江 蘇 南 京 市 南 灣 營 小 學（210049） 張春梅

江蘇南京市棲霞區(qū)教師發(fā)展中心（210028） 張明紅

心理學表明，練習是學習者對學習任務的重復接觸或重復反應，是人類心智技能和動作技能形成的基本途徑。因此，小學數(shù)學教材通常會在新授課的例題教學之后安排若干與之相匹配的練習。對于知識點較多或難度較大的內(nèi)容，新授課后還會安排專門的練習課作為補充和延伸，通過口答、計算、解答等多種方式，幫助學生進一步鞏固知識、加強技能、形成策略、拓展思維等。以蘇教版教材為例，一至六年級共安排168個“練習”，課時數(shù)多達180余節(jié)，占總課時的四分之一左右。

如何遴選練習課中的種子課并基于“至理數(shù)學”理念進行教學設計呢？我們選擇了若干“練習”進行比較、分析，發(fā)現(xiàn)這些“練習”的題目雖然因教學內(nèi)容的差異而不同，但其編排原則、題型題量、難度系數(shù)等卻大體相當，特別是一些內(nèi)容較多的單元，因為所包含的知識點高度關聯(lián)，其對應的“練習”編排也高度一致。因此，我們認為小學數(shù)學練習課的設計方法和教學模式可以大致相同。本文擬以蘇教版教材六年級上冊練習十為例，探索“至理數(shù)學”教學主張下練習課設計的通用路徑。

一、解讀：教材的安排意圖為何

數(shù)學教材中的“練習”往往有多道習題，這些習題既隱含著新授課的核心知識，又充滿變化，富有針對性、層次性和多樣性。教師唯有解讀教材編排每道習題的意圖，讀懂習題所承載的核心素養(yǎng)，才能更好地幫助學生鞏固和完善新授課的知識結構，使學生的思維能力得到提升和發(fā)展。

1.整體把握，聚焦核心素養(yǎng)

蘇教版教材六年級上冊的練習十是“按比例分配的實際問題”的相關練習，教材共安排了8道習題：其中第1～3題是配合例題安排的專項練習，用于幫助學生鞏固按比例分配實際問題的數(shù)量關系，提高運用新知解決實際問題的能力；第4～8題是綜合性比較強的習題，主要引導學生綜合運用比的有關知識解決實際問題，加深對按比例分配實際問題數(shù)量關系的理解，再次提升分析問題、解決問題的能力，發(fā)展應用意識。這8道習題思維空間廣闊，是發(fā)展學生核心素養(yǎng)的重要途徑。教師需要在深入分析每道習題的基礎上，挖掘習題的顯性和隱性功能，最大限度發(fā)揮習題的評價作用。在此基礎上，教師引導學生將蘊藏在習題中的知識聯(lián)系起來，使學生構建完整的認知結構。

2.新舊關聯(lián)，促進多元理解

數(shù)學理解與學生已有知識和生活經(jīng)驗緊密相關，在遇到新問題時，學生往往會主動調(diào)取舊知，先從外部感知新的研究對象，再利用新舊知識之間的聯(lián)系建立心理表象。練習是對舊知的鞏固、加深，也有拓展、延伸之功效，因此，厘清新舊知識的聯(lián)系是設計練習任務的基礎。

例如，“按比例分配的實際問題”練習的第4題“根據(jù)已知條件回答問題”，要求根據(jù)“母雞和公雞只數(shù)的比是4∶3”解答“母雞的只數(shù)是公雞的幾分之幾”“公雞的只數(shù)是母雞的幾分之幾”，根據(jù)“男生和全班人數(shù)的比是5∶11”解答“男生和女生人數(shù)的比是幾比幾”“男生人數(shù)是女生的幾分之幾”“女生人數(shù)是男生的幾分之幾”。已知條件猶如一個觸發(fā)器，引導學生推想出其他數(shù)量關系，以加深學生對比的意義的理解并進一步溝通比與分數(shù)之間的聯(lián)系，為靈活運用比和分數(shù)等知識解決相關問題打好基礎。第5題也是如此，它讓學生根據(jù)直角三角形中兩個銳角度數(shù)的比是3∶2推算銳角度數(shù)，將三角形角的知識點與按比例分配實際問題進行關聯(lián)，這是對按比例分配實際問題解題方法的鞏固，有助于學生加深對直角三角形角的特征的認識，體會按比例分配實際問題的多樣性。

