段昊宇翔，張 宇，陳昊然，張倩玉

（昆明理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，云南昆明 650500）

0 引言

隨著機(jī)器人學(xué)科的不斷發(fā)展，業(yè)界內(nèi)外對(duì)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)能力、使用壽命等一系列性能指標(biāo)提出了更高的要求。機(jī)器人軌跡規(guī)劃對(duì)生產(chǎn)效率和使用壽命會(huì)產(chǎn)生直接影響［1］，如何規(guī)劃?rùn)C(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡方式具有重要研究意義。

工業(yè)機(jī)器人的軌跡規(guī)劃是指在滿(mǎn)足工作要求和機(jī)械臂硬件限制的情況下，對(duì)預(yù)期運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行規(guī)劃［2-3］。從數(shù)學(xué)分析的角度講，就是給機(jī)器人的路徑賦予上時(shí)間的信息，即在某時(shí)刻規(guī)定機(jī)器人特定的位置、速度、加速度。機(jī)器人時(shí)間最優(yōu)規(guī)劃是軌跡規(guī)劃中一個(gè)非線(xiàn)性且非常復(fù)雜的研究課題。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)工業(yè)機(jī)器人時(shí)間最優(yōu)軌跡規(guī)劃取得了許多研究成果。代瑞恒等［4］提出一種改進(jìn)量子遺傳算法的機(jī)器人關(guān)節(jié)軌跡優(yōu)化，但未考慮機(jī)器人動(dòng)力學(xué)約束；浦玉學(xué)等［5］提出一種以改進(jìn)引力搜索算法為基礎(chǔ)的最優(yōu)控制軌跡規(guī)劃，但加權(quán)因子的使用主觀性太強(qiáng)，缺乏科學(xué)依據(jù)；張慧敏［6］使用改進(jìn)模擬退火算法處理三軸機(jī)器人時(shí)間最優(yōu)問(wèn)題，其并未對(duì)位置維度進(jìn)行規(guī)劃，且三軸機(jī)器人的適用性不強(qiáng)。此外，由于使用的是三次多項(xiàng)式進(jìn)行插補(bǔ)，加大機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的振動(dòng)與沖擊。因此，本文在5 次多項(xiàng)式插值的基礎(chǔ)上，考慮運(yùn)動(dòng)學(xué)［7］和動(dòng)力學(xué)約束條件，提出使用改進(jìn)灰狼進(jìn)化算法在時(shí)間維度上對(duì)軌跡進(jìn)行優(yōu)化的方法，通過(guò)點(diǎn)到點(diǎn)（P2P）的方式達(dá)到預(yù)期軌跡，并使用MATLAB 軟件進(jìn)行仿真分析，驗(yàn)證此方法的可行性與有效性。

1 機(jī)器人建模

本文以自主研發(fā)的HW700 型機(jī)器人為研究對(duì)象，其三維模型如圖1 所示。使用傳統(tǒng)的DH 參數(shù)描述方法［8］建立機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，模型參數(shù)如表1所示。

Fig.1 3D model drawing of the research object圖1 研究對(duì)象的三維模型

Table 1 DH parameters表1 DH參數(shù)

其中，θi表示關(guān)節(jié)的角度變量，αi表示關(guān)節(jié)的扭轉(zhuǎn)，ai表示關(guān)節(jié)偏距，di表示桿長(zhǎng)。

