廖宇芳，劉 斌，于孟生，王希瑞，彭 曦

(1.廣西貴港市交通投資發(fā)展集團(tuán)有限公司,廣西 貴港 537100；2.湖南省交通科學(xué)研究院有限公司,湖南 長(zhǎng)沙 410015； 3.廣西大學(xué) 土木工程學(xué)院,廣西 南寧 530000；4.廣西交科集團(tuán)有限公司,廣西 南寧 530001)

0 引言

近年來，群體智能優(yōu)化算法和深度機(jī)器學(xué)習(xí)等相關(guān)理論被逐步開發(fā)應(yīng)用于實(shí)際問題中，部分專家學(xué)者采用群體智能算法優(yōu)化機(jī)器學(xué)習(xí)參數(shù)的方式達(dá)到對(duì)實(shí)際問題的精準(zhǔn)預(yù)測(cè)[1-2]，對(duì)于實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中相關(guān)參數(shù)的優(yōu)化，也有專家學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)研究和探索?？悼萚3]以鋼桁拱橋?yàn)檠芯繉?duì)象，提出了概率跳躍因子改進(jìn)的粒子群算法，并將其運(yùn)用于優(yōu)化鋼桁拱線形影響變量中，成功改善了鋼桁拱的成拱線形，降低了結(jié)構(gòu)應(yīng)變能；陳志軍等[4]基于粒子群優(yōu)化算法，聯(lián)合Matlab和ANSYS軟件對(duì)獨(dú)塔斜拉橋成橋索力進(jìn)行尋優(yōu)，達(dá)到減小主梁豎向位移和彎矩的優(yōu)化目標(biāo)；朱敏等[5]提出了一種基于多種群的遺傳算法，以斜拉橋結(jié)構(gòu)最小彎曲應(yīng)變能為目標(biāo)函數(shù)編寫了索力優(yōu)化程序，結(jié)果表明多種群遺傳算法可以有效優(yōu)化斜拉橋的成橋索力，使結(jié)構(gòu)內(nèi)力分布更加合理，具有較大的工程意義。

拱橋以其一體性強(qiáng)、跨越能力大、對(duì)河道通航影響小等優(yōu)點(diǎn)被廣泛運(yùn)用于高山峽谷地形條件的環(huán)境中。斜拉扣掛施工法是大跨度鋼管混凝土拱橋常見的施工方式之一，為保證成拱后拱橋主拱圈實(shí)際線形與期望線形不出現(xiàn)過大偏差，在進(jìn)行一次斜拉扣掛施工時(shí)需要確定合理的扣索力張拉值，否則易引起主拱圈受力不合理或合龍段精度不達(dá)標(biāo)等現(xiàn)象。針對(duì)這一問題，徐岳等[6]以影響矩陣法和線性規(guī)劃理論，通過正裝迭代計(jì)算，提出了以設(shè)計(jì)標(biāo)高線形為目標(biāo)的鋼管混凝土拱橋一次張拉扣索方法；張治成等[7]利用有限元計(jì)算和最優(yōu)化理論相結(jié)合的方式，采取一階分析法對(duì)索力調(diào)整量進(jìn)行了迭代優(yōu)化，成功改善了鋼管混凝土拱橋的成橋線形；吳海軍等[8]基于無應(yīng)力狀態(tài)法對(duì)鋼管混凝土拱橋的安裝過程進(jìn)行仿真模擬，計(jì)算得各節(jié)段線形偏位均滿足規(guī)范要求。

綜上所述，通過智能算法、機(jī)器學(xué)習(xí)和有限元聯(lián)合仿真的方法對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行相應(yīng)的參數(shù)優(yōu)化是目前工程領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)，而目前對(duì)于大跨度鋼管混凝土線形優(yōu)化的研究多基于傳統(tǒng)有限元法。隨著群體智能優(yōu)化算法在工程領(lǐng)域的成功應(yīng)用，部分專家學(xué)者已經(jīng)將其引入到斜拉橋的優(yōu)化問題中，但就斜拉扣掛法施工的鋼管混凝土拱橋線形優(yōu)化方向鮮有研究。當(dāng)前研究多采用傳統(tǒng)數(shù)學(xué)優(yōu)化與有限元模型聯(lián)合仿真的形式，計(jì)算量較大，計(jì)算效率不高?；诖耍狙芯刻岢鲆环N基于改進(jìn)蝗蟲算法-極限學(xué)習(xí)機(jī)的拱橋線形組合優(yōu)化模型，采用兩種策略改進(jìn)標(biāo)準(zhǔn)蝗蟲優(yōu)化算法，使其適用于高維優(yōu)化問題的求解，建立了聯(lián)合優(yōu)化模型用于求解考慮線形控制的最佳扣索力組合，并將優(yōu)化索力代入有限元模型計(jì)算，在某鋼管混凝土拱橋工程的索力優(yōu)化中進(jìn)行了應(yīng)用，根據(jù)線形實(shí)測(cè)結(jié)果驗(yàn)證了優(yōu)化模型的有效性，可為類似工程優(yōu)化問題提供一定的參考。

