余茂峰，楊 屾，李 闖，戴少東，賀志啟

(1.浙江數(shù)智交院科技股份有限公司，浙江 杭州 310030; 2.東南大學(xué) 土木工程學(xué)院，江蘇 南京 211189)

0 引言

整體長(zhǎng)聯(lián)剛構(gòu)體系橋梁通過(guò)墩梁固結(jié)傳遞荷載(見(jiàn)圖1)，具有整體剛度好、行車舒適、后期維護(hù)少等諸多優(yōu)點(diǎn)[1]。目前世界上最長(zhǎng)的整體長(zhǎng)聯(lián)高架橋是2017年建成的比利時(shí)A11高速公路K032高架橋[2]，該650 m長(zhǎng)聯(lián)由23孔構(gòu)成，橋墩和主梁之間采用完全剛性連接。在國(guó)內(nèi)，廣州地鐵12號(hào)線、鄭州市四環(huán)線、浙江杭紹甬高速公路上虞1號(hào)高架橋等橋梁采用跨度為30～46 m的多跨長(zhǎng)聯(lián)連續(xù)剛構(gòu)體系，以達(dá)到減少支座維護(hù)、降低運(yùn)維成本的預(yù)期。

圖1 整體長(zhǎng)聯(lián)剛構(gòu)體系橋梁的基本布置Fig.1 General layout of integral long rigid-frame system bridge

在整體長(zhǎng)聯(lián)剛構(gòu)體系橋梁中，墩梁結(jié)合部是關(guān)鍵的連接構(gòu)造和受力部位。墩梁結(jié)合部可視為T形節(jié)點(diǎn)，承受以彎矩為主的彎、剪耦合作用，是典型的應(yīng)力擾動(dòng)區(qū)[3]。我國(guó)2018版《公路鋼筋混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計(jì)規(guī)范》(JTG 3362—2018)[4](下稱公路橋規(guī))中推薦采用拉壓桿模型等方法進(jìn)行應(yīng)力擾動(dòng)區(qū)的設(shè)計(jì)。拉壓桿模型是從混凝土結(jié)構(gòu)連續(xù)體內(nèi)抽象出的一種簡(jiǎn)化力流分析模型，由壓桿、拉桿和節(jié)點(diǎn)組成，用以反映結(jié)構(gòu)內(nèi)部的傳力路徑[5]。針對(duì)拉壓桿模型合理構(gòu)形的問(wèn)題，常用的方法有荷載路徑法、應(yīng)力跡線法、拓?fù)鋬?yōu)化法等[6-7]，但迄今仍沒(méi)有普適性的簡(jiǎn)明方法。國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)建筑框架結(jié)構(gòu)的L形和十字形梁柱節(jié)點(diǎn)，開(kāi)展了基于軟化拉壓桿模型的節(jié)點(diǎn)抗剪承載力計(jì)算方法研究[8-11]，以及基于拓?fù)鋬?yōu)化的節(jié)點(diǎn)區(qū)域拉壓桿模型構(gòu)形研究[12]。美國(guó)加州大學(xué)Sritharan[13]針對(duì)蓋梁與橋墩的連接節(jié)點(diǎn)，開(kāi)展了基于拉壓桿模型的節(jié)點(diǎn)抗震性能評(píng)估研究。由于剛構(gòu)體系墩梁結(jié)合部T形節(jié)點(diǎn)的受力工況和傳力機(jī)理復(fù)雜，目前尚缺少合適的拉壓桿模型構(gòu)形方法。

本研究基于拓?fù)鋬?yōu)化分析方法，研究了典型工況下墩梁結(jié)合部T形節(jié)點(diǎn)的彎矩和剪力傳遞路徑，并構(gòu)建了相應(yīng)的拉壓桿模型，可直接用于結(jié)合部的配筋設(shè)計(jì)。

1 墩梁結(jié)合部的內(nèi)力分析

多跨長(zhǎng)聯(lián)剛構(gòu)體系橋梁結(jié)構(gòu)承受的主要荷載作用可以分為兩類[14]：一是溫度、制動(dòng)力等引起的水平力作用；二是恒載、汽車活載等引起的豎向力作用。為掌握墩梁結(jié)合部的內(nèi)力情況，將多跨長(zhǎng)聯(lián)橋梁結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為圖2所示的框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。在梁端水平力和跨中豎向力工況下，剛構(gòu)體系的彎矩分布可以利用力法進(jìn)行求解。節(jié)點(diǎn)區(qū)域的彎矩分配取決于主梁與橋墩的線剛度比β：

