柴源，羅建軍，王明明

1. 西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，西安 710072

2. 西北工業(yè)大學(xué) 航天飛行動(dòng)力學(xué)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710072

為了滿足深空探測(cè)、戰(zhàn)略偵察等未來(lái)空間任務(wù)的需求，諸如空間望遠(yuǎn)鏡[1]、大型通信天線[2]等大型空間設(shè)施的建設(shè)至關(guān)重要。然而，大型空間設(shè)施的大體積、大跨度特征限制了利用運(yùn)載工具以獨(dú)立單元發(fā)射的可能[3]。為了解決這一難題，研究人員提出了在軌裝配的大型空間設(shè)施構(gòu)建方式，即在空間中進(jìn)行裝配結(jié)構(gòu)的搬運(yùn)和組裝[4]。美國(guó)鳳凰計(jì)劃項(xiàng)目[5]和德國(guó)在軌衛(wèi)星服務(wù)和裝配的智能建造模塊(iBOSS)項(xiàng)目[6]等研究表明，利用一些低成本的微小衛(wèi)星與裝配結(jié)構(gòu)形成組合體，通過(guò)互相協(xié)同將裝配結(jié)構(gòu)搬運(yùn)至裝配主體結(jié)構(gòu)附近的期望位置，遞交給裝配機(jī)器人進(jìn)行安裝，是空間在軌自主裝配的重要方式。然而，多星協(xié)同搬運(yùn)過(guò)程的軌道轉(zhuǎn)移過(guò)程中存在如下挑戰(zhàn)：① 微小衛(wèi)星在行為上存在協(xié)同需求；② 微小衛(wèi)星在控制過(guò)程中存在多種約束；③ 微小衛(wèi)星的星載資源寶貴且有限。

多星協(xié)同搬運(yùn)涉及到微小衛(wèi)星間的協(xié)同。目前，大多數(shù)多星協(xié)同的研究是面向編隊(duì)和集群任務(wù)。中心式協(xié)同控制通過(guò)中心衛(wèi)星進(jìn)行衛(wèi)星狀態(tài)的收集、控制指令的解算和分發(fā)[7]，而分布式協(xié)同控制通過(guò)每個(gè)個(gè)體進(jìn)行局部信息的感知和獨(dú)立的控制計(jì)算[8]，來(lái)實(shí)現(xiàn)多微小衛(wèi)星的長(zhǎng)期在軌飛行。然而，不同于編隊(duì)、集群任務(wù)中的每個(gè)微小衛(wèi)星能夠獨(dú)立飛行，多星協(xié)同搬運(yùn)任務(wù)的多微小衛(wèi)星與裝配結(jié)構(gòu)固連，在動(dòng)力學(xué)上存在輸入耦合。針對(duì)此類問(wèn)題，傳統(tǒng)集中式方法是結(jié)合單剛體航天器控制和控制分配來(lái)得到每個(gè)微小衛(wèi)星的控制量。Han等[9]針對(duì)多星協(xié)同姿態(tài)接管控制問(wèn)題，首先利用自適應(yīng)控制方法進(jìn)行總控制力矩解算，之后將力矩分配描述為二次規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)行求解。為避免將計(jì)算負(fù)擔(dān)集中在中心節(jié)點(diǎn)上，Chang等[10]研究了基于市場(chǎng)法的分布式控制分配方法。由于傳統(tǒng)方法均要求中心節(jié)點(diǎn)進(jìn)行總控制量解算，當(dāng)中心節(jié)點(diǎn)出現(xiàn)故障時(shí)，整個(gè)協(xié)同任務(wù)會(huì)失效，因此其容錯(cuò)性差。微分博弈提供了一種交互式?jīng)Q策框架，其中，基于博弈系統(tǒng)的整體動(dòng)力學(xué)模型，每一位參與者通過(guò)對(duì)各自局部目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化獲得控制策略[11]。這是解決多智能體協(xié)同的一種有效思路，已廣泛應(yīng)用各種工程問(wèn)題中，如編隊(duì)飛行[12]、軌跡規(guī)劃[13]、空間突防[14]、多微小衛(wèi)星接管失效目標(biāo)[15]。通過(guò)將裝配結(jié)構(gòu)的多星協(xié)同搬運(yùn)問(wèn)題描述為多個(gè)微小衛(wèi)星間的微分博弈，各個(gè)微小衛(wèi)星可獨(dú)立優(yōu)化各自局部目標(biāo)函數(shù)來(lái)獲得控制策略，避免控制分配以提高容錯(cuò)性。

