法——舉例說明”；只片面注重對概念的剖析，卻缺乏對相關(guān)概念橫向的對比勾連；只重視與概念有關(guān)的生活情境，卻很少將其他數(shù)學(xué)知識引進概念中，缺乏知識板塊的互融互通。本文就這四大誤區(qū)進行集中整理總結(jié)，并從理論上尋求破解之道。

一、只重操作，忽視理論

小學(xué)數(shù)學(xué)概念的形成過程至關(guān)重要，而一旦需要展示概念的形成過程，直觀演示便是首選，由此，動手操作就理所當(dāng)然成了熱門。但凡事過猶不及，如果只是片面追求動手操作，企圖從操作過程和結(jié)果中總結(jié)規(guī)律，而不從理論邏輯上推演，勢必會讓概念解讀變得表象化。這樣一來，學(xué)生只會對概念斷章取義，形成教條主義，進而喪失理性的邏輯推理能力。

例如，在教學(xué)“圓的性質(zhì)”時，有教師安排了兩個任務(wù)：①在圓形紙片上畫出半徑和直徑；②通過折疊、測量，探索半徑和直徑的關(guān)系。學(xué)生經(jīng)過直觀操作后得出結(jié)論：①在同一個圓或者大小相等的圓中，半徑（或直徑）都相等；②任意一個圓中，直徑和半徑的數(shù)量都是無窮的；③在同一個圓或者大小相等的圓中，直徑的長度都是半徑的2倍。

教師的設(shè)計初衷，是讓學(xué)生通過操作活動總結(jié)出圓的一系列性質(zhì)。直觀操作確實能讓學(xué)生親眼看出有關(guān)半徑和直徑的一些性質(zhì)，但是操作的過程是流水式的，只訓(xùn)練了學(xué)生的雙手，沒有訓(xùn)練到大腦。因此，在操作活動中，教師要引導(dǎo)學(xué)生手腦并用，設(shè)計步驟驅(qū)動學(xué)生深入思考，以手動帶動腦動。操作只是表象，思維才是核心，學(xué)生應(yīng)該在操作中有所體悟。為此，筆者對任務(wù)做出如下改編。

【改編后】①重溫圓的定義——當(dāng)一條線段繞它的一個端點在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點的軌跡就是一個圓（也可換種表述）；②從定義出發(fā)，推理出圓應(yīng)該具備什么基本性質(zhì)。

這樣一來，雖然取消了直觀的操作，但是加深了學(xué)生對圓的概念理解，還促進了學(xué)生的自主探索，讓學(xué)生從理論上探索圓的性質(zhì)。

精彩的操作活動不能徒有其表，如果設(shè)計的操作只顧著讓學(xué)生好玩，那學(xué)生就沒有動腦思考的過程，也不會經(jīng)歷反思內(nèi)省。改編后的任務(wù)，雖然沒有任何操作活動，但卻是緊扣圓的概念來設(shè)計的。有的數(shù)學(xué)活動脫離了直觀，反而能夠讓學(xué)生集中精力專心致志地進行理論研究。如重溫圓的定義時，學(xué)生可能會出現(xiàn)不同的表述，這代表了不同的理解方式，說明學(xué)生對概念理解不是死記硬背和機械復(fù)述。學(xué)生要做到言之有物、表達(dá)準(zhǔn)確、直擊關(guān)鍵，就必須先在心中對圓的概念有一個清晰的勾勒，默想出圓的所有要素和組織結(jié)構(gòu)，只有這樣，才能有話可說、言之鑿鑿。當(dāng)學(xué)生按自己的意愿說出圓的概念后，教師讓學(xué)生返回去推想圓的基本性質(zhì)，就是對學(xué)生構(gòu)想的一次檢驗和確認(rèn)。學(xué)生會重新審視、回顧并構(gòu)建圓的動態(tài)過程及幾何原理，進而推出圓具備的所有性質(zhì)。

二、只用順向，難見逆向

出示范例的方法有兩種。第一種是順向的“示例總結(jié)——規(guī)律方法”，即先向?qū)W生提供大量相同或相似的實例，包括正例和反例，然后概括出它們的共同特征，最后抽象出一個概念。第二種則是逆向的“規(guī)律方法——舉例說明”，即先給學(xué)生提出概念，然后呈現(xiàn)一些樣本，最后讓學(xué)生分辨和判斷，哪些屬于這個概念，哪些不屬于這個概念。然而，在數(shù)學(xué)中，有些概念如果只采用第一種方法教學(xué)，那么學(xué)生是很難完全掌握的。