圖2 典型工況下剛構(gòu)體系的彎矩分布Fig.2 Distribution of bending moments in rigid-frame system under typical working conditions

(1)

式中，ib，ic分別為一跨主梁及橋墩的線剛度；Ib，Ic分別為主梁截面慣性矩及橋墩截面順橋向慣性矩；L，H分別為主梁跨徑及橋墩高度；Ec為混凝土彈性模量。

在梁端水平力Fh作用下，墩梁結(jié)合部?jī)蓚?cè)作用的梁端彎矩大小相等、方向相同(這里定義彎矩以逆時(shí)針為正)，柱端彎矩值是梁端彎矩值的2倍，可以表達(dá)為：

(2)

Mc=-2Mb,L,

(3)

式中，Mb,L，Mb,R分別為節(jié)點(diǎn)左側(cè)和右側(cè)梁體的彎矩；Mc為節(jié)點(diǎn)的柱端彎矩；彎矩以逆時(shí)針為正。

在跨中豎向力Fv作用下，墩梁結(jié)合部?jī)蓚?cè)作用的梁體彎矩方向相反(彎矩以逆時(shí)針為正)，可以表達(dá)為：

(4)

(5)

(6)

根據(jù)式(4)～式(6)，可以定義節(jié)點(diǎn)梁體右端與左端所承受彎矩大小的比值α為：

(7)

由此可見(jiàn)：跨中豎向力工況下，墩梁結(jié)合部右端梁體彎矩是左端的2倍以上。以浙江杭紹甬高速公路上虞1號(hào)高架橋?yàn)槔摌虿捎?×30 m整體長(zhǎng)聯(lián)剛構(gòu)體系，主梁為14片30 m標(biāo)準(zhǔn)跨徑T梁，橋墩高度為20 m左右，采用雙肢薄壁墩。經(jīng)計(jì)算，主梁與橋墩線剛度比β取值約為5，則式(7)中的α取值約為2.3。

墩梁結(jié)合部的剪力和軸力等內(nèi)力情況，亦可通過(guò)結(jié)構(gòu)力學(xué)方法確定，在此不再贅述。

2 墩梁結(jié)合部的拓?fù)鋬?yōu)化分析

2.1 拓?fù)鋬?yōu)化的原理及二次開(kāi)發(fā)

拉壓桿模型的自動(dòng)生成問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為連續(xù)體的拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題。結(jié)構(gòu)漸進(jìn)拓?fù)鋬?yōu)化(ESO)的原理[15-16]為：不斷地從連續(xù)體中剔除應(yīng)變能密度低的單元，實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)總體剛度的極大化，即結(jié)構(gòu)應(yīng)變能的最小化，優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)為：

Minimize：∑CjWj，

(8)

式中，Cj為結(jié)構(gòu)中單元j的應(yīng)變能；Wj為單元j的重量。

通過(guò)定義結(jié)構(gòu)性能指標(biāo)PI，則優(yōu)化目標(biāo)是使PI取得極大值，即：

(9)

式中，C0,W0分別為初始狀態(tài)結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能和重量；Ci,Wi分別為經(jīng)過(guò)i次優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能和質(zhì)量；下標(biāo)中的“0”表示初始狀態(tài)；“i”表示經(jīng)過(guò)第i次優(yōu)化后的狀態(tài)。

本研究通過(guò)對(duì)通用有限元程序ANSYS進(jìn)行二次開(kāi)發(fā)，實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)漸進(jìn)拓?fù)鋬?yōu)化功能，可實(shí)現(xiàn)拉壓桿模型的自動(dòng)生成[17-18]。該程序的基本流程為(見(jiàn)圖3)：不斷地剔除低應(yīng)變能密度的單元，直至有限元模型的連續(xù)性遭到破壞而不能運(yùn)算為止，性能指標(biāo)PI取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的拓?fù)錁?gòu)形即為最優(yōu)構(gòu)形。