然而，在多星協(xié)同搬運(yùn)過(guò)程中需要考慮控制幅值約束以及為避免干擾姿態(tài)的力矩約束，這使得博弈的納什均衡求解變得復(fù)雜。典型求解微分博弈問(wèn)題的方法是基于動(dòng)態(tài)規(guī)劃法將原二次型博弈問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一組耦合的哈密爾頓-雅可比 (HJ) 方程進(jìn)行求解，無(wú)法處理約束[16]。Zhang等[17]對(duì)二次型形式的局部目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，并利用強(qiáng)化學(xué)習(xí)算法逼近HJ方程的數(shù)值解得到納什均衡策略，能夠有效處理控制幅值約束。但是該方法要利用大量的數(shù)據(jù)進(jìn)行在線學(xué)習(xí)，較為耗時(shí)。韓楠等[18]將帶有控制幅值約束的微分博弈問(wèn)題轉(zhuǎn)化為約束優(yōu)化問(wèn)題，在通信達(dá)到一致的全局態(tài)勢(shì)感知后，各個(gè)微小衛(wèi)星均在各自的處理器上進(jìn)行全局約束優(yōu)化問(wèn)題的求解。雖然該方法可以處理約束，但全局約束優(yōu)化問(wèn)題的計(jì)算復(fù)雜性高，各個(gè)微小衛(wèi)星的計(jì)算負(fù)擔(dān)重；而且該方法求得的是一種開(kāi)環(huán)控制策略，魯棒性差。進(jìn)一步，韓楠[19]設(shè)計(jì)了基于模型預(yù)測(cè)控制的分布式納什均衡求解方法，能夠有效實(shí)現(xiàn)對(duì)控制幅值約束的處理。相較于全局優(yōu)化方法[18]，該方法將計(jì)算負(fù)擔(dān)分布在各微小衛(wèi)星之間，減輕計(jì)算壓力；且該方法是閉環(huán)控制策略，魯棒性較好。然而，該方法無(wú)法直接解決本文問(wèn)題。一方面該方法需要在每個(gè)采樣時(shí)刻多次通信獲取其他微小衛(wèi)星的策略并迭代求解納什均衡，通信負(fù)擔(dān)重，計(jì)算實(shí)時(shí)性要求較高。另一方面，該方法僅考慮了微小衛(wèi)星各自解耦的控制幅值約束，無(wú)法直接處理多星協(xié)同搬運(yùn)中微小衛(wèi)星之間耦合的力矩約束。

本文針對(duì)多星協(xié)同搬運(yùn)過(guò)程中的軌道轉(zhuǎn)移控制問(wèn)題，為滿足多種控制約束以及減少星上通信消耗，提出了脈沖推力下的預(yù)測(cè)博弈控制方法。在多星協(xié)同方面，以相對(duì)軌道動(dòng)力學(xué)為模型、以控制精度和能量消耗的二次型為局部目標(biāo)函數(shù)構(gòu)建多星博弈問(wèn)題，個(gè)體能夠通過(guò)局部目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化獲得控制策略，避免了傳統(tǒng)集中式方法所需的控制分配，提高了方法的容錯(cuò)性；在控制約束處理方面，以模型預(yù)測(cè)控制為框架構(gòu)建預(yù)測(cè)時(shí)域上的優(yōu)化問(wèn)題，便于對(duì)約束的顯式處理，將耦合的力矩約束從絕對(duì)約束轉(zhuǎn)化為目標(biāo)約束再處理，便于微小衛(wèi)星分布式逼近納什均衡策略；在星載資源的利用上，引入脈沖推力形式并將其與控制幅值約束合并描述為存在周期及幅值限制的力約束，使得微小衛(wèi)星僅在脈沖施加時(shí)刻進(jìn)行分布式控制策略求解，降低了控制更新次數(shù)和通信次數(shù)，節(jié)省了燃料消耗。

1 問(wèn)題描述

為了實(shí)現(xiàn)裝配結(jié)構(gòu)的搬運(yùn)，多個(gè)微小衛(wèi)星利用自己的執(zhí)行機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)對(duì)裝配結(jié)構(gòu)的軌道和姿態(tài)控制。假設(shè)微小衛(wèi)星能夠通過(guò)飛輪的控制保持裝配結(jié)構(gòu)的姿態(tài)穩(wěn)定，本文重點(diǎn)研究多個(gè)微小衛(wèi)星的軌道轉(zhuǎn)移控制問(wèn)題。圖1給出了多個(gè)微小衛(wèi)星協(xié)同搬運(yùn)的示意圖，其中，微小衛(wèi)星在除了與裝配結(jié)構(gòu)相接的面以外的每個(gè)面均安裝有推力器。

