◆北京市第三十五中學(xué) 王霞 王正陽 圖/圖蟲創(chuàng)意

從秋千到老式鐘表的鐘擺，從日出日落到潮漲潮落，周期性變化的事物比比皆是。單擺就是這樣一個具有周期性的物理模型，而最值得關(guān)注的、在生產(chǎn)生活中最有意義的是單擺的振動周期。

看似簡單的振動，其周期的準(zhǔn)確表達(dá)式卻極其復(fù)雜。在教科書上，單擺小角度振動周期公式其應(yīng)用在大角度振動時并不準(zhǔn)確。能否找到一個合適的大角度振動周期的近似公式呢？

為解決這個問題，本文綜合計算機模擬實驗與回歸分析，得到了一個估計效果較好的、大角度單擺振動周期的近似公式。

一、基本思路與研究目標(biāo)

我們在一本物理教材上偶然看到單擺振動周期公式，并發(fā)現(xiàn)其備注為：只適用于小角度振動。這個公式說明，單擺在小角度振動下的周期只與擺長和當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣扔嘘P(guān)，與初始擺角無關(guān)。為什么只適用于小角度振動？

帶著疑問，我們對單擺進(jìn)行了受力分析，并建立了微分方程，一探究竟。

圖1 單擺的受力分析

圖2 單擺運動的周期

在求解方程中，計算到一個積分式便進(jìn)行不下去了。我們想到了“只適用于小角度振動”，便沒有放棄，又對被積函數(shù)在進(jìn)行小角度下的泰勒展開，在略去一些項后，順利得到了教科書上的單擺周期計算公式，感到茅塞頓開。緊接著便思考：能否把這個公式推廣到更大的振動角度？這需要對那個難解的積分式進(jìn)行研究。在查閱資料后得知，那個積分式是橢圓積分，用通項公式極難計算。

在信息課上，我們了解到回歸分析的內(nèi)容。通過回歸分析，就能將許多具有一定關(guān)聯(lián)的大量統(tǒng)計數(shù)據(jù)擬合出一個合適的函數(shù)，相當(dāng)于用已知數(shù)據(jù)去“反向破解”產(chǎn)生數(shù)據(jù)的“黑盒子””的過程。

如果我們能獲得大量橢圓積分的數(shù)據(jù)，便能“反向破解”出一個方便計算的擬合函數(shù)。我們還可以讓計算機進(jìn)行大量計算，得到橢圓積分的數(shù)據(jù)。

二、獲取數(shù)據(jù)

（一）純數(shù)學(xué)思路的嘗試

要得到大量的橢圓積分?jǐn)?shù)據(jù)，數(shù)學(xué)上的思路是直接利用橢圓積分的表達(dá)式，并通過逼近法求定積分。但橢圓積分是反常積分，即在邊界值處被積函數(shù)會迅速增大，導(dǎo)致計算機處理困難，難以得到較準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)。純數(shù)學(xué)思路在這里行不通。

（二）物理思路與計算機模擬實驗程序設(shè)計

在理論推導(dǎo)過程中，我們已經(jīng)知道橢圓積分Φ(θ0)和單擺運動半周期

周期是一個物理過程，可使用計算機模擬單擺振動這個物理過程得到，所以利用物理思路能解決這個問題。模擬實驗程序流程如圖3。

圖3 模擬實驗流程圖

（三）程序運行

部分輸出結(jié)果如表1（共1570個數(shù)據(jù)）。

表1 部分輸出數(shù)據(jù)

三、數(shù)據(jù)處理

（一）回歸分析

運行程序得到初始角度θ0與Φ之間的數(shù)值關(guān)系，共1570個數(shù)據(jù)點。將其輸入到EXCEL中，并繪制θ0與Φ之間的散點圖。

圖4 數(shù)據(jù)散點圖（截圖）

觀察Φ(θ0)圖像的類型大致為類型的圖像。因此，選用指數(shù)函數(shù)進(jìn)行非線性回歸。得到關(guān)系式0.103 9。

決定系數(shù)R2=0.930 6，代表擬合較好。但此時的和數(shù)值較難應(yīng)用于實際計算，于是對估計值進(jìn)行修正。

圖5 指數(shù)非線性回歸擬合（截圖）

（二）誤差分析

圖 6 估計值與真值對比（截圖）

（三）近似公式的確定

該式較簡單，方便計算，并且能夠較好地估計大角度單擺振動周期。

四、創(chuàng)新點

（一）實用性

本研究為大角度單擺振動周期的計算提供了一個較簡單、方便計算并且估計效果好的近似公式。

（二）學(xué)科交叉

本研究從理論分析出發(fā)，基于物理過程創(chuàng)造性地提出了使用計算機模擬實驗的方法獲得實驗數(shù)據(jù)，并使用非線性回歸得出大角度單擺振動周期的近似公式。探究過程涉及數(shù)學(xué)分析、物理、統(tǒng)計學(xué)等多個學(xué)科，為學(xué)科交叉解決復(fù)雜問題提供了思路。