1 極限學(xué)習(xí)機(jī)線形預(yù)測(cè)模型

1.1 極限學(xué)習(xí)機(jī)原理

極限學(xué)習(xí)機(jī)(Extreme Learning Machine, ELM)是一種針對(duì)前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的新型快速學(xué)習(xí)算法[9-12]。相比于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)采取梯度下降法多次迭代達(dá)到修正權(quán)值和閾值的訓(xùn)練方式，ELM在訓(xùn)練過程中無需調(diào)整輸入層和隱含層之間的連接權(quán)值和隱含層神經(jīng)元的閾值，通過設(shè)置隱含層神經(jīng)元個(gè)數(shù)即可隨機(jī)產(chǎn)生權(quán)值與閾值，學(xué)習(xí)效率和泛化能力相較傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有一定優(yōu)勢(shì)，其基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 極限學(xué)習(xí)機(jī)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)Fig.1 Network structure of ELM

假設(shè)一個(gè)單隱含層的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有N個(gè)樣本數(shù)據(jù)(Xq,Yq)，其中輸入向量為Xq=[xq1,xq2,…,xqn′]T,輸出向量為Yq=[yq1,yq2,…,yqm′]T，則該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型表示為[13]：

(1)

式中，g(x)為激活函數(shù)；α為輸入權(quán)重；β為輸出權(quán)重；b為第i個(gè)隱含層單元偏置；l為隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)；n為輸入層節(jié)點(diǎn)數(shù)。

將其寫成矩陣形式可表示為：

Hβ=T′，

(2)

式中，T′為T的轉(zhuǎn)置；H為隱含層輸出矩陣。

H的具體形式如式(3)所示：

(3)

當(dāng)ELM模型的輸出向量Yq逼近目標(biāo)輸出向量Tq時(shí)，預(yù)測(cè)誤差趨于0，則有：

(4)

當(dāng)ELM神經(jīng)元激活函數(shù)g(x)無限可微時(shí)，隱含層和輸出層的連接權(quán)值βjq′可通過式(3)所示的方程組求解。

(5)

通過上式即可求解輸出層權(quán)值。

1.2 ELM線形預(yù)測(cè)模型

以實(shí)際工程的有限元模型為基礎(chǔ)，建立基于ELM的線形預(yù)測(cè)模型。為提高ELM訓(xùn)練效率和精度，首先建立拱橋的線形預(yù)測(cè)模型，取ELM輸入權(quán)值矩陣和隱含層偏差作為優(yōu)化目標(biāo)，對(duì)ELM隱含層節(jié)點(diǎn)關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化以減小線形預(yù)測(cè)偏差。其次建立拱橋的索力優(yōu)化模型，將扣索張拉力作為ELM預(yù)測(cè)模型的輸入向量，成橋線形作為ELM預(yù)測(cè)模型的輸出向量，取半結(jié)構(gòu)模型建立扣索索力-成橋線形映射關(guān)系，如式(6)所示，取各拱圈控制節(jié)段標(biāo)高控制點(diǎn)的實(shí)際高程與設(shè)計(jì)高程之差的平方和為訓(xùn)練控制目標(biāo)。以半結(jié)構(gòu)扣索數(shù)為輸入層節(jié)點(diǎn)n，線形偏差為輸出層節(jié)點(diǎn)m，隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)k=2n+1，各初始參數(shù)如表1所示。

表1 ELM訓(xùn)練參數(shù)Tab.1 Training parameters of ELM

(6)

2 考慮線形控制的索力優(yōu)化模型

2.1 蝗蟲優(yōu)化算法

2.1.1 標(biāo)準(zhǔn)蝗蟲算法

蝗蟲優(yōu)化算法(Grasshopper Optimisation Algorithm,GOA)是Saremi等[14]提出的一種基于仿生原理的智能群優(yōu)化算法，其基本原理是將蝗蟲種群幼蟲小范圍的移動(dòng)映射為算法的局部開發(fā)過程，成蟲大范圍的覓食運(yùn)動(dòng)映射為算法的全局搜索過程，是一種兼顧局部與整體的優(yōu)化算法。蝗蟲優(yōu)化算法定義社交影響Si、重力影響Gi和風(fēng)力影響Ai為決定蝗蟲個(gè)體位置更新的3個(gè)關(guān)鍵影響因素，位置更新如式(7)所示：