本文為滿足多種控制約束以及減少星載資源消耗，進(jìn)行了脈沖推力下的預(yù)測(cè)博弈控制方法設(shè)計(jì)。首先，通過(guò)多星協(xié)同搬運(yùn)軌道動(dòng)力學(xué)的構(gòu)建、局部目標(biāo)函數(shù)的設(shè)計(jì)以及考慮脈沖推力的力約束和力矩約束的描述，建立多星協(xié)同搬運(yùn)的博弈模型；其次，基于模型預(yù)測(cè)控制思想，通過(guò)對(duì)博弈模型進(jìn)行離散化和連續(xù)迭代得到預(yù)測(cè)時(shí)域下的多約束多星博弈模型；最后，通過(guò)對(duì)上述模型的解耦處理得到僅優(yōu)化微小衛(wèi)星自身策略的二次規(guī)劃問(wèn)題，并通過(guò)預(yù)測(cè)博弈控制算法的設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)均衡策略的逼近。

圖1 微小衛(wèi)星協(xié)同搬運(yùn)示意圖

所涉及的坐標(biāo)系定義如下：

1) Clohessy-Wiltshire-Hill(CWH)坐標(biāo)系Ocxcyczc。該坐標(biāo)系以期望位置為原點(diǎn)，xc軸沿軌道徑向，yc軸垂直于xc軸指向前，zc軸由右手定則確定。

2) 微小衛(wèi)星本體坐標(biāo)系Oixiyizi。該坐標(biāo)系以微小衛(wèi)星的質(zhì)心為原點(diǎn)，微小衛(wèi)星的3個(gè)慣量主軸分別為坐標(biāo)軸xi、yi、zi。設(shè)微小衛(wèi)星與搬運(yùn)結(jié)構(gòu)的相接面與+zi垂直，則微小衛(wèi)星只能沿±xi、±yi和+zi方向產(chǎn)生推力。

3) 組合體本體坐標(biāo)系Obxbybzb。該坐標(biāo)系以組合體的質(zhì)心為原點(diǎn)，其坐標(biāo)軸與任一微小衛(wèi)星的慣性主軸平行。

2 多星協(xié)同搬運(yùn)的博弈建模

為了實(shí)現(xiàn)微小衛(wèi)星控制策略的獨(dú)立優(yōu)化，本節(jié)基于動(dòng)力學(xué)模型的建立、局部目標(biāo)函數(shù)的設(shè)計(jì)以及多種約束的表述，將多星協(xié)同搬運(yùn)問(wèn)題建模為多約束多星博弈。其中，脈沖推力被描述在力約束中。

2.1 協(xié)同搬運(yùn)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

考慮包含N個(gè)微小衛(wèi)星的協(xié)同搬運(yùn)系統(tǒng)。微小衛(wèi)星按順序標(biāo)記為1，2，…，N，并假設(shè)微小衛(wèi)星之間的通信拓?fù)涫菬o(wú)向連通結(jié)構(gòu)。由于組合體的初始位置和期望搬運(yùn)位置之間的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于軌道半徑，因此組合體相對(duì)于期望位置的軌道運(yùn)動(dòng)可由CWH方程描述

(1)

2.2 多星博弈建模

面向多星協(xié)同搬運(yùn)的需求，將多個(gè)微小衛(wèi)星視為博弈參與者，通過(guò)各個(gè)微小衛(wèi)星的決策互動(dòng)進(jìn)行策略優(yōu)化。為實(shí)現(xiàn)期望位置的接近，每個(gè)微小衛(wèi)星的局部目標(biāo)函數(shù)定義為

(2)

微小衛(wèi)星在力施加過(guò)程中可能會(huì)產(chǎn)生力矩，對(duì)組合體姿態(tài)運(yùn)動(dòng)造成不必要的擾動(dòng)。為了在搬運(yùn)過(guò)程中不改變裝配結(jié)構(gòu)的姿態(tài)，要求所有微小衛(wèi)星產(chǎn)生的合力矩為零,即

(3)

式中：rbi為組合體質(zhì)心指向微小衛(wèi)星質(zhì)心Oi的矢量，右上角標(biāo)a×表示叉乘運(yùn)算。該力矩約束為耦合約束。

圖2 脈沖推力示意圖[20]