例如，在教學(xué)“面積”的概念時，教師通常會采用第一種順向的方法，即先讓學(xué)生觀察并比較課本封面、桌面、黑板面、墻面，分出它們的大小，感受它們的存在形式，再讓學(xué)生通過觸摸對面積建立質(zhì)感，最后歸納出面積的概念。按照這種教法，教師安排了兩個任務(wù)：①對比圖1中兩個圖形面積的大?。虎趦蓚€圖形的面積分別指哪些部分？請用涂色表示。調(diào)查結(jié)果：全班49人，只有23人做對，正確率為46.9%。

圖1

為什么這樣一道基礎(chǔ)題，卻有超過一半的人做錯呢？學(xué)生體驗多了，材料也豐富了，為什么還是會將面積與周長混淆？究其根本，是因為學(xué)生沒有深入領(lǐng)會面積是圖形內(nèi)部包含的所有區(qū)域，而不是邊緣的擴張程度。筆者認(rèn)為，當(dāng)多數(shù)示例的特征與指向概念的內(nèi)涵難以達(dá)到吻合時，教師就要直接摒棄第一種方法，轉(zhuǎn)而啟用第二種方法，如果實在難以取舍，那就折中處理，將兩種方法融合。為此，筆者將任務(wù)進行了如下改編。

【改編后】①讓學(xué)生口述面積的概念（表述不清時，可以打開教材參考）；②描述一下指定物體的表面或者圖形的面積是指哪一部分？③通過對比辨析，嚴(yán)格區(qū)分面積和周長的界線。

如此一來，不僅能讓學(xué)生明白面積到底是指哪部分，還能與周長區(qū)分開來，加深了學(xué)生對面積的獨特印象，突出了生本教育理念。

面積和周長經(jīng)常被混淆，如果僅從大量示例中歸納出面積概念，是無法避開周長概念的負(fù)遷移的。因為在一系列面積的示例中總是伴隨著周長的影子，所以學(xué)生在觸摸面積大小時，總會在潛意識里注意到周長的存在，而且通過觸覺感知和抽象歸納得出的概念具有很強的模糊性，學(xué)生停留在一種似是而非、模棱兩可的意識狀態(tài)，具體也說不上什么是面積，導(dǎo)致一旦出現(xiàn)干擾條件，就立馬出錯的現(xiàn)象。改進后的任務(wù)，讓學(xué)生直接陳述面積概念，從內(nèi)涵上理解概念本質(zhì)，即先借助對概念的理性認(rèn)知，按圖索驥來尋找概念的外延——生活中物體的表面，然后再觀察和探究面積的實例，此時學(xué)生對面積概念有了一個全面且深入的把握，最后區(qū)分周長和面積就正合時宜。

三、只重剖析，不知對比

一般而言，每個概念呈現(xiàn)后，都有一個解讀環(huán)節(jié)。目前的現(xiàn)狀是，不少概念課只關(guān)注概念本身，忽視呈現(xiàn)與概念有橫向聯(lián)系的其他概念。

例如，在教學(xué)體積的概念時，有教師設(shè)計了如下教學(xué)片段。

師：請回顧“物體所占空間的大小，叫作物體的體積”這個定義，關(guān)鍵詞是什么？

生1：物體、空間、大小。

（教師按照學(xué)生說的圈出關(guān)鍵詞，學(xué)生朗讀，接著教師出示教材習(xí)題）

師：①一團橡皮泥，先捏成長方體，再捏成球，兩種物體哪個體積大？哪個體積?。竣谟妹稊?shù)相等的1元硬幣堆疊成不同形狀（如圖2），哪個體積大？請說出你的理由。

圖2

上述片段中，就對體積的理解方式而言，太拘泥于概念的文本含義，翻來覆去就是那幾個詞，缺乏橫向比較。這樣教學(xué)概念，略顯蒼白無力，也會導(dǎo)致學(xué)生對概念結(jié)構(gòu)的理解停滯不前，甚至?xí)铰犜胶浚铰犜铰槟?。教師?yīng)該幫助學(xué)生建立概念之間的橫向聯(lián)系，讓學(xué)生通過橫向?qū)Ρ葘ふ腋鱾€概念之間的異同，再通過對比辨析，加深對目標(biāo)概念的精準(zhǔn)定義。當(dāng)學(xué)生深刻掌握新概念之后，教師又可以將新概念反過來襯托舊概念，即將舊概念回爐重溫，從而拓寬學(xué)生的視野，讓學(xué)生將所有相關(guān)概念盡收眼底，連成知識網(wǎng)，構(gòu)建系統(tǒng)認(rèn)識。為此，筆者在上述任務(wù)的基礎(chǔ)上，增加了新的內(nèi)容。

【增加習(xí)題】③有人說：“立體圖形中體積與表面積的關(guān)系，就像平面圖形中面積與周長的關(guān)系。”你同意這種說法嗎？請用文字或圖畫說明你的理由。