Xi=Si+Gi+Ai

(7)

由于蝗蟲算法的初始模型會(huì)引導(dǎo)蝗蟲種群陷入舒適區(qū)不再移動(dòng)，Saremi忽略重力影響，假設(shè)風(fēng)向總指向最優(yōu)個(gè)體，并引入遞減系數(shù)c避免種群過于聚集，改進(jìn)后的蝗蟲算法標(biāo)準(zhǔn)模型如式(8)所示：

(8)

(9)

2.1.2 雙策略改進(jìn)的蝗蟲算法

GOA是一種通用的尋優(yōu)算法，針對(duì)具體工程存在一定的局限性，為解決GOA在實(shí)際工程問題中的應(yīng)用問題，本研究采取兩種策略同時(shí)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)GOA算法進(jìn)行改進(jìn)。

標(biāo)準(zhǔn)GOA算法中遞減系數(shù)c為一次線性函數(shù)，在GOA迭代過程中會(huì)隨迭代次數(shù)發(fā)生線性遞減，但線性遞減系數(shù)在高維優(yōu)化問題中會(huì)顯著影響迭代后期的算法性能，使蝗蟲種群陷入局部“舒適區(qū)”。為使算法跳出局部最優(yōu)解，引入非線性遞減系數(shù)[15]可有效提升算法在前期的收斂速度，同時(shí)增強(qiáng)中后期的局部開發(fā)能力，保證GOA在不同時(shí)期尋優(yōu)效率，改進(jìn)后的遞減系數(shù)c如式(10)所示：

(10)

由于改變搜索范圍帶來的不確定性，為防止蝗蟲個(gè)體從較優(yōu)解移動(dòng)至較劣解，引入最優(yōu)位置精英保留策略[16]對(duì)GOA算法進(jìn)行進(jìn)一步改進(jìn)，根據(jù)蝗蟲個(gè)體位置的更新公式，對(duì)式(8)進(jìn)行如下改進(jìn)：

Xnew(t+1)=β1H+β2r1[Xbest(t)-Xi(t)]+

β2r2[Xj(t)-Xk(t)]，

(11)

(12)

(13)

(14)

式中，H為搜索步長(zhǎng)函數(shù)；Xnew(t+1)為第t+1次迭代時(shí)蝗蟲個(gè)體在空間中的位置；Xbest(t)為第t次迭代時(shí)蝗蟲個(gè)體的最優(yōu)位置；Xi(t)為第t次迭代時(shí)第i只蝗蟲在空間中的位置；Xj(t)和Xk(t)為第t次迭代時(shí)的兩個(gè)隨機(jī)蝗蟲個(gè)體的位置；D為空間維數(shù)；β1為記憶系數(shù)；β2為信息交流系數(shù)；r1和r2分別為[0,1]內(nèi)的隨機(jī)數(shù);N為種群規(guī)模。

2.2 算法性能測(cè)試

對(duì)遞減函數(shù)進(jìn)行非線性改進(jìn)以及實(shí)現(xiàn)精英保留策略后的IGOA算法，理論上可保證算法在維持較高收斂速度的前提下跳出局部最優(yōu)解。為驗(yàn)證改進(jìn)后的IGOA算法性能，引入4個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)對(duì)算法進(jìn)行尋優(yōu)性能測(cè)試[17-18]，此外，引入粒子群算法(Particle Swarm Optimization，PSO)進(jìn)行橫向?qū)Ρ?。其中，比較GOA與IGOA的尋優(yōu)結(jié)果以驗(yàn)證改進(jìn)策略的有效性，比較IGOA與PSO的尋優(yōu)結(jié)果以橫向驗(yàn)證IGOA算法性能的優(yōu)越性。4個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)及表達(dá)式如表2所示。測(cè)試平臺(tái)基于Matlab2019a，各算法均設(shè)置空間維度D=30，運(yùn)行次數(shù)為30次，記錄所有30次計(jì)算下的最優(yōu)值、最差值、平均值、標(biāo)準(zhǔn)差和平均耗時(shí)，評(píng)估算法的收斂精度、尋優(yōu)穩(wěn)定性和收斂速度。