機(jī)器人動(dòng)力學(xué)是研究機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)條件和力矩之間關(guān)系的學(xué)科。其中，正向動(dòng)力學(xué)是已知機(jī)器人的力矩條件和上一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以得出下一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；逆向動(dòng)力學(xué)是指在已知機(jī)器人運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和速度的情況下能得到機(jī)器人各關(guān)節(jié)的力矩，本文提到的動(dòng)力學(xué)是逆向動(dòng)力學(xué)。一般而言，機(jī)器人動(dòng)力學(xué)建模分析一般有兩種方法［9］：牛頓—?dú)W拉法和拉格朗日—?dú)W拉法。牛頓—?dú)W拉法分析動(dòng)力學(xué)的優(yōu)點(diǎn)是可以知道所有連桿生成運(yùn)動(dòng)的方向以及大小，但缺點(diǎn)是分析太過(guò)復(fù)雜，這將導(dǎo)致出錯(cuò)的概率就會(huì)極大提高；而拉格朗日—?dú)W拉法分析動(dòng)力學(xué)是以能量的角度看待系統(tǒng)。雖然兩種方法在分析時(shí)選用的角度不一樣，但兩者分析結(jié)果相同。本文結(jié)合虛功定理使用拉格朗日—?dú)W拉法得到關(guān)節(jié)i運(yùn)動(dòng)時(shí)的廣義力矩表達(dá)式由式（1）—式（5）所示［10］。

式中：τi表示關(guān)節(jié)i的廣義力矩；qi表示關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角角度表示轉(zhuǎn)角角速度表示轉(zhuǎn)角角加速度；g表示重力矢量表示p 桿的重心的位置向量；Ti-1，i表示相鄰桿件之間的坐標(biāo)變化矩陣；Ji表示i桿的慣性矩陣；mi表示桿件質(zhì)量；xi、yi、zi表示i桿的質(zhì)心坐標(biāo)；Iixx、Iiyy、Iizz表示i桿的慣性矩［11］；Iixy、Iiyz、Iixz表示i桿的慣性積。

2 軌跡規(guī)劃問(wèn)題描述

根據(jù)工作需求，設(shè)定目標(biāo)路線(xiàn)，機(jī)器人末端需經(jīng)過(guò)按順序N個(gè)目標(biāo)點(diǎn)，qi，n表示第i個(gè)關(guān)節(jié)在通過(guò)目標(biāo)點(diǎn)Pn（n=1，2，…）時(shí)所對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)角度。為了使機(jī)器人末端的運(yùn)動(dòng)軌跡平滑，即機(jī)器人各關(guān)節(jié)可以平穩(wěn)運(yùn)動(dòng)，需保證關(guān)節(jié)插補(bǔ)函數(shù)平滑且連續(xù)，一般情況下使用多項(xiàng)式插補(bǔ)的方式，本文選用式（6）所示的五次多項(xiàng)式進(jìn)行軌跡插補(bǔ)［12］。

從目標(biāo)點(diǎn)i到目標(biāo)點(diǎn)i+1，兩個(gè)端點(diǎn)處的位置約束條件由式（7）所示。

聯(lián)立式（6）和式（7），得到每個(gè)關(guān)節(jié)的多項(xiàng)式系數(shù)由式（8）所示。

在機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，機(jī)器人在滿(mǎn)足經(jīng)過(guò)給定路徑點(diǎn)條件下，同時(shí)滿(mǎn)足機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)約束并以最短時(shí)間順利完成給定任務(wù)，提高運(yùn)動(dòng)效率。本文數(shù)學(xué)模型構(gòu)建如式（9）—式（10）所示，機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)約束和動(dòng)力學(xué)約束具體數(shù)值如表2所示。

式中：qmin、qmax表示第j個(gè)關(guān)節(jié)的極限旋轉(zhuǎn)角度；表示第j個(gè)關(guān)節(jié)的最大角速度、最大減速度；表示第j個(gè)關(guān)節(jié)的最大角加速度、最大角減速度；τmax表示各關(guān)節(jié)能承受的最大廣義力。