當然，在基于學生的認知最近發(fā)展區(qū)和前數(shù)學經(jīng)驗進行教學活動設計時，必須精準、恰當，否則學生對新知的理解仍會難以深入。

3.縱向?qū)Ρ龋喊l(fā)展多方思維

思維品質(zhì)是數(shù)學思維研究的重要內(nèi)涵，數(shù)學練習對提高學生的思維品質(zhì)，特別是增強思維的深刻性、清晰性、嚴密性、靈活性、綜合性和創(chuàng)新性等，具有重要作用。基于“至理數(shù)學”的練習課設計，要求教師反復比對題型相似的習題。

例如，“按比例分配的實際問題練習”的第6題“配置一種藥液，藥粉和水的質(zhì)量比是1∶40”，先求“400克藥粉需加水多少克”，再求“400克水中應加藥粉多少克”。雖然都是400克，但第一個400克是藥粉，對應1份，第二個400克是水，對應40份。結合兩個量的比去理解具體量所對應的份數(shù)，對“已知兩個量的比和其中一個量，求另一個量”的實際問題的解題思路，學生會把握得更為精準。第7題“校園里玫瑰和月季棵數(shù)的比是3∶5”，先求“如果玫瑰和月季一共有120棵，這兩種花各有多少棵”，再求“如果月季有120棵，玫瑰有多少棵”?？瓷先ズ偷?題相似，但仔細分析會發(fā)現(xiàn)：第一個120棵是玫瑰和月季的棵數(shù)總和，求的是兩個部分量；第二個120棵是月季的棵數(shù)，求的是另一個量。這樣的對比練習有助于學生從整體上把握按比例分配實際問題的結構特點，形成分析、推理、比較等思維習慣。

與前幾題相比，第8題的現(xiàn)實性和綜合性更強，本題分三小題：（1）這種混凝土的三種材料是按怎樣的比配制的？（2）要配置120噸這樣的混凝土，三種材料各需要多少噸？（3）如果這三種材料各有18噸，配置這種混凝土，當黃沙全部用完時，水泥還剩多少噸？石子已經(jīng)增加了多少噸？第（1）題和第（2）題是基本題，相對容易，第（3）題中三種材料都有18噸，學生可能會弄不清18噸對應的究竟是2份、3份，還是5份。這樣的對比練習，對培養(yǎng)學生分析、推理、比較等思維和綜合解決問題能力也大有益處。

二、設計：理學案怎樣編制

理學案是“至理數(shù)學”教學主張落地的課堂教學載體，一份完整的理學案包括教材分析、學情調(diào)研、理學目標、理學歷程四個核心要素。其中理學歷程是記錄教師“怎么教”、學生“怎么學”的檔案，也是理學案編制中難度最大、綜合程度最強的部分，特別是“主題研究”，作為專供學生自主研究的學習單（通常叫作理學單），它不僅要提供由理學目標分解、提煉而來的研究任務，而且要準確記錄學生自主學習過程中的所思、所想、所為。

根據(jù)“至理數(shù)學”要求，每個課時的理學單通常要根據(jù)教學內(nèi)容設計出四個研究任務，引領學生尋本質(zhì)、講道理，會關聯(lián)、能應用。按比例分配的實際問題練習課也是如此（如表1），它以兩大主題研究帶領學生逐步逼近按比例分配的實際問題的本質(zhì)。學生在分析問題的過程中逐漸明確按比例分配實際問題的思路，歸納不同問題的相同本質(zhì)，概括出解決問題的方法，從而會關聯(lián)和應用。