表2 測(cè)試函數(shù)Tab.2 Test functions

表3給出了各算法在不同測(cè)試函數(shù)下獨(dú)立運(yùn)行30次的最終測(cè)試結(jié)果。由表可知，對(duì)于單峰測(cè)試函數(shù)F1，GOA，IGOA和PSO算法均能收斂至理論最優(yōu)解附近，其中，GOA的收斂精度最低，PSO次之，IGOA則完全收斂至理論最優(yōu)解，算法運(yùn)行耗時(shí)方面，PSO收斂速度最快，GOA收斂速度最慢；對(duì)于多峰測(cè)試函數(shù)F2，GOA基本無法尋得最優(yōu)解，PSO收斂精度不佳，僅IGOA可以收斂至理論最優(yōu)解，且平均耗時(shí)最短；對(duì)于多峰測(cè)試函數(shù)F3，F(xiàn)4，PSO和GOA算法均無法收斂至全局最優(yōu)解，僅IGOA可收斂至理論最優(yōu)解附近。

表3 尋優(yōu)結(jié)果對(duì)比Tab.3 Comparison of optimization results

3 基于IGOA-ELM的雙層嵌套線形優(yōu)化模型

3.1 IGOA-ELM線形預(yù)測(cè)模型

ELM預(yù)測(cè)模型對(duì)于隨機(jī)給定的輸入權(quán)值矩陣和隱含層偏差可能會(huì)出現(xiàn)部分?jǐn)?shù)值為0的現(xiàn)象，導(dǎo)致部分隱含層節(jié)點(diǎn)失效，預(yù)測(cè)精度降低，但盲目增大隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)量會(huì)致使ELM模型的泛化能力降低，對(duì)不同樣本映射關(guān)系的適應(yīng)度下降。因此，合理地確定輸入權(quán)值矩陣和隱含層偏差可以有效提升ELM的預(yù)測(cè)精度[19-21]。

由于不同工程的ELM預(yù)測(cè)模型最優(yōu)輸入權(quán)值和隱含層偏差不同，故ELM預(yù)測(cè)模型需要根據(jù)實(shí)際工程針對(duì)性的選取相關(guān)參數(shù)，采用IGOA算法可在預(yù)測(cè)模型進(jìn)行樣本時(shí)針對(duì)性的搜索到該工程的最優(yōu)參數(shù)。為保證ELM預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性，選取ELM訓(xùn)練樣本時(shí)，以扣索力設(shè)計(jì)張拉值為基準(zhǔn)，在索力張拉值上下限范圍內(nèi)均勻生成50組索力組合代入有限元模型進(jìn)行計(jì)算。將索力-線形有限元計(jì)算數(shù)據(jù)作為IGOA-ELM樣本用于學(xué)習(xí)訓(xùn)練與性能驗(yàn)證，預(yù)測(cè)精度作為停止訓(xùn)練的控制條件，當(dāng)IGOA-ELM達(dá)到停止訓(xùn)練的控制條件時(shí)停止訓(xùn)練并保存參數(shù)。

采用IGOA算法搜索當(dāng)前數(shù)據(jù)樣本中ELM的最優(yōu)輸入層權(quán)值和隱含層偏差，隱含層激活函數(shù)采用Sigmoid函數(shù)，如式(15)所示：

(15)

尋優(yōu)流程如下：

(1)初始化蝗蟲種群，種群規(guī)模設(shè)置為30，個(gè)體維度L=(n+1)k。

(2)采用ELM算法對(duì)蝗蟲種群個(gè)體進(jìn)行計(jì)算，得到輸出權(quán)值矩陣，以ELM和有限元結(jié)果的預(yù)測(cè)偏差作為適應(yīng)度函數(shù)，通過代入訓(xùn)練集的輸入矩陣計(jì)算個(gè)體適應(yīng)度值。

(3)更新遞減系數(shù)并重新計(jì)算個(gè)體適應(yīng)度值，根據(jù)式(11)保留精英蝗蟲位置。

(4)判斷是否滿足尋優(yōu)停止的控制條件，若滿足則根據(jù)最優(yōu)個(gè)體得到最優(yōu)輸入權(quán)值矩陣和隱含層偏差，若不滿足則繼續(xù)迭代。

3.2 IGOA索力優(yōu)化模型

大跨度鋼管混凝土拱橋因其施工階段復(fù)雜，主拱圈的線形控制是施工過程的重難點(diǎn)。采用斜拉扣掛法進(jìn)行施工的大跨度鋼管混凝土拱橋通過建立一次成橋合理線形索力優(yōu)化模型可以得到成橋狀態(tài)下的最佳索力組合，確保主拱圈實(shí)際線形逼近設(shè)計(jì)線形。