通過研究，學(xué)生感悟到，周長是平面圖形邊界的長度；面積是邊界內(nèi)部容納的范圍；表面積是物體外表的伸張程度；體積是物體表面包含的空間范圍。如理解體積單位1立方厘米時，除了尋找對應(yīng)的實物，學(xué)生還應(yīng)將長度單位1厘米與面積單位1平方厘米拿來比較（如圖3），當(dāng)然，這種比較也可延后至學(xué)習(xí)了長方體的體積之后。這樣的學(xué)習(xí)，可以讓學(xué)生領(lǐng)會從長度到面積再到體積的變化是一個維度的不斷演變升級的過程，同時也能科學(xué)地解釋各單位的名稱制定，如為何面積單位是長度單位加“平方”前綴，而體積單位則是加“立方”前綴。

圖3

如果對概念的理解僅僅拘泥于目標(biāo)概念，那么學(xué)生的眼界就會非常狹隘，思維也會陷入定式，看問題就會片面而膚淺。如體積概念，其實簡簡單單一句話就可以將概念說清楚，但是這個概念又很深邃，不是隨隨便便透過字面意思就可以理解透徹的。此時，如果教師能夠?qū)Ⅲw積、長度和面積概念進行橫向?qū)Ρ?，那么學(xué)生理解概念的站位和角度就會大大提高，眼界開闊了，視野拓寬了，看問題自然就能全面深入。不僅如此，由于長度、面積、體積之間的維度關(guān)系，學(xué)生在理解體積概念時會自動與長度和面積概念進行對比，這樣一來，學(xué)生對體積概念的把握就會更加精準(zhǔn)和嚴(yán)謹(jǐn)。

四、只重聯(lián)系生活，不知聯(lián)系其他知識

“數(shù)學(xué)從生活中來，又到生活中去?！睌?shù)學(xué)的確來自生活，因為學(xué)生需要靠形象思維來理解數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)的確也可以應(yīng)用于生活，因為學(xué)生需要在應(yīng)用中找到數(shù)學(xué)的價值和存在感。這句話的本意沒錯，但是數(shù)學(xué)更應(yīng)該是思維的工具，是一切科學(xué)的理論工具。

例如，在教學(xué)“比的認(rèn)識”時，為了讓學(xué)生感受到“比”的實用性以及比與現(xiàn)實聯(lián)系的密切性，有教師設(shè)計了如下教學(xué)過程：①讓學(xué)生觀察并研究5張畫像的協(xié)調(diào)性（圖略，其中有3張畫像的長與寬之比相同）；②讓學(xué)生根據(jù)行程問題、計價問題引出比的概念；③讓學(xué)生根據(jù)圖片敘述奶茶的甜度與含糖量，引出奶茶質(zhì)量和所含糖量的比；④讓學(xué)生通過測量影長推測樹高的實踐活動；⑤師生一起歸納“比”的定義。

小結(jié)學(xué)習(xí)比的作用時，有的學(xué)生說“比”可以解決畫像協(xié)調(diào)與否的問題，有的學(xué)生說“比”可以用來間接測量旗桿、煙囪、信號塔等高大建筑物的高度……學(xué)習(xí)“比”如果只局限于眼前的生活，看似是應(yīng)用知識服務(wù)生活，其實與課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)的“應(yīng)用意識”背道而馳?！氨取钡木薮髢r值在于簡化和異化其他數(shù)學(xué)概念，如比和分?jǐn)?shù)的關(guān)系、比與除法的關(guān)系。比可以對分?jǐn)?shù)和除法的重合定義進行異化、擴充和彌補，分?jǐn)?shù)和除法不能解決的問題，用比可以解決；分?jǐn)?shù)和除法不便解釋的問題，用比可以解釋清楚。比不但可以表示除法運算以及部分與整體的配額情況，還可以表示兩個量的倍數(shù)關(guān)系和不同類量的比較關(guān)系。事實上，不同類的兩個量的關(guān)系在除法定義和分?jǐn)?shù)定義上都站不住腳，而引進比的概念，就可以打破這個壁壘。其實，比的價值遠(yuǎn)不止于此，小學(xué)階段的“比”其實還是“函數(shù)”的雛形。

數(shù)學(xué)概念的教學(xué)如果只是讓學(xué)生了解并記住概念，囫圇吞棗不加消化，那么完全可以只對文本進行膚淺解讀，再舉幾個示例就完成教學(xué)。然而，在這樣的教學(xué)模式下，學(xué)生對概念的理解是僵化且呆板的，一旦在練習(xí)中遇到稍復(fù)雜的題型，學(xué)生就會束手無策，因此，概念教學(xué)應(yīng)該開闊思路、創(chuàng)新方法。