為了提高燃料利用率和減少通信及計(jì)算次數(shù)，采用脈沖推力形式[20]，其具體形式如圖2所示。軌道運(yùn)動(dòng)由多個(gè)脈沖周期組成，每個(gè)脈沖周期包括一個(gè)脈沖作用段和一個(gè)自由運(yùn)動(dòng)段。脈沖作用時(shí)間為一個(gè)采樣周期τ，且脈沖幅值限制為umax。自由運(yùn)動(dòng)段為相鄰2個(gè)脈沖推力之間沒(méi)有推力作用的時(shí)間段。一個(gè)脈沖周期時(shí)長(zhǎng)為T(mén)=nτ，其中n為一個(gè)脈沖周期的采樣次數(shù)。首先，脈沖推力只在脈沖作用段施加，且具有控制幅值限制

(4)

ui(t)=03×1, ?t∈[twn+1,t(w+1)n)

(5)

式中：twn+1為第w個(gè)脈沖周期的自由運(yùn)動(dòng)段開(kāi)始時(shí)刻；t(w+1)n為第w個(gè)脈沖周期的自由運(yùn)動(dòng)段結(jié)束時(shí)刻。

因此，針對(duì)式(1)所示的多星系統(tǒng)，考慮局部目標(biāo)函數(shù)(2)以及力矩約束(3)、力約束(4)-(5)、初始邊界約束的情況下，微小衛(wèi)星的協(xié)同搬運(yùn)問(wèn)題可以描述為如下的多約束博弈問(wèn)題

(6)

在每個(gè)控制時(shí)刻，各個(gè)微小衛(wèi)星通過(guò)優(yōu)化求解上述問(wèn)題進(jìn)行博弈策略的調(diào)整，實(shí)現(xiàn)各自局部目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化。當(dāng)如下N個(gè)不等式成立時(shí)，各個(gè)微小衛(wèi)星則獲得ε-Nash均衡策略[21]

(7)

即一旦微小衛(wèi)星的博弈策略達(dá)到ε-Nash均衡狀態(tài)，則任意微小衛(wèi)星無(wú)法通過(guò)單方面的策略調(diào)整使其局部目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化量超過(guò)ε。

3 預(yù)測(cè)博弈控制器設(shè)計(jì)

模型預(yù)測(cè)控制以預(yù)測(cè)模型為基礎(chǔ)，在控制過(guò)程中處理多種約束，通過(guò)滾動(dòng)優(yōu)化的方式實(shí)現(xiàn)閉環(huán)控制。本節(jié)利用模型預(yù)測(cè)控制處理約束的優(yōu)勢(shì)，期望通過(guò)多星之間的局部信息交互實(shí)現(xiàn)均衡策略的逼近。

3.1 預(yù)測(cè)時(shí)域的博弈模型

為了建立預(yù)測(cè)時(shí)域的博弈模型，需要將建立的博弈模型(6)進(jìn)行離散化和連續(xù)迭代。定義多星協(xié)同搬運(yùn)任務(wù)的開(kāi)始和結(jié)束時(shí)間分別為t0和tf，采樣周期為τ，則根據(jù)采樣時(shí)間將[t0,tf]分為Ns個(gè)時(shí)間段[t0,t1,…,tl,…tNs-1,tf]。其中，tf=tNs。定義預(yù)測(cè)時(shí)域的步長(zhǎng)Np為一個(gè)脈沖周期采樣次數(shù)n的p倍，控制時(shí)域的步長(zhǎng)Nq為一個(gè)脈沖周期采樣次數(shù)n的q倍，預(yù)測(cè)時(shí)域等于控制時(shí)域。

首先對(duì)動(dòng)力學(xué)約束進(jìn)行處理。在tk處，式(1)可離散化為

(8)

式中：k={0,Nq,2Nq,…}為每次進(jìn)行新的策略求解的時(shí)刻下標(biāo);xk=x(tk);ui,k=ui(tk)，且

在預(yù)測(cè)時(shí)域[tk,tk+Np-1]，通過(guò)對(duì)離散動(dòng)力學(xué)模型的連續(xù)迭代，可以得到預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)的動(dòng)力學(xué)模型

(9)

式中：Xk表示預(yù)測(cè)狀態(tài)向量；Ui,k表示預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)各微小衛(wèi)星的控制向量。具體形式如下

其次，對(duì)局部目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行處理。在tk處，局部目標(biāo)函數(shù)式(2)的離散形式為

(10)

則在預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)，局部目標(biāo)函數(shù)具有如下形式

(11)

其中：Qi,k=INp?Qi;Rij,k=INp?Rij。

最后，對(duì)力矩約束和力約束進(jìn)行處理。式(3)在預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)可表示為