根據(jù)優(yōu)化目標(biāo)，為使實(shí)際拱軸線接近設(shè)計(jì)合理拱軸線，各拱圈節(jié)段實(shí)際標(biāo)高與設(shè)計(jì)標(biāo)高之差應(yīng)達(dá)到最小，以各拱圈節(jié)段標(biāo)高控制點(diǎn)的實(shí)際高程與設(shè)計(jì)高程之差的平方和為目標(biāo)函數(shù)建立考慮線形控制的索力優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，約束條件為取安全系數(shù)2.5后的扣索力值為上限。綜上，建立基于線形控制的鋼管混凝土拱橋成橋索力優(yōu)化模型如式(16)所示：

findX=[x1,x2…x8]T

s.t.x≤mNp/k

(16)

3.3 雙層嵌套優(yōu)化流程設(shè)計(jì)

將改進(jìn)后的IGOA算法應(yīng)用于大跨度鋼管混凝土拱橋的索力尋優(yōu)模型中，利用Matlab編寫考慮拱橋線形控制的數(shù)學(xué)模型及算法，聯(lián)合ELM預(yù)測(cè)模型進(jìn)行索力優(yōu)化，最后再將優(yōu)化后的索力代入有限元模型計(jì)算最終線形結(jié)果，基于IGOA優(yōu)化拱橋線形后輸出的最佳索力組合尋優(yōu)模型執(zhí)行流程如圖2所示。

圖2 優(yōu)化流程Fig.2 Optimization process

(1)設(shè)置優(yōu)化參數(shù)：由于拱橋的對(duì)稱性，取一半拱橋的扣索力張拉值[x1,x2…xn]T為待優(yōu)化參數(shù)。

(2)初始化算法參數(shù)：考慮索力向量搜索量較大，設(shè)置蝗蟲種群規(guī)模50、個(gè)體維度8、最大迭代次數(shù)100。

(3)初始化種群位置：初始化蝗蟲個(gè)體在空間中的位置，根據(jù)數(shù)值模型計(jì)算個(gè)體初始適應(yīng)度值，并記憶保存。

(4)更新種群位置：根據(jù)式(10)更新非線性遞減系數(shù)c，根據(jù)式(11)確定新的個(gè)體位置，輸出索力組合代入有限元模型重新計(jì)算，返回線形控制結(jié)果，以當(dāng)前索力的線形和設(shè)計(jì)線形的計(jì)算偏差為適應(yīng)度函數(shù)，計(jì)算種群適應(yīng)度值，根據(jù)精英保留策略重新確定種群的目標(biāo)位置。

(5)判斷終止條件：判斷算法是否達(dá)到最大迭代次數(shù)，若達(dá)到則終止算法，若未達(dá)到則回到步驟4。

4 工程算例

4.1 工程概況及有限元模型

本研究以某大跨度鋼管混凝土拱橋?yàn)楣こ瘫尘?，?yīng)用所提方法對(duì)實(shí)際工程進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，驗(yàn)證線形預(yù)測(cè)模型和索力優(yōu)化模型的實(shí)際效果。拱橋總長(zhǎng)563.08 m，橋型布置為(3×30 m)T梁+268 m上承式鋼管混凝土拱橋+(6×30 m)T梁，主拱計(jì)算跨徑268 m，矢高70.53 m，矢跨比1/3.8，拱軸系數(shù)m=1.65。主弦桿、拱上立柱鋼管內(nèi)灌注C55混凝土，其余桿件均為空管，拱肋上下弦桿采用1 100 mm×28 mm，1 100 mm×24 mm，1 100 mm×20 mm這3種規(guī)格鋼管；腹桿采用420 mm×420 mm×16 mm×20 mm，420 mm×420 mm×18 mm×24 mm兩種焊接H型鋼；平聯(lián)桿采用420 mm×420 mm×16 mm×20 mm焊接H型鋼。主拱由兩條等截面懸鏈線拱肋組成，拱肋為4管全桁式結(jié)構(gòu)，桁高5 m，每條拱肋分16段進(jìn)行吊裝，兩岸各布置8根扣索，左右半拱1～7段完全對(duì)稱，第8段為主拱合龍段，臨時(shí)扣塔采用Q345a鋼材，扣索采用預(yù)應(yīng)力鋼絞線。

