劉 俊

（1.湖南機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息工程學(xué)院，湖南 長沙 410151；2.中南大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，湖南 長沙 410083）

0 引言

1992 年A.R.Teel 對(duì)飽和控制做了開創(chuàng)性工作[1]，后續(xù)國內(nèi)外學(xué)者在飽和控制尤其是輸入包含時(shí)滯方面做了大量的研究[2-15]，至今仍然是控制領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一[16-19]。F.Mazenc 等[7-8]首次使用有界和時(shí)滯控制解決了多積分器系統(tǒng)的全局穩(wěn)定問題。隨后，這些成果被推廣到前饋非線性系統(tǒng)。其整體思路是利用平面轉(zhuǎn)換，構(gòu)造標(biāo)準(zhǔn)型進(jìn)行自然對(duì)消，完成飽和退化分析，解決了具有輸入時(shí)滯的前饋系統(tǒng)全局穩(wěn)定問題[9-12]。其中，Ye H.W.等[9]提出了一種新的由級(jí)聯(lián)飽和函數(shù)組成的非線性控制器，Zhou B.等[6]提出了兩種前饋非線性系統(tǒng)的有界時(shí)滯控制，包含級(jí)聯(lián)飽和控制器和嵌套飽和控制器。

沿著文獻(xiàn)[6]和[9]的思路，針對(duì)積分器鏈，本文提出了一種新的嵌套飽和時(shí)滯控制算法。與同類文獻(xiàn)相較而言，本文與文獻(xiàn)[9]的級(jí)聯(lián)飽和控制不同，本文控制器為嵌套飽和控制，可以處理非線性高階擾動(dòng)和輸入時(shí)滯；相對(duì)于文獻(xiàn)[6]，本文所提出的控制器在系統(tǒng)狀態(tài)和飽和函數(shù)前面都包含了乘性系數(shù)，因而具有更強(qiáng)的靈活性；相對(duì)于文獻(xiàn)[10-12]，得益于系統(tǒng)狀態(tài)和飽和函數(shù)都包含可調(diào)乘性系數(shù)，本文控制器可以處理輸入包含較大時(shí)滯的情形。

本文首先針對(duì)帶非線性項(xiàng)積分器鏈系統(tǒng)，設(shè)計(jì)坐標(biāo)變換和控制器；然后進(jìn)行系統(tǒng)穩(wěn)定性分析，包括飽和退化分析和退化后系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定分析；最后通過對(duì)一個(gè)慣性擺實(shí)例進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制器的有效性。

1 系統(tǒng)和控制器介紹

帶高階非線性項(xiàng)的積分器鏈系統(tǒng)為

系統(tǒng)（1）滿足假設(shè)1。

假設(shè) 1

針對(duì)系統(tǒng)（1）設(shè)計(jì)如下坐標(biāo)轉(zhuǎn)換：

式中：ki＞0,λi＞0,i=1,2,3,4。

則系統(tǒng)轉(zhuǎn)換成：

針對(duì)式（3），設(shè)計(jì)如下嵌套飽和控制器：

式中sat為標(biāo)準(zhǔn)飽和函數(shù)，且

其中ε為飽和度。

控制器（4）的參數(shù)滿足如下條件（5）：

引理1[6]設(shè)γ＞0，ε＞0，β1＞0，β2＞0 為4 個(gè)給定的數(shù)，考慮標(biāo)量系統(tǒng)：

那么存在一個(gè)有限時(shí)間T＞t0，滿足

此外，v能被簡化為

2 漸進(jìn)穩(wěn)定性分析

漸進(jìn)穩(wěn)定性分析分為飽和退化分析和退飽和系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定分析兩個(gè)階段。首先，針對(duì)控制器（4），利用平面轉(zhuǎn)換構(gòu)造標(biāo)準(zhǔn)型，進(jìn)行自然對(duì)消，完成飽和退化分析；然后，利用一個(gè)重要矩陣不等式和李雅普諾夫定理，完成漸進(jìn)穩(wěn)定性分析。

2.1 系統(tǒng)飽和退化分析

事實(shí)1在滿足假設(shè)1 和條件（5）時(shí)，控制器（4）飽和退化。

證明分別考慮y4,y3,y2,y1子系統(tǒng)。

步驟1首先考慮y4子系統(tǒng)