Table 2 Binding conditions表2 約束條件

3 改進(jìn)灰狼進(jìn)化算法

一般而言，用多項(xiàng)式進(jìn)行規(guī)劃軌跡時(shí)需要預(yù)先人為設(shè)定每一段軌跡中間的時(shí)間、位置、速度等一系列先決條件，但是如果已經(jīng)提前規(guī)劃了時(shí)間等一系列條件就無(wú)法對(duì)時(shí)間再作優(yōu)化處理［13-14］。因此，本文選用自適應(yīng)智能算法尋找最優(yōu)時(shí)間軌跡，即在一個(gè)取值范圍內(nèi)，計(jì)算機(jī)通過(guò)設(shè)計(jì)的智能算法在約束條件下自動(dòng)尋找函數(shù)最優(yōu)值。在智能算法選擇上，灰狼優(yōu)化算法（Gray Wolf Algorithm，GWO）收斂速度快、穩(wěn)定性好，不會(huì)因?yàn)橐馔廨斎攵鹚惴ㄥe(cuò)誤，具有很強(qiáng)的局部搜索能力。然而，灰狼優(yōu)化算法存在易陷入局部最優(yōu)、早熟的缺陷，導(dǎo)致其在處理復(fù)雜的工程優(yōu)化問(wèn)題時(shí)收斂精度不高。王俊等［15］將改進(jìn)灰狼算法應(yīng)用于醫(yī)學(xué)問(wèn)題之中，解決了其領(lǐng)域中“維數(shù)災(zāi)難”的問(wèn)題。鑒于此，本文提出改進(jìn)灰狼進(jìn)化算法（M-DEGWO），即在灰狼優(yōu)化算法的基礎(chǔ)上引入差分進(jìn)化算法（Differential Evolutionary Algorithm，DE）以改善灰狼優(yōu)化算法易早熟、停滯等不足，從而更好地去尋找機(jī)器人在時(shí)間維度上的最優(yōu)軌跡［16］。

3.1 灰狼算法

灰狼優(yōu)化算法受狼群野外生存的社會(huì)等級(jí)制度啟發(fā)［17-18］，搜索部分的等級(jí)制度分為頭狼（Alpha 狼）、二號(hào)狼（Beta 狼）、三號(hào)狼（Delta 狼）、四號(hào)狼（Omega 狼）。算法邏輯部分也遵循著狼群攻擊獵物的過(guò)程，首先尋找獵物階段，其次是圍捕獵物階段，最終是進(jìn)攻獵物階段。Alpha 狼群中的個(gè)體，在整個(gè)種群當(dāng)中屬于決策階級(jí)，主要任務(wù)是帶領(lǐng)種群在狩獵過(guò)程中去決定探索方向和管理狼群分布等。Alpha 狼、Beta 狼、Delta 狼、Omega 狼依次為適應(yīng)度最好的4 個(gè)個(gè)體，其中Omega 狼為候選解。在空間中，通過(guò)Alpha 狼、Beta 狼、Delta 狼去引導(dǎo)狼群不斷向獵物位置靠近，從而找到獵物并進(jìn)行攻擊。建立這一行為的數(shù)學(xué)模型如式（11）—式（12）所示。

式中：D表示獵物與個(gè)體的距離；t表示當(dāng)前迭代次數(shù)；表示協(xié)同系數(shù)向量表示獵物的位置向量；表示實(shí)時(shí)狼的位置向量。

3.2 非線(xiàn)性控制參數(shù)策略

式中，tmax表示迭代次數(shù)。

3.3 狼群進(jìn)化

Alpha 狼、Beta 狼、Delta 狼作為進(jìn)化的父代，通過(guò)求出適應(yīng)度次優(yōu)的兩頭狼差值并與變化的搜索因子結(jié)合［20］，再與頭狼相聯(lián)系產(chǎn)生變異代，其變異代生成式如式（19）所示。

其中，W 為動(dòng)態(tài)變化的搜索因子，其變化規(guī)則如式（20）所示。

變化的搜索因子可改善傳統(tǒng)灰狼算法在收斂精度和搜索頻次方面的缺陷，搜索因子W和當(dāng)前迭代的次數(shù)t相關(guān)，前期當(dāng)t小時(shí)，搜索因子W大，提高了算法的全局尋優(yōu)能力和個(gè)體變異范圍；后期隨著迭代的進(jìn)行，t逐漸變大，搜索因子W變小使算法有了更強(qiáng)的局部尋優(yōu)能力。