建立含施工階段的全橋有限元計(jì)算模型，鋼管和混凝土截面采用施工階段聯(lián)合截面進(jìn)行模擬，不考慮鋼管和混凝土的脫黏效果，假定兩者完全黏結(jié)。采用梁?jiǎn)卧M拱肋，桁架單元模擬拉索，斜拉索單元與拱肋單元共節(jié)點(diǎn)，形成整體受力，拱腳與橋墩連接處采用固結(jié)約束。根據(jù)實(shí)際施工步驟，分階段激活對(duì)應(yīng)的扣索單元和拱肋單元，模擬斜拉扣掛施工過程。根據(jù)工程實(shí)際參數(shù)，ELM模型輸入層節(jié)點(diǎn)數(shù)n取8，輸出層節(jié)點(diǎn)m取1，隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)k=2n+1=17。主拱肋節(jié)段吊裝控制圖如圖3所示，全橋有限元模型如圖4所示。

圖3 主拱肋節(jié)段吊裝控制(單位：m)Fig.3 Hoisting control of main arch rib segment(unit：m)

圖4 有限元模型Fig.4 Finite element model

4.2 預(yù)測(cè)精度對(duì)比

為驗(yàn)證IGOA算法對(duì)ELM預(yù)測(cè)模型性能的提升效果，分別提取訓(xùn)練集下IGOA-ELM模型和ELM模型各標(biāo)高控制點(diǎn)與數(shù)值計(jì)算結(jié)果的平均偏差絕對(duì)值，如圖5所示。相較于ELM模型，IGOA-ELM模型在改進(jìn)蝗蟲算法不斷調(diào)整輸入權(quán)值矩陣和隱含層偏差的前提下對(duì)數(shù)據(jù)的泛化能力進(jìn)一步提高，除個(gè)別訓(xùn)練集外，IGOA-ELM預(yù)測(cè)下的各標(biāo)高控制點(diǎn)平均偏差均低于10 mm，而ELM在大部分訓(xùn)練集下的平均偏差均高于10 mm，由此可知IGOA對(duì)ELM輸入權(quán)值矩陣和隱含層偏差的尋優(yōu)結(jié)果良好。

圖5 訓(xùn)練集測(cè)試結(jié)果Fig. 5 Test result of training set

分別采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型(Back Propagation Neural Network)、支持向量機(jī)模型(Support Vector Machine，SVM)、ELM模型和IGOA-ELM模型對(duì)訓(xùn)練樣本進(jìn)行學(xué)習(xí)，圖6給出了4種機(jī)器學(xué)習(xí)算法模型在設(shè)計(jì)索力下各標(biāo)高控制點(diǎn)預(yù)測(cè)結(jié)果與數(shù)值計(jì)算結(jié)果的誤差。由圖可知，4種預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)誤差均能控制在25 mm以內(nèi)，其中，SVM的平均預(yù)測(cè)誤差最高，為14.39 mm；BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和ELM模型預(yù)測(cè)誤差均在13 mm左右；IGOA-ELM模型的平均預(yù)測(cè)誤差最低，為2.28 mm。綜上，IGOA-ELM模型預(yù)測(cè)精度最高，泛化能力最強(qiáng)，ELM模型和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型處于相同預(yù)測(cè)精度水平，SVM模型泛化能力較弱。

圖6 預(yù)測(cè)誤差對(duì)比Fig.6 Comparison of prediction errors

為說明IGOA-ELM模型的預(yù)測(cè)性能，定義均方根誤差(Root Mean Squared Error，RMSE)作為各機(jī)器學(xué)習(xí)模型性能的評(píng)價(jià)指標(biāo)，RMSE表達(dá)式如(17)所示。

(17)

式中，Xreal,i為數(shù)據(jù)真實(shí)值；Xpre,i為數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)值。

表4給出了各機(jī)器學(xué)習(xí)算法模型RMSE評(píng)價(jià)指標(biāo)的對(duì)比，由表可知IGOA-ELM在RMSE指標(biāo)大幅優(yōu)于其余3種機(jī)器算法模型，可見采用IGOA優(yōu)化后的ELM對(duì)于索力-線形非線性映射關(guān)系預(yù)測(cè)的更加精確。

表4 模型評(píng)價(jià)Tab.4 Model evaluation

大跨度鋼管混凝土拱橋拱肋吊裝精度控制要求較高，吊裝偏差需要控制在10 mm以內(nèi)，根據(jù)各預(yù)測(cè)模型的實(shí)際預(yù)測(cè)結(jié)果，僅有IGOA-ELM模型能將各拱肋節(jié)段標(biāo)高控制點(diǎn)線形預(yù)測(cè)精度控制在10 mm以內(nèi)。