圖3 拓?fù)鋬?yōu)化分析的流程Fig.3 Flowchart of topology optimization analysis

2.2 結(jié)合部彎矩傳遞的拓?fù)鋬?yōu)化分析

在水平力工況下，墩梁結(jié)合部?jī)蓚?cè)作用的梁端彎矩大小相等、方向相同，柱端彎矩值是梁端彎矩值的2倍。這里利用本研究編制的程序進(jìn)行墩梁結(jié)合部的拓?fù)鋬?yōu)化分析。圖4顯示了結(jié)合部在此邊界力情形下的漸進(jìn)演化過(guò)程。當(dāng)演進(jìn)至第60步時(shí)，性能指標(biāo)PI達(dá)到最大值1.79，此時(shí)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)形為X形。在豎向力工況下，墩梁結(jié)合部?jī)蓚?cè)作用的梁端彎矩方向相反，且右端彎矩值是左端的α倍(前述上虞1號(hào)高架橋，α取值為2.3)。圖5顯示了結(jié)合部在此邊界力情形下的漸進(jìn)演化過(guò)程。當(dāng)演進(jìn)至第55步時(shí)，性能指標(biāo)PI達(dá)到最大值2.0，此時(shí)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)形為“△”形。

圖4 水平力工況下墩梁結(jié)合部彎矩傳遞的拓?fù)鋬?yōu)化分析Fig.4 Topology optimization analysis of pier-girder joint bending moment transfer under horizontal force working condition

圖5 豎向力工況下墩梁結(jié)合部彎矩傳遞的拓?fù)鋬?yōu)化分析Fig.5 Topology optimization analysis of pier-girder joint bending moment transfer under vertical force working condition

2.3 結(jié)合部剪力傳遞的拓?fù)鋬?yōu)化分析

在梁端水平力Fh作用下，結(jié)合部左側(cè)梁體的軸力為Fh、右側(cè)梁體的軸力為0.5Fh，則傳遞至橋墩的水平剪力為0.5Fh。圖6給出了結(jié)合部在此邊界力情形下的漸進(jìn)演化過(guò)程。當(dāng)演進(jìn)至第45步時(shí)，性能指標(biāo)PI達(dá)到最大值2.1，此時(shí)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)形為“X”形。

圖6 水平力工況下墩梁結(jié)合部水平剪力傳遞的拓?fù)鋬?yōu)化分析Fig.6 Topology optimization analysis of pier-girder joint horizontal shear transfer under horizontal force working condition

在跨中豎向力Fv作用下，結(jié)合部右端的豎向剪力為Vb,R= 0.5Fv，左端的豎向剪力vb,L為：

(10)

式中λ為剪力比例系數(shù)。

以浙江杭紹甬高速公路上虞1號(hào)高架橋?yàn)槔?，主梁與橋墩的線剛度比β約為5，則Vb,L= 0.085Fv。圖7給出了結(jié)合部在此邊界力情形下的漸進(jìn)演化過(guò)程。當(dāng)演進(jìn)至第42步時(shí)，性能指標(biāo)PI達(dá)到最大值1.33，此時(shí)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)形為魚腹形。

圖7 豎向力工況下墩梁結(jié)合部豎向剪力傳遞的拓?fù)鋬?yōu)化分析Fig.7 Topology optimization analysis of pier-girder joint vertical shear transfer under vertical force working condition

3 墩梁結(jié)合部的拉壓桿模型

3.1 4種典型工況下的拉壓桿模型

拓?fù)鋬?yōu)化分析的結(jié)果可以作為拉壓桿模型構(gòu)形的直接依據(jù)[15]。表1給出了4種典型工況下墩梁結(jié)合部的拉壓桿模型及拉桿內(nèi)力計(jì)算公式，再結(jié)合公路橋規(guī)中對(duì)拉桿承載力的計(jì)算規(guī)定[4]，可直接用于結(jié)合部的配筋設(shè)計(jì)。參考公路橋規(guī)的規(guī)定，拉壓桿模型的內(nèi)力臂z可取為0.9h0(h0為梁體或墩柱截面的有效高度)。

表1 典型工況下墩梁結(jié)合部的拉壓桿模型及拉桿內(nèi)力計(jì)算公式Tab.1 Strut-and-tie models for pier-girder joints and calculation formula of internal force of tie under typical working conditions

根據(jù)表1中的拉壓桿模型，可以清晰地得出墩梁結(jié)合部的傳力路徑及關(guān)鍵受力效應(yīng)：

(1)在水平力工況下，結(jié)合部通過(guò)“X”形交叉的斜拉桿和斜壓桿傳遞兩側(cè)梁部的同向彎矩，一側(cè)梁頂至另一側(cè)梁底的連續(xù)配筋是傳力的關(guān)鍵構(gòu)造。