表1 “按比例分配的實際問題”練習理學單設計

由表1可知，研究1-1的設計原型就是教材中的第4題。第（1）題雖然只保留了“母雞和公雞只數(shù)的比是4∶3”這一個條件，但留給學生的思考空間更加廣闊，學生可以關聯(lián)分數(shù)和比之間的關系，也可以突破公雞和母雞兩種量之間的關系，思維的“觸角”延伸到總量和差量。第（2）題是讓學生自己補充一個條件計算公雞的只數(shù)，體現(xiàn)了對學生個體差異的尊重，讓不同層次的學生根據(jù)自己能力水平選擇不同層次的解題思路，這是“至理數(shù)學”兒童立場的回歸。研究1-1是對教材習題進行了改頭換面，研究1-2則是尊重教材，采用了教材的第5～7原題，只是在解決要求上有所調(diào)整。因為這幾道習題本身就非常好，特別是在訓練學生認真審題和靈活把握按比例分配實際問題的數(shù)量關系方面，考查得細致且全面。研究2-1是以課前收集的好題、易錯題為研究對象，要求學生分組討論這些習題好在哪里、哪里易錯。顯然，這樣的處理方式和研究1-2類似，不要求學生逐題完整計算和解答，但對辨析、說理的要求更高。研究2-2是根據(jù)教材第8題改編而來，舍去第一小題，保留第二小題，改編第三小題，增加了一個小題，給學生提供了選擇學習材料的機會。

本課中，四個不同的“主題研究”任務按照“尋找方法—嘗試轉化—拓展應用”的思路由淺入深，層層推進：“尋本質(zhì)·講道理”側重新知的探索、建構，“會關聯(lián)·能運用”更關注知識的關聯(lián)、運用以及學生的思維是否得到進階。

在理學歷程中，學習活動要有層次、有梯度，不同的主題研究任務，以及同一主題內(nèi)的新知建構任務和關聯(lián)運用任務，都必須遵循學生的認知規(guī)律，循序漸進、螺旋上升。

三、實施：既定目標是否達成

“至理數(shù)學”要求理學目標應在教材分析、學情調(diào)研的基礎上擬定，理學目標是研究任務設計的依據(jù)，也是在學生經(jīng)歷學習活動后檢驗目標是否達成的標準。

1.講清道理，鞏固所學

講清數(shù)學道理是學習數(shù)學的重要方法，它貫穿學習全過程，適用于所有的課型。練習課中，教師要善于設計直擊數(shù)學學科本質(zhì)的練習任務，幫助學生進一步領會、鞏固、理解新學知識和技能，提高分析問題和解決問題的能力。以下是本課研究1-1的教學片段。

師：根據(jù)“母雞和公雞只數(shù)的比是4∶3”，你能想到哪些比或分數(shù)？

生1：公雞和母雞只數(shù)的比是3∶4，公雞的只數(shù)是母雞的

生2：母雞只數(shù)和總只數(shù)的比是4∶7，公雞只數(shù)和總只數(shù)的比是3∶7。

生3：母雞比公雞多的只數(shù)是公雞的公雞比母雞少的只數(shù)是母雞的也可以用比表示，母雞比公雞多的只數(shù)和公雞的只數(shù)比是1∶3，公雞比母雞少的只數(shù)和母雞只數(shù)的比是1∶4。

生4：母雞比公雞多的只數(shù)是總只數(shù)的

師：我們剛剛想到的分數(shù)或比，分別表示哪些量之間的關系？

生5：3∶4和都是母雞只數(shù)和公雞只數(shù)這兩個量之間的關系。

生6：4∶7，3∶7，7∶3，7∶4等，表示母雞或公雞其中一個量和總量之間的關系。

生7：1∶3，1∶4等，表示母雞與公雞的差和其中一個量之間的關系是母雞與公雞的差和總量之間的關系。

沒有了原題中給定問題的束縛，學生思維可以突破“兩種量”“分數(shù)關系”，自由地向著“多種量”“多種關系”延伸。因為這些分數(shù)和比都是學生自主思考所得，所以他們在給出數(shù)據(jù)的同時會自然而然地做出解釋。我們認為，這種解釋就是對“用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界”的最好詮釋。

2.加深理解，形成策略

山東師范大學楊澤中教授做過一項關于數(shù)學理解的調(diào)查研究，他認為數(shù)學理解的過程起始于積極主動的探索，關鍵在于新舊知識之間的縱向聯(lián)系和橫向聯(lián)系?！爸晾頂?shù)學”教學主張?zhí)貏e注重將兒童置于恰當?shù)膶W習情境中，使其借助已有知識和經(jīng)驗，通過自主研究，主動建構新知，加深數(shù)學理解。仍以本課研究1-1的教學片段為例。