4.3 索力優(yōu)化結(jié)果分析

圖7給出了標(biāo)準(zhǔn)GOA算法、IGOA算法和標(biāo)準(zhǔn)PSO算法在考慮線形控制的索力優(yōu)化模型100次迭代過程中的適應(yīng)度曲線，由圖可知，IGOA算法搜索效率明顯高于標(biāo)準(zhǔn)GOA算法和PSO算法，標(biāo)準(zhǔn)GOA算法和標(biāo)準(zhǔn)PSO算法在迭代前期收斂速度基本一致，在算法后期，標(biāo)準(zhǔn)GOA算法于第34次迭代時(shí)陷入局部最優(yōu)解，標(biāo)準(zhǔn)PSO算法在第69次迭代步數(shù)后停止迭代。相較于兩種標(biāo)準(zhǔn)優(yōu)化算法尋優(yōu)的局限性，基于非線性遞減函數(shù)和精英保留策略的IGOA算法則可以在搜索前期以大步長(zhǎng)跳過局部最優(yōu)解，在第57次迭代時(shí)到達(dá)的最佳適應(yīng)度值，得到線形控制條件下的最優(yōu)索力組合。

圖7 適應(yīng)度曲線Fig.7 Fitness curves

取一岸扣索力進(jìn)行分析，圖8給出了原設(shè)計(jì)扣索張拉力和IGOA-ELM聯(lián)合優(yōu)化模型輸出的扣索張拉力曲線，由圖可知，1#～5#索原設(shè)計(jì)扣索張拉力分布較均勻，隨著扣索長(zhǎng)度的增加，扣索水平傾角不斷減小，為平衡拱肋節(jié)段的豎直分力，6#～8#索設(shè)計(jì)張拉力陡增?？紤]線形控制的IGOA-ELM索力優(yōu)化模型輸出的索力組合進(jìn)一步改善了1#～5#扣索的初始張拉力均勻度，優(yōu)化后的1#～5#扣索力均有不同幅度的提升，6#～8#扣索存在較小幅度的下降，整體索力分布規(guī)律與原設(shè)計(jì)大致相同。

圖8 索力優(yōu)化結(jié)果Fig.8 Cable force optimization result

采用有限元模型對(duì)原設(shè)計(jì)索力和優(yōu)化后索力進(jìn)行計(jì)算，并與基于優(yōu)化索力建設(shè)的成拱實(shí)測(cè)線形進(jìn)行對(duì)比，圖9給出了原設(shè)計(jì)索力計(jì)算線形、原設(shè)計(jì)索力預(yù)測(cè)線形、優(yōu)化后索力計(jì)算線形、優(yōu)化后索力預(yù)測(cè)線形和成橋后實(shí)測(cè)線形與設(shè)計(jì)線形的偏差對(duì)比，由圖9可知，松索后設(shè)計(jì)扣索力下線形偏差在1#～6#標(biāo)高控制點(diǎn)為正，7#～9#標(biāo)高控制點(diǎn)為負(fù)。分析可得，合龍段吊裝完畢且整體松索后，拱頂處7#～9#標(biāo)高控制點(diǎn)處出現(xiàn)一定幅度的下?lián)?，?duì)兩側(cè)拱肋形成了一定的擠壓作用，使得拱腳至拱肋處1#～5#標(biāo)高控制點(diǎn)出現(xiàn)上拱現(xiàn)象。優(yōu)化后的索力組合改善了拱頂處的下?lián)犀F(xiàn)象，松索后所有標(biāo)高控制點(diǎn)均未出現(xiàn)線形負(fù)偏差，且各標(biāo)高控制點(diǎn)實(shí)際高程與設(shè)計(jì)高程偏差均在2.5 mm以內(nèi)。對(duì)比FEM計(jì)算線形和IGOA-ELM預(yù)測(cè)線形可知，本研究提出的線形預(yù)測(cè)模型與有限元結(jié)果擬合良好。對(duì)比優(yōu)化后的索力預(yù)測(cè)線形和實(shí)測(cè)線形可知，優(yōu)化后的扣索力組合松索后的成拱線形十分逼近實(shí)際設(shè)計(jì)線形，且實(shí)測(cè)線形與預(yù)測(cè)線形誤差較小，說明了索力優(yōu)化模型及線形預(yù)測(cè)模型在該工程中具有良好的適應(yīng)性，確保了工程的順利施工。