新生成的子代個(gè)體由父代個(gè)體和突變代個(gè)體擇優(yōu)提供，在滿(mǎn)足物競(jìng)天擇的法則之下優(yōu)勝劣汰，如果產(chǎn)生適應(yīng)度更優(yōu)的個(gè)體，則會(huì)淘汰原本父代中的不良個(gè)體，逐步讓狼群向著正確的方向搜索。

3.4 改進(jìn)灰狼進(jìn)化算法

改進(jìn)灰狼進(jìn)化算法流程如圖2所示。

Fig.2 Flow of modified grey wolf evolutionary algorithm圖2 改進(jìn)灰狼進(jìn)化算法流程

算法步驟如下：

Step1：輸入種群規(guī)模大小N、最大迭代次數(shù)MaxIt、交叉概率PCR、變異概率pumt。

Step2：初始化父代種群{Xi，i=1，2，…，N}，初始化子代種群（child）、突變種群（mutant）。

Step3：將父代種群的個(gè)體代入約束條件一（機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)約束）和約束條件二（機(jī)器人動(dòng)力學(xué)約束）中，滿(mǎn)足約束條件的個(gè)體生成父代種群，不滿(mǎn)足條件的個(gè)體被淘汰。

Step4：計(jì)算父代灰狼個(gè)體適應(yīng)度并記錄精英狼Xα(t)、Xβ(t)、Xδ(t)的位置、數(shù)值大小。

Step5：根據(jù)收斂因子a計(jì)算出A1、A2、A3的數(shù)值，更新的數(shù)值并記錄的位置。

Step7：將子代種群的個(gè)體代入約束條件一（機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)約束）和約束條件二（機(jī)器人動(dòng)力學(xué)約束）中，滿(mǎn)足約束條件的個(gè)體進(jìn)入新的父代種群，不滿(mǎn)足條件的個(gè)體將被記錄數(shù)量并淘汰。

Step8：記錄當(dāng)代適應(yīng)度最優(yōu)個(gè)體（最小值）并與前代適應(yīng)度最優(yōu)個(gè)體進(jìn)行比較，同時(shí)在新的父代種群中重新生成與不滿(mǎn)足條件個(gè)體相同數(shù)量的個(gè)體，更新收斂因子a等參數(shù)。

Step9：輸出歷史最優(yōu)個(gè)體。

4 仿真結(jié)果及分析

為了驗(yàn)證本文改進(jìn)策略對(duì)軌跡優(yōu)化的效果，規(guī)劃了一條由起點(diǎn)P1 和中間點(diǎn)P2 到終點(diǎn)P3 組成的典型搬運(yùn)工作路徑，并使用智能算法對(duì)該路徑進(jìn)行軌跡優(yōu)化仿真試驗(yàn)。路徑具體參數(shù)如表3所示。

Table 3 Track location表3 軌跡位置

改進(jìn)灰狼進(jìn)化算法參數(shù)設(shè)置為：種群規(guī)模大小N設(shè)為100、最大迭代次數(shù)MaxIt設(shè)為500、交叉概率PCR設(shè)為0.7、變異概率pumt設(shè)為0.9。差分進(jìn)化算法的參數(shù)設(shè)置為：種群規(guī)模大小N設(shè)為100、最大迭代次數(shù)MaxIt設(shè)為500，縮放因子W設(shè)為0.6，交叉概率PCR設(shè)為0.7?；依撬惴ǖ膮?shù)設(shè)置為：種群規(guī)模大小N設(shè)為100、最大迭代次數(shù)MaxIt設(shè)為500。3種算法初代個(gè)體的產(chǎn)生范圍都為[0，10]。

表3 中，P1、P2、P3 為關(guān)節(jié)空間中機(jī)器人3 個(gè)不同時(shí)刻的位姿，由于M-DEGWO 算法為自適應(yīng)算法，為了減少隨機(jī)性，運(yùn)行5 次收斂值后取平均值的結(jié)果與灰狼算法、差分進(jìn)化算法在相同約束條件和目標(biāo)函數(shù)下對(duì)于尋優(yōu)時(shí)間尋優(yōu)精度進(jìn)行比較，結(jié)果如圖3所示。