師：根據(jù)“母雞和公雞只數(shù)的比是4∶3”，補充一個條件，算出公雞的只數(shù)。

生1：我補充“一共有70只雞”。用70÷7×3算出公雞有30只。

生2：我補充“母雞有20只”。母雞是4份，用20÷4×3算出公雞有15只。

生3：我補充“母雞比公雞多30只”。用30÷（4-3）×3，算出公雞有90只。

師：能把你們補充的條件分分類嗎？

……

與教材相比，此設計是做了加法，旨在讓學生將前面梳理的數(shù)量關系與解決問題迅速關聯(lián)。雖然補充條件、解決問題、方法歸類等任務均有一定的開放性或挑戰(zhàn)性，但根據(jù)已有經(jīng)驗，學生能很容易想到補充兩種雞的總只數(shù)、母雞只數(shù)或兩種雞的相差數(shù)，而根據(jù)補充條件對解決方法進行歸類，也在學生能力范圍之內(nèi)，所以整個學習過程不僅加深了學生對按比例分配的理解，還讓解決按比例分配實際問題的方法策略水到渠成。

3.發(fā)展理性，開拓思維

美國數(shù)學家克萊因認為數(shù)學是一種理性。追求數(shù)學理性有助于學生感受理性思維的力量，提高思維的抽象性、概括性、嚴謹性、深刻性、批判性。培養(yǎng)數(shù)學理性不僅要關注學生的數(shù)學抽象和推理能力，還應重視其質(zhì)疑能力的養(yǎng)成，特別是遇到困惑或似是而非的問題時，鼓勵學生敢批判、勇質(zhì)疑。以本課研究2-1教學片段為例。

師：這幾道題是易錯題嗎？如果是，是哪里容易出錯？

生1：第①題是易錯題。因為看到長方體的棱長總和是120厘米，長、寬、高的比是5∶3∶2，很多同學會直接用棱長總和除以長、寬、高的份數(shù)和。其實長方體的棱長總和包含了4條長、4條寬、4條高，應先用120÷4得到1條長、1條寬、1條高的和，再按5∶3∶2的比例分配。

生2：第③題也是易錯題。等腰三角形相鄰兩條邊的長度比是2∶5，會讓人誤以為三角形三條邊的長度比是2∶2∶5，就用腰長10厘米除以2再乘總份數(shù)9去算周長。這樣是忽略了“三角形兩邊之和大于第三邊”的性質(zhì)，所以三條邊的長度比應該是2∶5∶5，腰是5份，用腰長10厘米除以5再乘總份數(shù)12，得到的數(shù)才是正確的周長。

生3：第②題也是易錯題，這道題很容易找錯20千米對應的份數(shù)。兩輛車在距離中點20千米處相遇，說明兩車的路程相差2個20千米，所以應該用40千米除以對應的份數(shù)先算出一份是多少，再乘總份數(shù)，得到兩地的距離。

……

上述片段中，學生分析的易錯題極有可能就是他們自己遇到過或出過錯的，再次回顧和分析“哪里易錯”“怎樣改正”，是學生完成自我糾錯、防錯的絕佳時機。分析這些題目的易錯點猶如在和過去的自己對話，不論是提醒他人還是告誡自己，都讓學生的高階思維在自然而然中獲得良好發(fā)展。

可見，練習課不只是練，隱藏在解決問題背后的理性思考更重要。學生經(jīng)歷了一段時間的練習后，需要暫停做題腳步，進行適度的整理和反思，如回看相關問題哪里易錯，應該怎樣解決，還可以怎樣解決等。唯有方向正確、思路清晰，理性思維才能得以發(fā)展，核心素養(yǎng)的培養(yǎng)也才能落實。

綜上所述，“至理數(shù)學”視域下的練習課堅守兒童立場，回歸學科本質(zhì)，通過解讀、設計、實施三個步驟引領學生講清道理、加深理解、發(fā)展理性，讓“練”“思”交融、“習”“表”相映，促進學生核心素養(yǎng)的發(fā)展。