圖9 線形偏差對(duì)比Fig.9 Comparison of geometric shape deviations

4.4 模型性能對(duì)比

為驗(yàn)證IGOA-ELM線形預(yù)測(cè)模型在結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題中的計(jì)算效率，分別采取有限元模型優(yōu)化(FEM)、改進(jìn)蝗蟲算法聯(lián)合有限元模型優(yōu)化(IGOA-FEM)和本研究改進(jìn)蝗蟲算法聯(lián)合ELM代理模型優(yōu)化(IGOA-ELM)的方式對(duì)該工程進(jìn)行計(jì)算分析。計(jì)算平臺(tái)基本配置如下：CPU為Intel Core i7-8700；內(nèi)存為16 GB；操作系統(tǒng)為Windows10。

表5給出了分別采用FEM，IGOA-FEM和IGOA-ELM方式迭代計(jì)算的時(shí)間對(duì)比，由表可知，傳統(tǒng)FEM和IGOA-FEM優(yōu)化方式的單次迭代計(jì)算耗時(shí)遠(yuǎn)高于IGOA-ELM的耗時(shí)，基于傳統(tǒng)有限元模型計(jì)算的方式總迭代次數(shù)相較于基于ELM代理預(yù)測(cè)模型的更少，但由于代理模型預(yù)測(cè)速度更快，故在進(jìn)行索力尋優(yōu)時(shí)模型總耗時(shí)最短，采用代理預(yù)測(cè)模型相較于有限元模型可縮減約60%的計(jì)算時(shí)間，極大提高了工程問題的優(yōu)化效率。

表5 尋優(yōu)時(shí)間對(duì)比Tab.5 Comparison of optimization time

5 結(jié)論

本研究針對(duì)大跨度鋼管混凝土拱橋工程中的線形預(yù)測(cè)與優(yōu)化問題，提出了一種改進(jìn)蝗蟲算法優(yōu)化極限學(xué)習(xí)機(jī)的線形預(yù)測(cè)與優(yōu)化模型，采用極限學(xué)習(xí)機(jī)代理模型代替有限元模型進(jìn)行迭代計(jì)算的方式節(jié)省工程優(yōu)化問題的計(jì)算量，以某采用斜拉扣掛法施工的大跨度鋼管混凝土拱橋?yàn)楣こ瘫尘?，研究了考慮一次成拱線形控制下的扣索力優(yōu)化問題，得到結(jié)論如下：

(1)標(biāo)準(zhǔn)蝗蟲算法在高維優(yōu)化問題中存在較大局限性，極易陷入局部最優(yōu)解，基于非線性遞減函數(shù)和精英保留策略改進(jìn)后的蝗蟲算法尋優(yōu)效率更高，可以有效避免算法陷入局部極值點(diǎn)。

(2)IGOA-ELM模型可以實(shí)現(xiàn)對(duì)鋼管混凝土拱橋的線形預(yù)測(cè)，經(jīng)過IGOA算法對(duì)輸入權(quán)值矩陣和隱含層偏差進(jìn)行調(diào)優(yōu)并訓(xùn)練后，相較于ELM，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和SVM預(yù)測(cè)模型，IGOA-ELM模型的預(yù)測(cè)精度最高，對(duì)樣本數(shù)據(jù)的泛化能力最強(qiáng)，且具有較高的預(yù)測(cè)穩(wěn)定性。

(3)采用斜拉扣掛法施工的鋼管混凝土拱橋成橋線形優(yōu)化問題可以轉(zhuǎn)化為考慮線形控制的鋼管混凝土拱橋一次成拱索力優(yōu)化問題，采用IGOA-ELM優(yōu)化模型可以實(shí)現(xiàn)對(duì)該問題的求解。相較于有限元模型與優(yōu)化算法的聯(lián)合仿真，代理模型大大減少了計(jì)算量，提高了優(yōu)化效率。

(4)本研究所提方法在某大跨度鋼管混凝土拱橋中進(jìn)行了應(yīng)用研究，結(jié)果表明，該工程采用IGOA-ELM優(yōu)化模型進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)后，各標(biāo)高控制點(diǎn)采用優(yōu)化后的索力組合計(jì)算得到的線形偏差均小于2.5 mm，且實(shí)測(cè)成拱線形十分逼近期望線形，證明了該優(yōu)化模型的實(shí)用性。

(5)橫向?qū)Ρ攘薋EM，IGOA-FEM和IGOA-ELM的尋優(yōu)時(shí)間，在包含訓(xùn)練耗時(shí)的情況下，采用IGOA-ELM模型進(jìn)行結(jié)構(gòu)線形優(yōu)化比基于傳統(tǒng)有限元方法的優(yōu)化耗時(shí)更短。