(12)

式中：?表示克羅內(nèi)克積。由于脈沖作用段為一個(gè)采樣周期，因此力約束式(4)和式(5)在預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)可表示為

(13)

綜合式(9)～式(13)可得預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)博弈模型為

(14)

式(14)描述了多星協(xié)同搬運(yùn)在一個(gè)預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)的博弈?；诙嗖筋A(yù)測(cè)思想，利用未來(lái)Np步的預(yù)測(cè)信息來(lái)求個(gè)體的博弈策略；基于滾動(dòng)優(yōu)化思想，各個(gè)微小衛(wèi)星施加控制序列中前Nq控制作用來(lái)進(jìn)行裝配結(jié)構(gòu)搬運(yùn)過(guò)程中的軌道控制。然而，由于式(14)中耦合的動(dòng)力學(xué)模型和耦合的力矩約束，無(wú)法進(jìn)行微小衛(wèi)星的獨(dú)立求解。

3.2 二次規(guī)劃建立

為了使微小衛(wèi)星能夠獨(dú)立優(yōu)化各自的策略,分別對(duì)式(14)中耦合的動(dòng)力學(xué)模型和力矩約束進(jìn)行處理。

針對(duì)耦合的動(dòng)力學(xué)模型，將式(9)代入式(10)中，可得個(gè)體的局部目標(biāo)函數(shù)為

(15)

通過(guò)這樣的處理，個(gè)體的目標(biāo)函數(shù)中可消除Xk項(xiàng)，其自變量?jī)H包含各微小衛(wèi)星控制序列。進(jìn)一步考慮到每個(gè)微小衛(wèi)星僅能優(yōu)化自身的控制序列Ui,k，因此式(15)中不包含Ui,k的項(xiàng)可舍去，得到如下局部目標(biāo)函數(shù)

(16)

式中：

同時(shí)，將力矩約束式(12)從約束約束轉(zhuǎn)化為目標(biāo)約束

(17)

同時(shí)，考慮到每個(gè)微小衛(wèi)星僅能優(yōu)化自身的控制序列Ui,k，將式(17)改寫(xiě)為如下形式

(18)

式中:

∈R(3Np+1)×(3Np+1)

綜合式(16)和式(18)，微小衛(wèi)星的優(yōu)化問(wèn)題表示如下二次規(guī)劃問(wèn)題

(19)

式中：

在協(xié)同搬運(yùn)過(guò)程中的每個(gè)tk處，微小衛(wèi)星i基于其他個(gè)體的優(yōu)化序列Uj,k求解這樣一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，解得控制序列Ui,k只施加前Nq個(gè)控制作用。

3.3 預(yù)測(cè)博弈控制算法

微小衛(wèi)星在每個(gè)tk處求解式(19)所示二次規(guī)劃問(wèn)題時(shí)，需要知道其他所有微小衛(wèi)星的優(yōu)化控制序列。但是，其他個(gè)體的控制序列在一開(kāi)始求解時(shí)也都是未知的。因此，需要進(jìn)行初始策略的求解和均衡策略的調(diào)整。

(20)

在得到所有微小衛(wèi)星的初始序列后，各個(gè)微小衛(wèi)星依次求解式(19)的二次規(guī)劃問(wèn)題來(lái)對(duì)初始策略進(jìn)行連續(xù)調(diào)整，記為

(21)

EJk=maxEJi,k≤ε

(22)

綜上，本文設(shè)計(jì)多星協(xié)同搬運(yùn)的預(yù)測(cè)博弈控制算法流程如算法1所示, 各個(gè)微小衛(wèi)星通過(guò)局部信息交互實(shí)現(xiàn)了在線優(yōu)化。

算法1 預(yù)測(cè)博弈控制算法輸入tk,xk,U0i,k=03Np輸出Uiteri,k的前Nq個(gè)控制作用1.iter=12.初始化U1i,k:微小衛(wèi)星i根據(jù)式(20)計(jì)算初始控制序列3.iter=24.While iter≤itermax or EJi,k>ε do5. 微小衛(wèi)星i根據(jù)式(21)計(jì)算本輪控制序列Uiteri,k6. iter=iter+1;EJi,k=maxEJi,k7.End

4 仿真分析

本節(jié)通過(guò)數(shù)值仿真對(duì)所設(shè)計(jì)的脈沖推力下的預(yù)測(cè)博弈控制方法進(jìn)行驗(yàn)證分析，同時(shí)對(duì)比不同脈沖周期對(duì)控制效果的影響。