(2)在豎向力工況下，結(jié)合部通過(guò)“△”形交叉的斜拉桿和斜壓桿傳遞兩側(cè)梁部的反向彎矩，將橋墩受拉側(cè)鋼筋內(nèi)彎伸入結(jié)合部頂部是傳力的關(guān)鍵構(gòu)造。

(3)在水平力工況下，水平剪力通過(guò)交叉桁架傳遞至橋墩，將橋墩受拉側(cè)鋼筋豎直伸入結(jié)合部是傳力的關(guān)鍵構(gòu)造。

(4)在豎向力工況下，豎向剪力通過(guò)斜壓桿進(jìn)行傳遞，將梁頂?shù)匿摻钕聫?，?duì)控制斜向受剪裂縫的開(kāi)展有利。

我國(guó)新版《公路鋼筋混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計(jì)規(guī)范》(JTG 3362—2018)[4]中給出了拉壓桿模型構(gòu)形的基本準(zhǔn)則和方法，包括拓?fù)鋬?yōu)化法、應(yīng)力跡線法、力流線法等。但是，針對(duì)墩頂結(jié)合部這一具體構(gòu)造和受力情形，規(guī)范中并沒(méi)有給出具體的拉壓桿模型構(gòu)形。本研究遵循了規(guī)范中建議的拓?fù)鋬?yōu)化分析方法，給出了墩梁結(jié)合部的拉壓桿模型，是對(duì)規(guī)范的有益補(bǔ)充。

利用表1計(jì)算得到拉桿內(nèi)力后，可根據(jù)公路橋規(guī)按下式進(jìn)行相應(yīng)的配筋計(jì)算：

fsdAst+fpdAps≥γ0Td,

(11)

式中，γ0為橋梁結(jié)構(gòu)重要性系數(shù)；Td為拉桿內(nèi)力設(shè)計(jì)值；fsd為普通鋼筋抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值；Ast為充當(dāng)拉桿的普通鋼筋面積；fpd為預(yù)應(yīng)力鋼筋抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值；Aps為充當(dāng)拉桿的預(yù)應(yīng)力鋼筋面積。

3.2 復(fù)合受力下的拉壓桿模型

墩梁結(jié)合部往往受到彎矩、剪力和軸力的復(fù)合作用，受力十分復(fù)雜。基于前述的單工況分析結(jié)果，圖8給出了復(fù)合受力情形下的拉壓桿模型構(gòu)形示意圖，可供設(shè)計(jì)參考。根據(jù)Schlaich等[5]的建議，也可偏于簡(jiǎn)化和保守考慮，按各單個(gè)工況分別進(jìn)行配筋設(shè)計(jì)并疊加。

圖8 彎矩剪力軸力共同作用情形下的拉壓桿模型Fig.8 Strut-and-tie model under combined action of bending moment, shear force and axial force

4 結(jié)論

本研究基于拓?fù)鋬?yōu)化方法和拉壓桿模型方法，研究了典型工況下墩梁結(jié)合部T形節(jié)點(diǎn)的彎矩和剪力傳遞路徑，主要結(jié)論有：

(1)基于結(jié)構(gòu)漸進(jìn)拓?fù)鋬?yōu)化分析，可以清晰地得到墩梁結(jié)合部T形節(jié)點(diǎn)在典型工況下的最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)形和傳力路徑。

(2)在水平力工況下，結(jié)合部通過(guò)X形交叉的拉桿和壓桿傳遞梁部?jī)蓚?cè)的同向彎矩，通過(guò)交叉桁架傳遞水平剪力；在豎向力工況下，結(jié)合部通過(guò)Δ形交叉的拉桿和壓桿傳遞梁部?jī)蓚?cè)的反向彎矩，通過(guò)斜壓桿傳遞豎向剪力。

(3)構(gòu)建了4種典型受力情形下墩梁結(jié)合部的拉壓桿模型，并給出了拉桿內(nèi)力計(jì)算公式，可供配筋設(shè)計(jì)參考。

(4)本研究將墩梁結(jié)合部看作平面問(wèn)題進(jìn)行分析，有一定的近似性。實(shí)際上，上部結(jié)構(gòu)往往由多片梁構(gòu)成，上部結(jié)構(gòu)荷載通過(guò)墩梁結(jié)合部傳遞至蓋梁再傳遞至橋墩，具有一定的空間傳力特征，值得進(jìn)一步研究。