式中t≥t0+τ。

將上式兩邊從t-τ到t積分，得

將其代入式（7），得

結(jié)合式（4）有

步驟2分析y3子系統(tǒng)，當(dāng)t≥T4時(shí)：

將式（8）兩邊從t-τ到t積分，得

將其代入式（8），有

結(jié)合式（4）有

即y3子系統(tǒng)飽和退化。

步驟3分析y2子系統(tǒng)，當(dāng)t≥T3時(shí)：

類似步驟1 和步驟2 的分析，在滿足條件（5）時(shí)，y2子系統(tǒng)飽和退化。

步驟4分析y1子系統(tǒng)，當(dāng)t≥T2時(shí)，

類似步驟1 和步驟2，由引理1，可知當(dāng)滿足條件（5）時(shí)，y1子系統(tǒng)飽和退化，證畢。

經(jīng)上述4 個(gè)步驟后，系統(tǒng)（3）的狀態(tài)進(jìn)入?yún)^(qū)域：

2.2 退飽和系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定分析

通過上述飽和退化分析，退化后的系統(tǒng)可以被表述為

式中：

因?yàn)閏3(t)和c4(t)有界，可以假定：

根據(jù)牛頓-萊布尼茨公式，有

將其代入式（12）得到：

然后集中處理系統(tǒng)（16）。

定義矩陣：

和一個(gè)矩陣不等式：

注意到A是一個(gè)穩(wěn)定矩陣，通過調(diào)節(jié)L和β，總是存在一個(gè)正定矩陣P滿足不等式（18）。

假設(shè) 2

式中L、β在（17）（18）中給定；P在（18）中定義。

事實(shí)2在假設(shè)2 前提下，系統(tǒng)（16）是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

證明定義系統(tǒng)（16）的候選李雅普諾夫函數(shù)：

沿著系統(tǒng)（16）對(duì)V1(y)求導(dǎo)：

利用不等式

得到

由式（17）和（18），最終得到

根據(jù)事實(shí)1 和事實(shí)2，可得本文的重要結(jié)論：

定理1當(dāng)假設(shè)1、假設(shè)2 和條件（5）滿足時(shí)，系統(tǒng)（3）（4）全局漸進(jìn)穩(wěn)定。

注：本文提出的控制器參數(shù)條件較為簡單，且可以同時(shí)在系統(tǒng)狀態(tài)和飽和函數(shù)前配置系數(shù)，具有較大的靈活性。后續(xù)仿真實(shí)驗(yàn)說明控制器（4）可以處理較大時(shí)滯。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

考慮慣性擺系統(tǒng)

式中τ＞0 為輸入時(shí)滯。

根據(jù)定理1 選擇控制器（4）的參數(shù)。

最終得到系統(tǒng)（22）的控制器方程：

選取初始條件：

對(duì)系統(tǒng)（22）在控制器方程（23）下進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)得到的仿真結(jié)果如圖1 所示。從圖1 可以看出，在時(shí)滯較大的情形下，系統(tǒng)（22）在控制器方程（23）下依然可以全局漸進(jìn)穩(wěn)定，說明嵌套飽和時(shí)滯控制器（23）具有較好的魯棒性。

圖1 系統(tǒng)（22）在控制器方程（23）下的系統(tǒng)狀態(tài)軌跡Fig.1 System state trajectory of system（22）under controller（23）

4 結(jié)語

本文提出了一種嵌套飽和時(shí)滯控制器，實(shí)現(xiàn)帶高階非線性項(xiàng)四階積分器系統(tǒng)的全局漸進(jìn)穩(wěn)定。系統(tǒng)的穩(wěn)定分析分為飽和退化分析和退飽和系統(tǒng)兩個(gè)階段。首先，利用平面轉(zhuǎn)換構(gòu)造標(biāo)準(zhǔn)型，進(jìn)行自然對(duì)消，完成飽和退化分析；然后，利用一個(gè)重要矩陣不等式和李雅普諾夫定理，完成漸進(jìn)穩(wěn)定分析。最后，通過一個(gè)慣性擺系統(tǒng)的仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了控制器的有效性。本文的控制器參數(shù)條件較為簡單，可以同時(shí)在系統(tǒng)狀態(tài)和飽和函數(shù)前配置乘性系數(shù)，能處理較大時(shí)滯，具備一定的工程價(jià)值。后續(xù)主要工作是把控制器推廣到低階前饋系統(tǒng)，并能處理狀態(tài)系數(shù)不確定問題。