不失一般性，假設(shè)有4個(gè)微小衛(wèi)星參與多星協(xié)同搬運(yùn)任務(wù)，微小衛(wèi)星之間的通信為環(huán)形拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。期望位置的軌道半徑為r0=42 164 km，軌道角速度為ω0=7.292 2×10-5rad/s，軌道傾角為30°，升交點(diǎn)赤經(jīng)為20°。組合體的初始位置為r=[0,-20,0]Tm，組合體質(zhì)量為m=100 kg。4個(gè)微小衛(wèi)星在Obxbybzb下的坐標(biāo)分別為r1=[0,-1,1]T，r2=[0,1,1]T，r3=[0,-1,-1]T以及r4=[0,1,-1]T。各微小衛(wèi)星的轉(zhuǎn)換矩陣分別為

目標(biāo)函數(shù)中的加權(quán)矩陣設(shè)置為

Q1=Q2=Q3=Q4=0.001I6

R11=R22=R33=R44=0.001I3

微小衛(wèi)星的脈沖推力幅值為umax=0.5 N。采樣周期為τ=0.5 s，脈沖周期的采樣次數(shù)為n=10。預(yù)測(cè)時(shí)域參數(shù)為p=20，即Np=200，控制時(shí)域等于預(yù)測(cè)時(shí)域。最大更新次數(shù)為itermax=3。

4.1 多星協(xié)同搬運(yùn)的軌道控制

為了說(shuō)明本文方法的優(yōu)勢(shì)，本節(jié)分別從約束處理、容錯(cuò)性以及魯棒性3個(gè)方面進(jìn)行仿真分析，并與傳統(tǒng)集中式方法進(jìn)行對(duì)比。

4.1.1 對(duì)約束處理的有效性分析

基于上述參數(shù)設(shè)置，圖3和圖4是組合體的相對(duì)軌道位置和相對(duì)軌道速度隨時(shí)間變化曲線。在多個(gè)微小衛(wèi)星的控制作用下，組合體的軌道位置可以在200 s左右達(dá)到期望位置，軌道控制精度優(yōu)于1×10-3m。

圖3 組合體相對(duì)軌道位置變化曲線

圖4 組合體相對(duì)軌道速度變化曲線

圖5給出了4個(gè)微小衛(wèi)星的控制力隨時(shí)間的變化情況?？梢钥闯觯趨f(xié)同搬運(yùn)過(guò)程中，各個(gè)微小衛(wèi)星的控制力始終滿足力約束要求。隨著組合體的軌道位置逐漸逼近期望位置，各個(gè)微小衛(wèi)星的控制力逐漸趨于0 N。

圖6為所有微小衛(wèi)星產(chǎn)生的各坐標(biāo)軸的總力矩隨時(shí)間變化情況。從圖中可以看出，合力矩被約束在3×10-4N·m以內(nèi)，完全能夠通過(guò)姿態(tài)控制系統(tǒng)的魯棒性進(jìn)行抑制。

為說(shuō)明本文方法的先進(jìn)性，將所提出的預(yù)測(cè)博弈控制方法與傳統(tǒng)集中式方法進(jìn)行比較，其中，以微小衛(wèi)星4為中心節(jié)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算和分配，總控制量解算采用傳統(tǒng)的線性二次型調(diào)節(jié)器(LQR)控制方法，控制分配采用基于序列二次規(guī)劃的動(dòng)態(tài)控制分配。如圖7所示，通過(guò)對(duì)LQR控制的加權(quán)矩陣Q和R的調(diào)節(jié)，使得傳統(tǒng)方法能夠在200 s左右達(dá)到期望位置，以便于其他性能的對(duì)比。圖8為采用傳統(tǒng)方法得到的微小衛(wèi)星1的控制力變化圖，可以看出傳統(tǒng)方法在初始控制階段違反了控制幅值約束。這是因?yàn)樵诳偪刂屏拷馑銜r(shí)LQR方法無(wú)法處理控制約束，總控制量的大小會(huì)影響分配后的微小衛(wèi)星控制力大小。圖9為采用傳統(tǒng)方法得到的微小衛(wèi)星的各坐標(biāo)軸的力矩，能夠滿足合力矩約束。這是由于多個(gè)微小衛(wèi)星對(duì)稱排布，對(duì)應(yīng)的構(gòu)型矩陣決定了合力矩能夠滿足要求。上述對(duì)比分析說(shuō)明了本文所設(shè)計(jì)的方法在約束處理上的顯著優(yōu)勢(shì)。