Fig.3 Algorithm optimization chart圖3 算法尋優(yōu)圖

結(jié)果顯示，改進(jìn)灰狼進(jìn)化算法相比于差分進(jìn)化算法收斂速度更快、精度更高，且對(duì)父代個(gè)體做了預(yù)處理；相對(duì)于灰狼算法收斂精度更高，通過(guò)引入非線(xiàn)性收斂因子和動(dòng)態(tài)的縮放因子，改善了灰狼算法易陷入局部最優(yōu)、早熟的問(wèn)題。結(jié)合上文所述的機(jī)器人動(dòng)力學(xué)建模及軌跡規(guī)劃問(wèn)題描述，經(jīng)過(guò)改進(jìn)灰狼進(jìn)化算法對(duì)5 次多項(xiàng)式插值進(jìn)行時(shí)間優(yōu)化后，利用MATLAB 軟件對(duì)其進(jìn)行編程分析得到其時(shí)間最優(yōu)軌跡，得到6 個(gè)關(guān)節(jié)各自的位置、速度、加速度以及力矩隨時(shí)間變化曲線(xiàn)分別如圖4—圖7所示。

Fig.4 Joint position curve圖4 關(guān)節(jié)位置曲線(xiàn)

Fig.5 Joint velocity curve圖5 關(guān)節(jié)速度曲線(xiàn)

Fig.6 Joint acceleration curve圖6 關(guān)節(jié)加速度曲線(xiàn)

從圖4—圖7 可知，所求出的運(yùn)動(dòng)時(shí)間都滿(mǎn)足于機(jī)器人自身的運(yùn)動(dòng)學(xué)條件和動(dòng)力學(xué)條件。從此條運(yùn)行軌跡的約束條件上看，滿(mǎn)足規(guī)劃軌跡的主要約束界限為關(guān)節(jié)一的約束，特別是在1.5～2.7s 這一區(qū)間關(guān)節(jié)一運(yùn)行加速度逼近的極限加速度，其他約束條件都有適當(dāng)?shù)木彌_區(qū)域可以調(diào)節(jié)，優(yōu)化后從P1 到達(dá)P3 的時(shí)間為2.713 2s，而不使用優(yōu)化算法從P1 到P3 的設(shè)定時(shí)間為3.8s，使用改進(jìn)灰狼進(jìn)化算法縮短了在相同條件之下到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)的時(shí)間，機(jī)器人效率提升28.6%。

Fig.7 Joint torque curve圖7 關(guān)節(jié)力矩曲線(xiàn)

5 結(jié)語(yǔ)

本文提出了一種軌跡規(guī)劃方法，使用五次多項(xiàng)式對(duì)機(jī)器人關(guān)節(jié)角在滿(mǎn)足機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)約束情況下進(jìn)行插補(bǔ)，并采用改進(jìn)灰狼進(jìn)化算法對(duì)機(jī)器人軌跡進(jìn)行時(shí)間優(yōu)化，獲得符合條件的最優(yōu)時(shí)間。試驗(yàn)結(jié)果表明，采用MDEGWO 算法比單獨(dú)使用GWO 算法、DE 算法收斂速度更快，收斂精度更高；在保證關(guān)節(jié)位移、速度以及加速度平滑且符合動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)約束的條件下縮短了機(jī)器人到達(dá)同一目標(biāo)點(diǎn)的時(shí)間，此方法比機(jī)器人默認(rèn)的軌跡規(guī)劃算法效率提高28.6%，為后續(xù)機(jī)器人控制研究提供了科學(xué)有效的理論依據(jù)。本文采用時(shí)間最優(yōu)優(yōu)化模型，后續(xù)將考慮機(jī)器人能量、沖擊振動(dòng)的多目標(biāo)軌跡優(yōu)化。此外，亦會(huì)考慮機(jī)器人動(dòng)力學(xué)中關(guān)于電機(jī)和連桿間剛?cè)狁詈弦蛩氐挠绊憽?/p>