圖5 4個(gè)微小衛(wèi)星的控制力

圖6 微小衛(wèi)星產(chǎn)生的各坐標(biāo)軸的總力矩

圖7 傳統(tǒng)方法下組合體相對(duì)軌道位置變化曲線

圖8 傳統(tǒng)方法下微小衛(wèi)星1的控制力

圖9 傳統(tǒng)方法下微小衛(wèi)星產(chǎn)生的各坐標(biāo)軸的總力矩

4.1.2 對(duì)個(gè)體失效的容錯(cuò)性分析

為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)方法的容錯(cuò)性，設(shè)置微小衛(wèi)星4在仿真的第50 s發(fā)生故障，無(wú)法通信和提供控制力。其他仿真參數(shù)與4.1.1節(jié)相同。

圖10給出了微小衛(wèi)星4失效時(shí)組合體的相對(duì)軌道位置隨時(shí)間變化曲線，可以看出，在微小衛(wèi)星4失效的情況，其他微小衛(wèi)星仍舊能夠控制組合體到達(dá)期望位置。圖11給出了其中一個(gè)正常的微小衛(wèi)星1的控制力變化情況，表明微小衛(wèi)星能夠在單個(gè)個(gè)體失效情況下正常進(jìn)行控制力的更新，這是因?yàn)槭Ｓ嗾Ｎ⑿⌒l(wèi)星的通信拓?fù)淙詾槿B通圖。圖12給出了失效微小衛(wèi)星4的控制力變化情況，表明該個(gè)體在50 s后無(wú)法提供控制力。圖13給出了各微小衛(wèi)星產(chǎn)生的總坐標(biāo)軸的總力矩變化圖，可以看出正常微小衛(wèi)星在非對(duì)稱排布的情況下，各坐標(biāo)軸的力矩仍能夠被約束在3×10-4N·m以內(nèi)。

圖12 微小衛(wèi)星4失效下控制力變化

圖13 微小衛(wèi)星4失效下各微小衛(wèi)星產(chǎn)生的各坐標(biāo)軸的總力矩

而傳統(tǒng)方法是以微小衛(wèi)星4為中心節(jié)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算和分配的，一旦微小衛(wèi)星4失效，整體系統(tǒng)癱瘓，無(wú)法進(jìn)行組合體的控制，導(dǎo)致任務(wù)失敗。上述結(jié)果說(shuō)明了相較于傳統(tǒng)方法，本文所提出的方法對(duì)個(gè)體失效具有較好的容錯(cuò)性。這是因?yàn)椴┺哪Ｐ捅苊饬酥行氖浇馑愫涂刂品峙洌h(huán)形通信結(jié)構(gòu)保證了在一個(gè)個(gè)體失效的情況下其他個(gè)體仍舊能夠正常通信，分布式優(yōu)化保證了微小衛(wèi)星獲取信息后的獨(dú)立計(jì)算。

4.1.3 對(duì)不確定性的魯棒性分析

為驗(yàn)證所獲得的預(yù)測(cè)博弈控制策略對(duì)擾動(dòng)引起的軌道控制誤差的補(bǔ)償能力，在多星協(xié)同搬運(yùn)過(guò)程中引入如下的干擾力矩同時(shí)，設(shè)置位置測(cè)量誤差為均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為3×10-3的白噪聲[22]。其他參數(shù)與4.1.1節(jié)相同。

圖14給出了組合體的相對(duì)軌道位置變化曲線?？梢钥闯?，在不確定存在情況，所提出方法能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)組合體軌道位置的有效控制。圖15(a)表明在不確定存在情況下本文所提出方法仍能夠滿足控制幅值約束，且脈沖推力形式便于執(zhí)行。而圖15(b)表明傳統(tǒng)方法下所得到的控制力無(wú)法滿足控制幅值約束以及在-zi軸控制力為零的要求，而由于不確定的存在控制力也存在抖振現(xiàn)象，不利于執(zhí)行。圖16的結(jié)果說(shuō)明了不確定性存在情況下本文所提出的方法能夠?qū)⒏髯鴺?biāo)軸的總力矩約束在期望的范圍內(nèi)。上述結(jié)果說(shuō)明了本文所提出的控制器對(duì)不確定性因素不敏感，具有魯棒性。

圖14 不確定性存在下組合體相對(duì)軌道位置變化曲線

圖15 不確定性存在下微小衛(wèi)星1的控制力

圖16 不確定性存在下微小衛(wèi)星產(chǎn)生的各坐標(biāo)軸的總力矩

4.2 不同脈沖周期對(duì)控制效果的影響

考慮不同脈沖周期對(duì)控制效果的影響，取兩組不同的脈沖周期來(lái)進(jìn)行仿真。第1組仿真中，取脈沖周期的采樣次數(shù)為n=1，即連續(xù)控制的情況，控制時(shí)域?qū)?yīng)設(shè)置為Nq=1。第2組仿真中，取脈沖周期的采樣次數(shù)為n=20，控制時(shí)域?yàn)镹q=20。其他仿真參數(shù)與4.1節(jié)相同。

圖17分別給出了不同脈沖周期下的組合體相對(duì)軌道變化曲線。結(jié)合圖3的結(jié)果可得，在相同采樣時(shí)長(zhǎng)和預(yù)測(cè)時(shí)域步長(zhǎng)的情況，脈沖周期的采樣次數(shù)越小，超調(diào)量就越小，穩(wěn)定速度就越快。

圖17 不同脈沖周期下的組合體相對(duì)軌道位置變化

圖18分別給出了不同脈沖周期下的微小衛(wèi)星1的控制力變化。結(jié)合圖5(a)的結(jié)果可得，脈沖周期的采樣次數(shù)越小，則兩脈沖之間的間隔越小，控制收斂速度更快。特殊地，脈沖周期n=1時(shí)，脈沖控制變成了連續(xù)控制。

表1為不同脈沖周期下的燃料消耗和單個(gè)微小衛(wèi)星總通信次數(shù)情況。從表中可以看出，在相同采樣時(shí)長(zhǎng)和預(yù)測(cè)時(shí)域步長(zhǎng)的情況下，脈沖周期的采樣次數(shù)n越小，所消耗的燃料越大，其中，連續(xù)推力控制即n=1時(shí)的燃耗評(píng)價(jià)值是脈沖推力n=20時(shí)燃耗評(píng)價(jià)值的3.6倍，所需要總通信次數(shù)也越多，其中，連續(xù)推力所需單個(gè)微小衛(wèi)星總通信次數(shù)是脈沖推力n=20時(shí)通信次數(shù)的20倍。由于星上資源在航天中較為寶貴，高燃耗和頻繁通信對(duì)于航天任務(wù)的執(zhí)行是不利的。因此，在實(shí)際工程應(yīng)用中，可以根據(jù)任務(wù)時(shí)間窗口、燃耗情況和通信設(shè)備情況進(jìn)行脈沖周期采樣次數(shù)n的調(diào)整，以滿足需求。

圖18 不同脈沖周期下的微小衛(wèi)星1控制力

表1 不同脈沖周期下的燃料消耗及通信次數(shù)

5 結(jié) 論

1) 針對(duì)多星協(xié)同搬運(yùn)中的行為協(xié)同、多約束滿足以及星上資源節(jié)約問(wèn)題，設(shè)計(jì)了脈沖推力下的預(yù)測(cè)博弈控制方法。在建模方面，考慮脈沖推力在通信開(kāi)銷上和燃料開(kāi)銷上的優(yōu)勢(shì)以及博弈論在多個(gè)體決策互動(dòng)方面的優(yōu)勢(shì)，建立了多約束多星博弈模型，避免了控制分配。在求解方面，利用模型預(yù)測(cè)控制顯式處理約束的能力，設(shè)計(jì)了分布式博弈均衡策略求解方法，能夠有效處理耦合約束。

2) 通過(guò)與傳統(tǒng)集中式方法進(jìn)行數(shù)值仿真對(duì)比可以得出：本文所提出的方法能夠處理多種約束，其分布式優(yōu)化的特征提高了系統(tǒng)的容錯(cuò)性，其滾動(dòng)優(yōu)化的特征使得方法具有一定的魯棒性，脈沖推力的形式減小了通信和燃料開(kāi)銷且便于執(zhí)行，適用于多星協(xié)同在軌搬運(yùn)的情形。

3) 在控制策略的在線計(jì)算過(guò)程中，各個(gè)微小衛(wèi)星通過(guò)多次迭代來(lái)逼近納什均衡，需要在計(jì)算精度和計(jì)算時(shí)長(zhǎng)上進(jìn)行折中。在后續(xù)的研究中可以進(jìn)一步優(yōu)化迭代算法，提高收斂效率。另外在脈沖周期的選擇上，本文僅對(duì)不同脈沖周期所得到的仿真結(jié)果進(jìn)行分析，在后續(xù)的研究中可以通過(guò)優(yōu)化方法得到滿足要求的脈沖周期，進(jìn)一步提高燃料利用率。